贵州省遵义2023学年高三一诊考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1+i/

1.已知i是虚数单位，则'I।厂()

--＞一■r.+r~-~i

A.22B.22C.22D.22

2.用一个平面去截正方体，则截面不可能是()

A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形

3.如图所示，已知双曲线。：£-21=1(。＞()力＞())的右焦点为尸，双曲线C的右支上一点A,它关于原点。的对称

。2bi

点为8,满足NAF8=120。，且18尸1=21461,则双曲线C的离心率是().

J1-11-11

4,已知函数/(x)=2sinGox+(p)+b((o〉0),

/(+x)=/(-X),且/()=5,贝|J〃=()

OOO

A.3B.3或7C.5D.5或8

设为虚数单位，复数

5.iz=Q+i)(l-i)eR,则实数。的值是()

A.1B.-1C.0D.2

4

6.已知i是虚数单位，则复数、=()

(1-O2

A.2zB.-2/C.2D.-2

7.复数2i(l+i)的模为().

1

A.-B.1C.2D.25/2

2

Y2

8.已知双曲线C：彳J勺为其左、右焦点,直线/过右焦点与双曲线c的右支交于A,8两点,

且点A在x轴上方,若”尸明,则直线/的斜率为（）

A.1B.-2C.-1D.2

,71

9.如图，四面体A8C。中，面说和面88都是等腰直角三角形，AB=",NBAD=NCBD）,且二面角

2兀

A—%＞一。的大小为？，若四面体ABCO的顶点都在球。上，则球。的表面积为（）

10.已知尸为圆C：（x—5"+卢=36上任意一点，A（—5,0）,若线段R4的垂直平分线交直线尸C于点。，则。点

的轨迹方程为（）

X2户X2V2

A.-----I---------1B.---=1

916916

X2V2尤2

C.一--=1（x<0）D.———1=1（x〉0）

916916

_471

11.如图所示，用一边长为J》的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为亍的

鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（）

72+1

B.

22

cD事一］

'2'2

12.设集合A={xlx<3},8={xlx(0或r)2},则ACB=()

A.(-00,0)B.(2,3)C.(-oo-0)U(2,3)D.(-00-3)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.边长为2的正方形经裁剪后留下如图所示的实线围成的部分，将所留部分折成一个正四棱锥.当该棱锥的体积取得

最大值时，其底面棱长为.

13

14.在AA8C中，角A,B,C的对边长分别为。,b,c,满足a?-2(z(sinB+>/TcosB)+4=0,b—2J7,则AA8C

的面积为一.

15.某部门全部员工参加一项社会公益活动，按年龄分为4B,C三组，其人数之比为5:3:2,现用分层抽样的方

法从总体中抽取一个容量为20的样本，若C组中甲、乙二人均被抽到的概率是:，则该部门员工总人数为.

16.连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的正方体)，观察向上的点数，

则事件“点数之积是3的倍数”的概率为一.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知/(x)=21n(x+2)-(x+l)2,g(x)=&(x+l).

(1)求/(x)的单调区间；

(2)当左=2时，求证：对于Vx>-1,/*)<g(x)恒成立；

(3)若存在方>一1,使得当％€(-1,七)时，恒有/(x)>g(x)成立，试求攵的取值范围.

18.(12分)己知。力都是大于零的实数.

一「a2b2,

(1)证明］―+—

ba

a1

⑵若"人证明成+hEy2

b

19.(12分)已知二阶矩阵.4-，矩阵.4属于特征值4-/的一个特征向量为勺-,属于特征值％4的一个

特征向量为a?=口•求矩阵工

20.(12分)如图，在多面体"CDEF中，四边形ABC。是菱形，EFIIAC,EF=\,ZABC=6Oo,比_1_平

面ABC。，CE=58=2,G是£>E的中点.

(I)求证：平面ACG〃平面班F；

(II)求直线AO与平面A5F所成的角的正弦值.

21.(12分)设”为实数，已知函数/(x)="ex,gG)=x+lnx.

(1)当a<0时,求函数/(X)的单调区间：

(2)设)为实数，若不等式fG)>2心+bx对任意的a>1及任意的x〉0恒成立，求b的取值范围；

(3)若函数//Ct)=/G)+g(x)(x>0,xeR)有两个相异的零点，求。的取值范围.

22.(10分)2018年9月，台风“山竹”在我国多个省市登陆，造成直接经济损失达52亿元.某青年志愿者组织调查了

某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的数据分成五组：[0,2000],(2000,40001,

(4000,6000],(6000,8000],(8000,10000](单位：元)，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的平均损失(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；

(2)台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户并且损失超过4000

元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000元的农户数为X,求X的分布列和数学期望.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

利用复数的运算法则即可化简得出结果

【详解】

1+ii-;(/+i)i(l-i)i-ii131

---+----=----；-+；---%---X=-/-/2-+---=•j+/4--+-=---/

il+i-/(-)22222

故选。

【点睛】

本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题。

2.C

【解析】

试题分析：画出截面图形如图

---------Q

显然A正三角形，B正方形：D正六边形，可以画出五边形但不是正五边形；故选C.

考点：平面的基本性质及推论.

3.C

【解析】

易得IAFI=2a,\BF\^4a,又F。=；(F®+FA),平方计算即可得到答案.

【详解】

设双曲线C的左焦点为E,易得AEBP为平行四边形，

所以IBEI—IAF1=15/1一18。=2。，又15/1=214/1,

故IAFI=2a,\BF\^4a,FO-(FB+FA),

所以C2=J-(4tz2+16a2-2ax4a),即02=3〃2,

4

故离心率为e=J5.

故选：C.

【点睛】

本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立“，Ac的方程或不等关系，是一道中档题.

4.B

【解析】

n

根据函数的对称轴x=g以及函数值，可得结果.

O

【详解】

函数/(x)=2sin(o)x+(p)+/?(co>O),

若/(g+x)=/(：—x),则/(x)的图象关于x=g对称，

OOO

n

又/(不)=5,所以2+/?=5或-2+/?=5,

O

所以人的值是7或3.

故选：B.

【点晴】

本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题，属基础题

5.A

【解析】

根据复数的乘法运算化简，由复数的意义即可求得。的值.

【详解】

复数Z=(a+i)G-i)eR,

由复数乘法运算化简可得Z=a+l+(l-a),

所以由复数定义可知1一。=0,

解得。=1,

故选：A.

【点睛】

本题考查了复数的乘法运算，复数的意义，属于基础题.

6.A

【解析】

根据复数的基本运算求解即可.

【详解】

442i〜

==-----=2z

(l-z)2----2i-Z2-------.

故选：A

【点睛】

本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题.

7.D

【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解.

【详解】

解：•.•2i(l+i)=-2+2i,

复数2?(1+z)的模为［(-2)2+22=2点.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题.

8.D

【解析】

由IAFJ=3IBFJ,可得”=3£瓦设直线1的方程x=my+6,m>0,设展》)；)，虱口工)，即y1=-3y?①，

联立直线1与曲线C,得丫］+丫2=-^"②，％力=启二③，求出m的值即可求出直线的斜率.

【详解】

双曲线C：；一>2=1,F］,F?为左、右焦点，贝IJF2(6,0),设直线1的方程x=my+J5,m>0,:双曲线的渐

近线方程为x=±2y,.\m^±2,

设A(X］,yj,B(x2,y2),且丫］>0,由IAFJ=3IBFJ.,・・.丫］=-3y2①

由｛x_m9+4,得如2-4)y2+2占冲+1=0

x2-4y2-4=0

，△=(2^/5m)2-4(m2-4)>0,即m2+4>0恒成立,

26n__1

一孙=标口

联立①②得一2%=-洛联立①③得一3y厂白＜。,

J5m1m＞0,解得：m=L,直线/的斜率为2,

>2=-------即

%二E212—3血2

故选D.

【点睛】

本题考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，属于中档题.

9.B

【解析】

分别取80、CO的中点M、N,连接40、MN、AN,利用二面角的定义转化二面角A-%＞一。的平面角为

2K

NAMN=6,然后分别过点M作平面AM的垂线与过点N作平面8co的垂线交于点。，在MAQMN中计算出

0M,再利用勾股定理计算出即可得出球。的半径，最后利用球体的表面积公式可得出答案.

【详解】

如下图所示,

分别取8。、CD的中点M、N,连接40、MN、AN,

由于A的是以NB4O为直角等腰直角三角形，M为3。的中点，.1AWJ.8。，

71

•••/。5。=彳，且M、N分别为BD、。的中点，所以，MNHBC,所以，MN±BD,所以二面角4一8。一。

2兀

的平面角为ZAMN=—,

AB=AD=y/2,则BD=yjAB?+A。？=2，且8C=2,所以，AM=1BD=1,MN=lfiC=l,

♦.•AAB£>是以/54O为直角的等腰直角三角形，所以，\ABD的外心为点M,同理可知，ABCD的外心为点N,

分别过点M作平面ABD的垂线与过点N作平面BCD的垂线交于点。，则点。在平面AMN内，如下图所示，

八_2717171

由图形可知，ZOMN=ZAMN-ZAMO=———

326

lMN2d3

在RfAOMN中,”=cos/OMN=且，‘°下=丁，

0M22L

2

所以，04==吁,

、228兀

所以，球。的半径为/?=、—，因此，球。的表面积为4兀尺2=4兀X早=.

3I3J3

故选：B.

【点睛】

本题考查球体的表面积，考查二面角的定义，解决本题的关键在于找出球心的位置，同时考查了计算能力，属于中等

题.

10.B

【解析】

如图所示：连接QA,根据垂直平分线知。A=QP,=故轨迹为双曲线，计算得到答案.

【详解】

如图所示：连接QA,根据垂直平分线知如=0P,

故段q-网|=俨|-闭=四=6<io,故轨迹为双曲线,

2a=6,a=3,c-5,故b=4,故轨迹方程为二一21=1.

916

故选：B.

V

【点睛】

本题考查了轨迹方程，确定轨迹方程为双曲线是解题的关键.

11.D

【解析】

因为蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1,又因为鸡蛋的体积为三47r，所

以球的半径为1,所以球心到截面的距离d=F：=孚，而截面到球体最低点距离为1-£,而蛋巢的高度为:，

1。冈r-1

故球体到蛋巢底面的最短距离为5-=工3—.

点睛:本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何

体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解

决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的.

12.C

【解析】

直接求交集得到答案.

【详解】

集合A={xlx<3},8={%1尤{0蛆}2},则4c8=(-oo,0)u(2,3).

故选：C.

【点睛】

本题考查了交集运算，属于简单题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

4

⑶5

【解析】

根据题意，建立棱锥体积的函数，利用导数求函数的最大值即可.

【详解】

设底面边长为2r,则斜高为1一x,即此四棱锥的高为‘匚与[[0<x<J

所以此四棱锥体积为V=1-4x2-出-2x=1,

令/?(x)=X4-2x5(0<x<；),

令h'(x)=4x3-10x4=2x3(2-5x)=0,

易知函数〃(x)在x=耳时取得最大值.

c4

故此时底面棱长2x=_.

4

故答案为：j.

【点睛】

本题考查棱锥体积的求解，涉及利用导数研究体积最大值的问题，属综合中档题.

14.25/3.

【解析】

由二次方程有解的条件，结合辅助角公式和正弦函数的值域可求B,进而可求。，然后结合余弦定理可求代入

S=lacsinB,计算可得所求.

MfiC2

【详解】

解：把。2-2a(sin8+4cosB)+4=0看成关于a的二次方程，

则ANO,Ep4(sinB+^3cosB)2-16>0,

即为42sinffi+lH--16>0,

而sin218+g

化为sin2KI,

则sin2(B+：

nn4TI

由于()＜8＜兀，可得可＜5+9〈亍，

7171jr

可得3+丁=k，即8=—,

326

代入方程可得，G-4。+4=0,

.6?—2,

兀4+C2-28_73

由余弦定理可得,cos—=

62x2c2

解得：c=473（负的舍去）,

..S9csinB=，2x46；=2/

MBC

故答案为20.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的根的存在条件及辅助角公式及余弦定理和三角形的面积公式的应用，属于中档题.

15.60

【解析】

根据样本容量及各组人数比，可求得c组中的人数；由C组中甲、乙二人均被抽到的概率是:可求得C组的总人数,

即可由各组人数比求得总人数.

【详解】

A，B,C三组人数之比为5:3:2,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，

则4B,。三组抽取人数分别10,6,4.

ccC2121

设c组有”人，则c组中甲、乙二人均被抽到的概率苦=“（；_1）=打，

n

解得〃=12.

该部门员工总共有等（5+3+2）=60人.

故答案为：60.

【点睛】

本题考查了分层抽样的定义与简单应用，古典概型概率的简单应用，由各层人数求总人数的应用，属于基础题.

5

16-9

【解析】

总事件数为6x6=36,

目标事件：当第一颗骰子为1,2,4,6,具体事件有

6）,（2,3）,（2,6）,（4,3）,（4,6）,（5,3）,（5,6）,共8种；

当第一颗骰子为3,6,则第二颗骰子随便都可以，则有2x6=12种；

c205

所以目标事件共20中，所以尸===K。

369

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（1）单调减区间为（一2,二V巨），单调增区间为（-3；产,+00）；（2）详见解析；（3）（田,2）.

【解析】

试题分析：（1）对函数/G）求导后，利用导数和单调性的关系，可求得函数/G）的单调区间.（2）构造函数

力Q）=/W—ga）,利用导数求得函数〃G）在（T，+°。）上递减，且〃（T）=0,则〃G）<0,故原不等式成立.（3）

同⑵构造函数双x）=/（x）-g（x）,对上分成%（2,k=2尚2三类，讨论函数人G）的单调性、极值和最值，由此

求得〃的取值范围.

试题解析：

（1）/'G）=--2（x+l）

x+2

-2Cv2+3x+1）

=-------------------（X>-2），

x+2

当/'（x）<0时,彳2+3x+1>0.

解得x>.13+6.

2

当/'（x）>0时，解得一2vxv二3：直.

2

所以/（x）单调减区间为—2,—，

、

单调增区间为,+00

7

(2)设〃(x)=/(x)-g(x)

=21n(x+zICv+l)2-Mx+l)(x>-1),

当左=2时，由题意，当xe(-l,+co)时,

/z(x)<0恒成立.

z\-2+3x+1)

h\x)=____________-2

x+2

-2(X+3)G+1)

x+2

.•.当X>-1时，〃'(x)<0恒成立，〃(x)单调递减.

又〃(-1)=0,

.•.当xe(-l,+oo)时，〃(x)<〃(T)=0恒成立，即/(九)-g(x)<0.

对于Vx>-1,/Q)<g(x)恒成立.

z\—2Ct2+3x+0

(3)因为外(x)=___________-k

x+2

2"+(k+6)x+2k+2

x+2

由⑵知，当攵=2时，/Q)<g(x)恒成立,

即对于Vx>-1,2In(x+2)—(x+1><2(x+1),

不存在满足条件的x；

0

当k>2时，对于Wx>—1,x+1>0,

此时2(X+1)<MX+1).

/.21nG+2)-(x+l)2<2(x+l)<k(x+l),

即/G)<g(x)恒成立，不存在满足条件的X;

0

当&<2时，令f(x)=-2x2-(A+6)x-(2火+2),

可知/(x)与〃'(x)符号相同，

当XG(%,+00)时，/(x)<0,〃'(x)<0,

〃(x)单调递减.

・••当xw(一1,%。)时，A(%)>/?(-1)=0,

即/G)-g(x)>。恒成立.

综上，左的取值范围为(-00,2).

点睛：本题主要考查导数和单调区间，导数与不等式的证明，导数与恒成立问题的求解方法.第一问求函数的单调区间,

这是导数问题的基本题型，也是基本功，先求定义域，然后求导，要注意通分和因式分解.二、三两问一个是恒成立问

题，一个是存在性问题，要注意取值是最大值还是最小值.

18.(1)答案见解析.(2)答案见解析

【解析】

(1)利用基本不等式可得丁+/2。,一+两式相加即可求解.

ba

.f,b2]h2(a-b)

(2)由(1)知a+h--=ah+.--------•，代入不等式，利用基本不等式即可求解.

(a)a

【详解】

(1)—+b^2a,一+专26

ba

。2。2

两式相加得一+『2a+b

ab

.(心抗)b2(a-b)

(2)由(1)知。。十人一一二次?+---------

aa

G+2+-_L一9+b?(a-b)+Q+1

于是,

加a(a-b)a加a(a-b)

%2(a/?)+

,cia(a-b)

〃

>2.—+J2—>4.

'ba

【点睛】

本题考查了基本不等式的应用，属于基础题.

19.A；

【解析】

运用矩阵定义列出方程组求解矩阵〃

【详解】

由特征值、特征向量定义可知，㈣力勺,

瞰为外八［"得已匚

3。,为一721

（；c+；d解得“2,b3,c2,d/.因此矩阵X；

【点睛】

本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单

20.（I）详见解析；（口）孚・

【解析】

试题分析：（I）连接5。交AC于。，得OG//BE,所以OG〃面BEF,又EFHAC,得AC〃面

即可利用面面平行的判定定理，证得结论；

（II）如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求的平面的一个法向量加，利用向量和向量机夹

角公式，即可求解与平面A3F所成角的正弦值.

试题解析：

（I）连接5。交AC于。，易知。是30的中点，OG//BE,BE^BEF,OG在面5EF外，所以。G〃

面BEF；

又EFHAC,AC在面外，AC/7ffiBEF,又AC与OG相交于点O,面ACG有两条相交直线与面5E尸

平行，故面ACG〃面5EF；

设面ABF的法向量为根=\a,h,c),m±AB

依题意有q令。=小,6=1,

m_LAF

直线AD与面ABF成的角的正弦值是半.

函数/(x)单调减区间为(，，。,一1)；单调增区间为(―I,”).(2)b<2-2\n2(3)

21.(1)

【解析】

(1)据导数和函数单调性的关系即可求出；

(2)分离参数，可得ae*>2x+b对任意的a>1及任意的x>()恒成立，构造函数<P(')=/一2%,利用导数求出函数的

最值即可求出匕的范围；

(3)先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出。的范围

【详解】

解：(1)当a<0时，因为/'G)=a(x+l)e*,当x<—1时,/'Q)〉0；

当x>-l时,/(x)<0.所以函数/G)单调减区间为(F,—D；单调增区间为(―1,+。。).

(2)由/(x)N2x2+bx,得奴exN2x2+6x,由于x>0,

所以aex>2x+b对任意的a>1及任意的x〉0恒成立，

由于小>0,所以aex>ex，所以ex-2x>b对任意的x>0恒成立，

设(p(x)=e”一2%，%>0,

则(p'(x)=&-2,所以函数(pG)在(o,ln2)上单调递减，在(in2,”)上单调递增,

所以①(x)=<p(ln2)=2-21n2,

min

所以b42—21n2.

（3）由人（x）=奴外+x+Inx,得〃，（x）=a（x+1）e「+1+1=”，其中x>0.

XX

①若a20时，则"G）〉0,所以函数〃G）在（0,”）上单调递增，所以函数〃G）至多有一个零点，不合题意；

②若a<0时，令"G）=0,得xex=-J->0.