矩形的性质与判定（专项练习1）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）

专题1.5矩形的性质与判定（专项练习1）

一、单选题

知识一、矩形性质的理解

1.下列选项中，矩形具有的性质是（）

A.四边相等B.对角线互相垂直C.对角线相等D.每条对角线平分一

组对角

2.如图，将矩形A8CO折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点0.若

AE=5,BF=3,则AO的长为（）

3

A.75B.-V5C.2y/5D.475

3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,以下说法错误的是（）

A.ZABC=90°B.AC=BDC.OA=OBD.OA=AD

知识二、利用矩形的性质和判定求角

4.如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF,折叠后点C,D分别落在点C',。处,

D'E与BF交于点G.已知N5GD'=30。，则Na的度数是（）

A.30°B.45°C.74°D.75°

5.如图,分别过矩形A3。的顶点A、。作直线小h,使人〃/2,6与边BC交于点尸，若

/1=38°,则/8PD为（)

A.162°B.152°C.142°D.128°

6.如图,矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,DE_LAC于E,且NADE：ZEDC

=3：2,则NCOD的度数为（)

A.54°B.60°C.65°D.72°

知识三、利用矩形的性质和判定求线段

7.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O,ZAOD=60%AD=2,则AC的长是（）

A.2B.4C.2#>D.46

8.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE〃BD,DE〃AC,若AC=4,则

四边形OCED的周长为（）

A.4B.8C.10D.12

9.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE〃BD,DE〃AC.若AC=4,则

四边形CODE的周长是（）

A.4B.6C.8D.10

知识四、利用矩形的性质和判定求面积

10.如图，矩形内有两个相邻的正方形,其面积分别为2和8,则图中阴影部分的面积为（）

A.72B.2C.2夜D.6

11.长方形的一边长为4,对角线与长方形另外一条边相差2,则长方形的面积为（）

A.8B.4C.6D.12

12.如图，点p是矩形ABCD的对角线上一点,过点P作所//BC,分别交AB,CO于E,/,

连接P6,尸。，若AE=1,PE=3,则图中阴影部分的面积为（）

A.3B.6

C.9D.12

知识五、利用矩形的性质和判定证明

13.如图，在矩形ABCO中，对角线AC与8。相交于点。，ZADB=34°,则N8AO的

度数是（）.

A.46°B.54°C.56°D.60°

14.下列说法中错误的是（)

A.平行四边形的对边相等B.菱形的对角线平分一组对角

C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.矩形的对角线互相平分

15.如图，四边形Q4OB是扇形的内接矩形，顶点P在弧脑V上，且不与M,N重

合，当P点在弧MN上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则AB的长度（）

A,变大B.变小C.不变D.不能确定

知识六、平面直角坐标系中的矩形

16.一个长方形在直角坐标系中三个顶点的坐标为（-1,-1）,(-1,2),（3,-1）,则第四个

顶点的坐标为（）

A.(2,2)B.(3,2)C.(3,3)D.(2,3)

17.如图，平面直角坐标系中，长方形0ABC,点A,C分别在x轴，y轴的正半轴上，点B

（6,3）,现将△OAB沿0B翻折至△OA'B位置，04交BC于点P.则点P的坐标为（）

935…

A.(一,3)B.(一,3)C.3)D.(一,3)

422

18.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC,0A=3,0C=6,将△ABC沿对角线AC翻

折，使点B落在点B，处，AB，与y轴交于点D,则点D的坐标为（）

9977

A.（0,--）B.（0,-一）C.（0,——）D.（0,--）

2424

知识七、矩形的折叠问题

19.如图，将长方形纸片ABC。折叠，使点。与点8重合，点C落在点C处，折痕为

若NABE=25。，则NEFC的度数为（）

A.122.5°B.130°C.135°D.140°

20.已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠，使点B与点D

重合，折痕为EF,则△ABE的面积为（

A.3cm2B.4cm2C.6cm2D.12cm2

21.如图，E为矩形ABCD的边AB上一点,将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的

点F处，若BE=1,BC=3,则CD的长为（）

A.6B.5C.4D.3

知识八直角三角形斜边上中线问题

22.如图，四边形ABCO是菱形，对角线4C,BD相交于点O,于点，，连接OH,

/。。=20。，则N。”。的度数是（）

A.20°B.25°C.30°D.40°

23.如图，在△ABC中，点D,E分别是边AB,AC的中点，点F是线段DE上的一点连

接AF,BF,ZAFB=90°,且AB=8,BC=14,则EF的长是（）

A.2B.3C.4D.5

24.如图，在RsABC中，ZACB=90°,ZA=30°,D,E,F分别为AB,AC,AD的中

点，若BC=2,则EF的长度为（）

13

A.—B.1C.-D.Jr3

22

二、填空题

知识一、矩形性质的理解

25.如图，矩形ABC。的顶点A,8在数轴上，8=6,点A对应的数为-1,则点8所对

应的数为.

26.小明把如图所示的矩形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖

落在阴影区域的概率是.

27.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形48C。定点A、8在)，轴、x轴上，当B在x轴

上运动时，A随之在)，轴运动，矩形4BCO的形状保持不变，其中AB=2,BC=\,运动过

程中，点D到点0的最大距离为.

知识二、利用矩形的性质和判定求角

28.如图，在矩形488中，对角线AC、BO相交于点。，若4E平分/班。交8C于点E,

且BO=BE,连接。£,则/8。£=.

29.如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O,DELAC于点E,若NAOD=110。，则

/CDE=°.

30.如图所示，在矩形A8CO中，。氏LAC于E,NADE：NEOC=3：2,则/BOE的度数

是.

知识三、利用矩形的性质和判定求线段

31.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,点P在AD上，PELAC于E,PFLBD于F,

则PE+PF等于.

32.如图，四边形OABC为矩形，点A,C分别在x轴和y轴上，连接AC,点B的坐标为

(4,3),NCA0的平分线与y轴相交于点D,则点D的坐标为.

33.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,3。相交于点0,已知NBOC=120°,DC=女m,

则AC的长为cm.

知识四、利用矩形的性质和判定求面积

34.如图，矩形ABCD的对角线4C和B。相交于点0,过点。的直线分别交AD和6c

于点E、F，且AB=2，BC=3,那么图中阴影部分的面积为.

35.如图,矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2,那么阴影部分的面积为.

36.两个完全相同的长方形如图放置，每个长方形的面积为28,图中阴影部分的面积为20,

则其中一个长方形的周长为.

知识五、利用矩形的性质和判定证明

37.如图，矩形A5CQ的对角线AC,8。交于点。，若E、尸分别为AO,A。的中点，

若AC=24,则E/的长为.

38.如图，矩形ABCQ的两条对角线相交于点。，若44。。=60。，4。=2,则AC的长为

39.已知如图，矩形ABCD中，AB=3cm,BC=4cm,E是边AD上一点，且BE=ED,P

是对角线上任意一点，PF1BE,PG1AD,垂足分别为F、G.贝UPF+PG的长为cm.

知识六、平面直角坐标系中的矩形

40.如图，矩形OA8C的顶点B的坐标为(2,3),则4C=.

41.在直角坐标系中，长方形ABCO三个顶点的坐标为A(—2,—2),B(4,-2),C(4,3),

则顶点D的坐标是.

42.如图，以长方形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y

轴，建立平面直角坐标系.已知OA=3,OC=2,点E是AB的中点，在OA上取一点D,

将^BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处.若在y轴上存在点P,且满足FE=FP,

则P点坐标为.

知识七、矩形的折叠问题

43.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠，点D落在点D，处，则

重叠部分^AFC的面积为.

44.如图，在长方形ABCD中，DC=6cm,在DC上存在一点E,沿直线AE把AADE折

叠，使点D恰好落在BC边上的点F处，若△ABF的面积为24cm2,那么折叠的△ADE的

面积为•

45.如图，矩形纸片ABCD,AB=6cm,BC=8cm,E为边CD上一点.将△BCE沿BE所

在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FMLBE,垂足为点M,取AF

的中点N,连接MN,则MN=cm.

知识八直角三角形斜边上中线问题

46.如图，在RSABC中，E是斜边AB的中点，若AB=10,则CE=.

47.如图，点D为如图所示，点D为△ABC的边AB的中点，且AD=CD,则^ABC为

三角形.

48.如图，在AABC中，ZACB=90°,M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D,

使CD=」BD,连接DM、DN、MN.若AB=4,贝UDN=.

3

三、解答题

知识一、矩形性质的理解

49.如图，在矩形ABC。中，AB=bBC=6,/ADC的平分线交边8c于点£，

于点连接AE,连接CH并延长交AE于点F.

(1)求证：△ABE^^AHE；

(2)求证：AE=2FH.

知识二、利用矩形的性质和判定求角

50.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连结AE,如果NADB=36。，求

NE的度数.

知识三、利用矩形的性质和判定求线段

51.如图，在矩形ABCD中，AB=1,BC=3.

(1)在图①中，P是BC上一点，EF垂直平分AP,分别交AD、BC边于点E、F,求证:

四边形AFPE是菱形；

(2)在图②中利用直尺和圆规作出面积最大的菱形，使得菱形的四个顶点都在矩形ABCD

的边上，并拿掾标出菱形的边长.(保留作图痕迹，不写作法)

知识四、利用矩形的性质和判定求面积

52.在平面直角坐标系中，。为原点，点A(0,2),B(-2,0),C(4,0).

(1)如图①，则三角形A8C的面积为；

(2)如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点O.

①求三角形AC。的面积；

②点0)是一动点，若三角形玄。的面积等于三角形ACO的面积.请直接写出点

P坐标.

知识五、利用矩形的性质和判定证明

53.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上，BE=DF.求证：

AE=CF.

知识六、平面直角坐标系中的矩形

54.如图，己知。为坐标原点，四边形。RC为长方形，OA=10,OC=4,点。是的

中点，点尸在线段3c上运动.

(1)写出点的坐标；

(2)当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标.

知识七、矩形的折叠问题

55.如图，将长方形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的点F处，已知AB

=6,AABF的面积是24,求DE的长.

知识八直角三角形斜边上中线问题

56.如图，在△ABC中，点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点，AH是边BC上的高.

(1)试判断线段DE与FH之间的数量关系，并说明理由;

(2)求证：ZDHF=ZDEF.

参考答案

1.C

【分析】根据矩形的性质逐项分析即可.

【详解】

A.四边相等是菱形的性质，不是矩形的性质，故不符合题意；

B.对角线互相垂直是菱形的性质，不是矩形的性质，故不符合题意；

C.对角线相等是是矩形的性质，故符合题意；

D.每条对角线平分一组对角是菱形的性质，不是矩形的性质，故不符合题意；

故选C.

【点拨】本题考查了矩形的性质:①矩形的对边平行且相等;②矩形的四个角都是直角：

③矩形的对角线相等且互相平分；

2.C

【分析】先证明4E=AE,再求解AB,AC,利用轴对称可得答案.

【详解】

解：由对折可得：ZAFO=Z.CFO,AF=CF,

矩形ABCO，

AB=y/AF2-BF2=4,BC=8

由对折得：Q4=OC=，AC=2逐.

2

故选C.

【点拨】本题考查的是矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，轴对称的性

质，掌握以上知识是解题的关键.

3.D

【详解】

试题分析：本题考查了矩形的性质：熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键.矩形的性

质：四个角都是直角，对角线互相平分且相等；山矩形的性质容易得出结论.：四边形ABCD

.,.ZABC=ZBCD=ZCDA=ZBAD=90o,AC=BD,OA^AC,OB=-^BD,.,.OA=OB,

:.A、B、C正确，D错误

考点：矩形的性质

4.D

【分析】依据平行线的性质，即可得到NAEG的度数，再根据折叠的性质，即可得出

Na的度数.

【详解】

解：...矩形纸条ABCD中，ADHBC，

二ZAEG=NBGD'=30°,

二ZDEG=180°-30°=150°,

由折叠可得，Za=-ZDEG=-x150°=75°,

22

故选：D.

【点拨】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图

形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

5.C

【详解】

解：'：l\//h,Zl=38°,AZADP=Z1=38°,二•矩形的对边平行，

：.ZBPD+ZADP=\S0°,：.ZBPD=180°-38°=142°,故选C.

6.D

【分析】设/ACE=3a,ZEDC=2a,根据题意列出方程求出a的值，然后根据三角形

的内角和定理即可求出答案.

【详解】

解：设N4)E=3a,ZEDC=2a,

/.3ct+2a=90°,

Aa=18o,

：.ZCDE=2a=36°t

VDEIAC,

AZDCE=90°-36°=54°,

,:OD=OC,

：.NDCE=ZODC=54°,

.../CO。=180°-2x54°=72°,

故选：D.

【点拨】本题考查矩形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用矩形的性质,

属于基础题型.

7.B

【详解】

解：在矩形ABCD中，OA=OC,OB=OD,AC=BD,；.OA=OC.

■:ZAOD=60°,

.♦.△OAB是等边三角形.AOA=AD=2.

，AC=2OA=2x2=4.

故选B.

8.B

【详解】

解:：四边形ABCD为矩形，

/.OA=OC,OB=OD,且AC=BD,

/.OA=OB=OC=OD=2,

VCE/7BD,DE〃AC,

...四边形DECO为平行四边形，

VOD=OC,

二四边形DECO为菱形，

，OD=DE=EC=OC=2,

则四边形OCED的周长为2+2+2+2=8,故选B.

考点：矩形的性质；菱形的判定与性质.

9.C

【详解】

VCE/7BD,DE〃AC,

二四边形CODE是平行四边形,

;四边形ABCD是矩形，

AAC=BD=4,OA=OC,OB=OD,

.,.OD=OC=—AC=2,

2

.••四边形CODE是菱形，

.••四边形CODE的周长为：40c=4x2=8.

故选C.

10.B

【分析】先由题意得到大正方形的边长和小正方形的边长，再求阴影部分的面积.

【详解】

由题意可得，大正方形的边长为胡=20，小正方形的边长为0，

.♦•图中阴影部分的面积为：0x(2夜—0)=2,故选B.

【点拨】本题考查矩形面积的求法，解题的关键是得到大正方形的边长和小正方形的边

长.

II.D

【解析】

【分析】利用勾股定理列式求出另一边长，然后根据矩形的面积公式列式进行计算即可

得解.

【详解】

♦.•如图，AB=4,AC=BC+2,

.••根据勾股定理得到：AB2+BC2=(BC+2)2,B|J16+BC2=(BC+2)2,

：.BC=3,

.•.它的面积为4x3=12.

故选：D.

【点拨】考查矩形的性质以及勾股定理，根据勾股定理列出方程是解题的关键.

12.A

【分析】先根据矩形的性质证得=S.PBE，然后求解即可.

【详解】

解：作PM_LAD于M,交BC于N,

四边形AEPM、四边形DFPM、四边形CFPN和四边形BEPN都是矩形，

*'S^AOC=S^ABC，^^AMP=SJEP，&PBE~$#BN，^PFD=^PDM，^PFC=^PCN»

•，-S矩形DFPM=S矩形BEPN，

VPM=AE=1,PF=NC=3,

.13

,*S&DFP~S^PBE=5*1'3=5，

33

•*•S阴=-H——3，

22

故选：A.

【点拨】本题主要考查矩形的性质、三角形的面积等知识，证得SAOFP=S"BE是解答

本题的关键.

13.C

【分析】由矩形的性质得/BAD=90。，OA=OC=-AC,OB=OD=-BD,AC=

22

BD,则OA=OD,由等腰三角形的性质得/OAD=/ADB=34。，进而得出答案.

【详解】

解：•••四边形ABCD是矩形，

.•.ZBAD=90°,OA=OC=—AC,OB=OD=—BD,AC=BD,

22

/.OA=OD,

，ZOAD=ZADB=34°,

:.ZBAO=900-ZOAD=90°-34°=56°；

故选：C.

【点拨】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性

质和等腰三角形的性质是解题的关键.

14.C

【分析】根据矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质分别进行判断

即可

【详解】

解：A.平行四边形的对边相等，正确，不符合题意；

B.菱形的对•角线平分一组对角，正确，不符合题意；

C.对角线互相垂直的四边形是菱形，错误，符合题意；

D.矩形的对角线互相平分，正确，不符合题意.

故选：c.

【点拨】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，解决

本题的关键是掌握矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质.

15.C

【分析】四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，根据矩形的性质AB=OP=半径，所以

AB长度不变.

【详解】

解：•••四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，

，AB=OP=半径，

当P点在弧MN上移动时，半径一定，所以AB长度不变，

故选：C.

【点拨】本题考查了圆的认识，矩形的性质，用到的知识点为：矩形的对角线相等；圆

的半径相等.

16.B

【分析】本题可在画出图后，根据矩形的性质，得知第四个顶点的横坐标应为3,纵坐

标应为2.

【详解】

如图可知第四个顶点为：

即：(3,2).

故选:B.

【点拨】本题考查学生的动手能力，画出图后可很快得到答案.

17.A

【分析】由折叠的性质和矩形的性质证出OP=BP,设OP=BP=x,则PC=6-x,再用勾

股定理建立方程9+(6-x)2=必，求出x即可.

【详解】

•将△OAB沿0B翻折至△048位置，0A，交BC于点P,

：.ZA'OB=ZAOB,

•••四边形0ABC是矩形，

：.BC//OA,

：.N0BC=NA0B,

:・NOBC=NA，OB,

：.OP=BP,

・・•点3的坐标为(6,3),

：.AB=OC=3f04=306,

设OP=BP=x,则PC=6-x,

在Rs0C尸中，根据勾股定理得，OG+PC^OP?,

/.32+(6-x)2=/,

解得：户”，

4

.159

・・PC=6~—=一,

44

9

：.P(-,3),

4

故选：A.

【点拨】此题主要考查折叠和矩形的性质以及利用勾股定理构建方程，熟练掌握，即可

解题.

18.B

【详解】

由折叠的性质可知，ZB'AC=ZBAC,

・・•四边形OABC为矩形，

.'.OC/7AB,

AZBAC=ZDCA,

・•・ZB/AC=ZDCA,

.'.AD=CD,

设OD=x,则DC=6-x,在RQAOD中，由勾股定理得，

OA2+OD2=AD2,

即9+x2=(6-x)2,

9

解得:x=—,

4

9

・••点D的坐标为：(0,-：),

4

故选B.

19.A

【分析】由折叠的性质知：NEBC、/8C'尸都是直角，因此BE〃。凡那么/ER7和

/8EF互补，欲求/EFC的度数，需先求出/BEF的度数;根据折叠的性质知乙BEF=NDEF,

而NAEB的度数可在RSABE中求得，由此可求出NBEF的度数，即可得解.

【详解】

解：RtA/IBE中，ZABE=25°,

AZAEB=90°-ZABE=9()°-25°=65°；

由折叠的性质知：NBEF=NDEF；

而N8E£>=180°-ZAEB=ll5°,

：.ZBEF=-ZBED=57.5°；

2

•；ZEBC=ZD=ZBCF=ZC=90°,

：.BE//C'F,

:.NEFC=180°-NBEF=122.5°.

故选：A.

【点拨】本题主要考查折叠的性质及平行线的性质，掌握折叠的性质及平行线的性质是

解题的关键.

20.C

【详解】

由折叠的性质可得DE=BE,

设AE=xcm,则BE=DE=(9-x)cm,

在Rt-ABE中，由勾股定理得：32+x2=(9-x)2

解得：x=4,

二AE=4cm,

.'.SAABE=-X4X3=6(cm2),

2

故选C.

21.B

【分析】先根据翻折变换的性质得出EF=BE=1,BC=CF=AD=3,可证得△AED^AFDC

进而求得CD的长.

【详解】

解:由题意得：E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在

ED上的点F处，可得BE=EF=1,CF=BC=3,/EFC=/B=9O"

•••ABCD为矩形，可得/AED=/CDF,

在△AEDhiAFDC中有:AD=CF,NA=NDFC=90",NAED=NCDF

△AED^AFDC,ED=CD,

设CD的长为x,在RtAEAD中，

有即2=4炉+4)2,

即：/=(x_1>+32,解得;x=5,

故答案为B.

【点拨】本题主要考查矩形的性质和翻折变换后的性质，灵活证三角形全等是解题的关

键.

22.A

【分析】先根据菱形的性质得OD=OB,AB〃CD,BD±AC,则利用DH1AB得到

DH±CD,ZDHB=90°,所以OH为RtADHB的斜边DB上的中线，得至I」OH=OD=OB,

利用等腰三角形的性质得N1=NDHO,然后利用等角的余角相等即可求出NDHO的度数.

【详解】

解：•••四边形ABCD是菱形，

.,.OD=OB,AB/7CD,BD±AC,

VDH±AB,

.'.DH±CD,/DHB=90。，

•,.OH为RtADHB的斜边DB上的中线，

.•.OH=OD=OB,

.•.Z1=ZDHO,

VDH±CD,

；./l+N2=90。，

VBDXAC,

.*.Z2+ZDCO=90°,

AZl=ZDCO,

.,.ZDHO=ZDCA,

•••四边形ABCD是菱形，

；.DA=DC,

ZCAD=ZDCA=20°,

.\ZDHO=20°,

故选A.

【点拨】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵

活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

23.B

【分析】根据直角三角形的性质得到DF=4,根据BC=I4,由三角形中位线定理得到

DE=7,解答即可.

【详解】

解：•••NAFB=90。，点D是AB的中点，

；.DF=—AB=4,

2

VBC=14,D、E分别是AB,AC的中点，

.\DE=—BC=7,

2

；.EF=DE-DF=3,

故选：B

【点拨】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键.

24.B

【分析】根据题意求出AB的值，由。是AB中点求出的值，再山题意可得出E/

是AACO的中位线即可求出.

【详解】

•/ZACB=90°,ZA=30°,

1

•••BC=-AB.

2

BC=2,

，AB=2BC=2X2=4,

•.,。是AB的中点，

11

CD=-AB=-X4=2.

22

•••E,尸分别为AQW的中点,

尸是△ACO的中位线.

11

:.EF=—CD=—x2=L

22

故答案选B.

【点拨】本题考查了直角三角形的性质，三角形中位线定理，解题的关键是熟练的掌握

三角形中位线定理.

25.5

【分析】根据矩形的性质得出AB的长度，再减去0A的长度，即可得到0B的长度

【详解】

:四边形ABCD是矩形，且矩形的顶点A,B在数轴上，CD=6

AB=CD=6

・・,点A对应的数为-1

AOA=1

/.OB=AB-OA=6-1=5

VB点在数轴原点O的右侧

，点B所对应的数为5

试题点评：这是矩形与数轴结合的综合题目.

26.—.

4

【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数

目；二者的比值就是其发生的概率.

【详解】

如图，根据矩形的性质易证矩形的对角线把矩形分成的四个三角形均为同底等高的三角

形，故其面积相等，根据平行线的性质易证S产S2,故阴影部分的面积占一份，

故针头扎在阴影区域的概率为'.

4

27.V2+1

【分析】取AB的中点E,连接ODQE.DE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一

半可得OE=《AB,利用勾股定理列式求出DE,然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得

OD过点E时最大.

【详解】

解：如图，取A8的中点£,连接00、OE、DE,

,：ZAO8=90°,48=2,

,OE=AE=—AB=I,

2

•••8C=1,四边形A8CO是矩形，

.".AD=BC=\,

,DE=AD2+AE2=Vl2+12=6，

根据三角形的三边关系，ODCOE+DE,

...当0。过点E时最大，最大值为淄+1.

【点拨】本题主要考查矩形的性质及三角形三边的关系，熟练掌握性质是解题的关键.

28.75°

【分析】由矩形A8CO,得至IJ04=08,根据4E平分/孙。，得到等边三角形048,

NABO=60。，求出NO8E=30。，根据三角形的内角和定理即可求出答案.

【详解】

解：.••四边形ABC。是矩形，

J.AD//BC,AC=BD,OA=OC=OB=OD,ZBAD=90°,

：.OA=OB,NDAE=NAEB,

平分NBA。，

ZBAE=ZDAE=45°=ZAEB,

：.AB=BE,

'：B0=BE,

：.AB=BO=OA

.'.△BA。是等边三角形，

ZABO=60°,

：./OBE=90°-60°=30°,

，ZB0E=ZBE0=—(180°-30°)=75°.

2

故答案为75°.

【点拨】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，角平

分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和等知识，解此题的关键是求出N0BC

的度数和证明AB=OB=BE.

29.35

【分析】先根据三角形外角的性质和矩形的性质得到NOCD的度数，再根据DEJ_AC

即可得到NCDE的度数.

【详解】

VZAOD=1IO°,

.,.ZODC+ZOCD=HO°,

•••四边形ABCD是矩形，

.,.OC=OD,

,ZODC=ZOCD=55°,

XVDE1AC,

:.ZCDE=1800-ZOCD-ZDEC=180。-55。-90。=35。，

故答案为：35.

【点拨】本题考查了矩形的性质，三角形内角和，三角形外角的性质，掌握知识点是解

题关键.

30.18°

【分析】根据矩形的性质及角度的关系即可求解.

【详解】

ZADE:ZEDC=3:2,NADC=90。，

；./EDC=36°,

,/DEYAC

NDCE=54。，

VCO=DO,.*.ZODC=ZDCE=54°,

NBOE=NODC-/EDC=18°

【点拨】此题主要考查矩形的性质，解题的关键是熟知继续对角线互相平分且相等.

12

31.—

5

【详解】

解：设AC与BD相交于点O,连接0P,过D作DMJ_AC于M,

•••四边形ABCD是矩形，

AC=BD,ZADC=90°.

；.OA=OD.

VAB=3,AD=4,...由勾股定理得：AC=g2+42=5.

Sy.n•—x3x4=—x5-DM，DM=—.

AAC8225

•^AAOD=Sgpo+SADPO，

：.-AODM=-AOPE+-DOPF.

222

12

APE+PF=DM=y.故选B.

4

32.(0,一)

3

【详解】

解：过D作DELAC于E,

•••四边形ABCO是矩形,B(4,3),

.♦.OC=AB=3,OA=BC=4,ZCOA=90°,

VAD平分/OAC,

/.OD=DE,

由勾股定理得:OA2=AD2-OD2,AE2=AD2-DE2,

:.OA=AE=4,

由勾股定理得：AC=5,

在RtADEC中，DE?+EC2=CD2,

即OD?+(5-4)2=(3-OD)2,

4

解得：OD=—，

3

4

所以D的坐标为(0,-).

3

考点：矩形的性质；坐标与图形性质.

33.6cm

【分析】根据矩形的性质可得为角线相等且平分，由ZBOC=120°可得448=30。.

根据30。所对直角边是斜边的一半即可得到结果.

【详解】

•••四边形ABCD是矩形，

，ZABC=NOCB=90°，AC^BD,OA=OA=OB=OD，AB=DC，

'：DC=3cm,

AB=3cm,

又♦••N8OC=120。，

AACD=AOBC=30°，

...在RsABC中，AC=ZAB=6cm.

故答案为6cm.

【点拨】本题主要考查了矩形的性质应用，准确利用直角三角形的性质是解题的关键.

34.3

【分析】根据矩形是中心对称图形寻找思路：AAOE丝acoF,图中阴影部分的面积就

是ABCD的面积.

【详解】

解：.••四边形ABCD是矩形，

.,.OA=OC,ZAEO=ZCFO；

XVZAOE=ZCOF,

在小AOE和^COF中，

ZAEO=zero

<OA=OC,

NAOE=NCOF

.".△AOE^ACOF,

•,SAAOE=SACOF»

图中阴影部分的面积就是△BCD的面积.

SABCD=—BCxCD=—x2x3=3.

22

故答案为：3.

【点拨】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全

等，从而将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半，是解决问题的关键.

35.272-2

【详解】

解：•.•矩形内有两个相邻的正方形面积分别为4和2,

两个正方形的边长分别是五，2,

阴影部分的面积=(2+72)X2-2-4=2V2-2.

故答案为：20-2

36.22

【分析】设矩形的长边是a,短边是b,则56—，(a+0)》—Lab=20,求出b,再求

22

出a,即可得出答案.

【详解】

设每个长方形的长为。，宽为仇a>0/>0),则aZ?=28,

56--(a+b)b--ab=2Q,

22

"'"/?=4.

...a=28+4=7,则每个长方形的周长是2x(4+7)=22.

故答案为：22.

【点拨】本题考查了矩形性质和三角形的面积的应用，解此题的关键是能把不规则图形

的面积转化成规则图形的面积.

37.6

【分析】由矩形的性质可得AC=5。=24,0。=12,进而根据三角形中位线可进行

求解问题.

【详解】

解：•.•四边形A8CD是矩形，AC=24,

AAC=BD=24.OD^-BD^\2,

2

■:E、R分别为A。，的中点，

:.EF=>OD=6；

2

故答案为6.

【点拨】本题主要考查矩形的性质及三角形中位线，熟练掌握矩形的性质及三角形中位

线是解题的关键.

38.4

【分析】利用直角三角形30度角的性质，可得AC=2AD=4.

【详解】

解：在矩形ABCD41,OC=OD,

/.ZOCD=ZODC,

:ZAOD=60°,

ZOCD=—ZAOD=-x60°=30°,

22

又；/ADC=90°,

；.AC=2AD=2x2=4.

故答案为4.

【点拨】本题考查了矩形的性质，主要利用「矩形的对角线互相平分且相等的性质，三

角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键

39.3

【分析】首先过点P作尸于M,由矩形ABCD中，PG1AD，易证得G,P,

M共线，且四边形ABMG是矩形，可得GM=AB=3an,又山3片皮），易证得

NEBD=NCBD，然后根据角平分线的性质，可得PF=~W，继而可得PE+PG的长即

为GM的长.

【详解】

如图过点P作RW，于M,

♦.•四边形ABCD是矩形，

AAD//BC,ZA=ZABC=90°,

•••PM1A£>.

,:PGLAD,

AG,P,M共线,

ZGMC=90°,

.,.四边形ABMG是矩形,

GM=AB=3cm，

,•*BE=ED，

•••/EDB=NEBD，

'：AD//BC,

:.ZEDB=ZCBD,

，NEBD=NCBD，

•；PF上BE，PMIBC,

•••PM=PF，

:.PF+PG=PM+PG=GM^icm.

故答案为：3.

【点拨】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是能通过题目所给的条件作出辅助线,

再结合矩形的性质得到边的关系.

40.V13

【分析】连接80,根据8点坐标求出08的长，由矩形的性质即可得到AC的长.

【详解】

如图，连接BO,的坐标为(2,3),

.,.OB=722+32=V13

,••四边形OA8C是矩形

AC=OB=y/\3

故答案为：713.

【点拨】此题主要考查矩形的对角线长度，解题的关键是熟知矩形的性质及勾股定理的

应用.

41.(-2,3)

【分析】根据长方形的性质求出点D的横坐标与纵坐标，即可得解.

【详解】

解：如图：

VA(-2,-2),B(4,-2),C(4,3),

.♦•点D的横坐标与点A的横坐标相同，为-2,

点D的纵坐标与点C的纵坐标相同，为3,

...点D的坐标为(-2,3),

故答案为(-2,3).

【点拨】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质等知识，熟练掌握矩形的时边平行且

相等的性质是解题的关键.

42.(0,4),(0,0).

【详解】

试题分析：连接EF,：OA=3,OC=2，二AB=2,..•点E是AB的中点，BE=1,；BF=AB,

；.CF=BE=1,：FE=FP,；.RsFCP也RSFBE,；.PC=BF=2,；.P点坐标为(0,4)或(0,

0),即图中的点P和点P'.故答案为(0,4),(0,0).

考点：1.正方形的性质；2.坐标与图形性质；3.全等三角形的判定与性质.

43.10

【分析】先证AF=CF,再根据RSCFB中建立方程求出AF长，从而求出△AFC的面

积.

【详解】

解：•••将矩形沿AC折叠，

二ZDCA=ZFCA,

,••四边形ABCD为矩形，

DC〃AB,

二NDCA=NBAC,

,ZFCA=ZF