浙江省金华十校2023-2024学年数学高一上期末质量检测试题含解析

浙江省金华十校2023-2024学年数学高一上期末质量检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1．已知中，，，点M是线段BC（含端点）上的一点，且，则的取值范围是（）A. B.C. D.2．已知为三角形的内角，且，则（）A. B.C. D.3．若圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，则半径r的取值范围是A.(4,6) B.[4,6]C.(4,5) D.(4,5]4．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是A①和② B.②和③C.③和④ D.②和④5．为了节约水资源，某地区对居民用水实行“阶梯水价”制度：将居民家庭全年用水量（取整数）划分为三档，水价分档递增，其标准如下：阶梯居民家庭全年用水量（立方米）水价（元/立方米）其中水费（元/立方米）水资源费（元/立方米）污水处理费（元/立方米）第一阶梯0-180（含）52.071.571.36第二阶梯181-260（含）74.07第三阶梯260以上96.07如该地区某户家庭全年用水量为300立方米，则其应缴纳的全年综合水费（包括水费、水资源费及污水处理费）合计为元．若该地区某户家庭缴纳的全年综合水费合计为1180元，则此户家庭全年用水量为（）A.170立方米 B.200立方米C.220立方米 D.236立方米6．工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面.已知扇面展开的中心角为，外圆半径为，内圆半径为.则制作这样一面扇面需要的布料为（）.A. B.C. D.7．函数的单调递减区间为（）A. B.C. D.8．已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B.C. D.9．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的表面积为A. B.C. D.10．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（）A B.C. D.11．已知函数，则（）A.5 B.C. D.12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A. B.C. D.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13．已知集合，，则集合中的元素个数为___________.14．已知函数f(x)=(5-a)x-a+1,x<1ax,x≥1，满足对任意都有成立，那么实数15．已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是_____16．若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为____.三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17．（1）求值：；（2）已知，化简求值：18．如图，设α是任意角，α∈R，它的终边OA与单位圆相交于点A，点（1）当A在OB的反向延长线上时，求tanα;（2）当OA⊥OB时，求sin2α.19．2021年12月9日15时40分，神舟十三号“天宫课堂”第一课开讲！受“天宫课堂”的激励与鼓舞，某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣．通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的最大理想速度公式：，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中为发动机的喷射速度，和分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完）时的质量．被称为火箭的质量比（1）某单级火箭的初始质量为160吨，发动机的喷射速度为2千米/秒，发动机熄火时的质量为40吨，求该单级火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）；（2）根据现在的科学水平，通常单级火箭的质量比不超过10．如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，请判断该单级火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度千米/秒，并说明理由．（参考数据：，无理数）20．已知函数（1）求最小正周期；（2）求的单调递减区间；（3）当时，求的最小值及取得最小值时的值21．阅读材料：我们研究了函数的单调性、奇偶性和周期性，但是这些还不能够准确地描述出函数的图象，例如函数和，虽然它们都是增函数，图象在上都是上升的，但是却有着显著的不同.如图1所示，函数的图象是向下凸的，在上任意取两个点，函数的图象总是在线段的下方，此时函数称为下凸函数；函数的图象是向上凸的，在上任意取两个点，函数的图象总是在线段的上方，则函数称为上凸函数.具有这样特征的函数通常称做凸函数.定义1：设函数是定义在区间I上的连续函数，若，都有，则称为区间I上的下凸函数.如图2.下凸函数的形状特征：曲线上任意两点之间的部分位于线段的下方.定义2：设函数是定义在区间I上的连续函数，若，都有，则称为区间I上的上凸函数.如图3.上凸函数的形状特征：曲线上任意两点之间的部分位于线段的上方.上凸（下凸）函数与函数的定义域密切相关的.例如，函数在为上凸函数，在上为下凸函数.函数的奇偶性和周期性分别反映的是函数图象的对称性和循环往复，属于整体性质；而函数的单调性和凸性分别刻画的是函数图象的升降和弯曲方向，属于局部性质.关于函数性质的探索，对我们的启示是：在认识事物和研究问题时，只有从多角度、全方位加以考查，才能使认识和研究更加准确.结合阅读材料回答下面的问题：（1）请尝试列举一个下凸函数：___________；（2）求证：二次函数是上凸函数；（3）已知函数，若对任意，恒有，尝试数形结合探究实数a的取值范围.22．设集合，，不等式的解集为（1）当a为0时，求集合、；（2）若，求实数的取值范围

参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1、D【解析】如图所示，建立直角坐标系，则，，，．利用向量的坐标运算可得．再利用数量积运算，可得．利用数量积性质可得，可得．再利用，，可得，即可得出【详解】如图所示，建立直角坐标系则，，，，，及四边形为矩形，，，．即点在直线上，，，，，，即（当且仅当或时取等号），综上可得：故选：【点睛】本题考查了向量的坐标运算、数量积运算及其性质、不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题2、A【解析】根据同角三角函数的基本关系，运用“弦化切”求解即可.【详解】计算得，所以，，从而可计算的，，,选项A正确，选项BCD错误.故选：A.3、A【解析】由圆，可得圆心的坐标为圆心到直线的距离为：由得所以的取值范围是故答案选点睛：本题的关键是理解“圆上有且只有两个点到直线的距离等于1”，将其转化为点到直线的距离，结合题意计算求得结果4、D【解析】利用线面平行和垂直，面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择【详解】当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．综上，真命题是②④.故选D【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题5、C【解析】根据用户缴纳的金额判定全年用水量少于260，利用第二档的收费方式计算即可.【详解】若该用户全年用水量为260，则应缴纳元，所以该户家庭的全年用水量少于260，设该户家庭全年用水量为x，则应缴纳元，解得.故选：C6、B【解析】由扇形的面积公式，可得制作这样一面扇面需要的布料.【详解】解：根据题意，由扇形的面积公式可得：制作这样一面扇面需要的布料为.故选：B.【点睛】本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题.7、A【解析】解不等式，，即可得答案.【详解】解：函数，由，，得，，所以函数的单调递减区间为，故选：A.8、B【解析】由阴影部分表示的集合为，然后根据集合交集的概念即可求解.【详解】因为阴影部分表示的集合为由于.故选：B.9、D【解析】由三视图知几何体为圆柱挖去一个圆锥所得的组合体，且圆锥与圆柱的底面直径都为4，高为2，则圆锥的母线长为，∴该几何体的表面积S=π×22+2π×2×2+π×2×2=(12+4)π，故选D.10、C【解析】函数为复合函数，先求出函数的定义域为，因为外层函数为减函数，则求内层函数的减区间为，由题意知函数在区间上单调递增，则是的子集，列出关于的不等式组，即可得到答案.【详解】的定义域为，令，则函数为，外层函数单调递减，由复合函数的单调性为同增异减，要求函数的增区间，即求的减区间，当，单调递减，则在上单调递增，即是的子集，则.故选：C.11、A【解析】分段函数求值，根据自变量的取值范围代相应的对应关系【详解】因为所以故选：A12、A【解析】由三视图可知几何体是一个底面为梯形的棱柱,再求几何体的表面积得解.【详解】由三视图可知几何体是一个底面为直角梯形的棱柱,梯形的上底为1，下底为2，高为2，棱柱的高为2.由题可计算得梯形的另外一个腰长为.所以该几何体的表面积=.故答案为A【点睛】本题主要考查三视图找原图，考查几何体的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理能力.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13、【解析】解不等式确定集合，解方程确定集合，再由交集定义求得交集后可得结论【详解】由题意，，∴，只有1个元素故答案为：114、【解析】利用求解分段函数单调性的方法列出不等式关系，由此即可求解【详解】由已知可得函数在R上为单调递增函数，则需满足，解得，所以实数a的取值范围为，故答案为：15、【解析】题目转化为，画出函数图像，根据图像结合函数值计算得到答案.详解】，，即，画出函数图像，如图所示：，，根据图像知：.故答案为：16、【解析】把不等式变形为，分和情况讨论，数形结合求出答案.【详解】解：变形为：，即在上恒成立令，若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意；当时，画出两个函数的图象，要想满足在上恒成立，只需，即，解得：综上：实数a的取值范围是.故答案为：三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17、（1）；（2）【解析】（1）由指数和对数的运算公式直接化简可得；（2）利用诱导公式化简目标式，然后分子分母同时除以，将已知代入可得.【详解】（1）原式（2）原式，∵，∴原式18、（1）；（2）【解析】（1）推导出的坐标，由此能求出；（2）设，则，且，解得，，从而，，由此能求出【详解】解：（1）设是任意角，，它的终边与单位圆相交于点，点在的反向延长线上，所以，；（2）当时，设，则，且，解得，，或，，则，或，，．或故19、（1）千米/秒；（2）该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度千米/秒，理由见解析.【解析】（1）由题可知，，，代入即求；（2）利用条件可求，即得.【小问1详解】，，，该单级火箭的最大理想速度为千米/秒.【小问2详解】，，，，，.该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度千米/秒.20、（1）（2）（3）最小值为，【解析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期；（2）解不等式可得出函数的单调递减区间；（3）由可求得的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的最小值及其对应的值.【小问1详解】解：由，则的最小正周期为【小问2详解】解：由，，则，，则，，所以的单调递减区间为【小问3详解】解：当时，，当时，即当时，函数取最小值，且.21、（1），；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）根据下凸函数的定义举例即可；（2）利用上凸函数定义证明即可；（3）根据（2）中结论，结合条件，函数满足上凸函数定义，根据数形结合求得参数取值范围.【小问1详解】，；【小问2详解】对于二次函数，，满足，即，满足上凸函数定义，二次函数是上凸函数.【小问3详解】由（2）知