2023-2024学年九年级数学《考点·题型·难点》期末高效复习（人教版）期末精确押题之解答题30题解析版

第第页试卷第=page22页，共=sectionpages33页期末精确押题之解答题(30题）1．（2022上·江苏无锡·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程．(1)若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；(2)若方程两实数根为，，且满足，求实数m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）本题考查一元二次方程判别式的意义，直接根据判别式直接进行求解即可；（2）本题考查一元二次方程根于系数的关系，利用根于系数的关系带入原始即可求解．【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，∴，∴．（2）解：由根与系数的关系：，，∴，∴．2．（2023上·山东济宁·九年级统考期末）随着新课程标准的颁布，为落实立德树人的根本任务，我县各学校组织了丰富多彩的研学活动，得到家长、社会的一致好评．某中学为进一步提高研学质量，着力培养学生的核心素养，选取了A“青少年科技馆”，B“中都文庙”，C“城市展馆”，D“莲花湖湿地公园”四个研学基地组织研学活动．学校想从选择研学基地D的四名学生中选取两名学生，了解他们对研学活动的看法，已知选择研学基地D的四名学生中恰好有两名女生．(1)请用列举出所有可能的情况；(2)求出所选两人都是男生的概率．【答案】(1)共有12种等可能的结果，分别为：男1男2，男1女1，男1女2，男2男1，男2女1，男2女2，女1男1，女1男2，女1女2，女2男1，女2男2，女2女1．(2)【分析】本题考查了用列表或画树状图的方法求概率，掌握列表或画树状图的方法求概率是解题的关键．（1）画树状图得到等可能的结果．（2）由（1）中的树状图得到所选2人都是男生的结果，从而求得概率．【详解】（1）解：研学基地D的学生中恰有两名女生，则有2名男生，画树状图如下：共有以上12种等可能的结果，分别为：男1男2，男1女1，男1女2，男2男1，男2女1，男2女2，女1男1，女1男2，女1女2，女2男1，女2男2，女2女1．（2）解：由（1）可知其中所选2人都是男生的结果有2种，所选2人都是男生的概率为．3．（2023上·山东枣庄·九年级统考期末）设，是一元二次方程的两个根．利用根与系数的关系求下列各式的值：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求解．（2）根据完全平方公式变形，即可求解．【详解】（1）解：∵，是一元二次方程的两个根∴，∴，（2）解：∵，∴．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，．4．（2023上·吉林白山·九年级校联考期末）如图，点P是反比例函数的图象上的一点，过点P作轴于点A，连接，的面积为6．(1)求反比例函数的解析式；(2)若，点B是反比例函数上的点，当时，直接写出点B的坐标．【答案】(1)(2)【分析】本题考查反比例函数的图象和性质：（1）设点P的坐标为，根据的面积为6列式求解；（2）设点B的坐标为，则，由此可解．【详解】（1）解：设点P的坐标为，则，，的面积为6，，解得，反比例函数的解析式为；（2）解：设点B的坐标为，，，，解得，，点B的坐标为．5．（2023上·吉林白山·九年级校联考期末）有3张卡片，正面分别印有“祖”（用字母A代替）、“国”（用字母B代替）、“强”（用字母C代替）的字样，卡片的形状、大小、质地等都相同，放在一个不透明的盒子中，将卡片洗匀．先从盒子中随机取出一张卡片，记录后不放回，再从剩余的卡片中随机取出一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求取出的两张卡片恰好组成“祖国”的概率．【答案】【分析】本题考查列表法与树状图法，画树状图得出所有等可能的结果数以及取出的两张卡片恰好组成“祖国”的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】解：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中取出的两张卡片恰好组成“祖国”的结果有：，共有2种，∴取出的两张卡片恰好组成“祖国”的概率为．6．（2023上·甘肃平凉·九年级校考期末）如图，是的直径，，．连接交于D．(1)求证：是的切线；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析；(2)．【分析】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理；解题关键是熟练掌握切线的判定方法．（1）先由求出，再根据三角形内角和求出，即可得出结论；（2）先求出半径，再根据勾股定理即可求出，得出．【详解】（1）证明：∵，∴，∴，即，∴是的切线；（2）解：由（1）可知，，∵是的直径，∴，∴，∴．7．（2023上·广东汕头·九年级校联考期末）如图，在，，的平分线交于点，过点作直线的垂线交于点，是的外接圆．(1)求证：是的切线；(2)过点作于点，求证：平分；(3)求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质与判定，圆切线的判定，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．（1）如图，连接，由，得到，则是圆O的直径，可以推出，由平分，得到，则，可证，由此即可证明；（2）由，，推出，再由，，即可得到，则平分．（3）连结DE，先根据AAS证明，再由全等三角形的对应边相等即可得出．【详解】（1）解：如图，连接．，是圆的直径，，平分，，，，是的切线．（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴平分．（3）解：如图，连结．是的平分线，于，于，．，，，．8．（2023上·陕西榆林·九年级校考期末）“靠山吃山，靠水吃水”，金丝峡景区的人民依靠制作手工艺品也走出了一条致富路，其经营模式一般为生产组的产品由商店代理销售．(1)据调研发现，竹制品生产组今七月份共生产1000套“竹编篮”，为增大生产量，该生产组平均每月生产量增加，则该生产组在九月份能生产多少套“竹编篮”?(2)已知某商店代理销售“竹编篮”平均每天可销售50套，每套盈利22元，在每套降价幅度不超过6元的情况下，每下降1元，则每天可多售4套.如果每天要盈利1160元，每套应降价多少元?【答案】(1)该生产组在九月份能生产1440套“竹编篮”(2)每套应降价2元【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）利用竹制品生产组在九月份生产的“竹编篮”数量=七月份生产的“竹编篮”数量×，即可求出结论；（2）设每套“竹编篮”降价元，则每套盈利元，平均每天可售出套，利用该商店每天销售“竹编篮”获得的利润=每套的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【详解】（1）解：（套），答：该生产组在九月份能生产1440套“竹编篮”；（2）解：设每套“竹编篮”降价元，则每套盈利元，平均每天可售出套由题意，得，整理，得，解得，（不符合题意，舍去）.答：每套应降价2元.9．（2023上·河南商丘·九年级商丘市第六中学校考期末）如图，在等边中，点是边上一点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转后得到，连接．求证：(1)；(2)．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平行线的判定，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平行线的判定是解此题的关键．（1）由旋转可知，，由等边三角形的性质可得，进而可得，根据全等三角形的判定可得结论；（2）由可得，进而可得，结合平行线的判定可得．【详解】（1）证明：由旋转可知，，是等边三角形，，，，即，；（2）证明：由（1）知，，，，，．10．（2023上·辽宁盘锦·九年级校考期末）某市共有一中、二中、三中等3所高中，有一天所有高二学生参加了一次数学测试．阅卷后老师对第10题进行了分析，把每个学生的解答情况归结为下列四类情况之一：（概念错误）；（计算错误）；（基本正确），但不完整；（完全正确），各校出现这四类情况的人数分别占本校高二学生数的百分比如下面的条形统计图．已知一中高二学生有400名，这三所学校之间高二学生人数的比例见扇形统计图如图所示．(1)求全市高二学生总数；(2)求全市解答完全正确的高二学生数占高二学生总数的百分比；(3)请你对三中高二数学老师提一个值得关注的数学建议，并说明理由．(4)从一中四名学生中选两人参加选拔赛，、、、四人中为男生其它是女生，用画表格或树状图的方式分析，求选择两人都是女生的概率．【答案】(1)(2)(3)建议三中高二数学老师要关注学生的概念学习，理由见解析(4)【分析】本题考查了扇形统计图及统计表的知识，难度一般，注意掌握在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与的比；（1）用一中高二学生除以其圆心角占的比例可得；（2）先求出二中、三中的人数，再求出全市解答完全正确的高二学生数，据此计算可得答案；（3）根据条形统计图给出合理建议即可；（4）画表格求解；【详解】（1）全市高二学生总数为人；（2）二中的人数为人，三中的人数为人，则全市解答完全正确的高二学生数为，所以全市解答完全正确的高二学生数占高二学生总数的百分比为；（3）建议三中高二数学老师要关注学生的概念学习，因为三中学生出现概念错误的学生百分比达到，而一中、二中分别只有．（4）列表如下：MNPQMNPQ由表格可知，共有12种情况，都是女生的情况有6种情况，故选择两人都是女生的概率是．11．（2023上·山西长治·九年级校联考期末）为了了解学生对围棋、象棋、军棋、跳棋、五子棋五项活动的喜爱情况，学校随机调查了一些学生，已知每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题．(1)本次被调查的学生有______名，请补全条形统计图．(2)求扇形统计图中“五子棋”对应的扇形的圆心角度数．(3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生围棋比赛，请用列表法或画树状图法求甲同学和乙同学同时被选中的概率．【答案】(1)100，补全图形见解析(2)(3)【分析】本题主要考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图．（1）用选择“围棋”的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数；求出选择“象棋”的人数，再补全条形统计图即可．（2）用选择“五子棋”的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以即可．（3）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】（1）本次被调查的学生人数为（名）．选择“象棋”的人数为（名）．补全条形统计图如下：（2）扇形统计图中“五子棋”对应的扇形的圆心角度数为．故答案为：．（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，∴甲和乙同学同时被选中的概率为．12．（2023上·河南郑州·九年级校考期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象直接写出时，x的取值范围；(3)求的面积．【答案】(1)一次函数的解析式是，反比例函数的解析式是(2)(3)8【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式即可求得的值，进而可得反比例函数解析式，然后把代入即可求得m的值，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可；（2）数形结合求解即可；（3）求出点C的坐标，根据，计算求解即可．【详解】（1）解：将代入得，，解得，，∴反比例函数解析式为，将代入得，，即，将，代入得，，解得，，∴一次函数解析式为；（2）解：由题意知，的解集为一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的的取值范围，∴由图象得：的解集为；（3）解：当时，，即，∴，∴的面积为．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数解析式，一次函数解析式，直线与坐标轴的交点，数形结合求不等式的解集等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数的综合，数形结合求不等式的解集是解题的关键．13．（2023上·陕西榆林·九年级校考期末）如图，一次函数的图象交x轴、y轴于点P，Q，且与反比例函数的图象相交于点和点，过点A作于点C．

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)求四边形的面积；(3)直接写出当时，关于x的不等式的解集．【答案】(1)；(2)5.5(3)或【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与几何的综合，由图像法解不等式．利用数形结合的思想是解题关键．（1）把点B的坐标代入，即可求出k，然后把代入反比例函数解析式，求出n的值，最后把A、B的坐标代入求解即可；（2）先求出P、Q的坐标，然后根据求解即可；（3）根据求当时，关于x的不等式的解集，即求当时，函数的图像在函数的图像上方（包括交点）时，x的取值范围，再结合图像即可得出答案．【详解】（1）解：∵点在函数的图象上，∴，∴反比例函数的表达式为．∵点在上，∴，∴．∵的图象经过点，，∴解得∴一次函数的表达式为；（2）解：∵，∴当时，；当，，∴点，，∴，∴；（3）解：当时，关于x的不等式的解集为或．14．（2023上·吉林·九年级校考期末）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)当时，①求线段的长；②点P为反比例函数图象上一动点，若面积为，直接写出P点坐标．

【答案】(1)，(2)①，②或【分析】（1）将，分别代入，，计算求解可得，进而可得函数表达式；（2）①由题意知，B，C的纵坐标为1．将代入，，求的横坐标，然后求线段长度即可；②设，则，计算求解，然后作答即可．【详解】（1）解：将代入得，，解得，，将代入得，，解得，，∴反比例函数为，一次函数为；（2）①解：∵于点D，∴轴．∵，∴B，C的纵坐标为1．将代入得，，解得，，∴；将代入得，，解得，，∴，∴；②解：设，∵，∴，解得，或，∴点坐标为或．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数、反比例函数解析式，反比例函数与几何综合．熟练掌握一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合是解题的关键．15．（2023上·甘肃平凉·九年级校考期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．(1)分别求一次函数与反比例函数的解析式；(2)根据所给条件，请直接写出时x的取值范围．(3)过点B作轴，垂足为C，求．【答案】(1)一次函数的解析式为：；反比例函数的解析式为：(2)或(3)5【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．（1）由一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．首先求得反比例函数的解析式，则可求得B点的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；（2）根据图象，观察即可求得答案；（3）因为以为底，则边上的高为，所以利用三角形面积的求解方法即可求得答案．【详解】（1）∵点在的图象上，∴，∴反比例函数的解析式为：，∵在反比例函数图象上，∴，∴∵，两点在上，∴，解得：，∴一次函数的解析式为：；（2）由图象得，当时x的取值范围或，（3）以为底，则边上的高为，∴16．（2023上·山东济南·九年级统考期中）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t．(1)______，______，______；(2)t为何值时的面积为？(3)t为何值时的面积最大？【答案】(1)，，(2)当秒或4秒时，的面积是；(3)当为3时的面积最大，最大面积是【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的几何应用，利用数形结合的思想是解答本题的关键．（1）由题意可直接利用t表示出，和；（2）由三角形的面积公式可求出，结合题意即得出关于t的方程，解出t即可；（3）由（2）可知，再变形为顶点式，结合二次函数的性质即可解答．【详解】（1）根据题意得：，，∴，（2），解得：或4，∵，，∴，∴或4都符合题意，∴即当秒或4秒时，的面积是；（3）由（2）可知，∵，，∴当为3时的面积最大，最大面积是．17．（2023上·陕西渭南·九年级校考期末）如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为，靠墙一面不用篱笆），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃（中间的篱笆把长方形花圃分成两个小长方形），为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门．(1)设花圃的宽长为，请你用含的代数式表示的长为______m；(2)若围成的花圃总面积是，求此时花圃的宽．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是用未知数表示出线段的长度．（1）花圃的宽长为，由上用其他材料造了宽为1米的两个门，故长边为．（2）根据长方形的面积公式列方程求解即可．【详解】（1）长边为．故答案为：；（2）设花圃的宽为米，有题意可得：解得：，，∴当时，，不符合题意舍去，当时，，满足题意，答：花圃的长为9米，宽为5米．18．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）如图，是的外接圆，是的直径，．(1)求证：是的切线；(2)若于点，交于点，且，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了圆的切线的判定定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定等，熟练掌握性质或定理是解决此类题的关键．（1）连接，由是的直径得到，进一步得到，再根据已知条件，且即可证明进而求解；（2）证明，再由，得到，进而得到，得到，进而得到的长．【详解】（1）证明：连结∵，∴，∵是的直径，∴，∴，∴，又，∴，∴是的切线；（2）解：∵，，∴，∵，∴，∴，又，∴∴，又，∴，即的长为．19．（2023上·黑龙江佳木斯·九年级统考期末）如图，中，为边上一点，以为直径作是的切线，过点作交的延长线于点，交于点，连接．(1)求证：平分；(2)求证．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查切线的性质、平行线的性质、四点共圆、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．（1）连接，由切线的性质和已知条件，证，得，由得，进而得，即可证得；（2）连接，由切线的性质可得，根据垂直于同一条直线的两直线平行可得，由平行线的性质可得，由等边对等角可得，，进而可得，根据四点共圆可知，于是即可通过证明；【详解】（1）证明：如图，连接．是的切线，．，．．，．．平分．（2），．，．四边形是的内接四边形，,,20．（2023上·湖南衡阳·九年级校考期末）如图，以的边为直径作，交边于点D，为的切线，弦于点F，连接．(1)求证：．(2)若点F为中点，且，求线段的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了切线的定义，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．（1）根据切线的定义得出，进而得出，则，根据圆周角定理得出，即可求证；（2）根据中点的定义得出，则，再根据勾股定理得出，最后根据垂径定理得出，即可求解．【详解】（1）证明：∵为的切线，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（2）解：连接，∵点F为中点，且，∴，∴，根据勾股定理可得：，∵，∴．21．（2023上·天津红桥·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，为原点，点，点，点在的正半轴上，且，以点为中心，顺时针旋转，得，点，的对应点分别为，，记旋转角为，其中．

(1)如图，当时，求点，的坐标；(2)如图，当时，分别与，相交于点，，与相交于点，求此时与重叠部分的面积；(3)连接，设线段的中点为，求点的纵坐标的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】(1)，；(2)；(3)．【分析】（）由点，点，则，利用旋转的性质，，再由勾股定理即可求解；（）先证明四边形为正方形，通过性质可证，再利用即可；（）取中点，连接，则可知点在以点为圆心，长度为半径的圆上运动，通过角所对直角边是斜边的一半即可求解；此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，角所对直角边是斜边的一半，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．【详解】（1）∵点，点，∴，∵点在的正半轴上，，∴，，∴，得，

在中，由，解得，∴，，∵是由旋转得到的，∴，，∵，∴点在轴上，点为的中点，∴的坐标为，点的坐标为；（2）由，得，∵，，∴四边形为正方形，∵，∴，∴，∴，

在中，由，，解得，∴；（3）如图，取中点，连接，

∵为中点，∴，∴点在以点为圆心，长度为半径的圆上运动，则如图，当轴时，

由（）得：，∴，∴，，∴点的纵坐标的取值范围．22．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）综合与探究如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上存在一点，使得的值最小，求此时点的坐标为__________；(3)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线把的面积分成两部分，使，请求出点的坐标；(4)若为抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)(4)存在，或【分析】（1）利用待定系数法求解可得；（2）点和点是关于函数对称轴的对称点，连接交抛物线的对称轴于点，点即为所求，求解即可；（3）设点，则点，由可得，即，求解即可得出答案；（4）分两种情况：当为斜边时；当为斜边时，分别求解即可．【详解】（1）解：将，代入中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）解：在中，令，则，，设直线的解析式为：，将，代入可得：，解得：，直线的解析式为：，抛物线的对称轴为直线，点和点是关于函数对称轴的对称点，如图，连接交抛物线的对称轴于点，，由轴对称的性质可得：，，则点即为所求，在中，当时，，，故答案为：；（3）解：设点，则点，∵∴，即解得：或（不符合题意，舍去），经检验，是原方程的解，∴；（4）解：设，，，，，，当为斜边时，，即，解得：，此时，当为斜边时，，即，解得：，此时；综上所述，点的坐标为或．【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，点的对称性、图形的面积计算，勾股定理，直角三角形的性质等，理解坐标与图形性质，学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题是解题的关键．23．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点，顶点为．(1)如下图，若，连接、，当时，求的值；(2)如下图，若，直线交轴于点，连接、，求的值；(3)如下图，若，抛物线在第一象限的部分上有一点，连接交轴于点，过点作于，过点作轴于点，交于点，点在上，，连接、，当时，求点的坐标．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）分别过点B，D作轴于B，轴于E，交于点F，求出，，，，然后得到，，，，证明，则，，即可求解；（2）过D作轴于Q，证明出，，得到，求出，然后得到，，进而求解即可；（3）时，，分别求出，，，设，则有，，，由可求出，过作于点Q，证明四边形是正方形和得出，从而可得结论．【详解】（1）如图1，分别过点B，D作轴于B，轴于E，交于点F∴，∵，∴，令．则，∴，当时，，解得，，，∴，，∴，，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴；（2）过D作轴于Q，∴，∴，∴，∴，由（1）知，，∴，，，∴，∴，由（1）知，，∴，∴，，∴，，∴；（3）∵，令时，，令时，，∴，，∴，，设，∴，，，∵，轴，∴又，∴，∴，∴，∴，，∴，过作于点Q，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形，∴，∵，，∴，∴∴，∴．∴．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式、两点间距离，全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、面积的计算等，其中（3），证明是本题解题的关键．24．（2023上·吉林白山·九年级校联考期末）抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C，连接．点P是线段下方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交于M，交x轴于N，设点P的横坐标为t．(1)求该抛物线的解析式；(2)用关于t的代数式表示线段，求的最大值及此时点M的坐标；(3)过点C作于点H，，①求点P的坐标；②连接，在y轴上是否存在点Q，使得为直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)①，②或【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案；（2）运用待定系数法求得直线的解析式为，设，则，可得，运用二次函数最值即可求得答案；（3）①根据题意建立方程求解即可得出答案；②设，根据，分两种情况：当时，当时，分别求得点Q的坐标即可．【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和，∴，解得：，∴该抛物线的解析式为；（2）解：在中，令，得，，设直线的解析式为，则，解得：，∴直线的解析式为，设，则，，，，∴当时，取得最大值2，此时点M的坐标为；（3）解：①如图1，，，，，解得：，∵点P是线段下方抛物线上的一个动点，，，②存在点Q使得为直角三角形，设，，，当时，如图2，轴，；当时，如图3，在中，，，解得：，；综上所述，点Q的坐标为或．【点睛】本题是二次函数综合题，重点考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，三角形面积，直角三角形的性质，勾股定理，应用二次函数的最值等，此题综合性较强，属于考试压轴题．25．（2023上·吉林·九年级吉林松花江中学校考期中）如图，在中，，，，是的中线，动点P从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时，动点Q从点A出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，过点Q作于点E，连接，设四边形与重叠部分图形的面积为，点P的运动时间为t秒．(1)的长为（用含t的代数式表示）；(2)四边形的形状是（不需证明）；(3)求S与t之间的函数关系式；(4)当S的值为时，直接写出t的值．【答案】(1)或(2)平行四边形(3)(4)2或【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质可得，进而可得，再分点Q在上和点Q在上两种情况，分别列代数式；（2）通过证明，，可证四边形是平行四边形；（3）点Q在上时，，当点Q在上时，；（4）把S的值代入（3）的解析式中即可解答．【详解】（1）解：，，，，是的中线，，当点Q在上时，，当点Q在上时，，故答案为：或；（2）解：如图，由题意知，，，，，，，，，，，四边形的形状是平行四边形；故答案为：平行四边形；（3）解：，，，又，是等边三角形，分两种情况：当点Q在上时，，如下图所示，作于点M，则，，，由（2）知四边形的形状是平行四边形，，，，，是等边三角形，，，；当点Q在上时，，如下图所示，同理可得，综上可知，；（4）解：将代入，得：，解得或；将代入，得：，解得（舍）或（舍）；综上可知，t的值为2或．【点睛】本题属于三角形上的动点问题，考查二次函数，直角三角形的性质，平行四边形的判定，等边三角形的判定与性质等知识，熟练运用数形结合和分类讨论思想是解题的关键．26．（2023上·吉林长春·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．直线与这条抛物线交于A、两点．点在这条抛物线上，点的横坐标为．(1)根据题意，这条抛物线与轴的交点坐标为______．(2)求这条抛物线的表达式．(3)求、两点的坐标．(4)若为直线上一点，且直线轴．设、两点之间的距离为，当随的增大而减小时，直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)(3)，(4)或【分析】（1）在二次函数解析式中，令，得，即得抛物线与轴的交点坐标；（2）运用顶点坐标公式建立方程组，求出a、b的值，即可求解；（3）解二次函数解析式与一次函数解析式组成的方程组，即可求解；（4）根据题意可知，，得，再分两种情况：当时，得；当或时，，结合二次函数的性质即可求解．本题主要考查了二次函数与一次函数综合．熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，求二次函数图象与y轴交点坐标，求二次函数图象与一次函数图象交点坐标，二次函数的增减性，分类讨论，是解决问题的关键．【详解】（1）中，当时，．∴抛物线与轴的交点坐标为．故答案为：．（2）∵抛物线的顶点为，∴．解得，．∴．（3），∴．解得，．∴，．∴，．（4）∵为直线上一点，且直线轴，点的横坐标为，∴，，∴．当时，，∴，∴当时，d随m的增大而减小．∴．当或时，，∴．∴当时，d随m的增大而减小．∴．综上，当随的增大而减小时，的取值范围是或．27．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）综合与实践问题情境如图1，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为C），延长交于点F，连接．解决问题请根据图1完成下列问题：（1）若，则______度；（2）试判断四边形的形状，并给予证明．拓展探究（3）如图2，若，请直接写出线段与的数量关系；（4）如图1，若，则的长为______【答案】（1）58；（2）四边形是正方形，证明见解析；（3）；（4）【分析】（1）根据旋转的性质，即可求解；（2）先证明四边形是矩形，再证明有一组邻边线段即可得证；（3）过点D作，垂足为Q，得证，再证明，结合旋转性质，得到，得到，得证．（4）过点D作，垂足为M，证明，结合旋转性质，得到，得到，设，可得，再根据勾股定理，求得x的值，即可．【详解】解：（1）由旋转的性质得：；故答案为：58（2）四边形是正方形，证明如下：由旋转的性质得：，∴，又，，∴四边形是矩形，又，∴四边形是正方形；（3）解：如图，过点D作，垂足为Q，∵，．∵四边形是正方形，∴，．∵，，，∴，，∴．∵将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为C），∴，∴，，∵四边形是正方形，∴，，；（4）解：过点D作，垂足为M，

∵四边形是正方形，∴．，∵，，，∴，，根据旋转的性质，得∶，∴，，设，∵四边形是正方形，，∴，，∵，∴，解得：或（舍去），∴，∴；【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键．28．（2023上·陕西榆林·九年级校考期末）如图1，在正方形中，E，F分别是，上的两点，且．(1)求的度数；(2)如图2，作的平分线交的延长线于点G，连接．求证：．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）结合正方形性质，将绕点A顺时针旋转到，得到，，，，推出，M、B、E在同一条直线上，，推出，得到；（2）过点G作于N，根据旋转和（1）中全等三角形性质得到，根据角平分线定义得到，推出，根据，推出，运用推出，得到，，推出，得到，推出．本题主要考查了正方形，全等三角形，旋转，等腰直角三角形等．熟练掌握正方形的边角性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，以及等腰直角三角形的边角性质，作辅助线构建全等三角形，是解决问题的关键．【详解】（1）∵四边形为正方形，∴，，将绕点A顺时针旋转得到，如图1所示，则，∴，∵，∴∴M、B、E在同一条直线上，∵，∴，∵，∴，∴；（2）过点G作于N，如图2，则，∵平分，∴，由(1)知，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴．29．（2023上·四川达州·九年级校考期末）如图，在