概率论与数理统计章

第8章假设检验8.1假设检验的基本概念8.3两个正态总体的参数假设检验8.2单个正态总体的参数假设检验8.4总体比率的假设检验8.3非参数假设检验8.1假设检验的基本概念一、假设检验的概念二、假设检验的基本原理三、假设检验可能犯的两类错误四、假设检验的一般步骤若对总体参数有所了解但有怀疑需要证实之时用假设检验方法来处理若对总体参数一无所知用参数估计的方法处理一、假设检验的概念

假设检验是指施加于一个或多个总体的概率分布或参数的假设.

所作假设可能是正确的,也可能是错误的.

为判断所作的假设是否正确,从总体中抽取样本,根据样本的取值,按一定原则进行检验,然后作出接受或拒绝所作假设的决定.何为假设检验?例如,

提出总体服从泊松分布的假设;

参数假设检验非参数假设检验参数检验假设是针对总体分布函数中的未知参数而提出的假设进行检验；分布函数形式或类型的假设进行检验.本章主要讨论参数假设检验问题，非参数检验假设是针对总体下面结合实例来说明参数假设检验的基本思想.假设检验的内容例1

某产品出厂检验规定:次品率p不超过4%才能出厂.现从一万件产品中任意抽查12件发现3件次品,问该批产品能否出厂？若抽查结果发现1件次品,问能否厂？为此提出如下假设:例2

某厂生产的螺钉,按标准强度为68/mm2,而实际生产的强度X

服.若,则认为这批螺钉符合要求,否则认为不符合要求.现从整批螺钉中取容量为36的样本,其样本均值为68.5,问原假设是否正确?为此提出如下假设:在例1中在例2中均称为参数假设参数假设一般是一对互逆的假设,比较参数的相等或大小称其中的一个为原假设,也称零假设或基本假设称另一个为备择假设,也称备选假设或对立假设一般将含有等号的假设称为原假设必须在原假设与备择假设之间作一选择假设检验的任务在例1中在例2中均称为参数假设参数假设一般是一对互逆的假设,比较参数的相等或大小称其中的一个为原假设,也称零假设或基本假设称另一个为备择假设,也称备选假设或对立假设一般将含有等号的假设称为原假设必须在原假设与备择假设之间作一选择假设检验的任务二、假设检验的基本原理假设检验的理论依据是“小概率原理”小概率原理:如果一个事件发生的概率很小,那么在一次实验中,这个事件几乎不会发生.事件“掷100枚均匀硬币全出现正面”事件“某人随机买一注彩票中一等奖”事件“在一副扑克中随机抽取4张全为A”以上几个事件都可称为“小概率事件”如:

无论原假设中是否含不等号，在实际检验时，均可按原假设仅含等号的检验进行检验.例1

某产品出厂检验规定:次品率p不超过4%才能出厂.现从一万件产品中任意抽查12件发现3件次品,问该批产品能否出厂？若抽查结果发现1件次品,问能否厂？解假设一万件产品中任意抽查12件发现3件次品是小概率事件,那么在一次实验中,这个事件几乎是不会发生的,现在竟然发生了,故认为原假设不成立,即该批产品次品率,则该批产品不能出厂.例1

某产品出厂检验规定:次品率p不超过4%才能出厂.现从一万件产品中任意抽查12件发现3件次品,问该批产品能否出厂？若抽查结果发现1件次品,问能否厂？解假设一万件产品中任意抽查12件发现3件次品是小概率事件,那么在一次实验中,这个事件几乎是不会发生的,现在竟然发生了,故认为原假设不成立,即该批产品次品率,则该批产品不能出厂.

这不是小概率事件,没理由拒绝原假设,从而接受原假设,即该批产品可以出厂.若从一万件产品中任意抽查12件发现1件次品例2

某厂生产的螺钉,按标准强度为68/mm2,而实际生产的强度X

服.若,则认为这批螺钉符合要求,否则认为不符合要求.现从整批螺钉中取容量为36的样本,其样本均值为68.5,问原假设是否正确?解假设若原假设正确,则因此,可以确定一个常数c

使得反查正态分布表可得临界值称区间(,66.82)与(69.18,+

)为原假设的拒绝域，而区间(66.82,69.18)为原假设的接受域(实际上没理由拒绝)。接受原假设，认为这批螺钉符合要求均值置信度为95%置信区间例2

某厂生产的螺钉,按标准强度为68/mm2,而实际生产的强度X

服.若,则认为这批螺钉符合要求,否则认为不符合要求.现从整批螺钉中取容量为36的样本,其样本均值为68.5,问原假设是否正确?解假设若原假设正确,则因此,可以确定一个常数c

使得查正态分布表可得临界值称区间(,66.82)与(69.18,+

)为原假设的拒绝域，而区间(66.82,69.18)为原假设的接受域(实际上没理由拒绝)。接受原假设，认为这批螺钉符合要求假设检验方法是概率意义下的反证法.要注意的是小概率事件毕竟不是不可能事件,只是小概率事件发生的概率很小,在一次实验中“几乎”不会发生.因此上述方法就可能出现错误,即真的假设被拒绝了,而错误的假设却可能被接受了.1.第一类错误:弃真错误此时我们便犯了“弃真”错误,也称为第一类错误三、假设检验可能犯的两类错误则犯弃真错误的概率为小概率事件发生的概率就是犯弃真错误的概率

越大,犯第一类错误的概率越大,即越显著.2.第二类错误:纳伪错误此时我们便犯了“纳伪”错误,也称为第二类错误犯纳伪错误的概率为

我们希望这两类错误都很小.但可以证明，在样本容量n固定时,同时减小

和

是办不到的.当

减小时必导致

增大,反之亦然.要想使

和

同时减小，只有增大样本容量n.在实际应用中，一般原则是：在给定犯第一类错误的概率

之后,使得犯纳伪错误的概率

尽可能的小.在例2中()计算犯第二类错误的概率H0不真,即

68,

可能小于68,也可能大于68,

的大小取决于

的真值的大小.若例2

某厂生产的螺钉,按标准强度为68/mm2,而实际生产的强度X

服.若,则认为这批螺钉符合要求,否则认为不符合要求.现从整批螺钉中取容量为36的样本,其样本均值为68.5,问原假设是否正确?区间(66.82,69.18)为原假设的接受域在例2中()计算犯第二类错误的概率H0不真,即

68,

可能小于68,也可能大于68,

的大小取决于

的真值的大小.若若

的大小取决于

的真值的大小.若

的大小取决于

的真值的大小.仍取

=0.05,得因此，原假设的接受域为(67.118,68.882)现增大样本容量,取n

=64,

=66,则原假设的接受域为(67.118,68.882)样本容量为36时的样本容量为36时的（一）根据问题的要求提出假设，写明原假设H0和备择假设H1的具体内容.四、假设检验的一般步骤（三）对给定（或选定）的显著性水平

，由统计量的分布查表确定出临界值，进而得到H0的拒绝域和接受域.（二）根据H0的内容，建立（或选取）检验统计量并确定其分布.（四）由样本观察值计算出统计量的值.（五）做出推断：当统计量的值满足“接受H0的条件”时就接受H0，否则就拒绝H0接受H1.（六）完整准确地写出检验的结论.8.2单个正态总体的参数假设检验一、方差已知的正态总体均值的检验二、方差未知的正态总体均值的检验三、大样本场合下,非正态总体均值的检验四、单个正态总体方差的检验一、方差已知的正态总体均值的检验由抽样分布定理构造小概率事件H0拒绝域双侧检验H0拒绝域例1

某百货商场的日营业额近似服从正态分布,去年的日平均营业额为53.6万元,均方差为6万元,今年随机抽查了10天的营业额,分是:58.2,57.8,58.4,59.3,60.7,71.3,56.4,58.9,48.5,49.5.根据经验认为方差没有变化.问今年的日平均营业额与去年相比是否有显著变化?

解构造统计量原假设的拒绝域为原假设的拒绝域为由样本观测值得统计量观测值查表得临界值即认为今年的日平均营业额与去年有显著变化统计量构造小概率事件H0拒绝域单侧(边)检验右侧(边)检验上述方法称为例2

某车间生产某种规格的钢丝,根据经验,其折断力

,现改革了生产工艺,生产了一批钢丝,从中随机抽取一个n=10的样本,测得千克,问新工艺是否值得推广?解构造统计量原假设的拒绝域为统计量观测值即可以认为平均折断力有显著提高,故新工艺值得推广查表得临界值原假设的拒绝域为统计量构造小概率事件H0拒绝域左侧(边)检验作业P204练习8.11.2.P213练习8.21.2.二、方差未知的正态总体均值的检验构造统计量构造小概率事件H0拒绝域H0拒绝域若统计量观测值双侧检验构造统计量若统计量观测值H0拒绝域单侧检验右侧检验若统计量观测值构造统计量单侧检验左侧检验H0拒绝域例3

用传统方法养鸡,经若干天后,鸡的平均重量为4斤,今改善饲养方法,经相同天数后,随机抽测10只,得数据如下:3.7,3.8,4.1,3.9,4.6,4.7,5.0,4.5,4.3,3.8斤,经验表明同一批鸡的重量近似服从正态分布,问改进饲养方法后的这批鸡的平均重量是否显著提高了?解构造统计量原假设的拒绝域为统计量观测值即可以认为这批鸡的重量没有显著提高由查表得临界值原假设的拒绝域为三、大样本场合下,非正态总体均值的检验构造统计量构造统计量四、单个正态总体方差的检验由抽样分布定理,构造统计量若小概率事件发生H0拒绝域则例4正常生产知某维尼纶厂所产维尼纶的纤度近似服从正态分布,标准差为0.048,某日任意抽取20根测量其纤度的样本标准差为0.067,试判断该日产品的纤度波动是否有显著变化?解则构造统计量由查表得临界值统计量的观测值即认为该日产品的纤度波动与以前有显著变化构造统计量H0拒绝域构造统计量H0拒绝域应构造统计量作业P213练习8.23.4.5.6.8.3两个正态总体的参数假设检验参照单个正态总体的假设检验对两个正态总体的参数的假设进行检验相互独立由抽样分布定理构造统计量的观测值的绝对值应很小H0拒绝域因此原假设的拒绝域为构造统计量例1

甲、乙两厂生产的某种元件的寿命都近似服从正态分布,,且相互独立,从两厂生产的元件中分别抽取了100只和75只,测得样本均值分别为1180小时和1220小时,问乙厂生产的元件平均寿命是否比甲厂高?解构造统计量原假设的拒绝域为由查表得临界值统计量观测值即可以认为乙厂生产的元件寿命要比甲厂的高由抽样分布定理构造统计量因此原假设的拒绝域为构造统计量例2

甲、乙两零件彼此可以替代,且它们的抗压强度都近似服从正态分布,但甲零件的成本较低,为评估质量,各抽取了5只,测得抗压强度数据如下:(kg/cm2)

甲零件:89,89,90,84,88

乙零件:88,87,92,90,91假定它们抗压强度的方差相等,问能否认为甲零件的抗压强度不比乙零件低?解构造统计量由由样本观测值,得查表得临界值即可以认为甲零件的抗压强度不比乙零件低由抽样分布定理构造统计量因此H0拒绝域为H