山西省建模比赛-新生育政策下人口预测模型

2023年山西赛区数学建模联赛承诺书我们仔细阅读了山西赛区数学建模联赛的竞赛规那么.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式〔包括、电子邮件、网上咨询等〕与队外的任何人〔包括指导教师〕研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规那么的,如果引用别人的成果或其他公开的资料〔包括网上查到的资料〕，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规那么，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规那么的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是〔从A/B/C/D中选择一项填写〕：A 我们的参赛报名号为：1133参赛队员(打印并签名)：1.xxx2.xxx3.xxx日期：2023年5月24日2023山西赛区数学建模联赛评阅记录评阅记录〔可供评阅时使用〕：评阅人评分备注新生育政策下人口预测模型摘要方案生育政策施行以来，我国政府通过有效控制人口数量和结构这两个重要因素，从而稳定了人口过快开展的趋势并促进了我国经济社会的快速开展，提高了人民的生活水平。但另一方面，其负面影响也开始显现，党的十八届三中全会提出了开放单独二孩政策，因此，有必要对新生育政策下未来人口的情况建立定量的数学模型，并对未来人口数量和结构进行预测。首先，根据每十年一次的全国人口普查数据，分析人口结构数据的实际数据特点，建立灰色预测模型，对总人口数量，各年龄段人口数量，出生率死亡率，进行预测，并且，考虑到性别比例呈波动趋势，那么用多个不同周期的三角组合函数拟合，最终对人口结构各因素进行未来三十年预测。预测结果显示，我国人口存在严重的人口老龄化问题。接着，通过搜集一些有关新方案生育政策典型的研究评论报告以及对人口结构的预测，从中了解到新生育政策的紧迫性，通过构造人口水平指数L2023，再根据资料查阅而得的各影响因素的临界值，一次进行上述归一化、标准化和加权求和后，得到实行方案生育新政策的人口水平指数临界值L0，通过比拟得出目前没有必要实行方案生育新政策。再者，利用方案生育新政策下的预测数据，对0-14岁、大于65岁人口比例与出生率之间关系进行拟合，求出拟合函数，然后建立新政策下两者之间的函数模型，并将新的出生率代入该表达式中，即可预测出新政策下人口结构的变化。根据加权模型，观测在方案生育政策前后男女比重变化情况，并得出新政策实施后的结果。最后,通过建立多元回归分析模型，主要讨论在城镇化因素影响下的方案生育新政策对未来北京市人口数量的影响。关键字：方案生育新政策数据归一化处理数据标准化处理人口水平指数灰色预测GM(1,1)最小二乘法多项式拟合多元回归分析一、问题重述1970年初，我国开始大力实行方案生育政策。在之后的20多年中，方案生育政策在建设中国特色社会主义、实现国富民强，控制全国人口总量与地区平衡开展等方面发挥了举足轻重的作用。但是，随着时间的推移，出现了高度老龄化，人口红利逐渐消失等人口开展问题。如何调整生育政策才可以缓解之后可能出现的高度老龄化局面，从而得到更加稳定的人口总数变化趋势，由此再次获得预想中的人口红利。这个问题已经成为目前大家广泛讨论的一个话题。2023年10月26日，中国开展研究基金会发布的《人口形势的变化和人口政策的调整》报告就集纳了20多位人口学者的政策建议。他们提出，我国应实施“生育自主、倡导节制、素质优先、全面开展〞的新人口政策。[1]该问题成为了目前大家广泛关注的话题，但是这项政策带来的结果仍是个未知数。针对上述情况，本文主要解决并且答复了以下四个问题：问题一:定量分析我国历年人口普查状况，说明在继续实行方案生育政策下，我国未来人口开展情况，并预测未来30年内我国人口结构的情况。问题二：建立数学模型，根据2023年第六次全国人口普查数据，研究新生育政策在当时是否有必要执行。问题三：本问题要求在方案生育新政策下预测未来30年人口数量和结构〔具体以北京市为例〕。问题四：在新生育政策下，重点讨论城镇化对北京市人口开展的影响。二、模型假设〔1〕假设查找的数据资料能够正确反映当前社会的真实情况；〔2〕假设不考虑移民对总人口的影响；〔3〕假设在预测人口模型中各项指标均在自然资源和环境的承载能力之中；〔4〕假设不考虑意外事件对人口结构的影响；〔5〕假设有四个主要因素对二胎政策的提出和实行有影响〔其中四个因素分别为：出生性别比、临近超低生育率水平、人口老龄化、人口红利〕；〔6〕假设2023年的人口水平可大致反映目前我国的人口水平。三、模型符号说明自然增长率原始矩阵男女比例原始矩阵人口红利原始矩阵老龄化程度原始矩阵人口水平指数灰色预测原始数据灰色预测一次累加生成数据开展灰度内生控制灰度出生率X时间T老龄化指数W(t)出生人口性别比例K(t)妇女生育率h(t)乡村城镇化d(t)人口增长率P(t)人口总数N(t)四、模型的建立与求解4.1问题一定量分析我国历年人口普查状况，说明在继续实行方案生育政策下，我国未来人口开展情况，并预测未来30年内我国人口结构。4.1.1模型的分析问题一是一个关于人口结构预测的问题，我们通过查阅资料并结合实际情况认为人口结构主要包含五个方面：人口总数、出生率、死亡率、年龄结构、性别比例，其他因素对人口结构的影响都是通过这些因素来表达的。因为人口结构变化复杂，影响因素较多，变化趋势不明朗，但是除性别比例不呈单调变化趋势外，其他因素根本呈现单调变化趋势，所以本问题对人口总数、出生率、死亡率，年龄结构可采用灰色预测方法，而对性别比例，由于它是呈波动特性的，那么可以采用基于最小二乘法的波动函数拟合的方法。4.1.2模型的建立与求解4.1.模型一灰色预测模型GM〔1,1〕[2]以2001年为初始年根据之后十年的历史数据进行模拟并对未来三十年的人口总数、出生率、死亡率，年龄结构进行预测，利用灰色预测理论建立模型步骤如下：第一步:作一阶累加，形成数据序列设时间序列有个观测值，模型相应的灰微分方程为：其中，是由n个观测值通过累加生成的新序列，为开展灰度，为内生控制灰度。第二步:求参数和设为待估参数向量，，利用最小二乘法求解可得：其中：，，第三步:建立生成数据序列模型求解微分方程，即可得到预测模型：······〔3〕第四步:建立原始数据序列模型：，这里是原始序列的拟合值，是原始数据序列的预测值。灰色预测模型的求解利用“中华人民共和国国家统计局>>中国统计年鉴〞[3]搜集2001年-2023年人口总数，出生率，死亡率，年龄结构和性别比例情况，(具体数据见附录)。用Matlab编程进行拟合，[4]预测出了2023-2041年的人口总数、出生率、死亡率、男女比例和年龄结构的情况，对于未来30年人口总数，出生率，死亡率和自然增长率情况如下表：(Matlab程序见附录)表一：未来30年人口总数与各年龄段人口数量预测表人口总数(十亿)年龄结构0-14岁15-64岁>65岁2023202320237202320232023202320232023202320212022202320242025202620272028202920302031203220332034203520362037203820392040图一：2023-2040年我国年龄结构比例预测图表二：出生率死亡率自然增长率预测表出生率死亡率自然增长率20232023202311.57182023202320232023202320232023202120222023202420252026202720282029203020312032203320342035203620372038203920404.1.模型二基于最小二乘法的波动拟合模型的建立：由所查数据知，性别比例呈现波动性变化，本文为拟合这种非单调的波动性变化，采用了一个三角函数作为拟合函数，如下：其中：模型的求解：用MATLAB进行最小二乘算法编程计算，得到的系数依次为：将参数代入拟合函数中，进行预测，可得未来三十年性别比例如下表：表三：性别比例预测表年份20232023202320232023性别比例398年份20232023202320232023性别比例年份20212022202320242025性别比例年份20262027202820292030性别比例年份20312032203320342035性别比例年份20362037203820392040性别比例图二：性别比例预测图4.模型的结论由以上对为来三十年人口结构预测数据知：我国总人口数将平稳增加，三十年后〔2040年〕到达亿，0-14岁人口占总人口的比例不断减少，2023年后到达6.4502%,65岁以上人口比例不断增加。2040年到达17.74%.人口将朝老龄化方向开展。人口出生率也逐年下降，死亡率逐年增多。由上图可知，性别比例那么维持在103-107间波动，这些预测诗符合实际的，也是符合现在的开展趋势的。4.2问题二建立数学模型，根据2023年第六次全国人口普查数据，研究新生育政策在当时是否有必要执行。4.2.1模型的分析由于人口红利消失、临近超低生育率水平、人口老龄化、出生性别比失调等因素对做出实行二胎政策的均有不同程度的影响，其中，自然增长率、男女比例、人口红利对二胎政策的实行起到的是抑制作用，而老龄化程度对二胎政策的实行起到的是促进作用，所以我们可以将这些因素进行综合，通过对数据标准化处理，加权求和，得到人口水平指数，通过研究目前的人口水平指数是否到达了公布二胎政策的标准，再找出公布二胎政策的临界人口水平指数。我们通过比拟临界人口水平指数和当前的人口水平指数，讨论是否有必要实行二胎政策。4.2.2模型的建立与求解通过问题一的研究，数据说明，我国人口自然增长率、男女比例，老龄化程度逐年上升，我们又收集和计算了从2001年到2023年间人口红利的数据，也呈逐年上升趋势，我国越来越需要实行新的生育政策。如下处理第一步：将收集到的数据进行归一化处理：对收集到的自然增长率A进行归一化处理对收集到的男女比例B进行归一化处理对收集到的人口红利数据C进行归一化处理对收集到的老龄化程度数据D进行归一化处理第二步：对归一化结果进行标准化处理 对自然增长率归一化矩阵进行标准化处理 对男女比例归一化矩阵进行标准化处理 对人口红利归一化矩阵进行标准化处理 对老龄化程度归一化矩阵进行标准化处理第三步：根据权重，将标准化的数据整合得到人口水平指数根据主要因素所占的权重，进行加权求和后，将标准化的数据整合得到人口水平指数〔其中这些主要因素及所占比重分别为：自然增长率10%，男女比例35%，人口红利30%，老龄化程度25%〕该指数将表示各方面因素对是否公布二胎政策的综合影响标准，人口水平指数越高，那么公布二胎政策的必要性越大。4.2人口水平指数的临界值通过研究资料说明，性别比例的临界值为1:1，人口自然增长率的临界值为0%，老龄化程度为7%，人口红利的临界值为50%。那么通过上述数据处理后，得到的各影响因素的归一化结果见表四：表四：各影响因素临界归一化结果影响因素归一化结果人口自然增长率性别比例人口红利老龄化程度将上述归一化结果经过标准化处理，得到各影响因素的标准化处理结果见表五：表五：各影响因素临界标准化结果影响因素标准值人口自然增长率性别比例人口红利老龄化程度将标准化的各临界值带入上述公式，得到临界人口水平指数L0为：当L>L0时，那么有必要开放二胎政策，反之，那么没有必要开放，〔其中，L是目前人口水平指数，L0是临界人口水平指数。〕目前人口水平指数：将2023年的数据作为目前数据来处理。所以根据附录中的数据，通过中的步骤，得出2023年人口水平的归一化结果为2023年人口水平标准化结果为得到2023年的人口水平指数L2023为人口水平指数判断二胎执行：由于>，综合考虑上述四个主要因素后，得知我国到2023年还没有必要开放二胎政策。4.3问题三本问题要求在方案生育新政策下预测北京市未来30年人口数量和结构〔年龄比例与性别比例两个因素〕。(2001-2023年北京市人口数据见附录)4.3.1模型的分析本问题要求在方案生育新政策下预测未来30年人口数量和结构〔以北京市为例〕，考虑出生率单因素变化影响下，人口数量与结构的变化。考虑到实际情况，出生率变化主要影响0-14岁人口数量，65岁以上人口数量和性别比例的变化，问题一的结果显示，出生率0-14岁人口数，65岁以上人口数呈单调变化关系，可以用多项式拟合的方法，先拟合出出生率与以上2个变量间的函数关系，再将执行方案生育新政策后出生率变化后的值代入拟合方程，即可预测出新政策下二个人口结构指标的变化。针对性别比例与出生率的关系，根据男、女比例加权模型来预测。4.3.2模型的建立与求解基于出生率单因素变化的线性拟合模型的建立与求解把出生率和0-14岁、大于65岁人口比重分别作为自变量和因变量，通过MATLAB编程求解，进行多项式拟合处理，得到未来三十年内出生率与0-14岁人口和大于65岁人口比例的拟合图像如下：〔Matlab程序见附录〕图三：人口结构与出生率关系图拟合得到的函数为：实行方案生育新政策后，我们假设出生率由原预测的2023年逐年增加，假设以2023年为初始年，生育率线性增长，我们查阅资料得知，放宽政策后，第一胎生男生的家庭愿意再生孩子和第一胎生女孩的家庭再生孩子的概率分为，我们假设男女比例大约各占一半，假设出生率呈线性增加，那么新政策下每年的将多增加的出生率为：那么新政策下的出生率表达式为：于是我们得到出生率呈直线增加，到2040年到达。利用上述你和函数模型，利用Matlab，得出新生育政策下，各年龄阶段的人口比重预测图如下。图四：新政策下的人口结构比例图男女比例加权模型的建立与求解为预测执行方案生育新政策后男女比例，我们查阅了资料，得到了第一胎生男和生女家庭第二胎选择不生、生男、生女的概率，具体数据如下表：表六：第二胎生男生女概率表不生生男生女第一胎生男第一胎生女假设第一胎生女后，第二胎不生、生男、生女的概率为，第一胎生男后，第二胎不生、生男、生女的概率为。第二问中未放宽一胎化时预测的男性比例为，女性比例为，那么在第二问根底上，可用以下公式预测新政策下的男女性别比例：利用MATLAB，将附录中的数据代入以上公式求解得到新的性别比例预测值如下表：表七：放宽一胎化后的未来三十年性别比例预测年份20232023202320232023性别比例年份20232023202320232023性别比例年份20212022202320242025性别比例110.9922112.0955110.9159年份20262027202820292030性别比例110.6696110.2688109.7542109.0136年份20312032203320342035性别比例108.7740109.0287108.9217年份20362037203820392040性别比例109.6173110.5672111.9948110.71604.3.3模型的结论由以上两个模型的求解我们得到如下结论：根据实际情况，我们在预测0-14和65岁以上人口比例时，执行方案生育新政策后0-14岁人口数量的比例逐渐上升，30年后〔2040年〕到达27.4973%。而大于65岁年龄的人口数量比例增速变缓，30年后到达16.1903%。而性别比例将在107-112间波动。说明调整政策后，人口将由衰退型向增长型转变，而性别比例不均衡将进一步恶化。问题四新生育政策下，重点讨论城镇化对北京市未来人口开展的影响。4.4.1问题分析由上述问题考虑的因素，并结合人口城镇化因素，建立多元回归分析模型[5]从而得知，城镇化因素在人口开展中起着决定性作用。由此，我们重点讨论由城镇化因素引起的人口老龄化、出生人口性别比、生育率等指标的变化，从而来解释和刻画北京市人口的变动情况。最后，我们通过研究人口数量的变化规律，预测人口的变化趋势。模型建立我们首先定义如下变量：1、老龄化指数，年龄＞＝65岁的人数与年龄＜＝14岁的人数的比值。〔t时刻〕2、出生人口性别比，男性新出生人口与女性新出生人口的比值。〔t时刻〕3、妇女生育率，单位时间内平均每个育龄妇女的生育率。〔t时刻〕4、城镇化程度，城镇人口与总人口的比值。综合考虑上述四个因素，建立多元线性回归模型，从而得出第t年人口增长率：再通过方程：最终求出未来几年北京市人口预测值。4.4.3模型求解根据《中国统计年鉴》，整理出模型中要求的老龄化指数、出生人口性别比、妇女生育率、人口城镇化四项指标2001年——2023年的相关数据，利用spss[6]作人口增长率与四项指标的多元线性回归，得出：得到：在影响人口增长率的四个因素中，城镇化程度所占比重最大运用灰色预测方法预测四项指标未来几年变化情况，根据模型方程最终得出我的人口的自然增长率。〔具体预测数据值见附录〕利用VC编程〔程序见附录〕得出北京市未来人口增长率以及人口总数。表八：北京市的人口增长速度变化趋势〔单位：%〕年数20232023202320232023增长率年数20232023202320232023增长率图五：北京市人口增长速度预测图从预测效果来看〔见表八和图五〕，人口增长速度在2023年后出现增长速度加快的趋势。利用预测出的人口增长速度根据模型中的方程运用迭代方法得出北京市人口中短期走势〔单位：万人〕：表九：北京市人口的短期走势年数20232023202320232023总人口数19902000200620232025年数20232023202320232023总人口数20362048206220782098图六：北京市人口数量预测从预测结果表九和图六可以看出，北京市人口在2023-2023年的呈现持续上升。在无特殊事故发生的情况下，增长曲线较为光滑，在2023年到达2098万人。模型的结论综合考虑方案生育新政策和城镇化因素，预测出北京市人口自然增长率会逐年增加，人口总量保持持续增长，一方面，有利于促进北京市的经济开展，另一方面，也会对北京市就业，教育等方面产生压力。参考文献[1]百度百科，二胎政策,，2023年5月18日[2]邓聚龙，灰预测与灰决策，武汉：华中科技大学出版社，2000[3]中华人民共和国国家统计局>>中国统计年鉴,，2023年5月10日[4[6]李志辉罗平，SPSSforWindows统计分析教程，北京：电子工业出版社，2003附录数据清单：2001年-2023年人口数及构成单位：万人年份总人口(年末)按性别分出生率死亡率自然增长率按年龄组分男女0-14岁15-64岁65岁及以上人口数比重(%)人口数比重(%)人口数比重(%)人口数比重(%)人口数比重(%)20011276276567261955287168984990622002128453661156233828774903029377200312922766556626712855990976969220041299886697663012279479218498572005130756673756338126504941971005520061314486772863720259619506810419200713212968048640812566095833106362023132802683576444525166966801095620231334506864764803246599748411307202313409168748653432225999938118942001年-2023年北京市人口数及构成本表是北京市人口变动情况抽样调查样本数据，抽样比为0.900‰。年份人口数〔万人〕按性别分出生率死亡率自然增长率按年龄组分抽样人口数〔人〕男女性别比〔女=100〕0-14岁15-64岁65岁及以上人口数人口数人口数比重(%)人口数比重(%)人口数比重(%)2001138312447646359841434956014532002142312501661258881429972413472003145612895663762571362100891444200414931324267836459131810451791473200515381382870056824142210911149520061581141836992719214151117615932007163314554724373111401116691484202316951503076407391145912026154620231755155627943761915431244815712023196217658911785411521145981539短期内北京市老龄化的趋势年份20232023202320232023比例年份20232023202320232023比例人口城镇化趋势年份20012002200320042005比例年份20062007202320232023比例年份20232023202320232023比例年份20232023202320232023比例2001年——2023年生育率预测年份20012002200320042005比例年份20062007202320232023比例年份20232023202320232023比例年份20232023202320232023比例2001年—2023年新出生人口男女比年份20012002200320042005比例年份20062007202320232023比例年份20232023202320232023比例年份20232023202320232023比例程序清单：灰色预测模型的Matlab程序：%--2023/5/212:57--%clearsymsau;c=[au]';%灰参数cA=[127627,128453,129227,129988,130756,131448,132129,132802,133450,134091,134735];%原始数据Ago=cumsum(A);%原始数据一次累加n=length(A);%原始数据个数fori=1:(n-1)C(i)=(Ago(i)+Ago(i+1))/2;%生成累加矩阵end%计算待定参数的值Yn=A;Yn(1)=[];Yn=Yn';E=[-C;ones(1,n-1)];c=inv(E*E')*E*Yn;c=c';a=c(1);u=c(2);%预测后续数据F=[];F(1)=A(1);fori=2:(n+30)F(i)=(A(1)-u/a)/exp(a*(i-1))+u/a;endG=[];G(1)=A(1);fori=2:(n+30)G(i)=F(i)-F(i-1);%得到预测出来的数据endt1=2001:2023;t2=2001:2040;Gplot(t1,A,'o',t2,G)%原始数据