立体几何压轴小题含答案

一、选择题

1.如图，已知正方体ABC。-A8C的棱长为4,点E，尸分别是线段4?，

D

1111

C。上的动点，点P是上底面A3C。内一动点，且满足点P到点尸的距离等

111111

于点尸到平面ABBA的距离，则当点尸运动时，PE的最小值是（）

11

A.5B.4c.D.2,/5

【答案】D

【解析】

试题分析：因为点P是上底面ABCO内一动点，且点P到点F的距离等于

1111

点P到平面ABBA的距离，所以，点尸在连接A，BC中点的连线上.为使

111111

当点P运动时，PE最小，须PE所在平面平行于平面A4O。，

11

PE=卜+令=2平，选D

考点：1.平行关系；2.垂直关系；3.几何体的特征.

2如图在一个二面角的棱上有两个点A,8,线段AC,8。分别在这个二面

角的两个面内，并且都垂直于棱A8，AB=4cm,AC=6cm,BD=3cm,CD=2^V7cm9

则这个二面角的度数为（）

【答案】B

【解析】

试题分析：设所求二面角的大小为e,贝!）<£）&>9，因为。=D8+8A+AC，

所以CD2=（DB+BA+AC）2=DB2+BA1+AC2+2DB-BA+2DB-AC+2BA-AC

而依^2DB-BA^O^BA-_AC^.______

所以|CD|2=|DB|2+|BAh+|AC\i-2BD-AC114x17=4?钮2拉—2x8x6cos0

所以cosa=-L而。且（）,兀］以巴6竺，故选B.

考点：1.二面角的平面角；2.空间向量在解决空间角中的应用.

3已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：加）

可得这

个几何体的体积是（）

48

A.产B.3OT73C.3cm3D.4训

【答案】B.

【解析】

试题分析：分析题意可知，该几何体为一四棱锥，•••体积

V=%/z=-x22x2=-

・33

3

考点：空间几何体的体积计算.

4如图，渥正方体ABC。-ABC对角线AC上一动点，设AP的长度为x，

D

11111

若APB。的面积为/（x），则/（x）的图象大致是（）

【答案】A

【解析】

试题分析：设AC与BD交于点0,连接0P.易证得8。上面ACCA,从而可得

II

3OJ_OP.设正方体边长为1,在心AACC中cos/C4。=巫="•在AA0P中

।1~

OA金,设AP=X,(OW乔)，由余弦定理可得

2

之户1,所以二室一1.所以

OP2=X2+[Tjx'~x~=x2~~x+l0P=V~X+2

/(x)=^x^.teA.

2V62

考点：1线面垂直，线线垂直;2函数图象.

5如图所示，正方体ABCD-ABC。的棱长为1,£尸分别是棱M,CC的

中点，过直线民尸的平面分别与棱DD,交于M,N,设fiW=x,》注0,1],

给出以下四个命题：

(1)平面MEN/，平面8DQE；

1

(2)当且仅当X=3时，四边形MEN尸的面积最小；

(3)四边形MEN/周长L=/(x),xe[O,l]是单调函数；

(4)四棱锥C-ME7VE的体积V=〃(x)为常函数；

以上命题中假命廖的序号为()

A.(1)(4)B.(2)C.(3)D.(3)(4)

【答案】C

【解析】

试题分析：(1)由于防//AC，AC1BD,AC1则AC，平面BBDD，则

EFl.平面BBDD，又因为EFu平面EMFN，则平面MEN77J•平面B£>£>⑹；(2)

由于四边形MEN/为菱形，S=LEF,MN,EF=j2,要使四边形MENF的

MENF2

1

面积最小，只需MN最小，则当且仅当一？时，四边形MENF的面积最小；

ri,i

MF=I(2-X)2+1f(x)=4-2)2+1

(3)因为\2,\2/(x)在［0,1］上不是单调函

lcfE-1=2

数⑷Li=7……\CM£=24,尸到平面CME的距离

v=：.］=，s=：.C'E-1=：V=1,1=1./jW=L

为1,F-CME§4也，又ACW万4,F-CNE4~12,否为

常函数.

故选(3)

考点：1.面面垂直的判定定理；2.建立函数模型.

6已知三棱柱ABC-AB的侧棱与底面边长都相等，A在底面ABC上的射

C

1-1

影为BC的中点，则异面直线AB与CC所成的角的余弦值为()

1

(A)®(B)叵(C)叵(D)2

4444

【答案】D.

【解析】

试题分析：连接A8；A4〃CC，，NAAB是异面直线43与CC所成的角或

11111

其补角；在qZV1D4中，设A4=1,则4)=理,4。=1；在阳△四中，A52=1;

11212112

1+1-1

在AABA中，COSZAAB=____三=?.；即面直线AB与CC所成的角的余弦值

112x1x141

为生

4

考点：异面直线所成的角.

7.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两

个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为

侧视图

俯视

A.B.12nC.4舟D.3n

【答案】D

【解析】

试题分析：由三视图可知，该几何体为四棱锥，侧棱垂直底面，底面是正

方形，将此四棱锥还原为正方体，则正方体的体对角线即外接球的直径，

2r=y/S，；.r=、3,因此S=4兀/'2=3兀，故答案为D.

2表面积

考点：由三视图求外接球的表面积.

8曾图，棱长为1的正方体ABCD-ABC中，P为线段AB上的动点，

11111

则下列结论错误的是（）

A.DC1DP

11

B.平面。APJ.平面AAP

111

C.ZAPD的最大值为90

1-

D.AP+P,的最小值为,2+傕

【答案】C

【解析】

^§分析：'.■ADVDC^AB1DC»ADC\AB^A：.DC_L平面ABC。，DPu

1111111111111

平面ABCD

因此OC_LOP，A正确；由于1M•!•平面AABB，DAu平面。AP，故平

1111111111

面。AP_L平面AAP

111

故B正确，当0<“〈此时，4P。为钝角，C错；将面A4B与面ABCO沿

121111

AB展成平面图形，线段AO即为AP+P。的最小值，利用余弦定理解

111

二后，故D正确，故答案为C.

考点：棱柱的结构特征.

9下列命题中，错误的是（）

A.一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交

B.平行于同一平面的两条直线不一定平行

C.如果平面a不垂直于平面p,那么平面a内一定不存在直线垂直于平面

P

D.若直线/不平行于平面a,则在平面a内不存在与/平行的直线

【答案】B

【解析】

试题分析：由直线与平面的位置关系右知A正确;平行于同一个平面的两

条直线可以相交、平行或异面，故B错，所以选B.

考点:直线、平面平行与垂直的判定与性质.

0已知如图所示的正方体ABCD-ABCD,点P、Q分别在棱BB、

11111

DD上，且叫=也，过点A、P、Q作截面截去该正方体的含点A的部

1BB]DD11

分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的主视图的是（)

【答案】A

【解析】

试题分析：当P、B重合时，主视图为选项B；当P到B点的距离比B

11

近时，主视图为选项C；当P到B点的距离比B远时，主视图为选项D,

1

因此答案为A.

考点：组合体的三视图

1一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为

（）

AdB.V3C.HD.Vn

21644

【答案】C

【解析】

试题分析：由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥P-ABC,它

是一个正四棱锥P-ABCD的一半，其中底面是一个两直角边都为6的直角

三角形，高PE=4.

设其外接球的球心为O,。点必在高线PE上，外接球半径为R,

则在直角三角形BOE中，BO2=OE2+BE2=（PE-EO）2+BE2,

即R2=（4-R）2+（3点）2,解得：R=1Z,故选C.

4

考点：三视图，球与多面体的切接问题，空间想象能力

2如右图，在长方体中，A8=11，AD=7,AA=12,一质

11111

点从顶点A射向点E（4312）,遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），

将I次到第，次反射点之间的线段记为L0=2,3,4），L=AE，将线段

i1

竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）

1234

【答案】C

【解析】

试题分析：

因为3>2_，所以AE延长交0c于〜过F作FM垂直DC于例.在矩形A4FM中

4111I11

分析反射情况：由于AM=咤>1。，第二次反射点为E在线段.上，此时

51

EM=3第三次反射点为E在线段FM上，此时*历=4，第四次反射点为E在

13223

线段A尸上，由图可知，选C.

1

考点：空间想象能力

13.一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加

工成球，则能得到的最大球的半径等于（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】试题分析：由图可得该几何体为三棱柱，因为正视图，侧视图，俯视

图的内切圆半径最小的是正视图（直角三角形）所对应的内切圆，所以最大球

的半径为正视图直角三角形内切圆的半径,，

则8-r+6-r=\JQ2+62nr=2，故达B.

考点：三视图内切圆球三棱柱

14已知二面角a-/-P为60。，ABua,ABLbA为垂足，a>up，Cel，

NACQ=135。，则异面直线AB与CO所成角的余弦值为

A.1B.显C.褥D.1

4442

【答案】B.

【解析】

试题分析：如图作BE'p于E，连结AE，过A作AG〃C。，作E㈤于G，

连结8G，贝!J3_G.A设GAB^2a.在AABE中，

NBAQ=EO°,NAE9=B0°,A=8在：aRt^AElGa中，

••

NG9A=QE°-C4ZG,="。襦Rt^BG电=,0Ac

2

AG端0叵异面直线与所成角的余弦值为方，故选

COZBAG=—=------=^—：.,57

AB2a4ABCD

4

B.

考点：1.三垂线定理及其逆定理；2.空间角（异面直线所成角）的计算.

15.在空间直角坐标系。邙中，已知A（2,0,03（2,2,。），（0,2?0）/（1.，若2）

S,S,S分别是三棱锥。-ABC在xOy,yOz,zQx坐标平面上的正投影图形的面

123

积，则（）

A.s=s=sB.s=S且SHS

1232123

C.s=S且SwSD.s=s且sws

31323231

【答案】D

【解析】

试题分析：三棱锥。-ABC在平面my上的投影为AABC，所以S「2，

设D在平面yoz、zox平面上的投影分别为D、D，则。-A3C在平，面yoz、

21

zox上的投影分别为\OCD、AOAD，因为。（0,1,/），。（1QJ2），所以

2112

S-S=J2，

21

故选D.

考点：三棱锥的性质，空间中的投影，难度中等.

6正方形A8CQ的边长为2,点、E、F分别在边A8、8c上，且AE=1，BF=L，

2

将此正

方形沿DE、OF折起，使点A、c重合于点P，则三棱锥尸―OEF的体积是

()

A.1B."C.2GD.正

3693

【答案】B

【解析】

试题分析：解：S^JZDPE=ZDPF=90,^DP1PE,DP1,PF

又因为PEu平面PEF,PFu平面PE/7,且PE「PF=P,所以OP_L平面PEF

在APEF中，PE=1,PF=#F=JEB2+BF2=,。=手

「甘L®(_

所以cosNEPRuI2J_,sjnZEPF=[.(2)2=小

一双R一一3rU丁

2

所以S=[PE-PF.sinNEPF=)xlx：x直=叵

APEF22234

所以应选B.

考点：1、直线与平面垂直的判定；2、正弦定理与余弦定理；3、棱锥的

体积.

高为的阿棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S,A,B,C,

D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距

离为()

A?/10B.V2W3C.3D.M

222

【答案】A

【解析】

试题分析：由题意可知ABCD是小圆，对角线长在，四棱锥的高猊，

推出高就是四棱锥的一条侧棱，最长的侧棱就是球的直径，然后利用勾股定

理求出底面ABCD的中心与顶点S之间的距离.

解：由题意可知ABCD是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，点S,

A,B,C,D均在半径为1的同一球面上，球的直径为2,所以四棱锥的

一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径，所以底面ABCD的

中心与顶点S之间的距离为：J（二）2十（1）2邛

故选A

点评：本题是基础题，考查球的内接多面体的知识，能够正确推出四棱锥

的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径是本题的关键，考

查逻辑推理能力，计算能力.

8二面角a-/-B为60。，A、B是棱/上的两点，AC、BD分别在半平面

a,P内，AC1/»BDLI，且AB=AC=a，BD=2a，则CD的长为（）

A.2aB.小aC.aD.

【答案】A

【解析】

试题分析：根据异面直线上两点间的距离公式"=J7+/+巷cos丁，

对于本题中，d=a，m=a，n=2，9=60*»故

C2（2122a-2-aeoa・s60=Q2

考点：异面直线上两点间距离，空间想象能力.

9长方体的表面积是24,所有棱长的和是24,则对角线的长是（）.

A.而B.4C.3忘D.2万

【答案】B

【解析】

试题分析：设出长方体的长、宽、高，表示出长方体的全面积，十二条棱

长度之和，然后可得对角线的长度.

考点：长方体的结构特征，面积和棱长的关系.

0已知棱长为1的正方体ABC。-ABC。中，E,F,M分别是AB、AD、

1111

AA的中点，又P、Q分别在线段AB.AD上，且AP=AQ=x,0<x<l，设面MEF口面

1111111

MPQ=/,则下列结论中不成立的是（）

A.///面ABCD

B./1AC

C.面MEF与面MPQ不垂直

D.当x变化时，/不是定直线

【答案】D

【解析】

试题分析：解：连结AC,BO，交于点OAC,8。交于点O

II11IIIII

由正方体的性质知，BD//BD,AC//AC,AC1BD,AC1BD

III1IIII

因为Ej是的中点，所以所//8。

因为AP=AQ,所以PQ//BO

II11

所以PQ//EF，所以PQ//平面MEF,£7?//平面神0,

由MEFp|面MPQ=/,EFu平面ME/，所以耳7//，而Efu平面ABC。,/《平

面ABCD,

所以，///面ABCD,所以选项A正确；

由ACJ_3。，EF//BD得EFLAC而EF/〃，所以/，AC,所以选项B正确;

连则OM//AC,而ACLAB,ACJ.BO,BD//EF,AB//MF

111111111

所以，，所以OMJ,平面MEF，过直线/与平面ME/7垂直

111

的平面只能有一个，所以面MEF与面MPQ不垂直，所以选项C是正确的；

因为EF/〃，M是定点，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，

所以直线/是唯一的，故选项D不正确.

考点：1、直线平面的位置关系；2、直线与直线，直线与平面，平面与平

面的平行与垂直的判定及性质.

2如图，等边三角形ABC的中线与中位线OE相交于G，已知ATM是

△ADE绕OE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）

A.动点4在平面ABC上的射影在线段AP上

B恒有平面平面BCDE

C.三棱锥4-£/切的体积有最大值

D.异面直线4七与80不可能垂直

【答案】D

【解析】

试题分析：由于A，GJ_OE,FGJ_OE.所以。E_L平面AFG.经过点人作平面

ABC的垂线垂足在AF上.所以A选项正确.由A可知B选项正确.当

平面AOE垂直于平面BCDE时，三睁A一石尸。的体积最大，所以C正确.因

为BDEF,设A6=2a所以EF=A'E=a,当A'F=&时,

JTa<A'»G（F'生G匹GF）a

T.所以异面直线4E与BD可能垂直.所以D

选项不正确.

考点：1.线面位置关系.2.面面的位置关系.3.体积公式.4.异面直

线所成的角.5.空间想象力.

2已知棱长为1的正方体ABCO-ABCQ中，E,F,M分别是AB、AD、

1111

AA的中点，又P、Q分别在线段A8、AD上，且AP=AQ=x,0<x<l»设面MEF门面

I1111II

MPQ=/,则下列结论中不成立的是（）

A.///面ABCD

B./1AC

C.面MEF与面MPQ不垂直

D.当x变化时，/不是定直线

【答案】D

【解析】

试题分析：解：连结AC,BD,ACAC,B。交于点。AC,80交于点O

IIIIIIIJI

由正方体的性质知，BD//BD,AC/1AC,AC1BD,AC1BD

III1IIII

因为瓦F是AD,AB的中点，所以瓦7/8。

因为AP=AQ,所以PQ//B。

1111

所以PQ//EF,所以PQ//平面MEF,EF〃平面MPQ,

由MEFp|面MPQ=2,EFu平面MEQ所以EF/〃，而Efu平面ABC。,/《平

面ABCD,

所以，///面ABCD,所以选项A正确；

由ACJ_5Q，EF//BD得EF上AC而EF〃l，所以/，AC,所以选项B正确;

连则OM//AC,而BD//EF,AB//MF

111111111

所以，/，所以OMJ,平面MEE，过直线/与平面MEF垂直

111

的平面只能有一个，所以面MEF与面MPQ不垂直，所以选项C是正确的；

因为所///，M是定点，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，

所以直线/是唯一的，故选项D不正确.

考点：1、直线平面的位置关系；2、直线与直线，直线与平面，平面与平

面的平行与垂直的判定及性质.

2把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在

它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌

面的距离（）

A.1246

2—

ly/6

C.

D.3

【答案】A

【解析】由题意，四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点,

则正四面体的高方=j=（2.走了=也・

而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1,且三个球心到

桌面的距离都为1,故第四个球的最高点与桌面的距离为11#,选A.

3

24.如图所示，四边形ABCD为正方形，QA_L平面ABCD,PD〃QA,

QA=AB=PD.则棱锥Q—ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值是

()

A.2:1

B.1:1

C.1:2

D.1:3

【答案】C

【解析】设AB=a.由题设知AQ为棱锥Q-ABCD的高，所以棱锥Q-

ABCD的体积V=1.

1—a2

2

易证PQL面DCQ,而PQyADCQ的面积为由a：，

2

所以棱锥P-DCQ的体积V=1”故棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-

23a

DCQ的体积的比值为1:1,选C.

25.正四面体ABCD,线段AB〃平面a,E,F分别是线段AD和BC的

中点，当正四面体绕以AB为轴旋转时，则线段AB与EF在平面a上的射

影所成角余弦值的范围是()

A.[0,V2]B.[V2,1]C.[，，1]D.[],V2]

22222

【答案】B

【解析】

试题分析:

如图，取AC中点为G,结合已知得GF//AB,则线段AB、EF在平面a上

的射影所成角等于GF与EF在平面a上的射影所成角，在正四面体中，

AB±CD,又GE//CD,所以GE,GF,所以GE2+GQ,当四面体绕AB

转动时，因为GF〃平面a,GE与GF的垂直性保持不变，显然，当CD

与平面a垂直时，GE在平面上的射影长最短为0,此时EF在平面a上的

射影E尸的长取得最小值L,当CD与平面a平行时，GE在平面上的射影

112

长最长为1，E尸取得最大值也，所以射影EF长的取值范围是

2।।2।।22

而GF在平面a上的射影长为定值1,所以AB与EF在平面a上的射影所

2

成角余弦值的范围是[在，1].故选B

2

考点：1线面平行；2线面垂直。

26.已知正方体ABC。-ABC。中，线段上（不包括端点）各有

11111111

一点P,Q,且BP=3Q,下列说法中，不正确的是（）

11

A、C、P、Q四点共面

A直线PQ与平面3CCB所成的角为定值

II

C7<ZPAC<1

32

D.设二面角P-AC-3的大小为0,则tan。的最小值为石

【答案】D

【解析】试题分析：如下图：：PG//AC//AC，/-AC、P、Q四点共面，

I1

故A正确；直线PQ与平面BCC8所成的角为NPQ8=:为定值，故B正

।।14

_7171

确；：P在上移动，贝!)/44。</尸4。</84。，而NA4C=_,N3AC=_，

111115।5

：.^<ZPAC<^_,故C正确；二面角P-40-台的平面角即为面「。。与

32

面A8C所成的夹角，P从8移动到A(不在A,3处)，二面角在增大，但

1111

无最大值和最小值，故D不正确，则选D.

考点：1.线面平行；2.线面角；2.二面角的平面角.

27.如图，正方体ABC。-ABCO的棱长为W，以顶点A为球心，2为半

1111

径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于

()

A±B.tC.nD.巴

【答案】A

【解析】

试题分析：由题得，圆弧GR在以B为圆心，半径为BG的圆上，而圆弧科

在以A为圆心，半径为AE=2的圆上.故GF==2兀.BG=1-2K-JAG^-AB2=-,

442

由于cosNAAE="=^nNAAE=30o，故NEAF=3Oo,贝UFF=30。乙1，2=兀，

'AET।360<>I

所以GF+"=上故选A.

6

考点：圆弧长度的计算球

28.将正方形ABC£)沿对角线的折成直二面角A-BQ-C，有如下四个结论:

®ACJ-BD；@AACD是等边三角形;③AB与平面BCD所成的角为60°；

④AB与CO所成的角为60。.其中错.误的结论是

A.①B.②C.③D.@

【答案】B

【解析】

试题分析:如图，

①取AC中点E,连接DE,BE,

AD=DC,AB=BC,：.DE1AC,BE1AC,DEcBE=EAC1面DEB,

故AC，BO，①正确：②显然，AC=/AD=2^C，△/££）不是等边三角形,

④取CD的中点H,取BC中点F,连接EH,FH,则EH=FH=E

F,\EFH是等边三角形，故AB与CD所成的角为60。③由④知AB与平

面所成的角为60°

考点：直线与平面垂直的判定，两条异面直线所成的角，直线与平面所成

的角

29.如图，用一边长为"的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角

形，做成一个蛋巢，将表面积为4加的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形

状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为

【答案】D

【解析】

试题分析：蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得

的截面圆的直径为1.鸡蛋的表面积为若4n,所以球的半径为L所以球心

到截面的距离为£1=仁.而截面到底面的距离即为三角形的高1,所

V422

以球心到底面的距离为八+L

22

考点：空间几何体及其基本计算.

30.设OABC是四面体,G是ZkABC的重心,G是OG上一点，且OG=3GG,

111

若茄=x^+y熊+zM,则(x,y,z)为()

(A)(一)(B)(_)

。(一)(D)(一)

【答案】A

【解析】。&=八+五

=HA+-Xl4R+4C)

=晟尊(茄晶)+G-加

胃(右+最+而

由OG=3G#知，晶胃0&=：(OA+OR+OC),

，(x,y,z)=H).

A44

31.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点，这四个点不共面

的一个图是()

【答案】D

【解析】在A图中分别连接PS,QR,易证PS〃QR,

.,.P,S,R,Q共面.

在B图中过P,Q,R,S可作一正六边形,如图,故P,Q,R,S四点共面.

在C图中分别连接PQ,RS,

易证PQ〃RS,...P,Q,R,S共面.

D图中PS与RQ为异面直线,

.•.P,Q,R,S四点不共面，故选D.

32.设0—ABC是正三棱锥，G是AABC的重心，G是0G上的一点，且

11

0G=3GG»若0G=xOA+yOB+zOC，则（x,y,z）为（）

11rB.-p学r.mD.'222、

A.—J------J—，一，一

444；（444；1333；(333)

【答案】A

【解析】

试题分析：由G是0G上一点，且。G=3GG,可得

11

O1

又因为G是AABC的重心，所以AG=-L.（AB+AC）］

1132

而OG-xOA+yOB+zOC，所以x=1,y=Lz=1，所以（x,Kz）=（1,，l）,选

4-4-4一444—

考点：1.空间向量的加减法；2.空间向量的基本定理.

33.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为

()

A.：pB.4褥

C173D.4褥或部

【答案】D

【解析】分侧面矩形长、宽分别为6和4或4和6两种情况.

镇如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，底面是边长为1的正方形,

1111

若NA|AB=NA〔AD=60。，且A1A=3,则AQ的长为（）

A.而B,2点C.旧D.而

【答案】A

【解析】

试题分析：法一：因为而\用丁+厢*+配=虻＜+9+加)，

111

所以=A7?+A62+AS2+2A^«^5+2^*^7)+2^rHt＞，

1111

即TTC2=9+1+1+2x1xcos120°+2x1x1xcos120°+2x1x1xcos90°=5»故AC=6。

11

法二：先求线A4和面ABCD所称的角为45，AC=屈，在U中，

1"1

AQ=A4+AC-2AAAX3S45=9+2—2x也■盘工新以4。=肾故A

111»21

正确。

考点：1线面角；2余弦定理；3向量在立体几何中的应用。

35棱长为2的正方体ABC。-A8CO的内切球的表面积为（）

1111***

A.竺B.16兀C.4KD.竺1

33

【答案】C

【解析】

试题分析：设球的半径为『，则由题意，得2「=2，即「=1，••.内切球的表

面积为4兀，故选C.

考点：球的表面积.

35正三棱柱48。一44。［的棱长都为2,E,F,G为AB,441，4c1的

中点，则耳/与平面GE/所成角的正弦值为（）.

A.2B.£C.随D.还

561010

【答案】A

【解析】如图，取4B的中点E,建立如图所示空间直角坐标系E-xyz.

则反0,0,0),网一1,0,1),4(1,0,2),A(-1,0,2),,(0，,，2),《-；,£，2；

•<-BF=(—2,Q,—1),EF=(-1,0,1),

1B2J

.・—"nEF~=_x+z=0,

设平面GEF的一个法向量为〃=(%,y,z),由|1方得

nFG=_x+—y+z=0,

L22-

*z=x—*

y=-y/3x

令x=1,则〃=(1,一褥，1),设专厂与平面GEF所成角为仇则

.八]/.\nBFlQ

sin0=cos〈%BFK)=-I=

1中5

R如图，在五四棱fi_1B1C1D1中，A4=2,4B=8C=1,动点P,

ABCD-A1

。分别在线段JQ,4c上，则线段PQ长度的最小值是（）.

A.&B.照C.2D.4

3333

【答案】C

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(1,0,0),3(1,1,0),C(0,1,0),C/0,1,2),设点P的坐标为(0,九24，2

£[0,1],点。的坐标为(1—〃，//,0),//e[0,1],

PQ=^(1—)Ll)2+(X—|1)2+4A,2=&92+512—2九|1—2(1+1

=5（X-2H）2+5（M-^）2+1,当且仅当丸=1，时，线段PQ的长度取

V559999

得最小值£.

3

38如图，在三棱柱ABC-ABC^中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2

的等边三角形，侧棱长为3,则8耳与平面zqq所成的角为（）.

A.：B.}C/D.3

石42

【答案】A

【解析】记点B到平面A8C的距离为d,88与平面ABC所成角为仇

11111

连接8C,利用等体积法，Y='，即1x内x1x2x3=ldxlx2x2

14881ClB-ABA013^232

q,得d=3,贝！Jsin0="=1，所以。=上

32~BB26

1

39如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC/BC，CA=CC=2CB,

1111

则直线Bq与直线入可夹角的余弦值为（）.

A.押B.祁C.26D月

5355

【答案】A

【解析】设CA=2,则C(0,0,0),A(2,0,0),8(0,0,1),C(0,2,0),B(0,2,1),

可得，8=(—2,2,1),BC=(0,2,一1),由向量的夹角公式得COS〈48,BC)

1111

一0+4-1—L—户

^/4+4+1X70T4TT押5

4）如图所示，在正三棱柱ABC—ABC中，A8=1.若二面角C—A8—C

1111

的大小为60。，则点C到平面C/8的距离为（）.

A.BJC,昱D.1

422

【答案】A

【解析】取A8中点D,连接CD,CD,则NCOC是二面角C-AB-C

111

的平面角.

因为A3=1,所以CD=/，

2

所以在RtADCC中，CC=C£Han60。=4*内=3,CD=CD

112V21cosZCDC

1

褥.

设点C到平面CAB的距离为h,

1

由VC-CAB=VC-ABC,得〔x1x1xx1x1xx/3x3,

11323222

解得。=三.故选A

4

41.在正四棱锥P-ABCD中，Pg,直线PA与平面ABCD所成角为60。,

E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角为（）

A.90，B.60.C.45，D.30

【答案】C

【解析】

试题分析：连接AC,BD交于点O，连接OE,OPo因为E为PC中点，所以OE

〃PA，所以N0E8即为异面直线PA与BE所成的角。因为四棱锥P-ABCD为

正四棱锥，所以PO_L面ABC。，所以A。为PA在面ABCQ内的射影，所以NPAO

即为PA与面ABCO所成的角，即NPAO=60,因为PA=2，所以。4=08=1,

A

OE=1o所以在直角三角形EOB中NOEB=45，即面直线PA与BE所成的角为

45。

考点：1异面直线所成角；2线面角；3线面垂直。

2长方体A3CD-44J?中，AB=A41=2,AD=1,E为CJ的中点,

则异面直线BCy与AE所成角的余弦值为().

A.同B.而C.2底D.诉

10101010

【答案】B

【解析】建立坐标系如图所示.

则A(1,0,0),及0,2,1),5(1,2,0),£(0,2,2),华=(T,0,2),AE=(T,2,1).

COS(Be，AE)—AE•BC,—y/30.----_.

1|AE|-|fiC|10

所以舁而直装BC,与才后所成角的余弦值为病.

110

43若P是平面a外一点，A为平面a内一点，〃为平面a的一个法向量,

则点P到平面a的距离是一

A.刖B.Mc.HD.H

[I质FI网M

【答豪ic一

【解析】

悭.彳

试题分析：设抬与〃的夹角为。，则点P到平面a的距离为依卜°‘。=色|,

故C正确.一一一

考点：空间向量、向量的运算.

44.棱长均为3三棱锥S-ABC，若空间一点尸满足SP^xSA+ySB+zSC~^

（x+y+z=1）则网的最小值为（）

A、押B、而C、MD、

36

1

【答案