高考第一轮复习讲义 第25讲 简单的三角恒等变换（原卷版+解析版 ）

第25讲简单的三角恒等变换学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则的值不可能是（

）A． B． C．0 D．22．（2022·全国·高三专题练习（理））若角顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边在直线上，则（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·高三专题练习）已知角为锐角，角为钝角，且，则（

）A． B． C． D．4．（2022·北京·101中学高三开学考试）在中，“”是“为钝角三角形”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．（2022·全国·高三开学考试（文））函数的最大值为(

)A．2 B．3 C．4 D．56．（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）若将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数在区间上无极值点，则的最大值为（

）A． B． C． D．7．（2022·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝2sinx＋cosx在[0，α]上是增函数，则当α取最大值时，sin2α的值等于（

）A． B． C． D．8．（2022·上海长宁·二模）已知函数满足：．若函数在区间上单调，且满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．9．（多选）（2022·河北·张家口市第一中学高三阶段练习）已知函数，则（

）A．的最小正周期为 B．是曲线的一个对称中心C．是曲线的一条对称轴 D．在区间上单调递增10．（多选）（2022·全国·高三专题练习）在中，角、、的对边分别为、、，且满足，则下列结论可能成立的是（

）A． B． C． D．11．（2022·江苏泰州·模拟预测）若时，取得最大值，则______．12．（2022·河北·衡水第一中学高三阶段练习）函数的最小值为________.13．（2022·全国·高三专题练习）若，则__________．14．（2022·全国·高三专题练习）已知是方程的两根，且，则的值为________.15．（2022·北京朝阳·一模）某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地，其中在上，，垂足为，，垂足为，设，则___________（用表示）；当在上运动时，这块三角形绿地的最大面积是___________.16．（2021·浙江·高考真题）设函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值.17．（2022·浙江·高三专题练习）设函数.(1)求函数单调递增区间；(2)求函数在区间上的最值.18．（2022·浙江绍兴·高三期末）已知函数.(1)若对于任意实数恒成立，其中，求的值；(2)设函数，求在区间上的取值范围.【素养提升】1．（2022·四川眉山·三模（文））已知函数，当时，的值域为(

)A．(-1，1) B．(0，1) C．(-1，0) D．2．（2022·全国·高三阶段练习）已知，，是三个互不相同的锐角，则在，，三个值中，大于的个数最多有（

）个A．0 B．1 C．2 D．33．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））已知函数，以下结论错误的是(

)A．π是的一个周期 B．在区间单调递减C．是偶函数 D．在区间恰有两个零点4．（2022·全国·高三专题练习）在中，已知，其中（其中），若为定值，则实数的值是（

）A． B． C． D．5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，周期，，且在处取得最大值，则使得不等式恒成立的实数的最小值为（

）A． B． C． D．6．（2022·河北保定·二模）已知，则的取值范围为___________.7．（2022·全国·高三专题练习）如图，正三角形内有一点，，，连接并延长交于，则___________.8．（2022·全国·高三专题练习）已知中，则则最小值是___________.第25讲简单的三角恒等变换学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则的值不可能是（

）A． B． C．0 D．2【答案】D【解析】．，故选：D2．（2022·全国·高三专题练习（理））若角顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边在直线上，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为角终边在直线上，所以，∴．∴．故选：C.3．（2022·全国·高三专题练习）已知角为锐角，角为钝角，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：因为为锐角，，所以，因为为钝角，所以，若，则，不符题意，所以，又，所以，所以.故选：D.4．（2022·北京·101中学高三开学考试）在中，“”是“为钝角三角形”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析为钝角三角形.∴在中，“”是“为钝角三角形”的充要条件.故选：C.5．（2022·全国·高三开学考试（文））函数的最大值为(

)A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】∴f(x)最大值为5，故选：D.6．（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）若将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数在区间上无极值点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，所以将函数的图象向左平移个单位，可得，令，解得即函数的单调递增区间为，令，可得函数的单调递增区间为，又由函数在区间上无极值点，则的最大值为.故选：A.7．（2022·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝2sinx＋cosx在[0，α]上是增函数，则当α取最大值时，sin2α的值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】f(x)＝sin(x＋φ)，其中tanφ＝，且φ∈，由＋2kπ≤x＋φ≤＋2kπ，k∈Z，得－φ＋2kπ≤x≤－φ＋2kπ，k∈Z，当k＝0时，增区间为，所以αmax＝－φ，所以当α取最大值时，sin2α＝sin2＝sin2φ＝.故选：A8．（2022·上海长宁·二模）已知函数满足：．若函数在区间上单调，且满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，因为，所以当时，取得最大值，即所以，即因为，所以的中点是函数的对称中心，由，得所以，所以易知，当时取得最小值.故选：C9．（多选）（2022·河北·张家口市第一中学高三阶段练习）已知函数，则（

）A．的最小正周期为 B．是曲线的一个对称中心C．是曲线的一条对称轴 D．在区间上单调递增【答案】ACD【解析】，，A对．是曲线的一个对称中心，B错．，，，时，，∴是的一条对称轴，C对．，，，∴在上单调递增，D对．故选：ACD.10．（多选）（2022·全国·高三专题练习）在中，角、、的对边分别为、、，且满足，则下列结论可能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】因为，所以，，所以，，即.所以，或，，或.故选：AD.11．（2022·江苏泰州·模拟预测）若时，取得最大值，则______．【答案】【解析】（其中，），当取最大值时，，∴，∴．故答案为：12．（2022·河北·衡水第一中学高三阶段练习）函数的最小值为________.【答案】【解析】，令，则，故，所以当时，故答案为：13．（2022·全国·高三专题练习）若，则__________．【答案】【解析】解：由得，整理得，即，故答案为：14．（2022·全国·高三专题练习）已知是方程的两根，且，则的值为________.【答案】【解析】∵是方程的两根，∴，∴.又，∴，∵，∴，∴，∴.故答案为：.15．（2022·北京朝阳·一模）某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地，其中在上，，垂足为，，垂足为，设，则___________（用表示）；当在上运动时，这块三角形绿地的最大面积是___________.【答案】

米

平方米.【解析】在中，，AP=60米，∴（米），在中，可得，由题可知，∴的面积为：，又，，∴当，即时，的面积有最大值平方米，即三角形绿地的最大面积是平方米.故答案为：米；平方米.16．（2021·浙江·高考真题）设函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值.【解】（1）由辅助角公式得，则，所以该函数的最小正周期;（2）由题意，，由可得，所以当即时，函数取最大值.17．（2022·浙江·高三专题练习）设函数.(1)求函数单调递增区间；(2)求函数在区间上的最值.【解】(1)，当，即时是单调递增区间；(2)，因为，所以，所以当时单调递减，当时单调递增，，最大值在区间的两个端点中的一个，，，故最小值为，大值是；综上，的单调递增区间为，的最大值为，最小值为.18．（2022·浙江绍兴·高三期末）已知函数.(1)若对于任意实数恒成立，其中，求的值；(2)设函数，求在区间上的取值范围.【解】(1)解：由，即恒成立，∴恒成立,或恒成立，由于不可能恒成立，∴恒成立,即恒成立，又∵，∴.(2)解：,当时，,∴,∴,即在区间上的取值范围是区间.【素养提升】1．（2022·四川眉山·三模（文））已知函数，当时，的值域为(

)A．(-1，1) B．(0，1) C．(-1，0) D．【答案】C【解析】，，，，，，．故选：C．2．（2022·全国·高三阶段练习）已知，，是三个互不相同的锐角，则在，，三个值中，大于的个数最多有（

）个A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】因为，，是三个互不相同的锐角，所以，所以在，，三个值中，不会全部大于，若令，，，则，，所以大于的个数最多有2个.故选：C3．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））已知函数，以下结论错误的是(

)A．π是的一个周期 B．在区间单调递减C．是偶函数 D．在区间恰有两个零点【答案】B【解析】，故A正确；当时，，=，则在上，，，，f(x)递减，在上，，，，f(x)递增，故f(x)在上不单调，故B错误；定义域为R，且：，，∴，故是偶函数，故C正确；当，，则在区间无零点，∵在上单调递减，，，由零点存在定理可知在上有且仅有一个零点，同理可证在上有且仅有一个零点，综上，在区间恰有两个零点，故D正确．故选：B.4．（2022·全国·高三专题练习）在中，已知，其中（其中），若为定值，则实数的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，可得，，因为，得，即，又由（定值），即，即恒成立，可得，解得，.故选：A．5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，周期，，且在处取得最大值，则使得不等式恒成立的实数的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，其中，处取得最大值，，即，，，①，，，，，②，①②得，，即，解得，（舍去），由①得，，，在第一象限，取，，由，即，，，，，使最小，则，即，若不等式恒成立，则，故选：B6．（2022·河北保定·二模）已知，则的取值范围为___________.【答案】【解析】解：因为，所以，即.设函数，则，因为，