2024-2025学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用（教师用书）教学实录 新人教A版选修2-2

2024-2025学年高中数学第1章导数及其应用1.7定积分的简单应用（教师用书）教学实录新人教A版选修2-2学校授课教师课时授课班级授课地点教具教材分析2024-2025学年高中数学第1章导数及其应用1.7定积分的简单应用（教师用书）教学实录，新人教A版选修2-2。本节内容紧扣教材，以实际生活中的问题引入定积分的概念，引导学生理解定积分的应用价值，并通过具体实例展示定积分在计算面积、体积等方面的应用，旨在帮助学生建立数学与实际生活的联系，提升解决实际问题的能力。核心素养目标培养学生运用数学建模、数学推理和直观想象等核心素养解决实际问题的能力。通过定积分的学习，学生能够理解数学与生活、自然和社会的密切联系，提升逻辑思维和抽象思维能力，培养严谨求实的科学态度。同时，激发学生探索数学奥秘的兴趣，培养终身学习的意识。教学难点与重点1.教学重点

-重点理解定积分的概念，明确它是积分的局部概念，与导数的整体概念相对应。

-重点掌握定积分的几何意义，即表示由曲线、直线和x轴围成的封闭图形的面积。

-重点学会使用定积分计算不规则图形的面积，如通过分割图形，转化为已知的简单图形面积进行计算。

2.教学难点

-难点在于将实际问题转化为定积分问题，需要学生具备较强的数学建模能力。

-难点在于处理复杂函数的定积分计算，如涉及三角函数、指数函数等的积分。

-难点在于理解定积分与导数之间的关系，特别是积分与微分在几何和物理上的应用差异。

-难点在于解决实际问题时，如何选择合适的积分方法，如分部积分、换元积分等。教学资源-教学软件：数学绘图软件（如GeoGebra）、数学计算软件（如Mathematica）

-教学视频：定积分应用实例视频

-实物教具：几何图形模型（用于演示面积计算）

-信息化资源：在线数学教育平台（提供互动练习和解答）

-教学手段：多媒体教学设备（投影仪、电脑）、黑板或白板、粉笔或白板笔教学过程1.导入新课

-教师以实际生活中的问题引入，如：“同学们，你们有没有想过，如何计算不规则图形的面积？比如，一块地形的面积，或者是一个复杂机器的体积。今天，我们就来学习一种新的数学工具——定积分，它可以帮助我们解决这类问题。”

2.新课导入

-学生通过观察生活中的例子，思考如何计算不规则图形的面积。

-教师引导学生回顾已学知识，如导数的概念和几何意义。

-教师提出问题：“导数表示的是曲线在某一点的瞬时变化率，那么积分呢？它又表示什么呢？”

3.定积分的概念

-教师讲解定积分的概念，强调它与导数的对应关系。

-学生跟随教师一起理解定积分的几何意义，即表示由曲线、直线和x轴围成的封闭图形的面积。

-教师通过示例，如“一个矩形的长为3，宽为4，求其面积”来帮助学生巩固定积分的概念。

4.定积分的计算

-教师演示如何计算简单函数的定积分，如“求函数f(x)=x^2在区间[0,3]上的定积分”。

-学生跟随教师一起完成计算，并总结计算定积分的步骤。

-教师强调在计算过程中，要注意积分区间的选择和积分函数的正确书写。

5.定积分的应用

-教师通过实例展示定积分在计算面积、体积等方面的应用，如“计算一个圆柱的体积”。

-学生通过观察实例，思考如何将实际问题转化为定积分问题。

-教师引导学生进行小组讨论，每组选择一个实际问题，尝试用定积分的方法解决。

6.实践活动

-学生分组进行实践活动，每组选择一个实际问题，如“计算一个不规则图形的面积”。

-教师巡视指导，帮助学生解决在计算过程中遇到的问题。

-学生汇报实践结果，教师点评并总结。

7.课堂小结

-教师总结本节课的重点内容，包括定积分的概念、计算方法和应用。

-学生回顾所学知识，加深对定积分的理解。

8.课后作业

-教师布置课后作业，包括练习题和思考题，巩固学生对定积分知识的掌握。

-学生认真完成作业，为下一节课的学习做好准备。教学资源拓展1.拓展资源：

-定积分的历史背景介绍：探讨定积分的历史起源，从古代数学家的工作到现代数学的进展，展示定积分在数学发展中的地位。

-定积分在不同领域的应用案例：介绍定积分在物理学、工程学、经济学等领域的应用，如微积分在物理学中的运动学、力学中的应用，以及在经济学中的成本分析等。

-定积分与极限的关系：深入探讨定积分与极限的内在联系，解释定积分是如何通过极限的概念来定义的，以及极限在积分计算中的重要性。

-定积分的近似计算方法：介绍几种常用的定积分近似计算方法，如梯形法则、辛普森法则等，以及这些方法在实际问题中的应用。

2.拓展建议：

-鼓励学生阅读相关数学史书籍，了解定积分的发展历程，增加对数学学科的认识。

-推荐学生观看科普视频或纪录片，了解定积分在不同领域的应用，激发学生的学习兴趣。

-建议学生查阅数学期刊或学术文章，深入探讨定积分的理论深度和实际应用。

-鼓励学生参与数学竞赛或项目，通过实际操作来应用定积分知识，提高解决问题的能力。

-建议学生参加数学兴趣小组或论坛，与其他同学交流学习心得，共同进步。

-推荐学生使用在线数学工具和软件，如Mathematica、MATLAB等，进行定积分的计算和可视化，加深对积分概念的理解。

-鼓励学生参与数学研究项目，尝试将定积分应用于实际问题，提升科研能力和创新思维。作业布置与反馈作业布置：

1.基础练习题：完成教材中关于定积分概念和几何意义的练习题，如计算给定函数在指定区间上的定积分，理解并应用定积分的几何意义。

2.应用题：选取教材中的实际问题，如计算一个圆柱体的体积，一个曲线围成的图形的面积，应用定积分解决实际问题。

3.思考题：针对定积分的性质和定理进行思考，如尝试证明定积分的线性性质，探讨定积分在计算不规则图形面积时的适用性。

4.创新题：设计一个实际问题，运用定积分的方法进行解决，如计算一个不规则物体的表面积，或是一个不规则水槽的容积。

作业反馈：

1.及时批改：在学生完成作业后，教师应尽快进行批改，确保学生能够及时得到反馈。

2.反馈内容：反馈应包括作业的正确性、解题思路的清晰度、计算过程的准确性等方面。

3.指出问题：针对学生作业中存在的问题，如概念理解不透彻、解题方法不当、计算错误等，教师要具体指出。

4.改进建议：针对学生作业中的问题，给出具体的改进建议，如提供正确的解题思路、纠正计算错误、解释相关概念等。

5.个别辅导：对于作业中存在明显困难的学生，教师应进行个别辅导，帮助他们理解和掌握相关知识点。

6.课堂讨论：在下一节课开始时，组织课堂讨论，让学生展示自己的解题过程，教师引导学生共同分析和讨论，加深对定积分知识的理解。

7.作业总结：在作业反馈中，教师应总结本节课的重点和难点，强调学生在学习过程中需要注意的问题。

8.定期评估：通过定期的作业评估，教师可以了解学生对定积分知识的掌握程度，为后续的教学调整提供依据。内容逻辑关系①本文重点知识点：

-定积分的定义

-定积分的几何意义

-定积分的计算方法

-定积分的应用实例

②本文重点词句：

-“定积分是积分的局部概念，与导数的整体概念相对应。”

-“定积分表示由曲线、直线和x轴围成的封闭图形的面积。”

-“计算定积分的步骤：确定积分区间，选择积分函数，计算积分值。”

-“定积分在几何、物理、工程等领域有着广泛的应用。”

③本文逻辑关系：

-首先介绍定积分的定义，为后续学习打下基础。

-接着阐述定积分的几何意义，帮助学生理解定积分的实际应用。

-然后讲解定积分的计算方法，包括直接计算和近似计算。

-最后通过具体实例展示定积分在不同领域的应用，强化学生对定积分的理解和运用能力。重点题型整理1.计算定积分

-题型：计算函数f(x)=x^2在区间[0,3]上的定积分。

-解答：∫(x^2)dx=(1/3)x^3+C，所以∫(x^2)dx|[0,3]=(1/3)*3^3-(1/3)*0^3=9。

2.定积分的几何意义

-题型：计算由曲线y=x和直线x=2围成的封闭图形的面积。

-解答：面积=∫(x)dx|[0,2]=(1/2)x^2|[0,2]=(1/2)*2^2-(1/2)*0^2=2。

3.定积分的应用

-题型：计算一个圆柱体的体积，其底面半径为r，高为h。

-解答：体积=πr^2h，其中πr^2是底面积，h是高。

4.定积分的近似计算

-题型：使用梯形法则近似计算函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分，取n=4。

-解答：h=(1-0)/4=0.25，x0=0,x1=0.25,x2=0.5,x3=0.75,x4=1。

f(x0)=0,f(x1)=0.0625,f(x2)=0.25,f(x3)=0.5625,f(x4)=1。

近似积分=(h/2)*[f(x0)+2f(x1)+2f(x2)+2f(x3)+f(x4)]

=(0.25/2)*[0+2*0.0625+2*0.25+2*0.5625+1]

=0