浙教版七年级数学上册期末专题复习 第05讲 平方根、实数、立方根（10大考点）（原卷版+解析版）

第05讲平方根、实数、立方根（10大考点）考点考向考点考向一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.要点：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.2.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.(≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.三、平方根的性质四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.五、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.要点：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.六、实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：实数按与0的大小关系分：实数2.实数与数轴上的点的关系我们尝试用数轴上的一个点来表示．由前面的学习，我们知道两个边长为1的小正方形可以拼成一个面积为2的正方形ABCD，它的边长为．观察正方形ABCD，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1．这样，就在数轴上确定一个点来表示．要点：每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的点与实数一一对应。3.两个实数比较大小①负数小于0,0小于正数；两个正数绝对值大的数较大，两个负数绝对值大的数较小；从数轴上看，右边的点表示的数比左边的大。②数轴上，如果点A,点B所对应的数分别为a，b，那么A,B两点的距离4.估算：怎样估算无理数(①误差小于1)？(②误差小于0.1)？误差小于0.1就是指估算出来的值与准确值之间的差的绝对值小于0.1.估算无理数的方法是： （1）通过平方运算，采用“夹逼法”，确定真正值所在范围；（2）根据问题中误差允许的范围内取出近似值。（3）“精确到”与“误差小于”意义不同。如精确到1m是四舍五入到个位，答案惟一；误差小于1m，答案在真正值左右1m都符合题意，答案不惟一。在本章中误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位。记忆常用数的近似值：≈1.414≈1.732≈2.236七、立方根的定义如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.要点：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数.开立方和立方互为逆运算.八、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.要点：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.九、立方根的性质要点：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.十、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.考点精讲考点精讲一．平方根（共4小题）1．（2021秋•嘉兴期末）2的平方根是（）A． B．﹣ C．± D．42．（2021秋•慈溪市期中）已知2a﹣1的一个平方根是3，3a+b﹣1的一个平方根是﹣4，求a+2b的平方根．3．（2021秋•诸暨市期末）若一个数的平方等于6，则这个数等于．4．（2021秋•西湖区校级期中）已知a2＝16，|﹣b|＝3，解下列问题：（1）求a﹣b的值；（2）若|a+b|＝a+b，求a+b的平方根．二．算术平方根（共6小题）5．（2021秋•温州期末）有一个数值转换器，原理如下，当输入的x为81时，输出的y是（）A． B．9 C．3 D．26．（2021秋•衢江区期末）下列运算正确的是（）A．＝4 B．﹣|﹣2|＝2 C．＝±3 D．23＝67．（2021秋•滨江区期末）已知某数的一个平方根为，则该数是，它的另一个平方根是．8．（2021秋•义乌市期末）一个自然数的算术平方根是a，则和这个自然数相邻的下一个自然数是．9．（2021秋•江干区校级期中）如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9．（1）小正方形的边长在哪两个连续的整数之间？并说明理由．（2）求阴影部分的面积．10．（2021秋•西湖区期末）如图，每个小正方形的边长为1，可通过“剪一剪”，“拼一拼”，将五个小正方形拼成一个面积一样的大正方形，则这个大正方形的边长是．三．非负数的性质：算术平方根（共4小题）11．（2021秋•萧山区月考）若+（b﹣3）2＝0，则ab＝（）A． B． C．8 D．12．（2021秋•奉化区期中）若（x﹣2017）2+|2018+y|+＝0，则（x+y）m＝．13．（2021秋•鄞州区校级月考）已知|c+1|＝0，则ba﹣c＝．14．（2020秋•下城区期末）若|a﹣2021|+＝2，其中a，b均为整数，则符合题意的有序数对（a，b）的组数是．四．立方根（共5小题）15．（2021秋•义乌市期末）已知4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算术平方根是4．（1）求a，b的值；（2）求6a+3b的平方根．16．（2021秋•上城区期末）若x3＝64，则x的平方根为．17．（2021秋•慈溪市期中）已知|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8．（1）若a＜b，求a+b的值；（2）若abc＞0，求a﹣3b﹣2c的值．18．（2021秋•义乌市期中）如果＝3.9522，则＝；＝39.522，则x＝；如果＝2.872，＝1.3333，则＝；＝﹣1333.3，则x＝．19．（2021秋•青田县校级期中）把一个长为6cm，宽为4cm，高为9cm的长方体铁块锻造成一个正方体铁块，求锻造后正方体铁块的棱长．五．无理数（共1小题）20．（2022•乐清市开学）给出四个实数，3.14，0，，其中无理数是（）A． B．3.14 C．0 D．六．实数（共2小题）21．（2020秋•下城区期末）若a，b均为整数，且b≠0，则不可能是（）A．正数 B．负数 C．无理数 D．实数22．（2021秋•鄞州区校级月考）把下列各数的序号填在相应的大括号内：①﹣0.3；②﹣7；③；④﹣π；⑤|﹣2|；⑥；⑦3.1010010001…（每两个1之间多一个0）；⑧﹣．正整数{}；分数{}；负有理数{}；无理数{}．七．实数的性质（共4小题）23．（2021秋•温州期中）若有一个实数为，则它的相反数为（）A． B． C． D．24．（2021秋•柯城区校级期中）的相反数是．25．（2021秋•奉化区期中）在电视台一档互动节目中，主持人问这样一道题目：“a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的实数，d是倒数是它本身的数，”请问：a﹣b+c+d＝．26．（2021秋•奉化区期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|＝2，且m＜0；（1）求2a﹣（cd）2018+2b﹣3m的值．（2）若＝m，c＝，求b﹣4d+m的值．八．实数与数轴（共6小题）27．（2020秋•滨江区期末）如图，顺次连结4×4方格四条边的中点，得到一个正方形ABCD．设每一个小方格的边长为1个单位．（1）正方形ABCD的边长介于哪两个相邻的整数之间，请说明理由．（2）如果把正方形ABCD放到数轴上，使得边AB与数轴重合，且点A与数轴的原点重合，数轴的单位长度就是小方格的边长．请写出点B在数轴上所表示的数．28．（2021秋•海曙区期末）如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且AB＝AE，则E点所表示的数为（）A． B． C． D．29．（2021秋•越城区期末）如图，实数﹣1在数轴上的对应点可能是（）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点30．（2021秋•诸暨市期末）定义：有A、B两只电子跳蚤在同一条数轴上跳动，它们在数轴上对应的实数分别为a、b．若实数a、b满足b＝3a+2时，则称A、B处于“和谐位置”，A、B之间的距离为“和谐距离”．（1）当A在原点位置，且A、B处于“和谐位置”时，“和谐距离”为．（2）当A、B之间的“和谐距离”为2022时，求a、b的值．31．（2021秋•乐清市校级月考）设a，b在数轴上表示的实数到原点的距离相等，且位于原点的两侧，c，d互为倒数，e的绝对值为3，请求出下列代数式的值：5a+5b﹣+e．32．（2021秋•北仑区期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使实数和数轴上的点建立起一一对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．【阅读理解】|3﹣1|表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣1|可以理解为x与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，|x+1|＝|x﹣（﹣1）|就表示x在数轴上对应的点到﹣1的距离．（1）【尝试应用】①数轴上表示﹣4和2的两点之间的距离是（写出最后结果）；②若|x﹣（﹣2）|＝3，则x＝；（2）【动手探究】小明在草稿纸上画了一条数轴，并折叠纸面，若表示2的点与表示﹣4的点重合．①则表示10的点与表示的点重合；②这时如果A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为2022，且A，B两点经过折叠后重合，则A表示的数是，B表示的数是；③若点A表示的数为a，点B表示的数为b（A在B的左侧），且A，B两点经折叠后刚好重合，那么a与b之间的数量关系是；（3）【拓展延伸】①当x＝时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|有最小值，最小值是；②|x+1|﹣|x﹣4|有最大值，最大值是，|x+1|﹣|x﹣4|有最小值，最小值是．九．实数大小比较（共4小题）33．（2021秋•普陀区期末）实数a在数轴上的位置如图所示，则，1，0的大小顺序是（）A． B． C． D．0＜1且1和的大小无法确定34．（2021秋•青田县期末）若|x﹣y|﹣|x﹣z|＝|y﹣z|，则实数x、y、z之间的大小关系可能为（）A．x＞y＞z B．z＞y＞x C．y＞x＞z D．x＞z＞y35．（2021秋•杭州期末）请用符号“＜”将下面实数﹣32，，﹣3连接起来．36．（2020秋•西湖区校级期末）已知a，b，c在数轴上的对应点如图所示，且|a|＝|b|；（1）根据数轴判断：a+b0，c﹣b0．（填＞，＜，＝）（2）|c﹣a|﹣|c﹣b|+|a+b|+|c﹣1|．一十．估算无理数的大小（共6小题）37．（2021秋•新昌县期末）如图，数轴上的点A，B，C，D，E分别对应的数是1，2，3，4，5，那么表示的点应在（）A．线段AB上 B．线段BC上 C．线段CD上 D．线段DE上38．（2021秋•青田县期末）已知113＝1331，123＝1728，133＝2197，143＝2744．若n为整数且n＜＜n+1，则n的值为（）A．11 B．12 C．13 D．1439．（2021秋•定海区期末）绝对值小于的整数有个．40．（2021秋•诸暨市期末）的整数部分是．41．（2021秋•滨江区校级期中）阅读材料，解答问题：材料：∵即2，∴的整数部分为2，小数部分为．问题：已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．（1）求的小数部分．（2）求3a﹣b+c的平方根．42．（2020秋•江干区期末）如果一个正方形ABCD的面积为69．（1）求正方形ABCD的边长a．（2）正方形ABCD的边长满足m＜a＜n，m，n表示两个连续的正整数，求m，n的值．（3）m，n在满足（2）的条件下，求的值．巩固提升巩固提升一、单选题1．（2022·浙江台州·七年级阶段练习）9的平方根是（）A．3 B．-3 C． D．不存在2．（2022·浙江杭州·七年级期末）正方形面积为10，其边长是x，以下说法正确的是(

)A．x是有理数 B．2＜x＜3C．3＜x＜4 D．在数轴上找不到表示实数x的点3．（2022·浙江丽水·七年级期中）在，，，0.3，－，3.121121112…（每两个2之间依次多一个1）中，无理数的个数有（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个4．（2022·浙江丽水·七年级期中）有下列说法：（1）有理数与数轴上的点一一对应；（2）绝对值等于本身的数是1和0；（3）两个无理数的和是无理数；

（4）算术平方根是它本身的数是1和0；其中说法正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2022·浙江丽水·七年级期中）估计的值在（

）A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间6．（2022·浙江台州·七年级期中）下列从左到右的变形中，正确的是（）A． B．=﹣0.6 C． D．7．（2022·浙江丽水·七年级期末）若，则实数x、y、z之间的大小关系可能为（

）A． B． C． D．8．（2022·浙江台州·七年级阶段练习）如示意图，小宇利用两个面积为1dm2的正方形拼成了一个面积为2dm2的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了dm的大小．为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是（

）A．利用两个边长为2dm的正方形感知dm的大小B．利用四个直角边为3dm的等腰直角三角形感知dm的大小C．利用一个边长为dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知dm的大小D．利用四个直角边分别为1dm和3dm的直角三角形以及一个边长为2dm的正方形感知dm的大小9．（2022·浙江丽水·七年级期末）实数x满足，则下列整数中与x最接近的是（

）A．3 B．4 C．5 D．610．（2022·浙江金华·七年级期末）如图，正六边形ABCDEF（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点A、F对应的数分别为-2和-1，现将正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转2000次后，数轴上1998这个数所对应的点是（

）A．A点 B．D点 C．E点 D．F点11．（2021·浙江·余姚市舜水中学七年级期中）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则A，B，C，D四个点中可能是原点的为（）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点二、填空题12．（2022·浙江金华·七年级期末）估算：______．13．（2022·浙江台州·七年级阶段练习）如果一个数的平方根为2和m，那么m的值为_____________．14．（2022·浙江丽水·七年级期中）4的相反数是__________，绝对值是4的数是__________，4的平方根是__________．15．（2022·浙江台州·七年级阶段练习），，则_____．16．（2022·浙江台州·七年级期中）已知，则=______.17．（2022·浙江台州·七年级阶段练习）如图，数轴上的点A表示的数为，点B为数轴上另一点，且与点A的距离为1，则点B所表示的数为______．18．（2022·浙江金华·七年级期末）如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为____．19．（2022·浙江·七年级专题练习）若一个数的立方是﹣8，则这个数是__．20．（2020·浙江·七年级期末）若，其中，均为整数，则符合题意的有序数对的组数是______．21．（2020·浙江·金华市南苑中学七年级期中）已知7＋的整数部分是m，11-的小数部分是n，则m＋n＝______22．（2021·浙江·七年级期中）对于任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1．现对72进行如下操作：72[72]＝8[]＝2[2]＝1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是__________．23．（2022·浙江温州·七年级期末）如图，正方形ABCD和正方形EFGH分别由两张相同的长方形纸片无缝拼接而成，现将其摆放在桌面上，如图所示，重合部分为甲、乙、丙，其中乙为正方形，记甲、丙的面积分别为，，若，且桌面被所有纸片覆盖区域的面积为，则乙的面积为________．24．（2020·浙江杭州·七年级期末）如图所示，数轴上点A表示的数是-1，0是原点以AO为边作正方形AOBC，以A为圆心、AB线段长为半径画半圆交数轴于两点，则点表示的数是___________，点表示的数是___________．三、解答题25．（2022·浙江台州·七年级阶段练习）求下列式子中x的值：26．（2022·浙江台州·七年级期末）计算(1)；(2)．27．（2022·浙江台州·七年级期中）已知a的立方根是2，b是的整数部分，c是9的平方根，求a+b+c的算术平方根．28．（2022·浙江台州·七年级期中）已知为整数，为计算它的值，请你思考并回答下列问题.(1)整数1至9中，立方后，个位数字为7的是；(2),,由此可知：是位数；(3)计算，，，再求的值.29．（2022·浙江台州·七年级阶段练习）小波想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使长方形的长宽之比为3：2．(1)请你帮小波求出长方形纸片的长与宽；(2)小波能用这块正方形纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．30．（2022·浙江台州·七年级期中）求下列各式中x的值：(1)(2)31．（2020·浙江温州·七年级期中）把下列各数表示在数轴上，并按从小到大的顺序用“<”连接起来：

-2，，|-3|，1.5，32．（2021·浙江宁波·七年级期末）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．（1）图2中A、B两点表示的数分别为___________，____________；（2）请你参照上面的方法：①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长___________．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长）33．（2020·浙江宁波·七年级期中）先阅读材料，再解答问题：我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出，给出了答案，众人十分惊讶，忙问计算的奥妙，你知道华罗庚怎样迅速而准确地计算出结果吗？请你按下面的步骤也试一试：（1）我们知道，，那么，请你猜想：59319的立方根是_______位数（2）在自然数1到9这九个数字中，________，________，________．猜想：59319的个位数字是9，则59319的立方根的个位数字是________．（3）如果划去59319后面的三位“319”得到数59，而，，由此可确定59319的立方根的十位数字是________，因此59319的立方根是________．（4）现在换一个数103823，你能按这种方法得出它的立方根吗？34．（2019·浙江杭州·七年级期中）观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（1），，，……，，，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．（2）已知，，则_____；______．（3），，，……小数点的变化规律是_______________________．（4）已知，，则______．第05讲平方根、实数、立方根（10大考点）考点考向考点考向一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.要点：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.2.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.(≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.三、平方根的性质四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.五、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.要点：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.六、实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：实数按与0的大小关系分：实数2.实数与数轴上的点的关系我们尝试用数轴上的一个点来表示．由前面的学习，我们知道两个边长为1的小正方形可以拼成一个面积为2的正方形ABCD，它的边长为．观察正方形ABCD，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1．这样，就在数轴上确定一个点来表示．要点：每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的点与实数一一对应。3.两个实数比较大小①负数小于0,0小于正数；两个正数绝对值大的数较大，两个负数绝对值大的数较小；从数轴上看，右边的点表示的数比左边的大。②数轴上，如果点A,点B所对应的数分别为a，b，那么A,B两点的距离4.估算：怎样估算无理数(①误差小于1)？(②误差小于0.1)？误差小于0.1就是指估算出来的值与准确值之间的差的绝对值小于0.1.估算无理数的方法是： （1）通过平方运算，采用“夹逼法”，确定真正值所在范围；（2）根据问题中误差允许的范围内取出近似值。（3）“精确到”与“误差小于”意义不同。如精确到1m是四舍五入到个位，答案惟一；误差小于1m，答案在真正值左右1m都符合题意，答案不惟一。在本章中误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位。记忆常用数的近似值：≈1.414≈1.732≈2.236七、立方根的定义如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.要点：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数.开立方和立方互为逆运算.八、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.要点：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.九、立方根的性质要点：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.十、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.考点精讲考点精讲一．平方根（共4小题）1．（2021秋•嘉兴期末）2的平方根是（）A． B．﹣ C．± D．4【分析】根据平方与开平方互为逆运算，运用平方可得一个数的平方根．【解答】解：∵，∴，故选：C．【点评】本题考查了平方根，根据平方求平方根，注意一个正数的平方根有两个．2．（2021秋•慈溪市期中）已知2a﹣1的一个平方根是3，3a+b﹣1的一个平方根是﹣4，求a+2b的平方根．【分析】先根据题意得出2a﹣1＝9，3a+b﹣1＝16，然后解出a＝5，b＝2，从而得出a+2b＝5+4＝9，所以a+2b的平方根为±3．【解答】解：∵2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的平方根为±4，∴2a﹣1＝9，3a+b﹣1＝16，解得：a＝5，b＝2，∴a+2b＝5+4＝9，∴a+2b的平方根为±3．【点评】此题考查了平方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．3．（2021秋•诸暨市期末）若一个数的平方等于6，则这个数等于．【分析】根据平方根的定义求解即可．【解答】解：∵（±）2＝6，∴这个数等于±，故答案为：±．【点评】本题主要考查平方根，一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．4．（2021秋•西湖区校级期中）已知a2＝16，|﹣b|＝3，解下列问题：（1）求a﹣b的值；（2）若|a+b|＝a+b，求a+b的平方根．【分析】（1）根据平方根、绝对值的定义解决此题．（2）根据平方根、绝对值的非负性解决此题．【解答】解：（1）∵a2＝16，|﹣b|＝3，∴a＝±4，b＝±3．∴当a＝4，b＝3，则a﹣b＝4﹣3＝1；当a＝4，b＝﹣3，则a﹣b＝4﹣（﹣3）＝7；当a＝﹣4，b＝3，则a﹣b＝﹣4﹣3＝﹣7；当a＝﹣4，b＝﹣3，则a﹣b＝﹣4﹣（﹣3）＝﹣1．综上：a﹣b＝±1或±7．（2）∵|a+b|＝a+b，∴a+b≥0．∴a+b＝1或7．∴当a+b＝1时，a+b的平方根为±1；当a+b＝7时，a+b的平方根为±．综上：a+b的平方根为±1或±．【点评】本题主要考查平方根、绝对值，熟练掌握平方根、绝对值的定义是解决本题的关键．二．算术平方根（共6小题）5．（2021秋•温州期末）有一个数值转换器，原理如下，当输入的x为81时，输出的y是（）A． B．9 C．3 D．2【分析】直接利用算术平方根的定义分析得出答案．【解答】解：由题意可得：81的算术平方根是9，9的算术平方根是3，则3的算术平方根是，故输出的y是．故选：A．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握相关定义是解题关键．6．（2021秋•衢江区期末）下列运算正确的是（）A．＝4 B．﹣|﹣2|＝2 C．＝±3 D．23＝6【分析】根据算术平方根、绝对值、有理数的乘方解决此题．【解答】解：A．根据算术平方根的定义，，那么A正确，故A符合题意．B．根据绝对值的定义，﹣|﹣2|＝﹣2，那么B错误，故B不符合题意．C．根据算术平方根的定义，＝3，那么C错误，故C不符合题意．D．根据有理数的乘方，23＝8，那么D错误，故D不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查算术平方根、绝对值、有理数的乘方，熟练掌握算术平方根、绝对值、有理数的乘方是解决本题的关键．7．（2021秋•滨江区期末）已知某数的一个平方根为，则该数是6，它的另一个平方根是﹣．【分析】根据平方根的平方等于被开方数，可得答案，根据一个正数的平方根互为相反数，可得答案．【解答】解：某数的一个平方根是，那么这个数是6，它的另一个平方根是﹣，故答案为：6，﹣．【点评】本题考查了平方根．解题的关键是掌握平方根的定义，注意一个正数的两个平方根互为相反数．8．（2021秋•义乌市期末）一个自然数的算术平方根是a，则和这个自然数相邻的下一个自然数是a2+1．【分析】首先根据算术平方根的定义求出自然数，然后即可求出这个自然数相邻的下一个自然数．【解答】解：∵一个自然数的算术平方根为a，∴这个自然数是a2．∴和这个自然数相邻的下一个自然数是a2+1．故答案为a2+1．【点评】此题主要考查了算术平方根的概念，同时要知道相邻的两个自然数相差为1．9．（2021秋•江干区校级期中）如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9．（1）小正方形的边长在哪两个连续的整数之间？并说明理由．（2）求阴影部分的面积．【分析】（1）根据算术平方根可得小正方形的边长，估算在2和3之间；（2）利用长×宽可得结论．【解答】解：（1）∵小正方形的面积为6，∴小正方形的边长为，∵4＜6＜9，∴2＜＜3，∴小正方形的边长在2和3之间；（2）阴影部分的面积＝×（3﹣）＝3﹣6．【点评】考查列代数式和算术平方根问题，得到两个正方形的边长是解决本题的关键．10．（2021秋•西湖区期末）如图，每个小正方形的边长为1，可通过“剪一剪”，“拼一拼”，将五个小正方形拼成一个面积一样的大正方形，则这个大正方形的边长是．【分析】由图可知每个小正方形的边长为1，面积为1，得出拼成的小方形的面积为5，进一步开方得出拼成的正方形的边长为．【解答】解：分割图形如下：故这个正方形的边长是：．故答案为：．【点评】本题考查图形的剪拼和算术平方根，熟知“如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根”是解答此题的关键．三．非负数的性质：算术平方根（共4小题）11．（2021秋•萧山区月考）若+（b﹣3）2＝0，则ab＝（）A． B． C．8 D．【分析】根据非负数的性质列式分别求出a、b，根据有理数的乘方法则计算，得到答案．【解答】解：由题意得，2a+1＝0，b﹣3＝0，解得，a＝﹣，b＝3，则ab＝﹣，故选：B．【点评】本题考查的是非负数的性质、有理数的乘方，掌握算术平方根和偶次方的非负性是解题的关键．12．（2021秋•奉化区期中）若（x﹣2017）2+|2018+y|+＝0，则（x+y）m＝﹣1．【分析】直接利用非负数的性质得出x，y，m的值，进而结合有理数的乘方得出答案．【解答】解：∵（x﹣2017）2+|2018+y|+＝0，∴x﹣2017＝0，2018+y＝0，2019﹣m＝0，解得：x＝2017，y＝﹣2018，m＝2019，则（x+y）m＝（2017﹣2018）2019＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y，m的值是解题关键．13．（2021秋•鄞州区校级月考）已知|c+1|＝0，则ba﹣c＝10．【分析】根据非负数的性质，即可求得a，b，c的值，进而求得ba﹣c的值．【解答】解：根据题意得：a﹣2＝0，b+3＝0，c+1＝0，解得a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1．则ba﹣c＝（﹣3）2﹣（﹣1）＝9+1＝10．故答案是：10．【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．14．（2020秋•下城区期末）若|a﹣2021|+＝2，其中a，b均为整数，则符合题意的有序数对（a，b）的组数是5．【分析】先根据绝对值和算术平方根的非负性得：|a﹣2021|≥0，≥0，所以分情况进行计算即可．【解答】解：∵|a﹣2021|+＝2，其中a，b均为整数，又∵|a﹣2021|≥0，≥0，∴可分以下三种情况：①|a﹣2021|＝0，＝2，解得：a＝2021，b＝﹣2017；②|a﹣2021|＝1，＝1，解得：a＝2020或2022，b＝﹣2020；③|a﹣2021|＝2，＝0，解得：a＝2023或2019，b＝﹣2021；∴符合题意的有序数对（a，b）的组数是5．故答案为：5．【点评】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，解决此题的关键是分类讨论思想，得出a、b可能的取值．四．立方根（共5小题）15．（2021秋•义乌市期末）已知4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算术平方根是4．（1）求a，b的值；（2）求6a+3b的平方根．【分析】（1）运用立方根和算术平方根的定义求解．（2）根据平方根，即可解答．【解答】解：（1）∵4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算术平方根是4，∴4a+7＝27，2a+2b+2＝16，∴a＝5，b＝2；（2）由（1）知a＝5，b＝2，∴6a+3b＝6×5+3×2＝36，∴6a+3b的平方根为±6．【点评】本题考查了平方根、算术平方根，解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根的定义．16．（2021秋•上城区期末）若x3＝64，则x的平方根为±2．【分析】利用立方根的定义求出x的值，即可确定出x的平方根．【解答】解：∵x3＝64，∴x＝4，则4的平方根为±2．故答案为：±2【点评】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．17．（2021秋•慈溪市期中）已知|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8．（1）若a＜b，求a+b的值；（2）若abc＞0，求a﹣3b﹣2c的值．【分析】（1）利用绝对值的定义求出a的值，利用平方根的定义求出b的值，利用立方根的定义求c的值，代入即可求出a+b的值；（2）根据ab小于0，得到ab异号，求出a与b的值，代入所求式子中计算即可求出值．【解答】解：（1）∵|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8．∴a＝±5，b＝±2，c＝﹣2，∵a＜b，∴a＝﹣5，b＝±2，∴a+b＝﹣5+2＝﹣3或a+b＝﹣5﹣2＝﹣7，即a+b的值为﹣3或﹣7；（2）∵abc＞0，c＝﹣2，∴ab＜0，∴a＝5，b＝﹣2或a＝﹣5，b＝2，∴当a＝5，b＝﹣2，c＝﹣2时，a﹣3b﹣2c＝5﹣3×（﹣2）﹣2×（﹣2）＝15，当a＝﹣5，b＝2，c＝﹣2时，a﹣3b﹣2c＝﹣5﹣3×2﹣2×（﹣2）＝﹣7，∴a﹣3b﹣2c＝15或﹣7．【点评】本题考查了代数式求值，涉及的知识有：绝对值及平方根、立方根的定义，求出a与b的值是解本题的关键．18．（2021秋•义乌市期中）如果＝3.9522，则＝395.22；＝39.522，则x＝1562；如果＝2.872，＝1.3333，则＝0.2872；＝﹣1333.3，则x＝﹣2370000000．【分析】根据立方根和算术平方根的定义找出他们之间的规律即可得出答案．【解答】解：如果＝3.9522，则＝395.22，＝39.522，则x＝1562；如果＝2.872，＝1.3333，则＝0.2872；＝﹣1333.3，则x＝﹣2370000000；故答案为：395.22，1562；0.2872，﹣2370000000．【点评】此题考查了立方根和算术平方根，熟练掌握立方根和算术平方根的定义是解题的关键．19．（2021秋•青田县校级期中）把一个长为6cm，宽为4cm，高为9cm的长方体铁块锻造成一个正方体铁块，求锻造后正方体铁块的棱长．【分析】首先根据长方体的体积公式求出铁块的总体积，然后根据正方体的体积公式求出正方体铁块的棱长．【解答】解：设正方体铁块的棱长为a，根据题意，长方体铁块的体积为6×4×9＝216，前后体积不变，故有a3＝216，解得a＝6．答：锻造后正方体铁块的棱长为6cm．【点评】本题主要考查了利用立方根的定义解决实际问题，解决本题的关键是理解熔化前后总体积不变，需注意立方体的棱长应是体积的三次方根．五．无理数（共1小题）20．（2022•乐清市开学）给出四个实数，3.14，0，，其中无理数是（）A． B．3.14 C．0 D．【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：在实数，3.14，0，中，无理数是．故选：A．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．六．实数（共2小题）21．（2020秋•下城区期末）若a，b均为整数，且b≠0，则不可能是（）A．正数 B．负数 C．无理数 D．实数【分析】根据实数的概念判断即可得到答案．【解答】解：∵a，b均为整数，且b≠0，∴是一个分数，即为有理数，∴不可能是无理数，故选：C．【点评】此题考查的是实数的概念，掌握其概念是解决此题关键．22．（2021秋•鄞州区校级月考）把下列各数的序号填在相应的大括号内：①﹣0.3；②﹣7；③；④﹣π；⑤|﹣2|；⑥；⑦3.1010010001…（每两个1之间多一个0）；⑧﹣．正整数{⑤⑥}；分数{①⑧}；负有理数{①②⑧}；无理数{③④⑦}．【分析】根据实数的分类即可求出答案．【解答】解：①﹣0.3；②﹣7；③；④﹣π；⑤|﹣2|；⑥；⑦3.1010010001…（每两个1之间多一个0）；⑧﹣．正整数{⑤⑥}；分数{①⑧}；负有理数{①②⑧}；无理数{③④⑦}．故答案为：⑤⑥；①⑧；①②⑧；③④⑦．【点评】此题主要考查了实数的分类和性质，解题的关键是正确理解实数的分类，本题属于基础题型．七．实数的性质（共4小题）23．（2021秋•温州期中）若有一个实数为，则它的相反数为（）A． B． C． D．【分析】根据相反数的定义化简即可得出答案．【解答】解：﹣（3﹣）＝﹣3+＝﹣3，故选：C．【点评】本题考查了实数的相反数，掌握一个数a的相反数是﹣a是解题的关键．24．（2021秋•柯城区校级期中）的相反数是﹣．【分析】直接根据相反数的定义进行解答即可．【解答】解：∵与﹣是只有符号不同的两个数，∴的相反数是﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查的是上实数的性质，即只有符号不同的两个数叫互为相反数．25．（2021秋•奉化区期中）在电视台一档互动节目中，主持人问这样一道题目：“a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的实数，d是倒数是它本身的数，”请问：a﹣b+c+d＝3或1．【分析】根据题意写出a．b，c，d的值，然后分两种情况分别计算即可．【解答】解：∵a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的实数，d是倒数是它本身的数，∴a＝1，b＝﹣1，c＝0，d＝±1，∴当d＝1时，a﹣b+c+d＝1+1+0+1＝3；当d＝﹣1时，a﹣b+c+d＝1+1+0﹣1＝1；故答案为：3或1．【点评】本题考查了实数，绝对值，倒数，体现了分类讨论的数学思想，解题的关键是掌握乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数．26．（2021秋•奉化区期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|＝2，且m＜0；（1）求2a﹣（cd）2018+2b﹣3m的值．（2）若＝m，c＝，求b﹣4d+m的值．【分析】（1）根据a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|＝2，先确定a+b、cd及m的值，再求代数式的值即可；（2）根据＝m，c＝可求出a，b，c，d的值，然后代入所求的代数式即可．【解答】（1）解：∵a，b互为相反数，∴a+b＝0，∵c、d互为倒数，∴cd＝1，∵|m|＝2且m＜0，∴m＝﹣2，∴2a﹣（cd）2018+2b﹣3m＝2（a+b）﹣（cd）2018﹣3m＝﹣1+6＝5；（2）∵＝m，∴a＝m3＝﹣8，∴b＝8，∵，∴，∴b﹣4d+m＝＝8﹣2﹣2＝4．【点评】本题考查了有理数的运算，掌握“互为相反数的两数和为0”、“互为倒数的两数积为1”是解决本题的关键．八．实数与数轴（共6小题）27．（2020秋•滨江区期末）如图，顺次连结4×4方格四条边的中点，得到一个正方形ABCD．设每一个小方格的边长为1个单位．（1）正方形ABCD的边长介于哪两个相邻的整数之间，请说明理由．（2）如果把正方形ABCD放到数轴上，使得边AB与数轴重合，且点A与数轴的原点重合，数轴的单位长度就是小方格的边长．请写出点B在数轴上所表示的数．【分析】（1）利用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，求出正方形ABCD的面积，然后再求出边长即可；（2）点B在数轴上的位置有两种情况，点B在原点左侧，点B在原点右侧．【解答】解：（1）正方形ABCD的边长介于两个相邻的整数2和3之间，理由是：∵正方形ABCD的面积＝4×4﹣4××2×2＝8，∴AB＝＝，∵22＝4，32＝9，∴4＜8＜9，∴，∴2＜＜3，正方形ABCD的边长介于两个相邻的整数2和3之间；（2）分两种情况：当点B在原点左侧，点B在数轴上所表示的数是：，当点B在原点右侧，点B在数轴上所表示的数是：，∴点B在数轴上所表示的数是：±．【点评】本题考查了实数与数轴，熟练掌握平方数是解题的关键．28．（2021秋•海曙区期末）如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且AB＝AE，则E点所表示的数为（）A． B． C． D．【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得AD＝AE＝，结合A点所表示的数及AE间距离可得点E所表示的数．【解答】解：∵正方形ABCD的面积为5，且AD＝AE，∴AD＝AE＝，∵点A表示的数是1，且点E在点A右侧，∴点E表示的数为1+．故选：B．【点评】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．29．（2021秋•越城区期末）如图，实数﹣1在数轴上的对应点可能是（）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点【分析】先确定的范围，再推出的范围，从而得解．【解答】解：∵，∴，∴在在数轴上的对应点可能是C．故选：C．【点评】此题考查了实数与数轴，估算出的大小是解本题的关键．30．（2021秋•诸暨市期末）定义：有A、B两只电子跳蚤在同一条数轴上跳动，它们在数轴上对应的实数分别为a、b．若实数a、b满足b＝3a+2时，则称A、B处于“和谐位置”，A、B之间的距离为“和谐距离”．（1）当A在原点位置，且A、B处于“和谐位置”时，“和谐距离”为2．（2）当A、B之间的“和谐距离”为2022时，求a、b的值．【分析】（1）将a＝0代入b＝3a+2中得到b＝2，所以和谐距离为2；（2）根据A，B的和谐距离为2022列出方程即可求解．【解答】解：（1）将a＝0代入b＝3a+2中得到b＝2，所以和谐距离为2；故答案为：2；（2）∵A，B处于和谐位置，∴b＝3a+2，∴|AB|＝|b﹣a|＝|2a+2|＝2022，∴2a+2＝±2022，∴a＝1010，b＝3032或a＝﹣1012，b＝﹣3034．【点评】本题考查了实数与数轴，新定义，体现了方程思想，根据A，B的和谐距离为2022列出方程是解题的关键．31．（2021秋•乐清市校级月考）设a，b在数轴上表示的实数到原点的距离相等，且位于原点的两侧，c，d互为倒数，e的绝对值为3，请求出下列代数式的值：5a+5b﹣+e．【分析】根据题意得：a+b＝0，cd＝1，e＝3或e＝﹣3，然后分两种情况分别代入代数式求值即可．【解答】解：∵a，b在数轴上表示的实数到原点的距离相等，且位于原点的两侧，∴a+b＝0，∵c，d互为倒数，∴cd＝1，∵e的绝对值为3，∴e＝3或e＝﹣3，当e＝3时，原式＝5（a+b）﹣+e＝0﹣+3＝；当e＝﹣3时，原式＝5（a+b）﹣+e＝0﹣﹣3＝．综上所述，代数式的值为或﹣．【点评】本题考查了实数与数轴，绝对值，倒数，实数的性质，体现了分类讨论的思想，掌握绝对值等于一个正数的数有2个是解题的关键，不要漏解．32．（2021秋•北仑区期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使实数和数轴上的点建立起一一对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．【阅读理解】|3﹣1|表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣1|可以理解为x与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，|x+1|＝|x﹣（﹣1）|就表示x在数轴上对应的点到﹣1的距离．（1）【尝试应用】①数轴上表示﹣4和2的两点之间的距离是6（写出最后结果）；②若|x﹣（﹣2）|＝3，则x＝1或﹣5；（2）【动手探究】小明在草稿纸上画了一条数轴，并折叠纸面，若表示2的点与表示﹣4的点重合．①则表示10的点与表示﹣12的点重合；②这时如果A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为2022，且A，B两点经过折叠后重合，则A表示的数是﹣1012，B表示的数是1010；③若点A表示的数为a，点B表示的数为b（A在B的左侧），且A，B两点经折叠后刚好重合，那么a与b之间的数量关系是a+b＝﹣2；（3）【拓展延伸】①当x＝1时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|有最小值，最小值是5；②|x+1|﹣|x﹣4|有最大值，最大值是5，|x+1|﹣|x﹣4|有最小值，最小值是﹣5．【分析】（1）①根据两点间距离公式可得答案；②根据绝对值的定义可以解答；（2）①首先求出折叠点是﹣1，列式为﹣1﹣（10+1）可得答案；②根据折叠点为﹣1可列式解答；③由题意得，（a+b）＝﹣1，整理可得答案；（3）根据绝对值的定义和分类讨论的数学思想可以解答本题．【解答】解：（1）①﹣4和2的两点之间的距离是：2﹣（﹣4）＝6，故答案为：6；②∵|x﹣（﹣2）|＝3，∴x＝1或﹣5，故答案为：1或﹣5；（2）∵表示2的点与表示﹣4的点重合，∴折叠点是﹣1，①﹣1﹣（10+1）＝﹣12，故答案为：﹣12；②2022÷2＝1011，﹣1﹣1011＝﹣1012，﹣1+1011＝1010，∴则A表示的数是﹣1012，B表示的数是1010，故答案为：﹣1012，1010；③由题意得，（a+b）＝﹣1，∴a+b＝﹣2，故答案为：a+b＝﹣2；（3）①当x≤﹣2时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝﹣x﹣2﹣x+1﹣x+3＝﹣3x+2≥8，当﹣2＜x≤1时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝x+2﹣x+1﹣x+3＝﹣x+6，5≤﹣x+6＜8，当1＜x≤3时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝x+2+x﹣1﹣x+3＝x+4，5＜x+4≤7，当x＞3时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝x+2+x﹣1+x﹣3＝3x﹣2＞7，∴当x＝1时，最小值是5，故答案为：1，5；②当x＜﹣1时，|x+1|﹣|x﹣4|＝﹣x﹣1+x﹣4＝﹣5，当﹣1≤x≤4时，|x+1|﹣|x﹣4|＝x+1+x﹣4＝2x﹣3，﹣5≤2x﹣3≤5，当x＞4时，|x+1|﹣|x﹣4|＝x+1﹣x+4＝5，∴最大值是5，最小值是﹣5，故答案为：5，﹣5．【点评】本题考查数轴、绝对值、两点的距离，解答本题的关键是明确绝对值的定义，利用绝对值的知识和分类讨论的数学思想解答．九．实数大小比较（共4小题）33．（2021秋•普陀区期末）实数a在数轴上的位置如图所示，则，1，0的大小顺序是（）A． B． C． D．0＜1且1和的大小无法确定【分析】根据数轴上a所在的位置可用取特殊值的方法比较个数的大小．【解答】解：∵﹣1＜a＜0，∴令a＝﹣，则﹣＝；∵0＜1＜，∴0＜1＜﹣．故选：C．【点评】此题主要考查了实数与数轴之间对应关系及实数的大小的比较，当给出的未知字母的值在一个确定的范围内时，可用取特殊值的方法进行比较，以简化计算．34．（2021秋•青田县期末）若|x﹣y|﹣|x﹣z|＝|y﹣z|，则实数x、y、z之间的大小关系可能为（）A．x＞y＞z B．z＞y＞x C．y＞x＞z D．x＞z＞y【分析】根据各选项中x，y，z的大小关系分别计算已知等式的左边和右边，看是否相等即可判断．【解答】解：A、当x＞y＞z时，|x﹣y|﹣|x﹣z|＝x﹣y﹣（x﹣z）＝z﹣y，|y﹣z|＝y﹣z，已知等式不成立，不符合题意；B、当z＞y＞x时，|x﹣y|﹣|x﹣z|＝y﹣x﹣（z﹣x）＝y﹣z，|y﹣z|＝z﹣y，已知等式不成立，不符合题意；C、当y＞x＞z时，|x﹣y|﹣|x﹣z|＝y﹣x﹣（x﹣z）＝y+z﹣2x，|y﹣z|＝y﹣z，已知等式不成立，不符合题意；D、当x＞z＞y时，|x﹣y|﹣|x﹣z|＝x﹣y﹣（x﹣z）＝z﹣y，|y﹣z|＝z﹣y，已知等式成立，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是实数的大小和绝对值的意义，正确根据字母的大小关系将绝对值化去是解本题的关键．35．（2021秋•杭州期末）请用符号“＜”将下面实数﹣32，，﹣3连接起来﹣32＜﹣3＜．【分析】根据正数大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小判断即可．【解答】解：∵﹣32＝﹣9，|﹣9|＝9，|﹣3|＝3，∴9＞3，∴﹣32＜﹣3，∴﹣32＜﹣3＜，故答案为：﹣32＜﹣3＜．【点评】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，熟练掌握两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键．36．（2020秋•西湖区校级期末）已知a，b，c在数轴上的对应点如图所示，且|a|＝|b|；（1）根据数轴判断：a+b＝0，c﹣b＜0．（填＞，＜，＝）（2）|c﹣a|﹣|c﹣b|+|a+b|+|c﹣1|．【分析】（1）根据绝对值的意义和点在数轴上的位置可得结论；（2）根据点在直线上的位置，先判断c﹣a、c﹣b、a+b、c﹣1的正负，再利用绝对值的意义去掉绝对值，最后合并同类项．【解答】解：由题图知a＜0＜c＜b，（1）∵|a|＝|b|，∴a＝﹣b，c＜b．∴a+b＝0，c﹣b＜0．故答案为：＝，＜．（2）∵a＜0＜c＜b＜1，∴c﹣a＞0，c﹣b＜0，a+b＝0，c﹣1＜0．∴|c﹣a|﹣|c﹣b|+|a+b|+|c﹣1|．＝c﹣a﹣（b﹣c）+（a+b）+1﹣c＝c﹣a﹣b+c+a+b+1﹣c＝1+c．【点评】本题主要考查了绝对值的意义，根据数轴确定两个数的和差与零的关系及掌握绝对值的意义是解决本题的关键．一十．估算无理数的大小（共6小题）37．（2021秋•新昌县期末）如图，数轴上的点A，B，C，D，E分别对应的数是1，2，3，4，5，那么表示的点应在（）A．线段AB上 B．线段BC上 C．线段CD上 D．线段DE上【分析】根据实数平方根的定义估算的大小，再结合数轴表示数的方法得出答案．【解答】解：∵32＝9，42＝16，∴3＜＜4，∵数轴上的点C，D分别对应的数是3，4，∴表示的点应在线段CD上，故选：C．【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的意义是正确解答的前提，估算出的大小是得出正确答案的关键．38．（2021秋•青田县期末）已知113＝1331，123＝1728，133＝2197，143＝2744．若n为整数且n＜＜n+1，则n的值为（）A．11 B．12 C．13 D．14【分析】用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案．【解答】解：∵1728＜2021＜2197，∴12＜＜13，∴n＝12，故选：B．【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．39．（2021秋•定海区期末）绝对值小于的整数有13个．【分析】由题意可知，这个整数在﹣到之间，再由6＜＜7，即可求解．【解答】解：由题意可知，这个整数在﹣到之间，∵6＜＜7，∴满足的整数有﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6共13个，故答案为13．【点评】本题考查无理数的大小；掌握绝对值的意义，能够准确估计无理数的大小是解题的关键．40．（2021秋•诸暨市期末）的整数部分是3．【分析】根据平方根的意义确定的范围，则整数部分即可求得．【解答】解：∵9＜13＜16，∴3＜＜4，∴的整数部分是3．故答案是：3．【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．41．（2021秋•滨江区校级期中）阅读材料，解答问题：材料：∵即2，∴的整数部分为2，小数部分为．问题：已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．（1）求的小数部分．（2）求3a﹣b+c的平方根．【分析】（1）估算出的范围，即可得到的小数部分；（2）根据5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分求出a，b，c的值，然后求出3a﹣b+c的值，再求它的平方根．【解答】解：（1）∵9＜13＜16，∴3＜＜4，∴的整数部分是3，小数部分是﹣3；（2）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分，∴5a+2＝33＝27，3a+b﹣1＝42＝16，c＝3，∴a＝5，b＝2，c＝3，∴3a﹣b+c＝15﹣2+3＝16，∴3a﹣b+c的平方根是±4．【点评】本题考查了无理数的估算，立方根，平方根的定义，注意一个正数的平方根有两个，不要漏解．42．（2020秋•江干区期末）如果一个正方形ABCD的面积为69．（1）求正方形ABCD的边长a．（2）正方形ABCD的边长满足m＜a＜n，m，n表示两个连续的正整数，求m，n的值．（3）m，n在满足（2）的条件下，求的值．【分析】（1）根据正方形的面积是69即可得出答案；（2）故选的范围即可求出m，n的值；（3）把m，n的值代入求值即可．【解答】解：（1）∵正方形ABCD的面积为69，∴正方形ABCD的边长a＝；（2）∵64＜69＜81，∴8＜＜9，∴m＝8，n＝9；（3）当m＝8，n＝9时，原式＝﹣＝﹣2﹣3＝﹣5．【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．巩固提升巩固提升一、单选题1．（2022·浙江台州·七年级阶段练习）9的平方根是（）A．3 B．-3 C． D．不存在【答案】C【分析】根据平方根的意义求解即可．【详解】解：9的平方根是，故选：C．【点睛】本题考查了平方根的意义，如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根．2．（2022·浙江杭州·七年级期末）正方形面积为10，其边长是x，以下说法正确的是(

)A．x是有理数 B．2＜x＜3C．3＜x＜4 D．在数轴上找不到表示实数x的点【答案】C【分析】根据正方形的面积公式可得x=，再由无理数的意义逐项进行判断即可．【详解】解：由题意得，x=，是无理数，因此选项A不符合题意；由于3＜＜4，因此选项B不符合题意；选项C符合题意；由于实数与数轴上的点一一对应，因此在数轴上可以找到表示的点，所以选项D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查估算无理数的大小，数轴与实数，理解算术平方根的定义以及数轴表示数的方法是解决问题的关键．3．（2022·浙江丽水·七年级期中）在，，，0.3，－，3.121121112…（每两个2之间依次多一个1）中，无理数的个数有（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】C【分析】根据无理数的定义进行解答，即无理数就是无限不循环小数．【详解】解：在所列的数中，无理数有，，3.121121112…（每两个2之间依次多一个1），共3个，故选：C．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．4．（2022·浙江丽水·七年级期中）有下列说法：（1）有理数与数轴上的点一一对应；（2）绝对值等于本身的数是1和0；（3）两个无理数的和是无理数；

（4）算术平方根是它本身的数是1和0；其中说法正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据实数与数轴，绝对值，无理数和算术平方根的性质分别判断即可．【详解】解：（1）实数与数轴上的点一一对应，故说法错误；（2）绝对值等于本身的数是正数和0，故说法错误；（3）两个无理数的和不一定是无理数，如π和-π，故说法错误；（4）算术平方根是它本身的数是1和0，故说法正确；∴正确的有1个，故选A．【点睛】本题考查了实数与数轴，绝对值，无理数和算术平方根，属于基本知识，需要熟练掌握．5．（2022·浙江丽水·七年级期中）估计的值在（

）A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间【答案】C【分析】直接利用估算无理数的方法得出的取值范围进而得出答案．【详解】解：∵9＜15＜16，∴3＜＜4，∴4＜＜5，故选：C．【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．6．（2022·浙江台州·七年级期中）下列从左到右的变形中，正确的是（）A． B．=﹣0.6 C． D．【答案】A【分析】根据算术平方根、立方根的相关性质逐项进行判断即可．【详解】解：A．，变形正确，符合题意；B．，原式变形错误，不符合题意；C．，原式变形错误，不符合题意；D．，原式变形错误，不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了算术平方根、立方根的定义与性质，熟练掌握算术平方根以及立方根的性质是解本题的关键．7．（2022·浙江丽水·七年级期末）若，则实数x、y、z之间的大小关系可能为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据各选项中x，y，z的大小关系分别计算已知等式的左边和右边，看是否相等即可判断．【详解】解：A、当x＞y＞z时，|x﹣y|﹣|x﹣z|＝x﹣y﹣（x﹣z）＝z﹣y，|y﹣z|＝y﹣z，已知等式不成立，不符合题意；B、当z＞y＞x时，|x﹣y|﹣|x﹣z|＝y﹣x﹣（z﹣x）＝y﹣z，|y﹣z|＝z﹣y，已知等式不成立，不符合题意；C、当y＞x＞z时，|x﹣y|﹣|x﹣z|＝y﹣x﹣（x﹣z）＝y+z﹣2x，|y﹣z|＝y﹣z，已知等式不成立，不符合题意；D、当x＞z＞y时，|x﹣y|﹣|x﹣z|＝x﹣y﹣（x﹣z）＝z﹣y，|y﹣z|＝z﹣y，已知等式成立，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是实数的大小和绝对值的意义，正确根据字母的大小关系将绝对值化去是解本题的关键．8．（2022·浙江台州·七年级阶段练习）如示意图，小宇利用两个面积为1dm2的正方形拼成了一个面积为2dm2的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了dm的大小．为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是（

）A．利用两个边长为2dm的正方形感知dm的大小B．利用四个直角边为3dm的等腰直角三角形感知dm的大小C．利用一个边长为dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知dm的大小D．利用四个直角边分别为1dm和3dm的直角三角形以及一个边长为2dm的正方形感知dm的大小【答案】C【分析】在拼图的过程中，拼前，拼后的面积相等，所以我们只需要分别计算拼前，拼后的面积，看是否相等，就可以逐一排除．【详解】A：，=8，不符合题意；B：4×(3×3÷2)=18，=18，不符合题意；C：，，符合题意；D：，，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了利用二次根式计算面积，解题的关键是在拼图的过程中，拼前，拼后的面积相等．9．（2022·浙江丽水·七年级期末）实数x满足，则下列整数中与x最接近的是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】先估算x介于哪两个相邻的整数之间，再进一步地估算x最接近哪一个整数即可．【详解】解：∵，，且，∴，又∵，且，∴，∴与x最接近的整数是4，故选：B．【点睛】本题考查了无理数的估算，关键是要准确找到与无理数相邻的两个整数中更接近的一个．10．（2022·浙江金华·七年级期末）如图，正六边形ABCDEF（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点A、F对应的数分别为-2和-1，现将正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转2000次后，数轴上1998这个数所对应的点是（

）A．A点 B．D点 C．E点 D．F点【答案】C【分析】由题意可知，E、D、C、B、A、F、分别对应的点是0、1、2、3、4、5，可知其6次一循环，由此可以确定出数轴上1998这个数所对应的点．【详解】解：正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转第一圈时E、D、C、B、A、F、分别对应的点是0、1、2、3、4、5，∴6次一循环，∴，数轴上1998这个数所对应的点是E点，故选：C．【点睛】本题主要考查实数与数轴，确定出点的变化规律是解题的关键．11．（2021·浙江·余姚市舜水中学七年级期中）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则A，B，C，D四个点中可能是原点的为（）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点【答案】D【分析】分①若原点的位置为A点时，②若原点的位置为B点或C点时，③若原点的位置为D点时，结合有理数的加法法则和点在数轴上的位置分析即可得出正确选项．【详解】解：根据数轴可知，①若原点的位置为A点时，x＞0，则，，，∴，舍去；②若原点的位置为B点或C点时，，则或，，∴，舍去；③若原点的位置为D点时，则，∴，符合条件，∴最有可能是原点的是D点，故选：D．【点睛】本题考查实数与数轴，有理数的加法法则，化简绝对值．熟记有理数的加法法则是解题关键．二、填空题12．（2022·浙江金华·七年级期末）估算：______．【答案】【分析】根据无理数的估算即可求得．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了无理数的估算，熟记的值是解决本题的关键．13．（2022·浙江台州·七年级阶段练习）如果一个数的平方根为2和m，那么m的值为_____________．【答案】－2【分析】根据平方根的性质可直接得出答案．【详解】解：∵一个正数有两个平方根，它们互为相反数，∴m的值为－2，故答案为：－2．【点睛】本题考查了平方根的性质，正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．14．（2022·浙江丽水·七年级期中）4的相反数是__________，绝对值是4的数是__________，4的平方根是__________．【答案】

-4

±4

±2【分析】分别根据相反数，绝对值，平方根的性质和定义求解即可．【详解】解：4的相反数是-4，绝对值是4的数是±4，4的平方根是±2，故答案为：-4，±4，±2．【点睛】此题主要考查了相反数，绝对值，平方根的性质和定义．本题中容易出错的地方是一个正数的平方根有2个，它们互为相反数．15．（2022·浙江台州·七年级阶段练习），，则_____．【答案】2.381【分析】利用算术平方根的意义计算即可．【详解】解：∵，∴，故答案为：2.381．【点睛】此题考查了算术平方根，对所求式子进行恰当的变形是解题的关键．16．（2022·浙江台州·七年级期中）已知，则=______.【答案】0.1414【分析】直接根据“被开方数的小数点每向左或向右移动两位其算术平方根的小数点向相应的同方向移动一位”这一规律进行解题即可．【详解】解：∵，的小数点向左移动位变为，∴，故答案为：0.1414．【点睛】本题考查了算术平方根的小数点的移动规律，充分理解算术平方根的意义是解本题的关键．17．（2022·浙江台州·七年级阶段练习）如图，数轴上的点A表示的数为，点B为数轴上另一点，且与点A的距离为1，则点B所表示的数为______．【答案】或【分析】分点B在点A的左侧和点B在点A的右侧两种情况求解即可．【详解】解：∵点A表示的数为，点B与点A的距离为1，∴当点B在点A的左侧时，点B所表示的数为，当点B在点A的右侧时，点B所表示的数为，故答案为：或．【点睛】本题考查了实数与数轴，注意分类讨论思想的应用，不要漏解．18．（2022·浙江金华·七年级期末）如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为____．【答案】##【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得AB=AE=，结合A点所表示的数及AE间距离可得点E所表示的数．【详解】解：∵正方形ABCD的面积为3，且AB=AE，∴AD=AE=，∵点A表示的数是，且点E在点A右侧，∴点E表示的数为：，故答案为：．【点睛】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是解题的关键．19．（2022·浙江·七年级专题练习）若一个数的立方是﹣8，则这个数是__．【答案】-2【分析】根据乘方，求立方根即可．【详解】解：∵∴＝﹣2，即﹣8的立方根是﹣2．故答案为：﹣2．【点睛】本题主要考查了求一个数的立方根，掌握乘方与开方互为逆运算是解答本题的关键．20．（2020·浙江·七年级期末）若，其中，均为整