江西赣州经开区2021年中考数学模拟试卷 (解析版)

江西赣州经开区2021年中考数学模拟试卷

一、单选题

1.-2021的倒数是()

A.2021B.-----C.-2021D.--------

20212021

2.下列运算正确的是().

A.2a2-3a3=6a6B.(a-2)2=a2-2a+4C.(_-2ab2)3=-8ab6D.(V3-2)(V3+2)=-1

3.如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，若去掉上层的一个小正方体，则下列说法正确的是().

正面

A.主视图一定变化B.左视图一定变化C.俯视图一定变化D.三种视图都不变化

4.本学期某校举行了四次数学测试，李娜同学四次的成绩(单位：分)分别为80,70,90,70,王珥同学

四次的成绩分别为80,a(a>70),70,90,且李娜同学四次成绩的中位数比王用同学四次成绩的中位

数少5分，则下列说法正确的是().

A.a的值为70

B.两位同学成绩的平均数相同

C.李娜同学成绩的众数比王珥同学成绩的众数大

D.王珥同学的成绩比李娜同学的成绩稳定

5.将一个等腰三角形沿底边上的中线剪开，用剪下的两个三角形拼成的所有四边形中，是中心对称图形的

有().

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.如图，在四边形力BCD中，NB=/D=90。，连接AC,ZBAC=45°，ZCAD=300,

CD=2,点P是四边形ABCD边上的一个动点，若点P至AC的距离为通，则点P的位置有().

A.4处B.3处C.2处D.1处

二、填空题

7.分解因式：a2—4b2=

8.中国网3月1日讯，国家统计局发布2020年国民经济和社会发展统计公报，初步核算，全年国内生产总

值约101.6万亿元，将数据101.6万亿元用科学记数法表示为元.

2

9.已知Xj,x2是方程x+mx—3=0的两个实数根，且与=3，则2m—2xtx2=.

10.如图，在平面直角坐标系中，已知菱形04BC的顶点C在x轴上，若点A的坐标为(3,4)，经过点A

的双曲线交边BC于点D,则△04。的面积为.

11.勾股定理是一个基本的几何定理，有数百种证明方法."青朱出入图"是我国古代数学家证明勾股定理的

几何证明法.刘徽描述此图"勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，加就其余不动也，

合成弦方之事，开方除之，即弦也若图中BF=4,。尸=2,贝IJ4E=.

12.当-2W久〈1时，二次函数y=-(x-m)2+巾2+1有最大值4,则实数m的值为

三、解答题

13.(1)计算：(2+V3)°+(-l)2021-|V8-l|;

(2)如图，己知AABC，点E在边AC上，过点B作BD/fAC,且4E=BO,连接DE交4B于

点F.求证：AF=BF.

14.化简求值：(£一1)+大，其中x

15.如图是由2个全等的正方形错位叠放组成的图形，请仅用没有刻度的直尺按要求完成下列作图.

ffll图2

（1）在图1中画一个平行四边形（要求所画出的平行四边形不是矩形）；

（2）在图2中画一个菱形（要求所画出的菱形不是正方形）.

16.《笠翁对韵》是明末清初著名戏曲家李渔的作品，是学习写作近体诗、词，用来熟悉对仗、用韵、组织

词语的启蒙读物，"天对地，雨对风.大陆对长空.山花对海树，赤日对苍穹……"就是其中的句子.现将

"A.天"，"B.地"，"C.雨"，"D.风"，"E.大陆"，"F长空"分别书写在材质、大小完全相同

的6张卡片上，洗匀后背面朝上.

（1）第一次抽取时先抽取了一张，翻开后是"A.天"，那么在剩下的五张卡片中恰好抽取得到卡片

"B.地"，使得对仗工整的概率是;

（2）若第一次已经把"A.天"、"8.地”两张卡片抽走，第二次在剩下的四张卡片中随机抽取两张，请

用列表或画树状图的方法求出能够对仗工整的概率.

17.某工厂现有甲种原料10吨，乙种原料15吨，计划用这两种原料生产A、B两种产品，两种原料都恰好

全部用完.生产一件A、一件B产品与所需原料情况如下表所示：

甲种原料（吨）乙种原料（吨）

A产品（件）13

B产品（件）21

（1）求该厂生产A、B两种产品各有多少件;

（2）如果购买这批原料共花费5万元，A、B产品的销售单价分别为2万元/件和3万元/件，求全部销售

这批产品获得的利润是多少万元.

18.王老师对他所教的九（1）,九（2）两个班级的学生进行了一次检测，批阅后对其中一道试题的得分情

况进行了归类统计•（各类别的得分如下表）.并绘制了如图所示的每班各类别得分人数的统计图（不完整）.

各类别的得分表

类别得分

A:没有作答0

8：解答但没有正确1

C:仅做对第（1）问3

D：完成正确6

九（1）班各类别得分条形统计图

/人St

27f.................-r-i

°ABCD类别

九（2）班各类别得分扇形统计图

已知两个班一共有50%的学生得6分.其中九（2）班得6分的学生有22人，九（2）班这道试题的平均

得分为3.7分.请解决如下问题：

（1）九（2）班有名学生，两个班共有名学生；

（2）补全条形统计图；

（3）求m,n的值.

19.图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2,其中点B,E,D均为可转动点.现测

得AB=BE=ED=CD=14cm，经多次调试发现当点B，E所在直线垂直径过CD的中点F时（如图

3所示）放置较平稳.

图1图2图3

（1）求平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角的大小；

（2）为保护视力，写字时眼睛离桌面的距离应保持在30cm,为防止台灯刺眼，点A离桌面的距离应不

超过30CM,求台灯平稳放置时/ABE的最大值.（结果精确到0.010,参考数据：V3«1,732，

O_lilin16.07°«0.2768,C“UoJ3.93°»0.2768,「I.d1115.47°«0.2768）

20.如图，XABC内接于。。，CP是。。的切线，点P在直径AB的延长线上.

（1）特例探究：

若4=30°,则ZPCB=°;

若4=50°，则ZPCB=°;

（2）数学结论:

猜想/PCB与/A的大小关系，请说明理由;

（3）拓展应用：

若BC=^AC,AP=4.5,求PC的长.

21.如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为(6,4)，反比例函数y=^(x>0)的图象交矩形OABC的

边BC,AB于D、E两点，连接DE,AC.

(1)当点D是BC的中点时，k=，点E的坐标为；

(2)设点D的横坐标为m.

①请用含m的代数式表示点E的坐标；

②求证：DE“AC.

22.已知抛物线C1.y=x2—4%+3m和。2：丫=7nx2—4mx+3nl,其中且.

yf

__I

I

—

I_

—

「

—

—

I

-*

x

(1)抛物线G的对称轴是,抛物线C2的对称轴是；

(2)这两条抛物线相交于点E,F(点E在点F的左侧)，求E、F两点的坐标(用含m的代数式表示)并

直接写出直线EF与x轴的位置关系：

(3)设抛物线G的顶点为M,C2的顶点为N；

①当m为何值时，点M与点N关于直线EF对称？

②是否存在实数m,使得MN=2EF?若存在，直接写出实数m的值，若不存在，请说明理由.

23.在Rt△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,动点D在直线BC上(不与点B,C重合)，连接

力。，把4。绕点A逆时针旋转90。得到AE,连接DE,F,G分别是DE,CD的中点，连接FG.

（1）（特例感知）如图1,当点D是BC的中点时，FG与BD的数量关系是.FG与直线

BC的位置关系是.

（2）（猜想论证）当点D在线段BC上且不是BC的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？

①请在图2中补全图形；

②若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

（3）若AB=4C=近，其他条件不变，连接BF、CF.当△ACF是等边三角形时，（拓展应用）

请直接写出4BDF的面积.

答案解析部分

一、单选题

1.-2021的倒数是()

A.2021B.康C.-2021D.--

2021

【答案】D

【考点】有理数的倒数

【解析】【解答】解：-2021的倒数为：-表，

故答案为：D.

【分析】求一个数的倒数，就用1除以这个数.

2.下列运算正确的是().

A.2a2-3a3=6a6B.(a—2)2=a2—2a+4C.(—2ab2)3=—Sab6D.(遮—2)(6+2)=—1

【答案】D

【考点】单项式乘单项式，完全平方公式及运用，平方差公式及应用

【解析】【解答】解：A2a2.3a3=6a5,故不符合题意；

B.(a—2)2=a2—4a+4,故不符合题意；

C.(-2ab2)3——8a3b6,故不符合题意;

D.(V3-2)(73+2)=3-4=-1,符合题意，

故答案为：。

【分析】利用单项式乘单项式、完全平方公式、积的乘方或募的乘方及平方差公式逐项判断即可。

3.如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，若去掉上层的一个小正方体，则下列说法正确的是().

正面

A.主视图一定变化B.左视图一定变化C.俯视图一定变化D.三种视图都不变化

【答案】A

【考点】简单几何体的三视图

【解析】【解答】解：去掉最上面的小正方体，其左视图与俯视图不变，即左视图两层下层两个小正方形,

上层一个小正方形，俯视图依然还是两层，底层中间有一个正方形，上层有1个正方形；

变化的是正视图上层有两个，拿走一个，由两个小正方形组成长方形变为一个小正方形.

故答案为：A.

【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视

图，可得答案。

4.本学期某校举行了四次数学测试，李娜同学四次的成绩(单位：分)分别为80,70,90,70,王现同学

四次的成绩分别为80,a(a>70),70,90,且李娜同学四次成绩的中位数比王现同学四次成绩的中位

数少5分，则下列说法正确的是().

A.a的值为70

B.两位同学成绩的平均数相同

C.李娜同学成绩的众数比王珥同学成绩的众数大

D.王现同学的成绩比李娜同学的成绩稳定

【答案】D

【考点】分析数据的集中趋势

【解析】【解答】解：李娜同学四次的成绩排序(单位：分)分别为70,70,80,90,

王现同学四次的成绩分别排序为70,80,a(a>70),90,或70,a(a>70),80,90,

70+80,-a+80

根据中位数得+5=

2—

解得a=80,

故A不符合题意;

李娜x=7。+7。+8。+90=775

4

丁工口-70+80+80+90cc

王川X=----------------=80,

4

故B不符合题意；

李娜同学众数为70,王珥同学众数为80,

70<80,

故C不符合题意；

S»2=i(7.52+2.52+2.52+12.52)=56,25,

;(102+02+02+102)=50,

S李娜2>$翔2,

故D符合题意.

故答案为：D.

【分析】利用数据的集中趋势进行分析求解即可。

5.将一个等腰三角形沿底边上的中线剪开，用剪下的两个三角形拼成的所有四边形中，是中心对称图形的

有().

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【考点】中心对称及中心对称图形

【解析】【解答】解：以长直角边吻合来拼可得到一个平行四边形，以短直角边吻合也可得到一个平行四

边形，以斜边吻合来拼可得到一个不规则四边形和一个长方形.

所以，在这4个四边形中是中心对称图形的有3个，

故答案为：C

【分析】根据中心对称图形的定义求解即可。

6.如图，在四边形4BCD中，NB=/D=90°，连接AC,ZBAC=45°,ZCAD=30"，

CO=2,点P是四边形ABCD边上的一个动点，若点P至。AC的距离为遮，则点P的位置有（）.

A.4处B.3处C.2处D.1处

【答案】B

【考点】解直角三角形，四边形-动点问题

【解析】【解答】解：过。作DE_LAC于E,过8作BF_LAC于F,

ND=90°,ZCAD=30°,

AC=2CD=4,

，AO=ACxcos30°=2遮,

-AC-DE=-CD-AD,

22

.八.CDAD2x2百片

..DE=--------=---------=V3，

AC4

ZABC=90°，ZBAC=45，

ZBCA=900-ZBAC=45°=ZBAC,

・•.BC=BA,

BF=CF=AF=2f

,•12>V3，

在8F上截取FM=次，过/W作直线GH_LBF交BC于G,交BA于”，

点P是四边形ABCD边上的一个动点，点P到AC的距离为百，点P在点。，点G,点H时

满足条件，

故点P有三个点.

故答案为:B.

【分析】根据已知条件得到NB4C=4CB=45°,ZDAC=60",ZACD=30"，根据点

P到AC的额距离为百，于是得到结论。

二、填空题

7.分解因式：a2—4b2=.

【答案】(a+2b)(a-2b)

【考点】因式分解-运用公式法

【解析】【解答】因为。2_助2符合平方差公式，所以a2-4b2=(a+2b)(a-2b).

【分析】观察此多项式的特点，可以利用平方差公式分解因式。

8.中国网3月1日讯，国家统计局发布2020年国民经济和社会发展统计公报，初步核算，全年国内生产总

值约101.6万亿元，将数据101.6万亿元用科学记数法表示为元.

【答案】1.016x1014

【考点】科学记数法一表示绝对值较大的数

【解析】【解答】解：1亿=1。8,1万=1。4,

101.6万亿=1.016x102x104x1()8=1Q16X1014.

故答案为：1.016x1014.

【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。

2

9.已知x1,x2是方程x+mx-3=0的两个实数根，且与=3,则2m—2xrx2=.

【答案】2

【考点】一元二次方程的根与系数的关系

2

【解析】【解答】解：:x1=3,x2是方程x+mx-3=0的两个实数根，

•-3?+3nl-3=0,Xj,%2=-3

m=—2

2ni-2%1%2=2x(—2)—2x(-3)=2

故答案为：2

【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解即可。

10.如图，在平面直角坐标系中，已知菱形04BC的顶点C在x轴上，若点A的坐标为(3,4),经过点A

的双曲线交边BC于点D,则△。4D的面积为.

【答案】10

【考点】菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征

【解析】【解答】解：•.•点A坐标为(3,4),

OA-V32+42=5,

四边形A8C。为菱形,

S差）gA8CO=5x4=20,

11

/.SAOAD=-S爰形八BCO=-x20=10.

故答案为10.

【分析】先利用勾股定理计算出OA=5,再利用菱形的面积公式计算出S至彩A8CO=5x4=20,然后根据三角

形面积公式，利用5AoAD=iS新“8C。求解即可。

11.勾股定理是一个基本的几何定理，有数百种证明方法."青朱出入图"是我国古代数学家证明勾股定理的

几何证明法.刘徽描述此图"勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，加就其余不动也，

合成弦方之幕，开方除之，即弦也若图中BF=4,DF=2,贝ij4E=.

AB

【答案】3m

【考点】勾股定理，相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：

根据题意知四边形ACDB为正方形，8F=4,DF=2,

AB=BF+FD=4+2=6,

■■ABWDE,

ZBAF=NDEF,ZBFA=ZDFE,

ABF-△EDF,

..-A-B=-B-F•

EDDF

.「「ABDF6X2

・・ED_------=——=3Q,

CE=CD+DE=AB+DE=6+3=9,

在RSACE中，由勾股定理AE=y/AC2+EC2=V62+92=3g，

故答案为：3同.

【分析】由BF+CF求出BC的长，即为正方形ABCD的边长，由AB与CE平行，得比例求出CE的长，由DC+CE

求出DE的长，在直角三角形ADE中，利用勾股定理求出AE的长即可。

12.当一2WXS1时，二次函数y=-。一根)2+巾2+1有最大值%则实数m的值为.

【答案】2或一声

【考点】二次函数的最值

【解析】【解答】解：二次函数y=—(x-m)2+m2+l的对称轴为直线x=m,且开口向下，

①m<-2时,x=-2取得最大值，-(-2-m)2+m2+l=4,

解得m=,

4

v-->-2,

4

不符合题意，

②-2Vm41时，x=m取得最大值,m2+l=4,

解得m-+V3，

所以m=—y/3，

③m>l时，x=l取得最大值，-(1-m)2+m2+l=4,

解得m=2,

综上所述，m=2或7时，二次函数有最大值.

故答案为：2或一次.

【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m，再分m<-2,-,m>l三种情况，根据二次函数的

增减性列方程求解即可。

三、解答题

13.

(1)计算：(2+旧)。+(_1)2021_|通一1|；

(2)如图，己知AABC,点E在边AC上，过点B作BD“AC,且4E=BD,连接DE交A8于

点F.求证：AF=BF.

【答案】(1)解：(2+W)°+(—1)2°21一|%-1|

=1-1-(272-1)

=1—2V2;

(2)解：；BD//AC,

ZA=/DBF,

在XAEF和4BDF中，

ZA=/DBF

｛々FE=/BFD

AE=BD

：.t^AEFXBDF（AAS）,

AF=BF.

【考点】实数的运算，三角形全等的判定（AAS）

【解析】【分析】（1）先利用0指数哥、有理数的乘方及二次根式的性质化简，再计算即可；

（2）利用"AAS"证明号△BDF，再利用全等三角形的性质求解即可。

14.化简求值：（爰三一1）+£三，其中x=\•

【答案】解：原式=（爰三一集|），（7+%）

=7——r•x（x+1）

X

工•

当尤=2时，三=工=一1.

【考点】利用分式运算化简求值

【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将X的值代入计算即可。

15.如图是由2个全等的正方形错位叠放组成的图形，请仅用没有刻度的直尺按要求完成下列作图.

图】图2

（1）在图1中画一个平行四边形（要求所画出的平行四边形不是矩形）；

（2）在图2中画一个菱形（要求所画出的菱形不是正方形）.

【答案】（1）解：图1中平行四边形ABCD为所求；

（2）解：图2中菱形ABCD为所求.

【考点】平行四边形的判定，菱形的判定

【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质结合矩形的性质得出结论即可；

（2）利用菱形的性质结合矩形的性质得出符合题意的答案。

16.《笠翁对韵》是明末清初著名戏曲家李渔的作品，是学习写作近体诗、词，用来熟悉对仗、用韵、组织

词语的启蒙读物，"天对地，雨对风.大陆对长空.山花对海树，赤日对苍穹…."就是其中的句子.现将

"A.天"，"B.地"，"C.雨"，"D.风"，"E.大陆"，"F长空"分别书写在材质、大小完全相同

的6张卡片上，洗匀后背面朝上.

（1）第一次抽取时先抽取了一张，翻开后是幺.天"，那么在剩下的五张卡片中恰好抽取得到卡片

"B.地”，使得对仗工整的概率是；

（2）若第一次已经把"A.天"、"B.地”两张卡片抽走，第二次在剩下的四张卡片中随机抽取两张，请

用列表或画树状图的方法求出能够对仗工整的概率.

【答案】⑴1

（2）解：依题意可列表为

CDEF

CDCECFC

DCDEDFD

ECEDEFE

FCFDFEF

共有12种等可能发生的结果，其中对仗工整的有CD、DC、EF、FE共4种，所以概率为2=：.

【考点】列表法与树状图法，概率公式

【解析】【解答】解：（1）在剩下的五张卡片中恰好抽中的概率均相等，则恰好得到卡片"8•地”的概

率为|,

故答案为：|;

【分析】（1）利用概率公式求解即可；

（2）利用列表法或树状图法求出所有情况，再利用概率公式求解即可。

17.某工厂现有甲种原料10吨，乙种原料15吨，计划用这两种原料生产A、B两种产品，两种原料都恰好

全部用完.生产一件A、一件B产品与所需原料情况如下表所示：

甲种原料（吨）乙种原料（吨）

A产品（件）13

B产品（件）21

（1）求该厂生产A、B两种产品各有多少件；

（2）如果购买这批原料共花费5万元，A、B产品的销售单价分别为2万元/件和3万元/件，求全部销售

这批产品获得的利润是多少万元.

【答案】（1）解：设力、B两种产品各有x件和y件，

根据题意得，喧】黑

9x3-②得，

y=3,

把y=3代入①，得

%=4

rx=4

“{y=3，

经检验，符合题意，

答：该厂生产A种产品4件，B种产品3件.

（2）解：2x4+3x3-5=12万元，

答：全部销售这批产品获得的利润是12万元.

【考点】二元一次方程组的其他应用

【解析】【分析】（1）设A、B两种产品各有x件和y件，根据题意列二元一次方程组，利用加减

消元法解方程组即可；

（2）根据利润=售价-进价解题即可。

18.王老师对他所教的九（1）,九（2）两个班级的学生进行了一次检测，批阅后对其中一道试题的得分情

况进行了归类统计（各类别的得分如下表）.并绘制了如图所示的每班各类别得分人数的统计图（不完整）.

各类别的得分表

类别得分

A:没有作答0

B:解答但没有正确1

C：仅做对第（1）问3

D：完成正确6

九（1）班各类别得分条形统计图

人故

九（2）班各类别得分扇形统计图

已知两个班一共有50%的学生得6分.其中九（2）班得6分的学生有22人，九（2）班这道试题的平均

得分为3.7分.请解决如下问题：

（1）九（2）班有名学生，两个班共有名学生；

（2）补全条形统计图；

（3）求m,n的值.

【答案】⑴50；98

（2）解：由（1）得九（1）班的人数为：98-50=48（人），

得分3分的学生有：4836-27=12（人），

如图所示：

（3）解：依题意可列方程组为｛篇:°15m乳122f,

0.5m4-1.5九+22x6=3.7X50

解得邛=±2.

n=30

【考点】利用统计图表分析实际问题

【解析】【解答］解：（1）九（2）班的人数为：22+44%=50（人），

两个班的总人数为：（27+22）+50%=98（人），

故答案为：50,98；

【分析】（1）根据九（2）班得6分的学生数和所占的百分比，可以求得九（2）班的人数，从而求得两

个班的总人数；

（2）先求得九（1）班的人数，再求得得分3分的学生数，即可补全条形统计图；

（3）根据题意列出二元一次方程组，计算即可求解。

19.图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2,其中点B,E,D均为可转动点.现测

得AB=BE=ED=CD=14cm，经多次调试发现当点B，E所在直线垂直径过CD的中点F时（如图

3所示）放置较平稳.

（1）求平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角的大小；

（2）为保护视力，写字时眼睛离桌面的距离应保持在30cm,为防止台灯刺眼，点A离桌面的距离应不

超过30cm,求台灯平稳放置时/ABE的最大值.（结果精确到0.01°,参考数据：V3«1.732，

1,

Ociil!n16.07°a0.2768,L「mU〉73.93°«0.2768,Itdq1n115.47«0.2768）

【答案】（1）解：由题意得：DF=^CD=7cm,EF1CD,

/D=60°.

答:平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角是60。.

（2）解：如图，过4作力交EB的延长线于H,

HF=30,

EF=14x—=7V3,

2

=30-BF-FF=16-7V3«3.876，

cosZABH=—^0.2768,

AB

•••ZABHx73.93°,

ZABE=106.07°.

答：台灯平稳放置时NABE的最大值是106.07°.

【考点】解直角三角形的应用

【解析】【分析】（1）由题意得：DF=^CD=7cm,EFA.CD,根据三角函数的定义即可得到

结论;

⑵如图,过4作4H1BE交EB的延长线于〃,求得EF=14xf,根据cos4BH=

0.2768,即可求出结果。

20.如图，AABC内接于。。，CP是。。的切线，点P在直径AB的延长线上.

A

（1）特例探究：

若4=30°，则NPCB=°;

若4=50°，则ZPCB=°;

（2）数学结论：

猜想ZPCB与4的大小关系，请说明理由;

（3）拓展应用：

若BC=^AC,4P=4.5,求PC的长.

【答案】（1）30；50

（2）解：NPCB=ZA..理由如下：

如图1,CP是。。的切线，

•­.NOCP=90°，即NOCB+/PCB=90°

・•・AB是直径，

ZACB=90°，即NOCB+NACO=90°

•••ZACO=NPCB，

OA=OC,

ZACO=ZA,

•••/PCB=ZA.

（3）解：由（2）可知，ZA.=ZPCB,

NP=NP,

△CBPs△ACP,

...—BC=—PC.

ACPA

?

BC=-AC,

3

BCPC2

••~~=一,

ACPA3

又；PA=4.5,

PC=3.

【考点】圆的综合题，相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：（1）连接0C,如图1

图1

OA^OC,ZA=30°

Z8OC=60°

OC=OB

△BOC是等边三角形，

ZOCB=60°

CP是o。的切线，

OC1CP,即NOCP=90°

ZPCB=4OCP-AOCB=90°-60°=30°

同理，当N4=50°时，NPCB=50°

故答案为：30,50；

【分析】（1）利用圆周角及切线的性质求解即可；

（2）根据（1）的方法求解，并发现等量关系即可；

（3）先证出ACBP，aACP，再利用相似的性质列出比例式求解即可。

21.如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（6,4），反比例函数y=^（x>0）的图象交矩形04BC的

边BC,4B于D、E两点，连接DE,AC.

（1）当点D是BC的中点时，k=，点E的坐标为

（2）设点D的横坐标为m.

①请用含m的代数式表示点E的坐标;

②求证：DE“AC.

【答案】⑴12；(6,2)

(2)解：

①.•,点D的横坐标为m,CD//0A,点D与点B纵坐标相同,

二点D(m,4),

则k=4m,y=等(x>0)，

BE//y轴,

・•・B、E两点横坐标相同，点E横坐标为6,

・•.点E(6(m),

②由①知：BD=6-m,BE=4一|m,

・BD_6-m_11BE4-刎1

一~RC~~1~7m9—=——=1--m，

66tBA46

BDBE-r-j_____.

—=—t又N

BCBADBE=NCBA,

△DBE〜△CBA,

ZBDE=ZBCA

DE[]AC.

【考点】待定系数法求反比例函数解析式，相似三角形的判定与性质

【解析】【解答]解：(1).••点D是BC的中点，点B的坐标为(6,4),

...点D(3,4),

•.•点。在反比例函数y=^(x>0)的图象，

4=,,解得k=12,

•­,BE//y轴，

；B、E两点横坐标相同，

/.当x=6时，y=”_2,点E(6,2),

故答案为12,(6,2);

【分析】(1)先根据中点坐标的公式求出点D的坐标，再将点D的坐标代入计算即可；

(2)①先利用含m的表达式求出点D的坐标，再将点D的坐标代入计算即可；②西安证出

△DBE〜△CBA,再利用相似的性质得到NBDE=zBCA,即可证明DE//AC。

2

22.已知抛物线G：y=/_4%+3m和C2'.y=mx—4mx+3m，其中7nH0且mW1.

r

X

-r-

-"r-

(1)抛物线Cl的对称轴是,抛物线C2的对称轴是；

(2)这两条抛物线相交于点E,F(点E在点F的左侧)，求E、F两点的坐标(用含m的代数式表示)并

直接写出直线EF与x轴的位置关系；

(3)设抛物线G的顶点为M,C2的顶点为N；

①当m为何值时，点M与点N关于直线EF对称？

②是否存在实数m,使得MN=2EF?若存在，直接写出实数m的值，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)直线x=2；直线x=2

(2)解：令4尤+3m=mx2-4mx+3m,

整理得：(m-1)(%2-4x)=0.

1,

x2—4x=0,

解得：%i=0,x2=4.

■■■点E在点F的左侧

.・•点E的坐标为(0,3m)，点F的坐标为(4,3m),

E,F两点纵坐标相同

EF〃x轴.

(3)解：①当x=2时，yi=-4+3m,二M(2,-4+3m),

当%=2时，y2——m，:.N(2,—m).

直线EF-.y=3m，且点M与N关于直线EF对称，

抛物线G开口向上，故点M在直线EF的下方，

—m—3m=3m-（-4+3m）,

解得：m=-1.

②3或-1

【考点】二次函数y=a（x-h）八2+k的图象，二次函数的其他应用

【解析】【解答】解：（1）抛物线Q的对称轴是％=-三=2,

抛物线C的对称轴是x=2；

2=-等2m

故答案为：直线工=2,直线％=2；

(3)②:M(2,-4+3m),N(2,-m)

・•・MN=|4m-4|

•・・点E的坐标为(0,3TH)，点F的坐标为(4,3m),

・•.EF=4

•/MN=2EF

147n-4|=8

4m-4=8或4m—4=-8

解得，m=3或m=-1

・•・存在实数m,使得MN=2EF,此时m=3或m=—1.

【分析】（1）利用二次函数对称轴的公式求解即可；

（2）根据题意联立方程，再解出方程的解，即可得到点E、F的坐标，即可证明EF〃x轴；

（3）①将x=2分别代入力和y2,即可得到点M、N的坐标，再证明即可；②根据题意结合图形直

接求解即可。

23.在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,动点D在直线BC上（不与点B,C重合），连接

40,把4D绕点A逆时针旋转90。得到AE,连接DE,F,G分别是DE,CD的中点，连接FG.

（1）（特例感知）如图1,当点D是BC