九年级 下册 数学 练习题 第三章 圆

第三章圆

3.1圆

基础题

知识点1圆的有关概念

1.下列说法正确的是(D)

A.半圆是弧，弧也是半圆B.过圆上任意一点只能作一条弦，且这条弦是直径

C.弦是直径D.直径是圆中最长的弦

2.下列条件中，能画唯一圆的是(B)

A.以已知点0为圆心B,以点0为圆心，2cm为半径

C.以1cm为半径D.经过已知点A,且半径为2cm

3.已知。。的直径AB=6cm,则圆上任意一点到圆心的距离等于(C)

A.2cmB.2.5cm

C.3cmD.无法确定

4.如图，圆中有L条直径，2条弦，圆中以A为一个端点的优弧有4条，劣弧有生条.

5.如图，。。的半径是5,ZA0B=60°,则AB=&.

6.孙老师上数学课时忘记了带圆规，但他手里有一根小细绳，你能帮他在黑板上画一个圆吗？并说明理由.

解：能.将小细绳绕着它的一个端点，旋转一周，另一个端点走过的路线即为一个圆，理由：圆可以看成是到定点

的距离等于定长的所有点组成的图形.

知识点2点与圆的位置关系

7.(湘西中考)。。的半径为5cm,点A到圆心0的距离0A=3cm,则点A与。0的位置关系为(B)

A.点A在圆上B.点A在圆内

C.点A在圆外D.无法确定

8.已知。0的半径为5,圆心0的坐标为(0,0),点P的坐标为(4,2),则点P与。0的位置关系是(A)

A.点P在。0内B.点P的。0上

C.点P在。0外D.点P在。0上或。0外

9.已知。。的半径为3cm,。。所在的平面内一点P,当PO=3cm时,点P在。0上；当P0知cm时,点P在

内；当P0〉3gm时,点P在。0外.

10.在AABC中，NC=90°,AC=4,AB=5,以点C为圆心，r=3为半径作圆，判断A,B两点和。C的位置关系.

解：VZC=90°,AC=4,AB=5,ABC=3.

；AC=4>r,.•.点A在。C外.

VBC=3=r,...点B在。C上.

中档题

1L下列命题，其中正确的有(A)

①两个端点能够重合的弧是等弧；②面积相等的两个圆是等圆；③弦是圆上任意两点之间的部分；④同圆或等圆中,

劣弧比优弧短.

A.1个B.2个

C.3个D.4个

12.(宜昌中考)在公园的0处附近有E,F,G,H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)，现计划修建

一座以0为圆心，0A为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E,F,G,H四棵树中需要被移除的为(A)

A.E,F,GB.F,G,II

C.G,H,ED.H,E,F

13.如图，在aABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC,AB于D,E两点，并连接BD,DE.若NA=30°,

AB-AC,则NBDE的度数为(C)

A.45°B.52.5°C.67.5°D.75°

14.矩形ABCD中，AB=3,BC=4,以点A为圆心画圆,使B,C,D三点中至少有一点在。A内，且至少有一点在。A

外，则。A的半径r的取值范围为(D)

A.r>3B.r<4

C.r<5D.3<r<5

15.(永州中考)如图，在。。中，A,B是圆上的两点,已知/A0B=40°,直径CD〃AB,连接AC,则NBAC=35°.

16.在RtaABC中，/C=90°,ZA=30°,以点C为圆心，CB为半径画圆，则斜边AB的中点D与。C的位置关系

是点D在。C上.

17.如图，数轴上半径为1的。0从原点0开始以每秒1个单位的速度向右运动，同时，距原点右边7个单位有一点

O

P以每秒2个单位的速度向左运动，经过期秒后，点P在。0上.

18.如图，小虎牵着小狗上街，小虎的手臂与绳共2.5m(手臂与拉直的绳子在一条直线上)，手臂肩部距地面1.5m.

当小虎站立不动时，小狗在平整的地面上活动的最大区域是多少？并画出平面图.

解：小狗在地面上环绕的圆的半径为

、2.52-1.52=2.0(111),

故小狗在平整的地面上活动的最大区域是以2.0m为半径的圆.

如图:

综合题

19.(杭州中考)如图1,。。的半径为r(r>0),若点P'在射线0P上，满足0P'•OP=d,则称点P'是点P关于

。。的“反演点”.

如图2,。。的半径为4,点B在。0上，ZB0A=60°,0A=8,若点A',B'分别是点A,B关于。0的反演点，

求A，B，的长.

l6P']:tOA'JMA

图1图2

解：设OA交。。于M,连接BM.

VOAZ-0A=r2,r=4,0A=8,.\0A,=2.

•.•OB'•0B=r2,r=4,0B=4,

...OB'=4,即点B和B'重合.

VZB0A=600,OB=OM,△OBM为等边三角形.

•••点A'为0M的中点，...B'N1±0M.

A，B，

在RtAOA'B'中，sin/A'OB'=%=，

:.A'B'=4sin60°=2怎.

3.2圆的对称性

基础题

知识点1圆的对称性

1.下列语句中，不正确的是(C)

A.圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴

B.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形

C.当圆绕它的圆心旋转89°57'时，不会与原来的圆重合

D.圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个

2.(泰安中考)下列四个图形：

①㊁生③

其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是(C)

A.1B.2C.3D.4

3.如图是两个同心圆，其中两条直径互相垂直，大圆的半径是2,则其阴影部分的面积之和为红(结果保留口).

知识点2圆心角、弧及弦之间的关系

4.在同圆或等圆中，如果AB=CD,那么AB和CI)的关系是(B)

A.AB>CDB.AB=CD

C.AB<CDD.AB=2CD

5.(兰州中考)如图，在。0中，若点C是触的中点，/A=50°,则/BOC=(A)

6.如图，已知A,B,C,D是。。上的点，Z1=Z2,则下列结论中正确的有(D)

①靠=而；②而=蓝；③AC=BD；④/BOD=NAOC.

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.如图所示，在。0中，AC,BC是弦，根据条件填空:

⑴若AC=BC,则靛=蓝，/AOC=NBOC；

⑵若e=R,则AC=BC,/AOC=/BOC；

⑶若NAOC=ZBOC,则酢=靛，AC=BC.

8.如图，在。0中，AC=BD,若NA0B=40°,则NC0D=40°.

9.如图，已知：在。0中，M,N分别是半径OA,0B的中点，且CMLOA,DNLOB.求证：AC=BD.

证明：连接OC,0D,则OC=OD.

VM,N分别是半径OA,0B的中点,

AOM=ON.

VCM±OA,DN10B,

.,.Z0MC=Z0ND=90°.

在RtAOMC和RtAOND中，

OM=ON,

.OC=OD,

RtAOMC^RtAOND(HL).

AZM0C=ZNOD.AAC=BD.

中档题

10.下列说法：①等弧对等弦；②等弦对等弧；③等弦所对的圆心角相等；④相等的圆心角所对的弧相等；⑤等弧

所对的圆心角相等.其中正确的个数为(B)

A.1B.2

C.3D.4

11.形如半圆形的量角器直径为4cm,放在如图所示的平面直角坐标系中(量角器的中心与坐标原点0重合，零刻度

线在x轴上)，连接60°和120°刻度线的两个端点P、Q,线段PQ交y轴于点A,则点A的坐标为(B)

A.(―1,^3)B.(0,小)

C.(73,0)D.(1.73)

12.如图，扇形OAB的圆心角为90°,点C,D是症的三等分点，半径0C,0D分别与弦AB交于点E,F,下列说法

错误的是(A)

A.AE=EF=FBB.AC=CD=DB

C.EC=FDD.ZDFB=75°

13.如图，在。0中，AB=2CD,则下列结论正确的是(C)

A.AB>2CDB.AB=2CD

C.AB<2CDD.以上都不正确

14.如图，已知AB是(DO的直径，C,I),E,F,G是靠上的点，且有记=而=笳=命=用=强，则/0CG=30°.

15.（黄石中考）如图，A,B是00上的两点，ZA0B=120°,C是能的中点.

⑴求证：AB平分N0AC：

⑵延长0A至P使得AP=0A,连接PC,若。0的半径R=l,求PC的长.

解：(1)证明：连接0C.

VZA0B=120°,C是1的中点,

，NA0C=/B0C=60°.

又•.•OAnOCnOB,

.,.△AOC.aBOC是等边三角形.

.\OA=OB=BC=AC.

四边形AOBC是菱形.

.♦.AB平分NOAC.

(2)；0A=AP,OA=AC,，AP=AC.

XVZCA0=ZAC0=60",

，NAPC=30°,/0CP=90°.

，PC=/℃=/.

综合题

16.我们学习了“弧、弦、圆心角的关系”，实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组

量也相等［弦心距指从圆心到弦的距离（如图1中的OC、0C'）,弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度］.请直

接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题：

如图2,0是/EPF的平分线上一点，以点0为圆心的圆与角的两边分别交于点A,B,C,D.

（1）求证：AB=CD；

（2）若角的顶点P在圆上，上述结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明.

解：（1）证明：过0作OM_LAB于M,ON_LCD于N,则NOMB=N0ND=90°.

；P0平分/EPF,；.OM=ON.

VOM,ON分别是弦AB,CD的弦心距，

AAB=CD.

(2)上述结论成立.

证明：当点P在。0上时，由⑴知OM=ON,

VOM,ON分别是弦AB,CD的弦心距，

；.PB=PD,即AB=CD.

*3.3垂径定理

基础题

知识点1垂径定理

1.(黄石中考)如图所示，。。的半径为13,弦AB的长度是24,ON±AB,垂足为N,则0N=(A)

©

A.5B.7C.9D.11

2.如图，已知。0的半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C,若AB=16cm,0C=6cm,则。0的半径为(B)

©

/)

25

A.-cmB.10cm

o

C.8cmD.—cm

3.(三明中考)如图，AB是。0的弦，半径OCJ_AB于点D,若。。的半径为5,AB=8,则CD的长是(A)

A.2B.3C.4D.5

4.(黑龙江中考)如图，。0的直径CD=10cm,AB是。0的弦，且ABLCD,垂足为P,AB=8cm,则sin/OAP的值

是(C)

344

A-4B-5C-5D-3

5.(广元中考)如图，已知。0的直径ABLCD于点E,则下列结论一定错误的是(B)

A.CE=DEB.AE=OE

C.BC=BDD.AOCE^AODE

知识点2垂径定理的推论

6.下列说法错误的是(C)

A.垂直于弦的直径平分弦

B.垂直于弦的直径平分弦所对的弧

C.平分弦的直径平分弦所对的弧

D.平分弧的直径垂直平分弧所对的弦

7.如图，AB是。0的弦，0C为半径，与AB交于点D,且AD=BD,已知AB=6cm,0D=4cm,则DC的长为(D)

A.5cmB.2.5cm

C.2cmD.1cm

知识点3垂径定理的应用

8.如图是一个圆弧形门拱，拱高AB=1m,跨度CD=4m,那么这个门拱的半径为(B)

A.2mB.2.5mC.3mD.5m

9.(东营中考)如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m,其中水面的宽AB为0.8m,则排水管内水的深

度为0.8m.

10.如图所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=3m,弓形的高EF=lm,现计划安装玻璃，请帮工

程师求出慈所在。0的半径r.

解：•.•弓形的跨度AB=3m,EF为弓形的高,

.\OE±AB.

13

.•.AF=T;AB=7；m.

♦.•蓝所在。。的半径为r,弓形的高EF=1m,

.,.AO—r,OF=r—1.

在RtAAOF中，A0-=AF2+0F2,

3K

即d=(5尸+(r—I)2.解得r=互.

故r=¥m.

中档题

11.如图，。。的弦AB,AC的夹角为50°,M,N分别为融和前的中点，OM,ON分别交AB,AC于E,F,则/MON的

度数为(C)

A.110°B.120°C.130°D.100°

12.如图，小明家凉台呈圆弧形，凉台的宽度AB为8m,凉台的最外端C点离AB的距离CD为2m,则凉台所在圆

的半径为(B)

C

4nB

A.4mB.5mC.6mD.7m

13.如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心0,则折痕AB的长为(C)

A.2cmB.-\/3cmC.2ycmD.2-^5cm

14.CD是。0的一条弦，作直径AB,使ABLCD,垂足为E,若AB=10,CD=8,则BE的长是(C)

A.8B.2C.2或8D.3或7

15.(黔西南中考)如图，AB是。0的直径，CD为弦，CDLAB于E,若CD=6,BE=1,则。0的直径为小.

16.(绍兴中考)如图1,小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为

A,B,AB=40cm,脸盆的最低点C到AB的距离为10cm,则该脸盆的半径为至cm.

图1图2

17.(湖州中考)已知在以点0为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C,D(如图).

(1)求证：AC=BD；

(2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆心0到直线AB的距离为6,求AC的长.

解：(1)证明：作OELAB,垂足为E,

则AE=BE,CE=DE,

.\AE-CE=BE-DE,

即AC=BD.

⑵由⑴可知，OE±AB,0E1CD,

连接OC,OA.

V0E=6,

CE=-\/0C2-0E2=y182-62=2s,

AE=、0涓一OE，=、B—6?=8.

.,.AC=AE—CE=8-2巾.

综合题

18.如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为7.2m,拱高CD为2.4m.

(1)求拱桥的半径；

(2)现有一艘宽3m,船舱顶部为长方形并高出水面2m的货船要经过这里，问此货船能顺利通过拱桥吗？

解：⑴连接0B.

V0CXAB,

...D为AB的中点.

；AB=7.2m,

；侬=加=3.6m.

设OB=OC=r,则0D=(r-2.4)m.

在Rt^BOD中，根据勾股定理，得

r2=(r-2,4)2+3,62,解得r=3.9.

；.拱桥的半径为3.9m.

(2)令船舱顶部两点分别分M,N(CN在M的右边)，连接ON.

VCD-2.4m,船舱顶部为长方形并高出水面2m,•••CE=2.4—2=0.4(m).

.\0E=r-CE=3.9-0.4=3.5(m).

在RtAOEN中，EN2=0N2-0E2=3.92-3.52=2.96(m2),

.•.EN=42.96(m),

MN=2EN=2X<2.96=*3.44m>3m.

•••此货船能顺利通过这座拱桥.

3.4圆周角和圆心角的关系

第1课时圆周角定理及其推论1

基础题

知识点1圆周角的概念

L(柳州中考)下列四个图中，/X是圆周角的是(C)

*o

A

2.如图，图中的圆周角有(C)

A.10个B.11个

C.12个D.13个

知识点2圆周角定理

3.(温州中考)如图，已知A,B,C在。0上,确为优弧，下列选项中与/AOB相等的是(A)

A.2ZC

C.4ZAD.ZB+ZC

4.(济宁中考)如图，在。0中，AB=AC,ZA0B=40°,则NADC的度数是(C)

C.20°D.15°

5.如图，己知CD是。。的直径，过点D的弦DE平行于半径0A,若ND的度数是50°,则/C的度数是(A)

A.25°B.30°

C.40°D.50°

6.(娄底中考)如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心0上，斜边和一直角边分别与。。相交于A,B两点，P

是优弧AB上任意一点(与A,B不重合)，则NAPB=阻度.

知识点3圆周角定理的推论1

7.(自贡中考)如图，。0中，弦AB与CD交于点M,ZA=45°,ZAMD=75°,则/B的度数是(C)

A.15°B.25°C,30°D.75°

8.(百色中考)如图，。。的直径AB过弦CD的中点E,若NC=25°,则/D=65°.

9.如图，已知A,B,C,D是。0上的四个点，AB=BC,BD交AC于点E,连接CD,AD.求证：DB平分NADC.

证明：:ABuBC,

/.AB=BC.

ZADB=ZBDC.

ADB平分NADC.

中档题

10.(巴彦淖尔中考)如图，线段AB是。。的直径，弦CD_LAB,NCAB=40°,则/ABD与NAOD分别等于(B)

A.40°,80°B.50°,100°

C.50°,80°D,40°,100°

11.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上.点A、B的读数分别为86°、30°,则NACB

的大小为(B)

A.15°B.28°

C.29°D.34°

12.（泰安中考）如图，点A,B,C是。0上的三点，且四边形ABC0是平行四边形，0FL0C交圆0于点F,则NBAF

等于（B）

A.12.5°

C.20°D.22.5°

13.如图，AABC内接于。0,若N0AB=28°,则NC的大小为62°.

14.（临夏中考）如图，在。0中，弦AC=24则。0的半径R=乖.

15.如图,AB是。0的一条弦，0D1AB,点E在。0上.

⑴若NA0D=52°,求NDEB的度数；

⑵若0C=3,0A=6,求tanNDEB的值.

解：（1）连接0B,

V0D±AB,/.AD=BD.

AZB0D=ZA0D=52°.

AZDEB=|zB0D=26°.

(2)V0D1AB,0C=3,0A=6,

AOC=|oA,即N0AC=30°.

AZA0C=60°.

AZDEB=|zA0C=30°.

.'.tanZDEB=^.

16.如图，在。0中，AB=AC,ZCBD=30°，ZBCD=20°，试求NBAC的度数.

解:连接OB,OC,0D.

VZB0D=2ZBCD,ZC0D=2ZCBD,ZCBD=30°,

ZBCD=20°,

AZC0D=60°,ZB0D=40°.

AZB0C=100°，

ZBAC=|zB0C=50°.

综合题

17.(台州中考)如图，四边形ABCD内接于。0,点E在对角线AC上，EC=BC=DC.

⑴若NCBD=39°,求NBAD的度数;

(2)求证：Z1=Z2.

解：(1)VBC=DC,

ABC=DC.

AZBAC=ZCAD=ZCBD.

VZCBD=39°,

AZBAC=ZCAD=39°.

ZBAD=ZBAC+ZDAC=78°.

⑵证明：VEC=BC,

・・・ZCBE=ZCEB.

VZCBE=Z1+ZCBD,ZCEB=Z2+ZBAC,

・•・N1+ZCBD=Z2+ZBAC.

又・.・NBAC=NCBD,AZ1=Z2.

第2课时圆周角定理的推论2、3

基础题

知识点1圆周角定理的推论2

1.(湖州中考)如图,已知AB是aABC外接圆的直径,NA=35°,则NB的度数是(C)

A.35°B.45°

C.55°D.65°

2.（台州中考）从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（B）

3（玉林中考）如图,

A.30°B.45°

C.60°D.70°

4.（常州中考）如图，把直角三角板的直角顶点0放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M,N,量得

0M=8cm,ON=6cm,则该圆玻璃镜的半径是（B）

A.y[10cm

C.6cm

5.（眉山中考）如图，A,D是。0上的两个点，BC是直径.若ND=32°,则NOAC=（B）

A.64°B.58°D.55°

6.如图，在半径为5cm的。0中，AB为直径，ZACD=30°,求弦BD的长.

A

D

解：:AB为直径,

AZADB=90°.

XVZABD=ZACD=30°,

乎=5/(cm).

・・・BD=AB•cosZABD=10X

知识点2圆周角定理的推论3

7.(杭州中考)圆内接四边形ABCD中，已知NA=70°,则NC=(D)

A.20°B.30°

C.70°D,110°

8.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若/BAD=105。，则NDCE的大小是(B)

C.100°D.95°

9.(常德中考)如图，四边形ABCD为。。的内接四边形，已知NB0D=100。，则NBCD的度数为(D)

A.50°B.80°

C.100°D.130°

10.在圆内接四边形ABCD中，若NA：NB：NC=1：2：5,则NB的度数是(C)

A.30°B.45°

C.60°D.120°

11.(来宾中考)如图，在。。中，点A,B,C在。0上，且NACB=110。，则Na=140°.

中档题

12.(达州中考)如图，半径为3的。A经过原点0和点C(0,2),B是y轴左侧。A优弧上一点，则tan/OBC为(C)

12啦

A,3B.2位D.

3

13.(烟台中考)如图，Rt^ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，NABC=40°,射

线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D,若射线CD将AABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上

对应的度数是(D)

A.40°B.70°

C.70°或80°D.80°或140°

14.(无锡中考)如图，AB是半圆0的直径，C,D是半圆0上的两点，且0D〃BC,0D与AC交于点E.

(1)若NB=70°,求/CAD的度数；

⑵若AB=4,AC=3,求DE的长.

解:⑴；OD〃BC,

.\ZD0A=ZB=70°

又：0A=0D,

.,•ZDA0=ZD=55°.

：AB是直径，.-.ZC=90°..•./CAB=20°.

；.NCAD=35°.

(2)VZC=90°,AB=4,AC=3,；.BC=/.

口…BC巾

是AB中点，0D〃BC,：.QE=-=^-.

；.DE=2一洋

15.(温州中考)如图，在aABC中，ZC=90°,D是BC边上一点，以DB为直径的。0经过AB的中点E,交AD的延

长线于点F,连接EF.

(1)求证：Z1=ZF；

⑵若sinB=萼，EF=2m，求CD的长.

解：(1)证明：连接DE,

OBD是＜30的直径,

.,.ZDEB=90°.

“是AB的中点,

.\DA=DB.

VZB=ZF,.\Z1=ZF.

(2)VZ1-ZF,

.•,AE=EF=2V5.

.•.AB=2AE=4/.

在RtaABC中，AC=AB•sinB=4,

.,.BC=^/AB2-AC2=8.

设CD=x,则AD=BD=8—x.

VAC2+CD2=AD2,即4?+X2=(8—X):

，x=3,即CD=3.

综合题

16.(1)如图1,PA,PB是。0的两条弦，AB为直径，C为鼐的中点，弦CD_LPA于点E,写出AB与AC的数量关系,

并证明；

⑵如图2,PA,PB是。0的两条弦，AB为弦，C为劣弧蓝的中点，弦CDLPA于E,写出AE,PE与PB的数量关系,

并证明.

A

解:(1)AB=/AC.

证明：；AB为直径，C为余的中点，

AZACB=90°,AC=BC.

.•.AB=^AC.

⑵AE=PB+PE.

证明：在AE上截取AF=BP,连接AC,BC,FC,PC.

为劣弧鼐的中点，即筋=R,

.\AC=BC.

在ACAF和4CBP中，

'AC=BC,

«NCAF=/CBP,

、AF=BP,

.,.△CAF^ACBP.

；.CF=CP.

又；CD_LPA,

；.EF=EP.

，AE=AF+EF=PB+PE.

小专题(八)与圆的基本性质有关的计算与证明

1.如图，在。0中，直径AB与弦CD相交于点P,ZCAB=40°,ZAPD=65°.

(1)求NB的大小；

⑵已知圆心0到BD的距离为3,求AD的长.

B

解：(1)VZCAB=ZCDB,NCAB=40°,AZCDB=40°.

又；NAPD=65°,

.•.NB=NAPD—/CDB=25°.

⑵过点0作OELBD于点E,则0E=3,BE=DE.

又是AB的中点，...0E是4ABD的中位线.

.*.AD=2OE=6.

2.(南京中考)A,B是。。上的两个定点，P是。。上的动点(P不与A,B重合)，我们称/APB是。0上关于点A,B

的滑动角.已知NAPB是。0上关于点A,B的滑动角.

(D若AB是。。的直径，则/APB=90°；

(2)如图，若。。的半径是1,AB=，L求NAPB的度数.

解：连接OA,OB,AB.

：OA=OB=1,AB=木,

.,.OA2+OB2=AB2.

，/A0B=90°.

.".ZAPB=|ZAOB=45°.

3.如图，AB是。。的直径，C,D两点在。0上，若/C=45°.

⑴求NABD的度数；

(2)若NCDB=30°,BC=3,求。。的半径.

解：(1)VZC=45°,

.\ZA=ZC=45°.

；AB是。0的直径,

AZADB=90°.

，NABD=45°.

⑵连接AC.

；AB是。。的直径，

AZACB=90°.

；/CAB=/CDB=30°,BC=3,

AAB=6.

的半径为3.

4.（宁夏中考）如图，已知△ABC,以AB为直径的。0分别交AC于D,BC于E,连接ED,若ED=EC.

⑴求证:AB=AC；

(2)若AB=4,BC=2小,求CD的长.

解：（1）证明：

.".ZEDC=ZC.

VZEDC=ZB,r.ZB=ZC..,.AB=AC.

(2)连接AE.

；AB为直径，AAEIBC.

由(1)知AB=AC,.,.BE=CE=1BC=^3.

VZC=ZC,/EDC=NB,AACDE^ACBA.

7^=77--,-CE-CB=CD-AC.

CDAC

VAC=AB=4,・••镉X2/=4CD.

3

CD=-.

5.（深圳中考）如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧形小桥在内的路上，于是他们开展

了测算小桥所在圆的半径的活动.小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，IIF的长为1

米，测得拱高（弧CH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径.

sDE1.6

解：••加=—，DE=8,

ErZ.4

解得EF=12.

VEG=3,HF=1,

.,.GH=EF-EG-HF=8.

由垂径定理，得GM=/H=4.

又MN=2,设半径OG=R,则0M=R-2.

在Rt^OMG中，由勾股定理，得

0M2+MG2=0G2.

/.(R-2)2+42=R2.解得R=5.

答：小桥所在圆的半径为5米.

6.（安徽中考）在。0中，直径AB=6,BC是弦，ZABC=30°,点P在BC上，点Q在。。上，且0PLPQ.

图1图2

(1)如图1,当PQ〃AB时，求PQ的长度；

⑵如图2,当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值.

解：(1)连接0Q.

VPQ/7AB,PQ±OP,

AOPIAB.

VAB=6,A0B=3.

VZABC=30°,

tanZABC^,衅邛

.•.0p=V5.

由勾股定理，得

PQ=^0Q2-0P2=-\/32-(73)2=V6.

(2)连接OQ.____________

由勾股定理，得PQ=^Q-0P'=49—OP?.

要使PQ取最大值，需OP取最小值，此时OP_LBC.

VZABC=30°，

13”工

.\0P=^0B=-,此时PQ*”<=

7.(烟台中考)如图，以AABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC,BC的交点分别为D,E,且施=施.

(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)已知半圆的半径为5,BC=12,求sinNABD的值.

解：(DaABC为等腰三角形.理由如下:

连接AE,VDE=BE,

.\ZDAE=ZBAE,

即AE平分NBAC.

：AB为直径，

.•./AEB=NAEC=90°,ERAEXBC.

XVAE=AE,

.,.△CAE^ABAE.AAC=AB.

...△ABC为等腰三角形.

⑵:△ABC为等腰三角形,AEXBC,

11

/.BE=CE=-BC=-X12=6.

在RtZkABE中,VAB=10,BE=6,

.,.AE=^10--62=8.

：AB为直径，.*.NADB=90°.

在RtZXABD中,-8=1。'BD=y,

.,.AD=^/AB2-BD2=y.

8.如图，在aABC中，AB=BC=2,以AB为直径的。0分别交BC,AC于点D,E,且点D为BC的中点.

(1)求证：AABC为等边三角形；

⑵求DE的长；

⑶在线段AB的延长线上是否存在一点P,使△PBD^^AED,若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由.

解：(1)证明：连接AD.

•••AB是。0的直径，

...NADB=90°.

•.•点D是BC的中点，

AAD是线段BC的垂直平分线.

.•,AB=AC.

：AB=BC,.•.AB=BC=AC.

.••△ABC为等边三角形.

(2)连接BE.

：AB是直径，，NAEB=90°.

.\BE±AC.

VAABC是等边三角形，

.♦.AE=EC,即E为AC的中点.

：D是BC的中点，故DE为4ABC的中位线,

111

/.BD=~BC=1,DE=-AB=-X2=1.

(3)假设存在点P,使△PBD丝4AED.

VAABC是等边三角形，

.../BAC=NABC=60°.

.\ZPBD=120°.

VDE/7AB,.-.ZAED=120°.

又•.,△PBDg/\AED,BD=ED,

・・・PB=AE=L

周周练(3.1〜3.4)

(时间：45分钟满分：100分)

一、选择题(每小题4分，共32分)

L下列说法中，错误的是(B)

A.直径相等的两个圆是等圆

B.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧

C.圆中最长的弦是直径

D.一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧

2.(娄底中考)如图，已知AB是。。的直径，ZD=40°,则NCAB的度数为(C)

A.20°B.40°C.50°D.700

3.(泰安中考)如图,△ABC内接于。0,若NA=a,则NOBC等于(D)

A.180°-2aB.2a

C.900+aD.90°-a

4.如图，。。的直径为10,弦AB的长为6,M是弦AB上的一动点，则线段的0M的长的取值范围是(B)

A.3W0MW5B.4W0MW5

C.3<0M<5D.4<0M<5

5.AB是。0的弦，0Q±AB,垂足为Q,再以0Q为半径作同心圆，称作小。0,点P是AB上异于A,B,Q的任意一点,

则点P位置是(D)

A.在大。。上B.在大00外部

C.在小。0内部D.在小。0外，大。。内

6.如图，^ABC内接于。0,ZC=30°,AB=2,则。0的半径为(B)

A.^3B.2

C.2小D.4

7.已知。0的直径CD=10cm,AB是。0的弦，AB=8cm,且ABLCD,垂足为M,则AC的长为(C)

A.2yJ5cmB.4yf5cm

C.2y[5cm或4y[5cmD.2y[scm或4小cm

8.（泰安中考）如图，AABC内接于。0,AB是。。的直径，NB=30°,CE平分NACB交。。于E,交AB于点D,连

接AE,则SAADE:SAFM的值等于(D)

A.1：72B.1：小D.2：3

二、填空题（每小题5分，共20分）

9.已知00的直径为6,点M到圆心0的距离为4,则点M与。0的位置关系是点M在60外.

10.如图，已知点A（0,1