小学数学难题解法大全-第三部分-常用解题方法(二-一)一般解题方法

小学数学难题解法大全第三局部常用解题方法〔二之一〕一般解题方法〔一〕一般解题方法【图示法】解答竞赛题时，尽管题目内容复杂多变，或者条件十分抽象，但可以用图形〔线段图、直观图、示意图〕把题中的条件和问题形象、具体地表示出来，以帮助我们揭示数量关系，正确地找到解答方法。这种解题方法就是图示法。的服装3套，那么剩下16.1米。这段布料全长多少米？分析：根据题意先画图观察〔如图3.1〕。可知：做1套服装所用布料占这段布料的：做3套服装所用布料占这段布料的：剩下的布料16.1米的对应分率是：由此可求出这段布料全长多少米。答：这段布料全长24.5米。例2把一个长方体的高减少4厘米，就得到一个底面不变的正方体，它的外表积比原来减少了112平方厘米。这个正方体的体积是多少？分析：这是一道比拟抽象的图形的求积题，需要有一定的空间想象能力。通过画图〔如图3．2〕，可以帮助理解两个关键问题。一是把长方体的高减少4厘米后，得到一个底面不变的正方体，这个正方体的六个面都是正方形。二是长方体变成正方体后，它的外表积减少的局部是以4厘米为高的这个长方体的侧面积〔而不含阴影局部的面积〕。根据条件，可知将这个侧面积展开是一个宽4厘米、面积为112平方厘米的长方形，由此可求出它的长，也就是得到的正方形的一个面的周长。112÷4＝28〔厘米〕那么正方体的棱长为：28÷4＝7〔厘米〕由此可求出正方体的体积。解：〔112÷4÷4〕3＝7×7×7＝343〔立方厘米〕答：这个正方体的体积是343立方厘米。例3在边长是6米的正方形花圃四周由里向外铺上三圈水泥砖，形成一个大的正方形，这种水泥砖每块是边长30厘米的正方形，共需要这种水泥砖多少块？〔中南地区小学数学竞赛试题〕分析：此题是一道空心方阵问题。根据方阵里外相邻两层每边数相差2的特点，可求出方阵最里层每边有方砖是600÷30＋2＝22〔块〕，因为是3层，所以最外层每边有方砖是22＋2×〔3－1〕＝26块。由题意画一个空心方阵图〔如图3．3〕，阴影局部表示方砖数，把这个图的阴影局部划分成相等的四个小块，只需求出一小块里面有多少块砖，便可求出一共有多少块砖。解：〔26－3〕×3×4＝276〔块〕答：共需方砖276块。例4一组割草人去两块草地割草，他们的工效都相等。大的一块草地比小的一块大一倍。上午全组人都在大的一块草地割草，下午一半人留在大草地上，到黄昏时把草割完。另一半人就到小草地上去割，到黄昏时还剩下一块，这一块假设由一个人去割，正好一天可以割完。问全组共有多少名割草人？分析：这是一道俄国名题，乍看起来数量关系比拟复杂，假设根据题意先画一个图，题意就一目了然了。先画一个长方形表示大的一块草地，连着这个长方形再画一个面积是它的一半的小长方形，表示小的一片草地，如图3．4所示。答：全组共有8名割草人。例5AB两站从6：00—19：00，每隔10分钟有一辆公共汽车同时相对开出。从A站到B站与从B站到A站运行的时间均为50分钟。现有一辆汽车上午9点出发从B站开往A站，问这辆汽车在运行途中遇到多少辆从A站开往B站的汽车？〔“运行途中〞是指出站后至进站前所经过的路段。〕分析与解答：考虑问题时应想到这辆从B站开往A站的车，在出发前A站已每隔10分钟向B站发车，那么这辆车在运行途中会遇到多少辆从A站开往B站的车呢？可用图示法解答。分别从AB两站画两条平行的时间轴，每两点之间的线段表示一个时间段〔10分钟〕。汽车9点从B站开出，9点50分到达A站，在B轴上用“0〞表示发车时间，A轴上用5表示到达时间，AB两站相对开出的车辆用斜线表示。这样一来，就把所求的问题转化成“0—5〞连线与多少条斜线相交的问题。如图3.5所示。由图可知，这辆汽车在运行途中，遇到了9辆从A站开往B站的汽车。注：这类问题经常被称为“柳卡问题〞，这是因为法国数学家柳卡〔也译作“刘卡〞〕在一次国际会议期间最先提出这类问题。在匈牙利，它那么被称为“邮车相遇问题〞，因为匈牙利著名作家卡尔曼·米克沙特所著的名著《奇婚配》中，有一个类似的邮车相遇算题。解这类问题的图，称之为“时间一路程图〞，或称之为“运行图〞。【列表法】解题时把题中的条件进行分类整理，用表格的形式进行有序排列，使条件与条件之间，条件与问题之间的关系条理化、明朗化，有利于探求解题的思路，从而到达解决问题的目的。这种方法就是列表法。例1一个圆的周长是1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行，这两只蚂蚁每秒分别爬行5.5厘米和3.5厘米。它们每爬行1秒、3秒、5秒……〔连续奇数〕，就调头爬行。那么，它们相遇时，已爬行的时间是______秒。〔1992年小学数学奥林匹克初赛试题〕分析：两只蚂蚁是在边进边退中相向爬行，要求出它们相遇的时间，就有一定困难。圆的周长是1.26米〔126厘米〕，半圆的弧长那么是63厘米，两只蚂蚁共同爬行63厘米所用的时间就是它们相遇的时间。两只蚂蚁每秒钟一共爬行了5.5＋3.5＝9〔厘米〕假定两只蚂蚁第1秒钟都往上半圆相向爬行，那么它们共同爬行了9厘米。这时，它们调头向下爬行3秒钟，共爬行了9×3＝27〔厘米〕相对它们出发时的地点下降了27－9＝18〔厘米〕这时，它们又调头问上爬行5秒钟，共行9×5＝45〔厘米〕，相对出发时的地点向上爬行了45－18＝27〔厘米〕依此类推，列出下表：从上表可以看出，在蚂蚁连续向上爬行了13秒钟的时候，正好相遇。这时蚂蚁一共爬行了1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝49〔秒〕答：它们相遇时，已爬行的时间是49秒。分析：根据工作效率＝工作量÷时间，列下表：解：从上表可知师傅与徒弟两人工作效率的比为：答：师傅与徒弟两人工作效率的比是5∶3。例3长方形ABCD周长为16米，在它的每条边上各画一个以该边为长的正方形〔如图3.6〕。这四个正方形的面积的和是68平方米，求长方形ABCD的面积。〔第四届“华罗庚金杯〞少年数学邀请赛复赛试题〕分析：要求长方形ABCD的面积，必须知道长方形的长与宽各是多少，假设用算术方法或列方程解答都比拟难，改用列表法解答那么比拟容易。由“长方形ABCD的周长是16米〞，“四个正方形的面积的和为68平方米〞这两个条件，以及长方形对边相等的性质，可以推出长＋宽＝8〔米〕长2＋宽2＝68÷2＝34〔平方米〕根据推论列表如下：解：分析上表，符合条件的长应该是5米，宽应该是3米，那么长方形ABCD的面积为5×3＝15〔平方米〕答：长方形ABCD的面积是15平方米。例4有假设干只重量相同的箱子共重10吨，且每只箱子的重量不少于1吨。用载重3吨的汽车一次将箱子运走，至少需要__辆车子。〔1993年全国小学生数学竞赛决赛试题〕分析：由“每只箱子的重量不少于1吨〞，每辆汽车“载重3吨〞的条件，可知每一箱子的重量的取值范围是1≤3。由于箱子的只数只能是自然数，根据“假设干只重量相同的箱子共重10吨〞的条件，可知箱子的只数是10、9、8、7、6、5、和4这七种情况。要注意的是，假设每只箱子的重量是1吨，那么共有10只箱子，用3辆汽车每车装3只箱子，就还剩下1只箱子没有运走，故至少要4辆汽车才能一次运完。根据条件和问题，列表解答如下：从上表可知至少要6辆车才能一次将箱子运走。答：至少需要6辆汽车。【假设法】一些题目含有两个或者两个以上的未知数量，其数量关系比拟隐蔽，很难找到解题途径。为了使复杂的数量关系变得单一，使隐蔽的关系变得明朗，我们可以用“假设〞，改变某些条件，或者将某个条件设为。对因假设而产生的差异进行分析推断，并加以调整，从而使问题获得解决。这种解题方法，就是假设法。“假设〞是一种重要的数学思想。列方程解应用题，把未知数设为X；有关倍数应用题，常常假定一个数量为“1倍〞或“1〞份；解答分数、百分数应用题，把一个数量假定为单位“1〞。这些都是假设法的广泛应用。我国古代的“鸡兔同笼〞、“百僧分馍〞等问题，都是用假设法解答的典型应用题。例1在一个停车场上，现有的车辆数是24辆。其中汽车是4个轮子，摩托车是3个轮子，这些车共有86个轮子。那么，三轮摩托车有__辆。〔1992年小学数学奥林匹克初赛试题〕分析：假设这24辆全是汽车，那么有轮子：4×24＝96〔个〕比实际的86个多了：96－86＝10〔个〕可以推断汽车不可能为24辆，对假设要作调整。由于每辆汽车比摩托车多1个轮子，多出的10个轮子就是多将10辆摩托车假定为汽车造成的。因此，摩托车为10÷1＝10〔辆〕解：〔4×24－86〕÷〔4－3〕＝10÷1＝10〔辆〕………………摩托车辆数24－10＝14〔辆〕…汽车辆数答：有三轮摩托车10辆。此题也可以假设这24辆全是摩托车，那么汽车为〔86－24×3〕÷〔4－1〕＝14〔辆〕，摩托车那么为24－14＝10〔辆〕。例2某车站售出汽车月票假设干张。每张学生票6元，每张成人票14元；售出的学生票比成人票多700张，售出的成人票比学生票多收6200元。问售出的成人票与学生票各多少张？分析：假设再售出成人票700张，那么学生票的张数就与成人票的张数同样多，那么成人票又要多收：700×14＝9800〔元〕成人票比学生票一共多收：6200＋9800＝16000〔元〕而每张成人票比学生票要多收14－6＝8〔元〕，16000元里面包含了多少个8元，就是学生票的张数：16000÷8＝2000〔张〕解：〔6200＋700×14〕÷〔14－6〕＝16000÷8＝2000〔张〕……学生票数2000－700＝1300〔张〕……成人票数答：售出学生票2000张，成人票1300张。分析：题中两个分率的单位“1〞〔或标准量〕不统一，解此题的关键是假设哪一个量为单位“1〞。可以假设文艺书的本数为单位“1〞，也可以假设科技书的本数为单位“1〞，还可以假设两种图书的总数为单位“1〞，甚至可以假设两种图书相等的局部为单位“1〞。现在假设科技书的本数为单位“1〞。用分数除法求得文艺书的本数是科技书的几分之几；还可以根据比例的根本性质求得文艺书的本数是科技书的几分之几：这样就找到了文艺书比科技书多120本的对应分率是：＝240〔本〕……………科技书本数120＋240＝360〔本〕…文艺书本数240＋360＝600〔本〕…图书总数答：共购进图书600本。例4某工厂的27位师傅共带徒弟40名。每位师傅可以带一名徒弟、两名徒弟或三名徒弟。如果带一名徒弟的师傅的人数是其他师傅的人数的两倍，那么带两名徒弟的师傅有______位。〔1993年小学数学奥林匹克竞赛试题初赛民族卷〕分析：由带一名徒弟的师傅人数是其他师傅的人数的两倍，可知带两名徒弟与带三名徒弟的师傅总人数是：27÷〔1＋2〕＝9〔名〕9名师傅共带徒弟的人数是：40－1×〔27－9〕＝22〔名〕假设9名师傅每人都带3名徒弟，那么有徒弟的人数是：3×9＝27〔名〕比实际的22名多了：27－22＝5〔名〕可知9名师傅不可能都带三名徒弟，多出的5名徒弟就是多将5名师傅都假设成带了三名徒弟的缘故，其中必有5名师傅是带两名徒弟的。解：〔3×9－22〕÷〔3－2〕＝5〔名〕答：带两名徒弟的师傅有5位。例5甲、乙两地相距480千米。一辆汽车从甲地开往乙地，前3小时行了全程的37.5％，照这样计算，还要几小时到达乙地？分析：如果把汽车行完全程所需的时间假设为单位“1〞，那么行完全程所需的时间为：3÷37.5％＝8〔小时〕那么，还要几小时到达乙地，那么为：8－3＝5〔小时〕像这样巧用假设，使问题解答得十分简捷。解：3÷37.5％－3＝5〔小时〕答：还要5小时到达乙地。例6甲、乙两个小朋友各有糖假设干粒。如果乙给甲16粒，甲的糖就是乙的2倍；如果甲给乙9粒，乙的糖就是甲的3倍。求甲、乙两人原有糖各是多少粒？分析：这道题的数量关系十分隐蔽，很难发现数量间的联系。解题的关键是通过假设找到甲、乙两人糖数间的倍数关系。为了弄清谁是谁的几倍，必须先设甲〔或乙〕原有的糖数为“1倍〞。现在以甲原有的糖数为“1〞倍。假设乙不给甲16粒，仍要使乙的糖数假设甲不给乙9粒，仍要使乙的糖数是甲的3倍，那么乙的糖数应增加9×〔1＋3〕粒。通过分析，可知乙的糖数先后变化之差为：由此可以求出甲原有糖的粒数。〔24＋16〕÷2＋16＝36〔粒〕………………乙答：甲原有糖24粒，乙原有糖36粒。分析：这道题要求的数量有两种，两厂上交税金所取分率的单位“1〞又各不相同，很难找到“量〞与“率〞的对应关系，如果使用“假设〞便能顺利地解决这个问题。比实际上交的税金少了：42－32＝10〔万元〕＝63〔万元〕…………甲厂上交税金112－63＝49〔万元〕……………乙厂上交税金答：甲厂上交税金63万元，乙厂上交税金49万元。例8一个人从县城骑车去乡办厂。他从县城骑车出发，用30分钟行完了一半路程。这时，他加快了速度，每分钟比原来多行50米，又骑了20分钟后，他从路旁的里程标志牌上知道，必须再骑2千米才能赶到乡办厂。求县城到乡办厂之间的路程。〔《小学生数学报》第五届小学生数学邀请赛决赛试题〕分析：此题“用30分钟行完了一半路程〞，但未给出每分钟行多少米，后来“每分钟比原来多行50米〞，究竟后来一分钟的速度是多少，也不可知。所以按条件无法直接求得县城到乡办厂之间的路程。我们可以用假设法使问题得到解决。把全路程看作“1〞，假设后20分钟仍按原速行进，即每分钟不多走50米，那么此人行了30＋20＝50〔分钟〕后，还离乡办厂的路程为：50×20＋2000＝3000〔米〕按照这个假设推出行完全程所需的时间为：30×2＝60〔分钟〕根据速度一定，行走的时间与路程成正比例，可知50分钟所行路程为全所以全程为：＝18000〔米〕答：县城到乡办厂之间的路程是18000米。【转化法】有些问题直接运用所给的条件，很难找到解决问题的线索。这就需要沟通知识之间的内在联系，改变思考方式，恰当地转化题中的数量关系，把隐含的情节和条件转化为明显，把难求的问题转化为熟悉而容易解决的问题。这种思考问题的方法，就是转化法。分析：题中三个分率的单位“1〞都不相同，一般要通过转化，统一单位“1〞。最简单的方法是把全路程看作单位“1〞，把第二和第三小时所行的路程都转化为全程的几分之几。第二小时行的路程是全程的：第三小时行的路程是全程的：30千米的对应分率是：由此可以求得A、B两城相距的路程为：＝240〔千米〕答：A、B两城相距240千米。分析：这道题只从分数应用题的关系去寻求解题的方法，就十分困难。桃树棵树与李树棵树的比，这道题就变成了容易解答的按比例分配的问题。根据条件用下面的等式来表示桃树和李树的数量关系。根据比例的根本性质：两个外项的积等于两个内项的积。可以得到：答：桃树有120棵，李树有64棵。女生少______人。〔1993年小学数学奥林匹克竞赛决赛民族试题〕分析：这是一道较复杂的和倍问题，我们可以通过转化把数量关系变得简单。男生比女生少多少人？〞＝225〔人〕………男生人数465－225＝240〔人〕……………女生人数240－225＝15〔人〕…男生比女生少的人数答：男生比女生少15人。例4甲、乙、丙三人共同加工一批零件，甲比乙多加工零件20只，丙加加工零件______，乙加工零件______，丙加工零件______。〔1993年全国小学数学竞赛预赛试题〕分析：根据条件把乙加工零件的数量看作单位“1〞。由“丙加工零件个等量关系表示为通过对上面两式进行转化，可知甲加工零件数相当于乙加工零件数的得乙加工零件的只数。解：把乙加工的零件数看作是单位“1〞＝40〔只〕……………乙加工零件数40＋20＝60〔只〕…甲加工零件数答：甲、乙、丙三人加工的零件数分别为40只、60只、32只。例5鞋店从批发部以25元的单价购进皮鞋假设干双。按40元一双的零售价卖出，卖出一半又15双时，已将本钱收回。问购进皮鞋多少双？分析：假设按40元一双的零售价卖出一半所收回的钱，那么比本钱差40×15＝600〔元〕而按40元一双的零售价卖出一半收回的钱，就等于以20元一双的售价卖出全部皮鞋所收回的钱，按本钱计算每双皮鞋要亏损25－20＝5〔元〕所以，题目可以转化为“鞋店从批发部以25元的单价购进皮鞋假设干双，假设按20元一双的零售价卖出，那么要亏损600元。问购进皮鞋多少双？〞这样，我们就能从亏损总额和每双的亏损额的对应关系中，求得购进皮鞋的总数。解：40×15÷〔25－20〕＝120〔双〕答：购进皮鞋120双。〔北京市第九届小学生“迎春杯〞数学竞赛决赛试题〕分析：根据分数除法与分数乘法的关系和积的变化规律，将题中某些条件进行转化，此题就能简算。＝100〔1993年全国小学数学竞赛预赛试题〕分析：观察所给数据的特点，根据带分数加法的计算法那么，把每个带分数的整数局部和分数局部拆开，将此题重新组合成为以下算式：再观察分母的特点，每个分数的分母都可以分解为两个连续的自然数相乘。计算时我们先把每个分数的分母写成两个自然数相乘的形式，再把每个分数拆成两个分数相减的形式。这样在计算过程中，加、减可以抵消，使计算变得十分简便，这就是拆项相消法。例8一个四边形的两条边的长度和三个角，如图3．7左所示，那么这个四边形的面积是______。〔1994年小学生数学奥林匹克决赛试题〕分析：运用条件不能直接求得这个四边形的面积。如果将四边形的两条边延长〔图3．7右〕，便得到两个三角形，即△ABC和△ADE。由∠B为直角，∠C＝45°可知△ABC为等腰直角三角形；由∠E是直角，∠A＝∠C，可知△ADE也是等腰直角三角形。要求的四边形的面积就转化为求△ABC与△ADE面积之差。解：7×7÷2－3×3÷2＝24.5－4.5＝20答：这个四边形的面积是20。【对应法】一些应用题的数量之间存在着对应关系。如平均数问题中，总数对应着总份数；正、反比例中，两种相关联的量与两组数值相对应；分数、百分数应用题中，一个量对应着一个分率，即量、率对应。许多应用题，结构复杂，条件变化纷繁，但是找准数量间的对应关系后，就能实现由未知向转化。这种运用对应关系解题的方法，就是对应法。例1学校乒乓球队12人合影留念。普通彩照洗2张的价格是16元，加洗一张0.8元。如果一人得一张照片，平均每人出多少钱？分析：12个人一人要得一张照片，共需12张。12张表示总份数，与之相对应的是12张照片的总价。题中“普通彩照洗2张的价格是16元〞，这16元中已经包含了2张照片的钱数，只需再加上加洗10张的钱，便是12张照片的总价，用付出钱的总数除以相对应的照片的张数，就得到平均每人应付的钱数。解：[16＋0.8×〔12－2〕]÷12＝24÷12＝2〔元〕答：平均每人应付2元。例2水果店把一批桃子放在甲、乙两个筐里。其中甲筐的重量占总数的55％，如果从甲筐取出6千克放入乙筐，这时两个筐里的桃子各占总数的50％。这批桃子共重多少千克？分析：甲筐桃子的重量由原来占总数的55％变成50％，是因为取出了6千克放入乙筐，两个百分率相差5％，正好与6千克相对应，运用这个量、率的对应关系，即可求得这批桃子的重量。解：6÷〔55％－50％〕＝6÷5％＝120〔千克〕答：桃子共重120千克。〔注：也可以用图解法〕例3解放军修一段防洪堤，原方案5月份〔31天〕修1240米，前6天分析：这题按一般解法，步骤较多，运用对应关系解就简单得多。如果我们把实际完成全工程的时间看作单位“1〞，题中“6天就完成了全工程间，求提前几天完成全工程，就只需两步计算。＝31—24＝7〔天〕答：可以提前7天完成。分析：解答此题的关键是要找出实际数量的对应分率。把图书的总数看见线段图〔图3．8〕：答：这批图书共有200本。例5有一块菜地和一块麦地。菜地的一半和麦地的三分之一放在一起是13公亩。麦地的一半和菜地的三分之一放在一起是12公亩。那么，菜地是几公亩？〔1986年“华罗庚金杯〞少年数学邀请赛初赛试题〕分析：此题有多种解法，用对应法解，关键是找出13公亩、12公亩的对应分率，下面把条件排列出来分析30÷2＝15〔公亩〕答：菜地是18公亩。例6买来苹果假设干个，4人平均分余2个，5人平均分余3个，6人平均分余4个。一共有多少个苹果？分析：用对应法解此题，以苹果的总数为被除数，列下表分析除数与余数的对应关系。从上表中看出除数与余数的差是常数2，那么被除数加上2的和能分别被4、5、6整除，所以，要求的被除数是4、5、6最小公倍数与2的差。解：求4、5、6的最小公倍数2×2×5×3＝6060—2＝58〔个〕答：有苹果58个。例7张大伯带假设干元钱去买菜。如果买2.5千克鲜鱼，还剩0.8元，如果买4千克鲜鱼，那么差8.8元。问鲜鱼每千克多少元？张大伯带了多少钱？分析：排列条件：根据上面两次买鱼的数量之差与总价之差的对应关系，可以求得鲜鱼的单价，然后再求张大伯带了多少钱。解：〔0.8＋8.8〕÷〔4—2．.〕＝9.6÷1.5＝6.4〔元〕6.4×2.5＋0.88＝16.8〔元〕答：每千克鲜鱼6.4元，张大伯带了16.8元。【代换法】在解题时，常常遇到有的题目中有两上或两个以上的未知数量，这些数量之间具有相等的关系，我们可以用一个未知数量代替其它的未知数量，使未知条件转化为条件，从而找到解题的方法。这就是代换法。例1甲、乙二人合做一批零件。甲做了8小时，乙做了6小时，一共做了360个零件。甲2小时的工作量等于乙3小时的工作量。两人每小时各做多少个零件？分析：因为“甲2小时的工作量等于乙3小时的工作量。〞为了使未知量变得单一，可以把甲的工作量换成乙的工作量，也可以把乙的工作量换成甲的工作量。根据题意可知甲8小时的工作量，乙要3×〔8÷2〕＝12〔小时〕完成；乙6小时的工作量，甲要2×〔6÷3〕＝4〔小时〕完成。即甲8小时的工作量＝乙12小时的工作量乙6小时的工作量＝甲4小时的工作量如果以乙代换甲，那么如果以甲代换乙，那么以乙代换甲为例，题意那么简化为“某人18小时共做360个零件，平均每小时做多少个零件？〞解：360÷[6＋3×〔8÷2〕]＝360÷18＝20〔个〕……乙每小时做零件个数20×3÷2＝30〔个〕……甲每小时做零件个数答：甲、乙两人每小时做零件的个数分别为20个、30个。例2一列客车与一列货车同时从A、B两站相向开出，6小时相遇。相遇后客车4小时到达B站。货车还要几小时到达A站？分析：“相遇后客车4小时到达B站〞这个条件隐含着一个等量关系。如图:由上图可知客车4小时走的路程＝货车6小时走的路程换，便能求得货车还要几小时到达A站。解：6×〔6÷4〕＝9〔小时〕答:货车还需要9小时到达A站。例3甲、乙、丙三人共为抗洪救灾捐款1000元。乙捐的钱比甲的2倍多30元，丙捐的钱比甲、乙之和少20元。三人各捐多少元？分析：排列条件①甲＋乙＋丙＝1000②乙＝2甲＋30③丙＝甲＋乙－20此题包含了三个未知量，上面的三个式子中每一个式子都含有两个以上的未知量，如果设法把某一个式子中不同的未知量都用同一个量代替，问题就容易解决了。根据②式、③式进行等量代换，式①那么变为：6甲＝1000—60＋20甲＝160以甲＝160代入②式、③式，即可求得乙、丙两个未知量。解：把甲捐款数看作1份〔1000—60＋20〕÷〔1＋2＋1＋2〕＝960÷6＝16O〔元〕………甲捐款数160×2＋30＝350〔元〕…………乙捐款数160＋350—20＝490〔元〕………丙捐款数答：甲、乙、丙三人捐款的钱数分别为160元、350元、490元。例4〔如图3．10〕ABCD是一个长方形。三角形ADE比三角形CEF的面积小10平方米。问CF的长是多少厘米？〔北京市第三届小学生“迎春杯〞数学竞赛试题〕分析：要求CF的长，一般须知道三角形CEF的面积和它的高CE的长，而这两个条件都是未知的，按这个思路无从下手。但根据图形的组合关系和条件，可以用等量代换的方法求解。为了便于看清楚图形的组合关系，把这个图形分成甲〔三角形ADE〕、乙〔梯形ABCE〕、丙〔三角形CEF〕三个局部。三角形ABF的高〔即长方形的长〕是10厘米，如果能求得三角形ABF的面积，便可求得BF的长。因此，求得三角形ABF的面积是解题的关键。长方形ABCD的面积为6×10＝60〔平方厘米〕所以甲＋乙＝60丙＝甲＋10用甲＋10代换丙，得乙＋丙＝乙＋甲＋10所以乙＋丙＝60＋10＝70因此，得三角形ABF的面积为70平方厘米。从而推算出CF的长。解：CF＝〔10×6＋10〕×2÷10—6＝14—6＝8〔厘米〕答：CF的长是8厘米。例5甲、乙两班的人数相等，各有一些同学参加课外天文小组。甲班参数的几分之几？〔“华罗庚金杯〞少年数学邀请赛复赛试题〕分析：由于甲、乙两班人数相等，如果把甲班人数看作1份，那么乙班没有参加的人数就相当于3份。如果把乙班人数看作1份，那么甲班没有参加的人数就是4份。为了表达的简便，用字母表示下面各数量：A表示甲班参加天文小组的人数；根据题意，图示如下〔如图3．11〕：此题是要求甲班没有参加的人数〔用“甲未〞表示〕与乙班未参加人数〔用“乙未〞表示〕的关系。因此，要设法运用代换方法，把其它的量转化为“甲未〞和“乙未〞表示。观察上图可知A＝A′，B＝B′，A＋B′＝B＋A′所以3B′＝2A′解：从上面这个等量关系式可知：例61991×—1992×分析：根据数的组成，可以将一个数分解为因数相乘的形式×100010001×100010001通过等量代换，进行简便运算原式＝1991×1992×100010001—1992×1991×100010001＝0【消去法】在一些应用题中，有时会出现两个或两个以上并列的未知数。我们可以根据所给数据的特点，先消去一个或几个未知数，使数量关系化繁为简。在求得一个未知数后，再求其它的未知数。这种解题方法就是消去法。例1买3个菜碗8个饭碗共付19.2元，买同样的3个菜碗5个饭碗共付14.7元。一个菜碗与一个饭碗的单价各是多少元？分析：排列条件两次买菜碗的个数相等，付出的钱数是同样多。①－②得到两次买碗付款的差额是4.5元，这4.5元正好是3个饭碗的价钱，由此求得1个饭碗的单价是4.5÷3＝1.5〔元〕解：〔19.2—14.7〕÷〔8—5〕＝4.5÷3＝1.5〔元〕…………饭碗的单价〔19.2—1.5×8〕÷3＝7.2÷3＝2.4〔元〕…………菜碗的单价答：一个饭碗1.5元，一个菜碗2.4元。例2头牛4匹马每天吃草93千克，5头牛6匹马每天吃草147千克。一头牛与一匹马每天各吃草多少千克？分析：排列条件题中牛和马两次的数量各不相同，不能像例1那样直接消去一个未知数。要设法使它们之间有两个相同的数量。根据加数扩大几倍，和也扩大相同倍数的道理，将原数量进行转化，设法消去一个未知数。消去马的匹数后，得到一头牛每天吃草15千克。解：〔147×2—93×3〕÷〔5×2—3×3〕＝15÷1＝15〔千克〕………一头牛每天吃草量〔93—15×3〕÷4＝48÷4＝12〔千克〕答：一头牛与一匹马每天吃草量分别是15千克和12千克。例3为抗洪救灾捐款，甲、乙两人共捐192元，乙、丙两人共捐176元，甲、丙两人共捐184元。三人各捐款多少元？分析：排列条件此题有三个未知数，先设法消去两个未知数。通过先消去乙、丙两个未知数，可知甲捐款为200÷2＝100〔元〕。解：〔192＋184—176〕÷2＝200÷2＝100〔元〕………………甲192—100＝92〔元〕………乙184—100＝80〔元〕…………丙答：甲、乙、丙三人捐款分别是100元、92元、84元。①与②中男工与男工，女工与女工的分率都不同，要设法变换条件，使两式中表示男工人数的分率或表示女工人数的分率相同，才便于消去一个例5某文具店中的铅笔、彩色笔、圆珠笔用三种方式搭配装在文具盒内出售，文具盒内装有4支铅笔售4元；在同一种文具盒内装4支彩色笔和2支圆珠笔售8元；仍在这种文具盒内装4支彩色笔和2支圆珠笔，再加2支铅笔售9元，如果在这个文具盒内装3支铅笔、2支彩色笔和1支圆珠笔，那么售价应该是______。〔1993年上海市第六届小学五年级数学竞赛复赛试题〕。分析：题目中有四个未知数，为了表述的简便，我们用a、b、c、d四个字母分别表示文具盒、铅笔、彩色笔、圆珠笔的单价，题中的条件就可以用以下三个关系式来表示：a＋4b＝4〔元〕a＋4c＋2d＝8〔元〕a＋4c＋2d＋2b＝9〔元〕分析：排列条件用③－②9元比8元多1元，是因为多卖出2支铅笔，那么铅笔的单价为1÷2＝0.5〔元〕从①中减去4支铅笔的钱，得文具盒的单价为4—0.5×4＝2〔元〕从②中减去文具盒的钱，得4支彩色笔和2支圆珠笔的钱，假设再除以2，那么正好是题中要求的2支彩色笔和1支圆珠笔的钱。〔8—2〕÷2＝3〔元〕通过消元，求得文具盒和铅笔的单价，以及2支彩色笔和1支圆珠笔的钱。那么，求文具盒内装3支铅笔、2支彩笔和1支圆珠笔的售价就迎刃而解了。解：〔9—8〕÷2＝0.5〔元〕……铅笔单价4—0.5×4＝2〔元〕……文具盒单价〔8—2〕÷2＋0.5×3＋2＝3＋1，5＋2＝6.5〔元〕答：售价应该是6.5元。【复原法】我们常常遇到这样的数学问题，其解法是从问题本身或某个算式的结果出发，一步一步倒着推理，使其逐步靠拢条件，直至问题的解决。这种解答问题的方法就是复原法〔也称逆推法〕。它是数学上一种重要的思考方法，也是解容许用题常用的方法。这种方法形象地讲就是：怎样来的就怎样回去。例1某数减去2，乘以6，再加上5得29，求这数。分析：最后一步运算是“加上5得29〞，由逆运算减法可求得这一步运算前的结果是29—5＝24。24又是第二步运算“乘以6〞得到的，由逆运算除法可求得被乘数，因此未乘以6之前的数是24÷6＝4。4又是第一步运算“减去2〞的结果，所以原数是4＋2＝6。即所求的数是6解：〔29—5〕÷6＋2＝6答：这数是6。例2甲、乙、丙三个港口各停小船假设干只。第一次从甲港分别开出和乙港、丙港同样多的船只到乙港和丙港。第二次又从乙港分别开出和甲港、丙港同样多的船只到甲港和丙港。第三次又从丙港开出和甲港、乙港同样多的船只分别到甲港和乙港。经如上的移动后，三港停泊的船只都是16只，问：甲、乙、丙三港最初各有小船几只？解：从第三次移动开始向前倒推。第三次移动后，甲、乙、丙三港各停泊船只16只第三次移动前，三港各有船只数目甲港16÷2＝8〔只〕乙港16÷2＝8〔只〕丙港16＋8＋8＝32〔只〕故第二次移动后，甲、乙、丙三港停船数依次为8只、8只、32只。第二次移动前，三港各有船只数目甲港8÷2＝4〔只〕丙港32÷2＝16〔只〕乙港8＋4＋16＝28〔只〕所以，每一次移动后，甲、乙、丙三港有船数目依次为4只、28只、16只。第一次移动前，三港各有船只数目乙港28÷2＝14〔只〕丙港16÷2＝8〔只〕甲港4＋14＋8＝26〔只〕所以开始时，甲、乙、丙三港各有船只分别为26只、14只、8只。上述倒推过程可以列成下表：答：最初甲港有船26只，乙港有船14只，丙港有船8只。例35个空瓶可以换1瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换来的，那么他们至少要买汽水______瓶。〔94年小学生数学奥林匹克决赛题〕分析：此题用复原法考虑，思路如下：从最合理的兑换应是最后剩5个空瓶换回1瓶汽水，所以计算喝汽水的瓶数就有1〔瓶〕①这瓶汽水由5个空瓶换来，那么无疑喝汽水瓶数又有1×5＝5〔瓶〕②这5瓶汽水又由5×5个空瓶换来，故喝汽水的瓶数又有5×5＝25〔瓶〕③这25瓶汽水又由25×5个空瓶换来，故喝汽水的瓶数又有25×5＝125〔瓶〕④至此，将以上①、②、③、④项数累加，结果为：1＋1×5＋5×5＋25×5＝156〔瓶〕汽水，其中25×5＝125瓶是买的，这125瓶经几次兑换后可剩一个空瓶。题目所给条件是同学喝了161瓶汽水，但156瓶比161瓶少了5瓶，要满足要求，必须再买4瓶喝了，连同原剩的1个空瓶再换回1瓶即5瓶，所以他们至少要买125＋4＝129〔瓶〕分析：此题先运用最后剩下的数量与第三次取出的数量关系，进行逆推，便能顺利地获得解答。〔1〕将第二次取出大米后的剩余量看作“1〞，那么第二次取出后余下大米的数量为：〔2〕将第一次取出后的剩余量看作“1〞，那么第一次取出后余下大米的数量为：〔3〕把仓库原有大米的数量看作“1〞，那么仓库原有大米的数量为：＝120〔吨〕答：这个仓库原有大米120吨。例5雷锋小学六年级成立了三个课外兴趣小组。书法组的人数占参加总人数的30％，参加航模组和舞蹈组人数的比是3∶2，参加舞蹈组的有28人。求参加兴趣小组的共有多少人？分析：从“参加舞蹈组的有28人〞进行逆推。因为“参加航模组和舞蹈组人数的比是3∶2〞，28人相当于2份，可求出1份的人数是28÷2＝14〔人〕，航模组人数占3份，那么可求出航模组人数为：28÷2×3＝42〔人〕由此可以求出两组人数之和为：28＋42＝70〔人〕由“书法组人数占总人数的30％〞可知舞蹈组和航模组人数之和占总人数的1—30％＝70％。70÷70％就得出参加兴趣小组的总人数。解：〔28＋28÷2×3〕÷〔1—30％〕＝70÷70％＝100〔人〕答：参加兴趣小组的共有100人。【找“定〞法】某些题目中的数量关系先后变化繁多，很难辨清其内在联系。但是，万变不离其宗，我们要以不变应万变，在多种数量的变化中，找出起关键作用的不变量，利用不变量搭桥过渡以求出未知量。这种解题方法就是变中找定法。题中的不变量是两个车间人数的总量，解题的关键是抓住总量不变，把表示局部量之间关系的分率，转化为局部量占总量的几分之几。把两个车间的总人数看作单位“1〞。答：乙车间原有108人。例2甲、乙、丙三人共得奖金假设干元。甲得的奖金是乙、丙两人所得奖元。问甲、乙二人各得奖金多少元？分析：此题的定量是三人奖金的总数，从求出甲、乙两人所得的奖金各占总数的几分之几入手，先求出奖金总数，进而求出甲、乙二人各得奖金多少元？答：甲得奖金3200元，乙得奖金2400元。例3有两条纸带，一条长21厘米，一条长13厘米，把两条纸带都剪下下的一段有多长？〔“华罗庚金杯〞少年数学邀请赛复赛试题〕分析：“把两条纸带都剪下同样长的一段〞这说明长、短两条纸带剩下局部的差与两条纸带原来的差相等，即它们的差是不变量，这就是说长纸带仍比短纸带长21－13＝8〔厘米〕的一段有多长。21－20.8＝0.2〔厘米〕答：剪下的一段长0.2厘米例4老师与学生今年年龄之和是58岁，七年后老师的年龄是学生的2倍。老师与学生今年各是多少岁？〔广东省“育苗杯〞小学五年级数学通讯赛复赛试题〕分析：老师与学生的年龄同时增加，且每年共增加2岁，这是一个定量。七年后老师与学生年龄之和那么为58＋2×7＝72〔岁〕，用和倍问题的解法求出七年后学生的年龄，然后再求出老师与学生今年各是多少岁。解：〔58＋2×7〕÷〔2＋1〕＝72÷3＝24〔岁〕…七年后学生的年龄24－7＝17〔岁〕……………学生今年的年龄58－17＝41〔岁〕，…………老师今年的年龄答：老师与学生今年分别为41岁、17岁。分析：由于下午又运来一批面粉，使得面粉的数量发生了变化，大米和后不同，如果从统一单位“1〞入手，那么给解题带来很大的困难。假设仔细分析题目的条件，就能发现尽管一些条件在变化，但其中一个隐含的局部量没有变，那就是大米的数量是个定量，以这个定量为突破口，问题就容易解决了。根据题意，可知大米的袋数为：由此推得现在大米和面粉总数为：比原来增加了100－84＝16〔袋〕，即为下午运来的面粉数。答：下午运来面粉16袋。例6在6千克含盐15％的盐水中加水，使盐水中含盐9％，需要加水多少千克？分析：此题的定量是盐的数量。根据题意，盐的数量为6×15％＝0.9〔千克〕运用0.9千克与9％相对应的关系，求出加水后的盐水为0.9÷9％＝10〔千克〕因为盐的数量先后未变，而盐水由6千克增加到10千克，所以增加的数量就是需要加水的数量。解：6×15％÷9％－6＝10－6＝4〔千克〕答：需要加水4千克。【附录：统筹法】统筹法是有关求最大值与最小值的实际应用。我们在制定某项工作方案或去完成某件工作时，必须考虑怎样提高效率，加快工作进程的问题。统筹法就是研究怎样选择最合理、最节省的最优方案去完成任务的方法。例1五所学校A、B、C、D、E之间有公路相通，图上标出每段公路的千米数，想借一个学校召开一次学生代表会议，应出席会议的A校有代表6人，B校有代表4人，C校有代表8人，D校有代表7人，E校有代表10人，为使参加会议的代表所走路程的总和为最小，你认为会议应借在______校召开最合理。〔1993年上海市第六届小学五年级数学竞赛复赛试题〕分析：估计假设会议在A校或E校召开，参加会议的代表所走路程的总和会很大，于是不选择A校和E作为会议地点。其他各校可进行计算比拟。解：将A校和E校排除。如果选择B校，代表所走路程总和为2×6＋2×7＋3×8＋10×〔3＋2〕＝100〔千米〕选择C校，代表所走的路程总和是〔2＋3〕×6＋3×4＋〔2＋3〕×7＋2×10＝97〔千米〕选择D校，代表所走路程总和是〔2＋2〕×6＋2×4＋〔2＋3〕×8＋4×10＝112〔千米〕进行比拟，选择会议召开地点答：会议在C校召开最合理。例2有两个面粉厂供给三个居民区的面粉，甲厂月产60吨，乙厂月产100吨，第一居民区每月需要面粉45吨，第二居民区每月需要面粉75吨，第三居民区每月需要面粉40吨，甲厂与三区供给站的距离分别是10千米、5千米、6千米，乙厂与三区供给站的距离分别是4千米、8千米、5千米。问应如何分配面粉，才能使总运费最少？分析：要使总的运费最省，就要使总的“吨、千米〞尽可能小，我们可以用代数法求最小值。解：设甲厂运往第一、二、三居民区的面粉分别为x吨、y吨、z吨，那么乙厂运往三个居民区面粉分别为〔45－x〕吨、〔75－y〕吨、〔40－z〕吨。列出总吨、千米的表达式10x＋5y＋6z＋4〔45－x〕＋8〔75－y〕＋5〔40－z〕＝6x－3y＋z＋980因为x＋y＋z＝60，所以z＝60－x－y，将它代入总吨、千米的表达式得6x－3y＋z＋980＝6x－3y＋60－x－y＋980＝5x－4y＋1040为了使总吨千米的值尽可能小，就要使这个表达式的值尽可能小，从上式看，也就是要x的值尽量小，y的值尽量大。于是取x＝0y＝60，从而z＝0答：甲厂供给第二居民区60吨，其余由乙厂供给，即乙厂供给第一居民区45吨，供给第二居民区15吨，供给第三居民区40吨。这样分配，总运费最少。例3某人从住地外出有两种方案，一种是骑自行车去，另一种是乘公共汽车去。显然公共汽车的速度比自行车的速度快，但乘公共汽车有一个等候时间〔候车时间可看作是固定不变的〕、在任何情况下，他总是采用花时间最少的最正确方案。下表表示他到达A、B、C三地采用最正确方案所需要的时间。为了到达离住地8千米的地方，他需要花多少分钟？并简述理由。〔第二届小学《祖冲之杯》数学邀请赛试题〕分析与解：必须求出自行车、汽车速度及候车时间，才能选择从住地到8千米的地方采取的最正确方案。从题目给出的条件进行分析：从住地到B地比从住地到A地多1千米路程，多用了15.5－12＝3.5〔分钟〕，从住地到乙地比到B地也多1千米路程，却多用了18－15.5＝2.5〔分钟〕，可知到A、B、C三地采用了两种不同方案。需时间还少，这是不可能的。可断定到B地是乘公共汽车去的。是不可能的。所以到C地是乘公共汽车去的。由于去B、C两地都乘公共汽车，公共汽车的速度是每分钟〔4－3〕÷下面考虑到达离住地8千米的地方，选择何种方案。骑自行车去所需时间是乘公共汽车去所需时间是答：到达离住地8千米的地方应采用乘公共汽车去的方案，其所需时间是28分钟。【代数方法】对于较复杂的应用题，可以用代数法解答。用代数法解题，把未知数当作数，根据题目中数量间的相等关系列出方程，通过解方程，求得问题的答案。题目越复杂，便更能显示方程解法的优越性。列方程解题的关键是分析数量间的等量关系，根据实际情况直接或间接设未知数，列出方程，由于等量关系的不同，可以列出不同的方程。例1一个四位数，左边第一位数字是7，如果把这个数字调到最后一位，那么这个数就要减少864，求这个四位数。7000＋x－〔10x＋7〕＝8647000＋x－10x－7＝8649x＝7000－7－8649x＝6129x＝681检验：把x＝681代入原方程左边＝7000＋681－〔681×10＋7〕＝864，右边＝864左边＝右边所以x＝681是原方程的解答：这个四位数是7681。例2现有四个数，任取其中三个数相加，得其和分别为22、24、27和20。求这四个数各是多少？〔希腊数学家丢番图趣题〕分析：题目要求这四个数字各是多少，如果设其中某一个数为x，那么其他三个数很难用x的式子表示。丢番图作法很巧妙，间接设未知数，设四个数的和为x，那么这四个数分别为：x－22，x－24，x－27，x－20解：设四个数的和为x。依题意列方程得〔x－22〕＋〔x－24〕＋〔x－27〕＋〔x－20〕＝x4x－93＝x3x＝93x＝31x－22＝31－22＝9x－24＝31－24＝7x－27＝31－27＝4x－20＝31－20＝11答：这四个数分别是9、7、4、11。例3画展9点开门，但早有人排队等候入场，从第一个观众来到时起，每分钟来的人数一样多。如果开3个入场口，9点9分不再有人排队，如果开5个入场口，9点5分不再有人排队。那么，第一个观众到达的时间是8点______分。分析：假设第一个观众到达时比9点开门提前x分钟，把每分钟来的人数看作“1〞。假设按第一种方法入场，那么9点以前等待的人数与9点后9分钟内陆续到来的人数总共有1×〔x＋9〕人，这些人在9分钟以内入场，以后陆续来由于两种方法入场的每个入场口每分钟入场的人数相等，可列方程得27x－25x＝225－1352x＝90x＝459点－45分＝8点15分答：第一个观众到达的时间是8点15分。例4一个长方形长与宽的比是7∶3，如果长减少8厘米，宽增加6厘米，那么面积增加96平方厘米，求原来长方形的长与宽各是多少？作“1份〞，其等量关系是变化后的长方形面积－原长方形面积＝96平方厘米6x＝96＋48x＝24…宽答：原长方形的宽为24厘米，长为56厘米。【比例方法】比和比例是从数量间的倍数关系和相依变化的角度来分析研究数量关系的。如果用比例方法去分析应用题的数量关系，寻求解题途径，往往能十分巧妙地解答一些难题。常见的比例应用题有按比例分配，正比例、反比例、复比例、混合比例、连锁比例等。例1甲、乙、丙三人进行200米赛跑，当甲到达终点时，乙离终点还有20米，丙离终点还有25米，如果甲、乙、丙赛跑的速度都不变，那么，当乙到达终点时，丙离终点还有______米。〔1993年小学数学奥林匹克竞赛试题初赛A卷6题〕分析：乙的路程＝乙的速度×乙跑的时间丙的路程＝丙的速度×丙跑的时间因为，乙和丙赛跑的速度不变，所用的时间相同，那么可知，在相同的时间内，乙、丙赛跑的速度不变，乙的路程与丙的路程成正比例。题目的本质是：乙、丙赛跑速度不变，在相同的时间里，乙跑了〔200－20〕米，丙跑了〔200－25〕米，问乙跑了200米时，丙跑了多少米？解：设乙到达终点时，丙跑了x米。列出对应值表列出比例式例2某人早上7时20分从甲地到乙地去开会。假设每分钟走50米，那么要相距多少米？分析：速度、时间、路程的关系如下：解：设某人出发时离开会的时间是x分钟60x－50x＝250＋150x＝407时20分＋40分＝8时………………开会的时刻50×40＋50×3＝2150〔米〕…………两地相距路程答：8时开始开会，甲乙两地相距2150米。例3一挂钟一昼夜快18分钟，假设在正午对准，到第二天走到凌晨4点12分时，求这时正确的时刻。分析：正确的时钟走24小时，而快的时钟那么走了24小时18分。从正午对准到第二天凌晨4点12分，快的时钟走了16小时12分。在相同的时间里，快的时钟走过的时间与正确的时钟走过的时间成正比例。解：设正确的时钟走了x小时24小时18分∶16时12分＝24∶x16时－12时＝4时答：正确的时刻是凌晨4时。例4某人步行速度与他骑自行车速度之比是2∶5。在同一时间里他骑自行车走的路程与某汽车走的路程的比为3∶7。这辆汽车12小时走的路程，又恰好等于一列火车5小时走的路程。现在这列火车每小时走84千米，问那位步行人每小时走多少千米？分析：根据题目要求，可将所有的比化为在相同时间条件下的路程之比。这是一个连锁比例的问题。解：在相同时间条件下人步行路程与骑自行车所行路程比为2∶5骑自行车的路程与汽车所行路程比为3∶7汽车所行路程与火车所行路程比为5∶12火车1小时走84千米，设人步行1小时行x千米，依据连锁关系，将条件和问题作如下排列：在这种连锁排列中，左边各数的乘积，等于右边各数的乘积。即2×3×5×84＝5×7×12×x答：那位人步行每小时走6千米。例55台抽水机3小时能抽水600立方米。6台这样的抽水机4小时能抽水多少立方米？分析：这是一道复比例应用题，复比例就是由两种以上的量组成的比例。工效×台数×时间＝抽水量在工效一定的条件下，三个量：台数、抽水时间、抽水量，每一个量都随着其他量的变化而变化。当抽水机台数一定时，抽水量与抽水时间成正比例关系。当抽水时间一定时，抽水量与抽水机台数成正比例关系。当抽水机台数与抽水时间都变化时，抽水量就与这两个量成复比例关系。一个量如果在其他量不变的条件下，分别和另外两个量成比例〔正比例或反比例〕关系。那么它就和这两个量成复比例关系，它的任意两个数值之比就等于另外两个量对应数值之比〔正比或反比〕的复比。解答复比例应用题，与解答单比例应用题一样，先设题目中的未知数为x，再将题目中的条件和问题，列成表格，并根据正反比例关系，画好同向或反向箭头。解题的关键是判断准各种数量与含x的量成何种比例关系。成正比例关系的两个量画同向箭头。成反比例的两个量画反向箭头。判断准了，箭头才能画准。题中几个量的关系如下：解：设6台抽水机4小时抽水x立方米，按上表的箭头方向，得复比例式于是，由复比例根本性质〔复比例的根本性质是内项的乘积等于外项的乘积〕5×3×x＝6×4×600答：6台抽水机4小时可抽水960立方米。例6耕一块地，4台拖拉机每天工作9小时，10天可以耕完。如果每天耕地10小时，要在6天内完成，需要几台拖拉机。分析：完成的天数，每天工作的时数，台数的关系如下：在耕地面积一定的条件下，如果每天工作的时数不变，那么台数与天数成反比例；如果天数不变，那么台数与每天工作的时数也成反比例解：设需要拖拉机x台，得复比例式答：需要拖拉机6台。例7一等酒每千克10.8元，二等酒每千克7元，要混合成平均价是每千克9.1元的酒，求两种酒应按怎样的比混合？分析：假设按平均价每千克9.1元，那么一等酒每千克损失1.7元，二等酒每千克得利2.1元。把一等酒21千克作新价卖，共损失1.7×21＝35.7〔元〕把二等酒17千克作新价卖，共得到2.1×17＝35.7〔元〕所以将一等酒21千克和二等酒17千克混合，照新价出卖，恰好无损益。由此可知两种物品混合数量的比，等于每种物品与平均价的差的反比。我们把这种混合物中各种物品数量之比叫做混合比。解：列表计算如下：2.1∶1.7＝21∶17答：一等酒与二等酒的千克数应按21∶17混合。【附录：逻辑推理】竞赛试题中，经常有要求判断比赛名次，区分事情真假……的问题。它们极少数量关系，更多的是对事情作些描述。解答这类判断题，可在理解、掌握题意的根底上，对题目中的条件进行有根有据的分析、比拟、综合，发现题中暗示的话语，找出其中内在的联系，运用逻辑推理的方法，一步一步有条不紊地推导出正确的结论。这便是运用逻辑推理解题的方法。例1趁老师不在的时候，有一名同学把拾到的手表放在老师的办公桌上。大家都知道，这是冬冬、丹丹和菲菲三个人中的一个人做的好事。老师找他们三人来问：“这是谁做的好事呢？〞冬冬说：“是丹丹干的。〞丹丹说：“不是我干的。〞菲菲也说：“不是我干的。〞如果他们三人中，有两人说的是假话，只有一个人说的是真话，你能判断出好事是谁干的吗？分析与解答：根据题意，答案只有三种可能。如果好事是冬冬干的，那么冬冬说的是假话，丹丹和菲菲说的都是真话。这样，便与两人说假话，一人说真话的前提条件相矛盾。可知好事不是冬冬干的。假设好事是丹丹干的，那么冬冬和菲菲说的也都是真话。这样，也与两人说假话，一人说真话的前提条件相矛盾。可知这事不是丹丹干的。假设是菲菲干的，那么冬冬和菲菲说的是假话，丹丹说的是真话。这与前提条件完全符合。所以可知，这块手表是菲菲拾到后，放在老师办公桌上的。解决这道题目的关键，是根据条件中“有两人说的是假话，只有一人说的是真话〞，对每一个人逐个检验。具体的解题方法是：先作出假设，然后根据条件作出正确的推理。假设推出的结论与条件矛盾，那么说明此假设不合理，因此可得到与假设相反的结果。如果从假设出发，推出的结论与条件没有矛盾，那么说明此假设是合理的。这样的方法，也是我们解决一些问题时常常用到的方法，可以将它称之为“假设推理〞方法。例2有三个颜色分别是红、黄、蓝的盒子，每只盒子外面各有一句话〔如下列图所示〕，这三句话中只有一句是真的。你能判断出宝石放在哪个盒子里吗？分析与解答：在仔细审读题目中，可敏锐地发现，这三句话中的第一、三句，是相互矛盾的。由于相互矛盾的两句话，必有一真和一假，而题目又告诉我们，三句话中只有一句话是真的。因此可知，第二句话“宝石不在此〞，必定是假话。于是，可以直接判断出宝石在红色盒子里面。解答这道题目的关键，是从审题中敏锐地发现相互矛盾的关键词句。然后，根据关键词句直接分析、推理，便可直接地得出结论。这样的解法，可以称之为逻辑推理中的“直接推理〞方法。例3有甲、乙、丙三个运发动，穿的运动衫上的号码分别是1、2、3号。在下面的三种说法中，只有一种是正确的。第一种说法：甲穿的是1号。第二种说法：乙穿的不是1号。第三种说法：丙穿的不是3号。问：甲乙丙三个运发动各穿的是几号运动衫？分析与解答：根据三种说法只有一种正确，那么，可能的情况便只有以下三种：〔1〕一种对，二种错，三种错；〔2〕一种错，二种对，三种错；〔3〕一种错，二种错，三种对。下面，就这三种可能的情况，逐个地进行分析推理。当为第〔1〕种情况〔一对、二错、三错〕时，便有甲为1号是正确的，“乙不是1号〞是不对的，即乙也是1号。这会出现甲、乙都穿1号的情况，它与条件是矛盾的，故这种可能的情况应予排除。当为第〔2〕种情况〔一错、二对、三错〕时，便有甲不是1号，应是2号或3号；乙也不是1号，应是2号或3号；“丙不是3号〞是错的，丙应是3号。这时便出现了甲、乙、丙三人都不穿1号运动衫的情况，这又与条件相矛盾。所以，这种可能的情况，也应予以排除。当为第〔3〕种情况〔一错、二错、三对〕时，便有甲不是1号，应是2号或3号；“乙不是1号〞不对，乙是1号；“丙不是3号〞正确，应是1号或2号，由乙为1号可知，丙为2号；于是，甲穿的便是3号。从而得到甲3号、乙1号、丙2号，且完全符合题目中的条件。所以，这就是问题的解答。这样的题目，看来比拟复杂，但可能出现的情况是有限的的。解题时，可以用“穷举〞方法，举出所有可能的情况，然后逐个地进行逻辑推理，把与条件相矛盾的情况排除掉，而与条件相符合的情况，便是问题的答案。这样的逻辑推理解题方法，可以称之为“穷举推理〞方法。例4学校举行数学比赛，甲、乙、丙、丁、戊五位老师，对一贯刻苦学习的A、B、C、D、E五位同学，事先就作了如下的估计：老师甲：B第三名，C第五名。老师乙：E第四名，D第五名。老师丙：A第一名，E第四名。老师丁：C第一名，B第二名。老师戊：A第三名，D第四名。比赛结束后，这五名学生果然是前五名，且每一个名次，都有老师猜中了。试求各人的名次。分析与解答：先可将甲、乙、丙、丁、戊五位老师的估计，列成如下的表格：因为每个名次都有老师猜中，猜想第二名的只有学生B，所以第二名必定是学生B。由此推出，B不是第三名，A是第三名；进而推出，A不是第一名，C是第一名；再进一步推出，C不是第五名，D是第五名；最后推出，D不是第四名，E是第四名。所以可知，A、B、C、D、E五位同学的名次，依次为三、二、一、五、四名。例5在一次国际交往活动中，甲、乙、丙、丁四位朋友进行交谈，使用了中、英、法、日四种语言，并知道有如下的情况：〔1〕甲、乙、丙都会讲两种语言，而丁只会讲一种语言；〔2〕有一种语言，四人中有三人会讲；〔3〕甲会讲日语，丁不会讲日语，乙不会讲英语；〔4〕甲与丙、丙与丁不能直接交谈，乙与丙可以直接交谈；〔5〕没有人既会讲日语，又会讲法语。问：甲乙丙丁四人各会讲什么语言？分析与解答：题目像例4一样，也可以采用列表方式作推理、分析。此题只有第〔3〕个条件为直接条件，第〔5〕个条件较为明白，其余各条都未直接告诉各人与各语种的对应关系，需要认真分析、对照，才可逐步填出下表。填表步骤和方法可以是：〔1〕对照第〔3〕条，可在“甲日〞格内记√，在“丁日〞格内记×，“乙英〞格内也记×。〔2〕由甲与丙不能直接交谈，可知丙不会讲日语，又由无人同时会讲日、法语，可知甲不会讲法语。故应在“丙日〞、“甲法〞两格里面都记×。〔3〕由甲与丙、丙与丁不能直接交谈，以及乙不会英语，甲不会法语，可知“三人会讲〞的同一种语言，不可能是英、法、日语，而只可能是中文。又由于丁只会讲一种语言，且丙与丁不能直接交谈，可知甲、乙、丁都会讲中文，而丙不讲中文。于是，可在中文相应的格内，分别记上√和×。〔4〕由甲乙丙三人都会讲两种语言，而丁只会讲一种语言，从而可在丁的英、法格内记×，在“丙英〞、“丙法〞内记上√。由乙丙可直接交谈，便又可在“乙法〞格内记√。〔5〕最后，在“甲英〞、“乙日〞格内记×。到此为止，表已全部填好。统观全表，便知：甲会讲中文和日语；乙会讲中文和法语；丙会讲英语和法语；丁只会讲中文。显然，例4、例5是具有复杂对应关系的推理判断题。解这种题目，我们可以用列表〔或画对应线条等〕方法，来帮助我们理清头绪，从而较快地找到题目的答案。这样的逻辑推理解法，可以称之为“用图表帮助推导〞的方法。【抽屉原理的应用】把3只苹果放进2个抽屉里面去，只有下面两种放法，一是一个抽屉里放2个，另一个抽屉放1个，二是3个苹果放在一个抽屉里。不管怎样放，都可以得出结沦：必有一个抽屉里放有2个或2个以上的苹果。如果把4只苹果放到3个抽屉里去，那么必有一个抽屉要放2只或2只以上的苹果。由上面的实例，概括出第一类抽屉原理：有m件物体，放进n个抽屉里去，如果物体比抽屉多〔即m＞n)，那么，必有一个抽屉要放进两件或两件以上的物体。假设保持抽屉数不变，而增加苹果总数，那么放入抽屉中的苹果“最少数〞会发生什么变化呢？请看下面两例：1．19个苹果放进6个抽屉，不管怎么放置，至少有一个抽屉放有4个或4个以上的苹果。2．37个苹果放进6个抽屉，不管怎么放置，至少有一个抽屉放有7个或7个以上的苹果。从以上两例可以发现，抽屉数都是6个，而抽屉内的苹果数随着苹果总数的增加而增加。变化的规律是怎样的，以上面第1例来说明。19个苹果要放进6个抽屉，可以先将19个苹果尽量平均分配到6个抽屉中，即：19÷6＝3〔个〕……………l个还剩1个苹果，不管将它放进哪个抽屉，那么至少有一个抽屉要放4个或4个以上的苹果。在这道题中,4是最小数。现在我们可以得出求最小数的规律是：苹果总数＝抽屉数×商数＋余数如果余数不得0，那么最小数为：最小数＝商数＋l如果余数为0，那么最小数等于商数由以上分析，概括出第二类抽屉原理：有多于M×N件物体，要放进几个抽屉中去，那么，不管怎样放置，必有一个抽屉最少放进M＋l个物体。当物体总数恰好是M×N件时，把它放进N个抽屉，那么不管怎样放置，必有一个抽屉内最少放进M个物体。运用抽屉原理，可以进行推理和判断，解决许多奇妙而有趣的问题。解题的关键是制造“抽屉〞，并确定放进抽屉的“物体〞。解题的一般步骤是：1．制造抽屉，并指出放入抽屉的物体。通俗地说就是把谁当作抽屉，把谁当作物体。2．通过计算，找到把物体放入抽屉的方法。再推理判断，作出结论。例1任意3个小朋友中，必有两个小朋友的性别相同，为什么？分析与证明：人的性别只有男性和女性两种，把两种性别当作两个“抽屉〞，把3个小朋友当作三个“苹果〞，“苹果〞数3比抽屉数2大，根据抽屉原理，必有一个“抽屉〞里有两个或两个以上的“苹果〞，这就能证明任意3个小朋友中，必有两人性别相同。例2任意13个同学中，至少有2人出生的月份相同。请说明理由。分析与证明：一年有12个月，把12个月当12个“抽屉〞，把13个同学的出生月份当作13个“苹果〞。因为同学人数多于月份数。根据抽屉原理，至少有一个抽屉内有两个或两个以上的“苹果〞，这就证明至少有两个同学出生的月份相同。例3幼儿园买来四种玩具，每位小朋友可以任选其中两件〔不同种玩具〕，假设有7位小朋友来挑选，至少有两位小朋友所选的玩具完全相同，这是为什么？分析与证明：设四种玩具为A、B、C、D，按挑选规那么，每两种不同种玩具配成一组，有下面六种不同的配法：{A、B}，{A、C}，{A、D}，{B、C}，{B、D}，{C、D}．把六种不同配法当作6个“抽屉〞，7位小朋友当作7个“苹果〞，小朋友的人数超过玩具配法的种数。根据抽屉原理，至少有一个“抽屉〞里有两个或两个以上的“苹果〞，所以至少有两个小朋友挑选的玩具完全相同。例4某小学数学奥林匹克班有学生38人，他们来自7所小学，证明必有一所小学在这个班的人数要超过5人。分析与证明：将7所小学当作7个“抽屉〞，将38名学生当作38个“苹果〞，因为：38＝7×5＋33≠0根据抽屉原理，最小数＝商数＋1，商是5，最小数＝5＋l＝6，所以必有一所小学在这个班的人数要超过5人。例5取来6张白纸，在它的一面分别涂上黄、绿两种颜色。证明：不管怎样涂法，至少有三张纸涂的颜色相同。分析与证明：把6张白纸当作6个“苹果〞，把黄、绿两种颜色当作两个“抽屉〞，那么6＝2×3＋0根据抽屉原理，6÷2＝3，余数为0，那么最小数＝商数所以至少有3张纸涂的颜色相同。例5小学生夏令营组织1994名同学游览故宫、天坛、北海三个地方，规定每个同学至少去一个地方，问至少有多少同学游览了完全相同的地方？分析与解：同学们游览故宫，天坛和北海，有的只游了一个地方，有的游了两个地方，还有的游了三个地方，首先把游览的情况排列如下〔即先制造抽屉〕：，，，，，，。从以上的排列可以看出首先要制造7个“抽屉〞，把1994名同学当作“苹果〞，那么1994＝7×284＋6因为6≠0，根据第二类抽屉原理，至少有284＋1＝285〔名〕同学游览了完全相同的地方。例6证明在任何6个人中，总有3个人相互认识或者互不认识。〔匈牙利数学竞赛题〕分析与证明：把6个人看作六个点〔其中没有三点共线〕，如果两个人互相认识，就在两点间用红线连接；如果两个人互不认识，就在两点间用蓝线连接。〔用虚线表示蓝色，用实线表示红色。〕因为有6个点，从每一个点都要引出5条线段，这5条线段的颜色只有红色或蓝色两种〔如图3．14〕，把这两种颜色当作两个“抽屉〞，5条线段当作5个“苹果〞，由抽屉原理可知，至少有三条线段同色。不妨设这三条线段为红色，即图中的A1；A2，A1；A3，A1A4。考虑三角形A2A3A4的三边着色只有下面两种可能；①A2A3，A3A4，A4A2三条线段至少有一条是红色的，那么三边同红色的三角形已存在，即表示有3个人互相认识。②假设A2A3，A3A4，A4A2三条线段都不是红色，那么，三角形A2A3A4三条边都是蓝色，表示有三个人互不认识。不管是①、②中哪种情况，都能证明题目的结论成立。例7学校买来历史、文艺、科普三种图书假设干本，每个学生任意借两本，那么至少________个学生中一定有两人所借图书的种类完全相同。〔《小学生数学报》第五届小学生数学邀请赛决赛试题〕分析与解：按题意先制造下面6个“抽屉〞：，，，，，。把借书的同学看作“苹果〞，根据抽屉原理可知至少1×6＋l＝7〔个〕学生中一定有2人所借图书的种类相同。例8一个袋里放了三种不同颜色的球20个，其中白球8个,红球7个，绿球5个，如果闭上眼睛取出尽量多的球，使袋里至少还有4个同色球，以及至少有3个另一种颜色的球，那么最多只能取出_______个球。〔1993年上海市第六届小学五年级数学竞赛复赛试题〕分析与解：为保证袋里至少还有4个同色球，以及至少还有3个另一种颜色的同色球，我们先求袋里至少应留下多少个球才能满足要求。从最不利的情况出发，假设袋里有数目最多的8个白色球，将余下的两种颜色当作两个抽屉，要使有一个抽屉至少有3个球，那么必须要有球2×2＋l＝5〔个〕因此袋里最少要留下球8＋5＝13〔个〕所以，要保证袋里至少还有4个同色球以及至少有3个另一种颜色的球最多只能取出20－13＝7〔个〕答：最多只能取出7个球。【容斥原理的应用】通常用集合的有关根本概念来表述容斥原理。把一群具有某种相同性质的对象放在一起，就说它们组成了一个“集合〞。由所有属于集合A或者属于集合B的元素所组成的集合，叫做A、B的并集〔就是A与B的和〕〔图3．15〕记作“A∪B〞。A、B两个集合的公共元素，也就是那些既属于A，又属于B的元素，它们组成的集合，叫做A、B的交集，记作“A∩B〞〔图3．16〕容斥原理一设具有性质A的物体有