人教A版（2019）必修第二册《期末测试试卷》2022年单元测试卷（附答案详解）

人教A版(2019)必修第二册《期末测试试卷》2022年

单元测试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分)

1.设2=言，则Z的虚部为()

A.-1B.1C.-2D.2

2.已知向量2=(-2,1),b=(2,4)1-(-4,2),则下列结论正确的是()

A.a//K.a//cB.a//b,ale

C.a//K，b//cD.a1a//c

3.”幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标,

常用区间［0,10］内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高、现随机抽取10

位北京市民，他们的幸福感指数为3,4,5,5,6,7,7,8,9,10.则这组数据

的75%分位数是()

A.7B.7.5C.8D.8.5

4.已知复数2=a+bi(a,beR),若(1+ai)(l—i)=bi,则|z|=()

A.V3B.2C.V5D.5

5.在△ABC中，角4B,C所对的边分别是a,b,c,已知a=2bcosC,则△ABC的

形状是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

6.如图，元件4。=1,2,3,4)通过电流的概率均为0.9,且各元件是否通过电流相互独

立，则电流能在M，N之间通过的概率是()

-----A1-------\

------^―N

----------A3

A.0.729B.0.8829C.0.864D.0.9891

7.已知一组数据力，*2,不，M，肛的平均数是2,方差是g那么另一组数据3%-2,

3型-2,3x3-2.3/-2,3&-2的平均数和方差分别为()

17

A.2,-B.4,3C,4,-D.2,1

8.我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图的刍童

ABCD-EFGH有外接球，且4B=276,AD=2/，EH=V15.EF=V5.平面ABCD

与平面EFGH间的距离为1,则该刍童外接球的体积为（）

A.1271B.24兀C.36兀D.487r

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事

件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（）

A.2张卡片不全为红色B.2张卡片恰有一张红色

C.2张卡片至少有一张红色D.2张卡片都为绿色

10.已知a,£是两个不重合的平面，m,n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是

（）

A.若mLa,n///?,则a1£

B.若mJLa,n//a,则m1n

C.若a//£,mua,则m〃/?

D.若a//p,则zn与a所成的角和n与。所成的角相等

11.2019年“双节”期间，高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小

型汽车中抽取了40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速

分成六段：[60,65）,[65,70）,[70,75）,[75,80）,[80,85）,[85,90],得到如图所示

的频率直方图.下列结论正确的是（）

A.这40辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5

B.在该服务区任意抽取一辆车，车速超过80km//i的概率为0.35

C.若从车速在[60,70）的车辆中任意抽取2辆，则至少有一辆车的车速在[65,70）的

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概率为黄

D.若从车速在［60,70）的车辆中任意抽取2辆，则车速都在［60,65）内的概率为2

12.如图，正方体的棱长为1,动点E

在线段41cl上，F,M分别是AD,CO的中点，则下

列结论中正确的是（）

A.FM与BG所成角为45。

B.BM，平面CGF

C.存在点E,使得平面BEF〃平面CC1A。

D.三棱锥B-CFE的体积为定值

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.某单位有男女职工共600人，现用分层抽样的方法，从所有职工中抽取容量为50的

样本，已知从女职工中抽取的人数为15,那么该单位的女职工人数为

14.已知向量市石夹角为45。，且|五|=1,|2a-h|=710）则|司=.

15.某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体力BCD-

EFG从正四棱锥P-E尸GH的高为遮，EF=2,AE=1,则该组合体的表面积为

16.在A/IBC中，已知2cos2梳=条由4,若a=2俗则△ABC周长的取值范围为

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.已知向量五=（1,0）,b=（-1,2）.

（I）求2苍+方的坐标；

（口）求|五—9

18.四边形4BC0是圆柱。。1的轴截面，E为底面圆周上的一点,

AE=2V5,BE=4,AD=5.

(1)求证：BE_L平面ADE；

(2)求圆柱的表面积.

19.某校从高二年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100

分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：［40,50),［50,60),［90,100］后得到如

图的频率分布直方图.

(1)求图中实数a的值；

(2)若该校高二年级共有学生640人，试估计该校高二年级期中考试数学成绩不低于

60分的人数；

(3)若从数学成绩在［40,50)与［90,1001两个分数段内的学生中随机选取两名学生，

求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.

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20.在中，a2+c2=b24-ac,

(1)求cosB的值;

(2)若cos4=],a=8,求b以及S-BC的值•

21.某校设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯

关，若闯关成功，分别获得5个学豆、10个学豆、20个学豆的奖励.游戏还规定,

当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一

关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束.设选手甲第一关、

第二关、第三关闯关成功的概率分别为:，|,选手选择继续闯关的概率均为；，

4322

且各关之间闯关成功与否互不影响.

（I）求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率;

（n）求该选手所得学豆总个数不少于15的概率.

22.如图，四棱锥P-4BCD中，PC_L平面4BCD,4B1AD,AB//CD,PD=AB=2AD

2CD=2,E为PB的中点.

（I）证明：平面EAC1平面PBC；

（n）求异面直线CE与PD所成角的余弦值；

（皿）求直线PA与平面4EC所成角的正弦值.

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答案和解析

1.【答案】B

2+i_(2+i)(l+2i)_5i

【解析］解：--zl-2i-(l-2i)(l+2i)-5

••.Z的虚部为1.

故选:B.

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

2.【答案】D

【解析】解：,；@=(一2,1),b=(2,4).?-(-4,2),

•，•=~c,b•下=—8+8=0，a-b=-4+4=0>

a//c,K1c>alb<

故选：D.

根据向量的坐标运算分别判断即可.

本题考查了向量的坐标运算，熟练掌握运算性质是解题的关键，是基础题.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

根据一组数据的75%分位数定义，求出即可.

本题考查了分位数的定义与计算问题，是基础题.

【解答】

解：数据3,4,5,5,6,7,7,8,9,10共10个，

且10x75%=7.5,所以分位数是第8个数，为8.

故选：C.

4.【答案】C

【解析】［解析］

分析：利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出.

本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，

属于基础题.

［解答］

解：(1+at)(l-i)=抗，

1+a+(a—l)i=bi,

•••1+a=0,a—1=b,

解得a=-l,b=-2.

则|z|=V(-l)2+(-2)2=V5.

故选：C.

5.【答案】A

【解析】解：a=2bcosC,由正弦定理可知，sinA=2sin8cosC,因为4+B+C=TT,

所以sin(B+C)=2sinBcosC,所以sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC,

sin(B—C)=0,B—C=kn,k&Z,

因为4、B、C是三角形内角，

所以8=C.

三角形是等腰三角形.

故选：A.

利用正弦定理以及三角形的内角和，两角和的正弦函数化简a=2bcosC,求出B与C的

关系，即可判断三角形的形状.

本题考查正弦定理、三角形的内角和、两角和的正弦函数的应用，考查计算能力，属于

基础题.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率

之间的关系，属于中档题.

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求出电流不能通过4、人2,且也不能通过4的概率，用1减去此概率，即得电流能通过

系统4、&、勺的概率.再根据电流能通过人的概率为09,利用相互独立事件的概率

乘法公式求得电流能在M,N之间通过的概率.

【解答】

解：电流能通过4、A2,的概率为09x0.9=0.81,电流能通过久的概率为0.9,

故电流不能通过41、A2,且也不能通过4的概率为(1-081)(1-0.9)=0.019,

故电流能通过系统公、4、/的概率为1一。019=0.981,

而电流能通过4的概率为0.9,

故电流能在M,N之间通过的概率是(1-0.019)x0.9=0.8829,

故选艮

7.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查的是方差和平均数的性质.

设平均数为E(x),方差为D(x).则E(cx+d)=cE(x)+d；D(cx+d)=c2D(x).

将平均数和方差公式中的x换成3尤-2,再化简进行计算.

【解答】

解：•••乂1，x2>->苑的平均数是2,则X1+芯2+…+&=2X5=10.

;数据3%-2,3X2-2,3X3-2,3%4-2,3x5-2的平均数是:x'=[(3xx-2)+(3x2-

2)+(3%3—2)+(3X4-2)+(3&—2)]=[3x(x]+孙+…+蚪)—10]=4,

,2222

5=1x[(3%1-2-4)+(3&-2-4)+…+(3x5-2-4)],

2222

=|x[(3xi-6)2+…+(3久5-6)]=9x|[(xi-2)+(x2-2)+•••+(xs-2)]=

3.

故选:B.

8.【答案】C

【解析】解：如图，设上底面中心为。1,下底面

中心为。2，

刍童外接球的球心为0，则。，。1，。2共线，

连接。1E,。2力，0E,0A,

由已知可得。。。

iE=V5.02A=2V2,12=1.

设该刍童的外接球的半径为

R,002=h,

则R2=8+九2,R2=5+(h+1)2,联立解得R2=

9.

该刍童的外接球的表面积为S=4兀/?2=36兀.

故选：C.

设上底面中心为。1，下底面中心为。2,刍童外接球的球心为。，则0,。1，。2共线，由

已知求出两个长方形的对角线长，再由勾股定理列式求得刍童的外接球的半径，则表面

积可求.

本题考查了长方体的性质、勾股定理、球的表面积，考查了推理能力与计算能力，属于

基础题.

9.【答案】BD

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于4事件“2张卡片都为红色”与“2张卡片不全为红色”是对立事件，不符合题意；

对于B,事件“2张卡片都为红色”与“2张卡片恰有一张红色”是互斥而不对立，符合

题意；

对于C,事件“2张卡片都为红色”与“2张卡片至少有一张红色”不是互斥事件，不符

合题意，

对于。，事件“2张卡片都为红色”与“2张卡片都为绿色”是互斥而不对立，符合题意；

故选：BD.

根据题意，由互斥事件的定义依次分析选项，即可得答案.

本题考查互斥事件的定义，注意互斥事件和对立事件的定义，属于基础题.

10.【答案】BCD

【解析】

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【分析】

本题考查空间中直线与平面的位置关系，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力,

属于基础题.

根据直线与平面的位置关系、直线与平面所成的角的相关知识逐项进行判断即可.

【解答】

解：4满足m_Ln,m1a,n〃夕时，

得不出al氏a与夕可能平行,如图所示:

二该选项错误；

B."n//a,

二设过n的平面y与a交于a,则《〃。，

又m1a,aua,

二mla,?n_Ln,.,.该选项正确；

C；a〃氏:.a内的所有直线都与0平行，

且mua,二m〃S，.•.该选项正确；

D根据线面角的定义即可判断该选项正确.

故选：BCD.

11.【答案】ABC

【解析】解：众数的估计值为最高的矩形中点对应的值殁2=77.5,故A选项正确，

车速超过80/cm"的频率0.05X5+0.02x5=0.35,用频率估计概率可知，概率为0.35,

故2选项正确，

由题可得，车速在［60,65）内的车辆数为0.01x5x40=2,车速在［65,70）内的车辆数为

0.02x5X40=4,

运用古典概率求概率可知，至少有一辆车的车速在［65,70）的概率为1-言=三，故C选

%2

项正确，

（-21

车速在［60,70）的车辆中任意抽取2辆，则车速都在［60,65）内的概率为法=豆，故。选项

c615

错误.

故选：ABC.

根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，并结合古典概率求概率，即

可解答.

本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，

是基础题.

12.【答案】BD

【解析】解：对于4「F、M分别为AD、CD的中点，FM〃4C,

在正方体ABCD-AiBiCi。］中，44J/CC［且441=则四边形44传道为平行四边

形，

AC〃&Ci，.•.异面直线FM与BQ所成的角为乙4GB,

在441G8中，&Ci=ArB=BCi，所以△斗道道为等边三角形，则44。/=60°,即A

错误；

对于B,vBC=CD,CM=DF,Z.BCM=Z.CDF,BCM=△CDF,

4BMC+乙DCF=90°,1­.BM1CF,

又因为CC1_L平面48CC,月.BMu平面48C。，所以Cq1BM,

因为CFnCCi=C,所以BML平面CCiF,即8正确；

对于C,若平面BEF〃平面CGDiD,因为平面CGDiD〃平面44$出，

所以平面BEF〃平面力&B1B,但平面BEF与平面44//有公共点B,所以C错误；

对于D,%_CFE=VE-BCF=；S4BCFY4I=：X3BCYB-AAI=X定值），即。正确.

33Zo

故选：BD.

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利用线线平行，找出异面直线的夹角的平面角，求出即可，可判断①的正误；根据线

面垂直的判定定理，即可判断②的正误；利用面面平行的性质定理，可判断③的正误；

利用等体积法即可求出棱雉的体积，可判断④的正误综合可得出结论.

本题考查空间中直线的位置关系，考查学生的推理及运算能力，属于中档题.

13.【答案】180

【解析】

【分析】

根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论.

本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键.比较基础.

【解答】

解：由分层抽样的定义得提=竺，得n=12x15=180,

600n

即该单位的女职工人数为180,

故答案为180.

14.【答案】3V2

【解析】

【分析】

利用数量积的性质即可得出.

本题考查了数量积的性质，向量模的计算，属于基础题.

【解答】

解：•••向量落石夹角为45。，且|砧=1,|2a-b|=V10.

J4a2+d2-4a-b=VTO'

化为4+\b\2-4\b|cos45。=10，

化为|了『一2夜|了|一6=0,

•■\b\>0,

解得|b|=3V2.

故答案为：3a.

15.【答案】20

【解析】解：由题意知，正四棱锥P-EFGH的斜高为闻=J（遮）2+/=2，

所以该组合体的表面积为S=22+4x2xl+4x|x2x2=20.

故答案为：20.

求出正四棱锥P-EFGH的斜高，再计算该组合体的表面积.

本题考查了简单组合体的表面积计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题.

16.【答案】(46,4+2何

【解析】解:由2cos2〃='sin?!得1+cosA=更sinA,

233

即［sinA-cosA=1)

即竽sin(A—g)=1,即sin(力一，=日，

•••0<4<兀，•一扛4一声拳

即4'=*即4=拳

•••b=4sinB,c=4sbic,

则b+c=4sinB+4sinC=4sinB+4sin(；—B)=4sinB+4(ycosB-^sinB)

=2sinB+2y/3cosB=4sin(B+g),

v0<B<p

则当<sin（B+>1，即2百<4sin（B+^）<4,

则2国<b+cW4，

贝|14%<a+b+c<4+2V3,

即三角形的周长的范围是（475,4+28],

故答案为：（473,4+273].

根据三角函数的倍角公式，结合辅助角公式将函数进行化简求出4结合正弦定理以及

两角和差的正弦公式进行转化求解即可.

第14页，共19页

本题主要考查三角形周长的计算，结合两角和差的正弦公式以及倍角公式，辅助角公式

进行转化是解决本题的关键.

17.【答案】解：(I)因为五=(1,0),b=(-1,2).

所以2五=(2,0),

所以21+3=(2,0)+(-1,2)=(1,2).

(H)方法1：因为五一方=(2,—2)，

所以|五一方|=V22+(-2)2=2V2.

方法2：因为片=1，a-b=-1>片=5，

所以|五一»|=Ja2-2a-b+b2=V1+2+5=2V2'

【解析】本题考查了平面向量的坐标运算与模长计算问题，是基础题.

(I)利用平面向量的坐标运算计算即可；

(11)方法1：利用平面向量的坐标运算求模长即可.

方法2：根据平面向量的模长公式，计算即可.

18.【答案】证明：(1)••・四边形4BCC是圆柱。01的轴截面，E为底面圆周上的一点，

BE1AE,BE1AD,

•••ADn4E=A,二BE1平面ADE.

解：(2)vAE=2V5,BE=4,AD=5.

AB=J(2V5)2+42=6>•••r=y=3,

•••圆柱的表面积：

S=2nr2+2nr•4。=27Tx9+2〃x5=287r.

【解析】(1)推导出BELAD,由此能证明BE1平面

(2)推导出AB=J(2遮尸+42=6,从而T=拶=3,由此能求出圆柱的表面积.

本题考查线面垂直的证明，考查圆柱的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间

的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.

19.【答案】(1)解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1,

•••10X(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1.

解得a=0.03.

(2)解：根据频率分布直方图，成绩不低于6(0分)的频率为

1-10x(0.005+0.01)=0.85.

由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，

可估计该校高一年级数学成绩不低于6(0分)的人数约为640x0.85=544人.

(3)解：成绩在［40,50)分数段内的人数为40x0.05=2人，分别记为4B.

成绩在［90,100］分数段内的人数为40x0.1=4人，分别记为C,D,E,F.(7分)

若从数学成绩在［40,50)与［90,100］两个分数段内的学生中随机选取两名学生，

则所有的基本事件有：(48),(4C)，(4。)，(4E),(4尸)，(B,C),

(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(QE),(D,F),(E,F)共15种.(9分)

如果两名学生的数学成绩都在［40,50)分数段内或都在［90,100］分数段内，

那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.

如果一个成绩在［40,50)分数段内，另一个成绩在［90,100］分数段内，

那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.

记”这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M,

则事件M包含的基本事件有：

(4B),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共7种.

所以所求概率为P(M)=《.

【解析】(1)根据阴影矩形的面积之和等于1，计算a的值；

(2)首先计算成绩不低于60分的频率，即后四个小矩形的面积和，然后用640x频率计算

人数；

(3)若两名学生的学生成绩之差的绝对值不大于10,即两人是同一组的学生，那么首先

计算两组的人数，并编号，并以编号的形式列出所有选取2人的基本事件的个数，同时

计算同一组的两个人的所有基本事件的个数，最后相除得到概率.

本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注

意列举法的合理运用.

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20.【答案】解：（1）由余弦定理及已知得：cosB=吐字士=；,

（2）因为4B为三角形内角,

所以sin/l=y/1—cos2A=jl—(1)2=手，sinB=V1—cos2B=—(1)2=中,

由正弦定理得：5=空”=等=7,

1_b2+c2-a2

又•・•cosA

7-2bc

c2-2c-15=0,解得c=5(c=-3舍).

1,..10V3

•••Sr4ABe=2bc'SlnA=­•

【解析】（1）直接把等式变形即可求解；

（2）先利用同角三角函数关系式求出角4B的正弦值，再借助于正弦定理求出b,带入

已知条件求出c,进而求出三角形的面积.

本题主要考查余弦定理以及同角三角函数基本关系式，并涉及到三角形的面积公式和计

算能力，属于中档题目.

21.【答案】解：（I）设“甲第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件4

“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件久,

“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件4,则&互斥，

P（&）=洛xf

、，、

W=；3X1-X2-X1-X（3l--1）=-1,

P（A）=P（4I）+PG42）=3+3=?，

二选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率为

1O

（n）由题意得该选手所得学豆个数可能为0,5,15,35,

“该选手所得学豆个数为15”的概率为：^xix^xi=i

42328

“该选手所得学豆个数为35”的概率为：=

4232216

••.该选手所得学豆总个数不少于15的概率为：P=J2

olo1O

【解析】（I）设“甲第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件4“第一关闯关成功第

二关闯关失败”为事件为,“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件&，贝何1，4互

斥，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出选手甲第一关闯关

成功且所得学豆为零的概率；

(H)由题意得该选手所得学豆个数可能为0,5,15,35,利用相互独立事件概率乘法公

式分别求出“该选手所得学豆个数为15”的概率和“该