第30课时最短路径问题

第十三章

轴对称第30课时

最短路径问题目录01知识点导学02分层训练A．已知在直线l上的同侧有两个点A，B，则在直线l上有到点A,B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点．1.点M，N在直线l的同侧，在直线l上确定一点Q，使MQ与QN的和最小，下面的操作正确的是

（）D【例1】如图30-1，在直线l上找一点P，使得PA+PB的和最小.典型例题

知识点1

两点在直线异侧时的最短路径问题解：答图30-1,点P即为所求.1.如图30-2，高速公路l的两侧有M，N两城镇，要在高速公路上建一个出口P，使M，N两城镇到P的距离之和最短.请你找出P的位置.变式训练解:如答图30-3,P即为所求.【例2】如图30-3,在直线l上找一点P，使得PA+PB最短.

典型例题

知识点2

两点在直线同侧时的最短路径问题解：如答图30-2，点P即为所求.2.如图30-4，要在街道l旁修建一个牛奶站，向居民区A，B提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？变式训练解：如答图30-4，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点M，则点M即为所求.【例3】如图30-5，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．在直线l上找一点P，使得PA+PB的和最小．典型例题

知识点3

网格中或坐标系中的最短路径问题解：作图略,作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B与直线l交于点P，则P点即为所求．3.如图30-6,在平面直角坐标系中，已知点A（-2，4），点B（3，1），一个动点P从A出发，先到达x轴上的某点（设为点C），再到达点B，请画出点P运动的最短路径并标出此时点C的位置．变式训练解：作图略，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点C，连接BC．点C即为所求的点，点P的最短运动路径为A→C→B．A组4.如图30-7，l为某河流的南岸线，一天傍晚某牧童在A处放牛，欲将牛牵到河边饮水后再回到家B处，牧童想以最短的路程回家．请你在图中画出牛饮水C的位置．解：如答图30-5，作点A的对称点A′，连接A′B，与直线l相交于点C，连接AC，点C即为所求．5.如图30-8，在平面直角坐标系中，点A（4，4），B（2，-4）．在y轴上求作一点P，使PA+PB的值最小.（不写作法，保留作图痕迹）略.B组6.如图30-9，等边三角形ABC的边长为8，AD是BC边上的中线，E是AD边上的动点，F是AB边上一点，若BF=4，当BE+EF取得最小值时，则∠EBC的度数为

()A．15°B．25°C．30°D．45°C7.如图30-10,在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，E为AC的中点，P为AD上一动点，若AD=12，试求PC+PE的最小值．解：如答图30-6，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴PC=PB.∴PE+PC=PB+PE=BE，即BE就是PE+PC的最小值.∵AD=12，点E是边AC的中点，∴AD=BE=12.∴PE+PC的最小值是12．C组8.如图30-11，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥（桥与河岸垂直）．桥建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路线最短？画出示意图，并说明作法．解：如答图30-7，先确定AA′与河等宽，且AA′⊥河岸，连接BA′，与河岸交于点D，过点D作CD垂直河岸，交另一河岸于点C，CD就是所求的桥的位置．9.如图30-12，∠XOY内有一点P，请在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使