2022-2023学年吉林省通化市梅河口市博文学校高一（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年吉林省通化市梅河口市博文学校高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c＝，b＝，B＝120°，则a等于（）A． B． C． D．22．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，sinB＝sinCcosA，则C＝（）A． B． C． D．3．（5分）一组数据按从小到大的顺序排列为56，59，60，62，a，若这组数据的极差为7，则这组数据的方差为（）A．30 B．6 C．25 D．54．（5分）已知数据x1，x2，…，x10的均值为2，方差为3，那么数据2x1+3，2x2+3，…，2x10+3的均值和方差分别为（）A．2，3 B．7，6 C．7，12 D．4，125．（5分）某科技攻关青年团队共有20人，他们的年龄分布如下表所示：年龄45403632302928人数2335241下列说法正确的是（）A．29.5是这20人年龄的一个25%分位数 B．29.5是这20人年龄的一个75%分位数 C．36.5是这20人年龄的一个中位数 D．这20人年龄的众数是56．（5分）甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，则选出的2名教师性别相同的概率是（）A． B． C． D．7．（5分）已知m，n是两条直线，α，β是两个平面．给出下列命题：①若m⊥α，m⊥n，则n∥α；②若m⊥β，n⊥β，则n∥m；③若m⊥α，m⊥β，则α∥β；④若α∥β，m⊂α，n⊂β，则n∥m；⑤α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n，则命题正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为塹堵，在塹堵ABC﹣A1B1C1中，若AB＝BC＝AA1＝2，若P为线段BA1中点，则点P到平面A1B1C的距离为（）A． B． C． D．2二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）（多选）9．（5分）下面结论正确的是（）A．若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件 B．若事件A与B是相互独立事件，则与也是相互独立事件 C．若P（A）＝0.6，P（B）＝0.2，A与B相互独立，那么P（A∪B）＝0.68 D．若P（A）＝0.8，P（B）＝0.7，A与B相互独立，那么（多选）10．（5分）将颜色分别为红、绿、白、蓝的4个小球随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人一个，则（）A．事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”是互斥不对立事件 B．事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是互斥不对立事件 C．事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”的对立事件是“丙分得白球，丁分得红球” D．当事件“甲分得红球”的对立事件发生时，事件“乙分得红球”发生的概率是（多选）11．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b＝ccosA，角A的角平分线交BC于点D，AD＝1，cosA＝，以下结论正确的是（）A．AC＝ B．AB＝8 C．＝ D．△ABD的面积为（多选）12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，点E，F，G，M分别是BC，AA1，C1D1，BB1的中点则（）A．直线A1G，EF是异面直线 B．平面DMC1截正方体所得截面的面积为 C．三棱锥A﹣MC1D1的体积为 D．三棱锥A1﹣BDC1的内切球的体积为三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分。）13．（5分）已知冰箱里有4袋牛奶，其中1袋枣味、3袋原味，若小明从中任取两袋，则取到枣味牛奶的概率为．14．（5分）某高中的三个年级共有学生2000人，其中高一600人，高二680人，高三720人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取50人进行访谈，若采取分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是．15．（5分）已知正四面体P﹣ABC棱长为2，则PA与平面ABC所成角的余弦值为．16．（5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，M，N分别为BC，AC边上的中点，AM，BN相交于P，则∠MPN的余弦值为．四、解答题：（共6小题共70分）17．（10分）已知复数z＝1+xi（i是虚数单位），且•（1+i）为纯虚数（是z的共轭复数）．（1）求实数x的值及复数z的模；（2）若复数ω＝在复平面内所对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．18．（12分）某次军事演习中，空军同时出动了甲、乙、丙三架不同型号的战斗机对一目标进行轰炸，已知甲击中目标的概率是；甲、丙同时轰炸一次，目标未被击中的概率是；乙、丙同时轰炸一次都击中目标的概率是．（Ⅰ）求乙、丙各自击中目标的概率．（Ⅱ）求目标被击中的概率．19．（12分）某市为了解疫情期间本地居民对当地防疫工作的满意度，从本市居民中随机抽取若干人进行满意度测评（测评分满分为100分）．根据测评的数据制成频率分布直方图如下：根据频率分布直方图，回答下列问题：（1）估计本次测评分数的中位数（精确到0.01）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）估计本次测评分数的第85百分位数（精确到0.01）；（3）若该市居民约为250万人，估计全市居民对当地防疫工作满意度测评分数在85分以上的人数．20．（12分）为进一步加强中华传统文化教育，提高学生的道德素养，培养学生的民族精神，更好地让学生传承和发扬中国传统文化和传统美德，某校组织了一次知识竞赛．现对参加活动的1280名学生的成绩（满分100分）做统计，得到了如图所示的频率分布直方图．请大家完成下面问题：（1）求a值；（2）若从该校80分至100分之间的同学按分层抽样抽取一个容量为7的样本，再从该样本任选2人参加与其他学校之间的比赛，求抽到的两人至少一人来自90分至100分的概率．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，PA＝AD＝AB＝CD，侧面PAD⊥底面ABCD，E为PC的中点．（1）求证：BE⊥平面PCD；（2）若PA＝PD，求二面角P﹣BC﹣D的余弦值．22．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且．（1）求角C的值；（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求的取值范围．

2022-2023学年吉林省通化市梅河口市博文学校高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c＝，b＝，B＝120°，则a等于（）A． B． C． D．2【分析】由题意和正弦定理求出sinC，由内角的范围和条件求出C，由内角和定理求出A，利用边角关系求出a．【解答】解：∵c＝，b＝，B＝120°，∴由正弦定理得，，则sinC＝＝＝，∵0°＜C＜120°，∴C＝30°，∴A＝180°﹣B﹣C＝30°，即A＝C，a＝c＝，故选：B．【点评】本题考查正弦定理，以及内角和定理，注意内角和的范围，属于基础题．2．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，sinB＝sinCcosA，则C＝（）A． B． C． D．【分析】由sinB＝sin（A+C），然后化简即可求解．【解答】解：因为sinB＝sinCcosA，则sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝sinCcosA，所以sinAcosC＝0，又sinA≠0，所以cosC＝0，解得C＝，故选：D．【点评】本题考查了正弦定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．3．（5分）一组数据按从小到大的顺序排列为56，59，60，62，a，若这组数据的极差为7，则这组数据的方差为（）A．30 B．6 C．25 D．5【分析】根据这组数据的极差为7可得a﹣56＝7，进一步确定a值即可求出方差．【解答】解：∵56，59，60，62，a这组数据的极差为7，∴a﹣56＝7，∴a＝63，∴这组数据的平均数为＝（56+59+60+62+63）＝60，∴这组数据的方差为s2＝[（56﹣60）2+（59﹣60）2+（60﹣60）2+（62﹣60）2+（63﹣60）2]＝6．故选：B．【点评】本题考查一组数据的极差与方差，考查学生数学运算的能力，属于基础题．4．（5分）已知数据x1，x2，…，x10的均值为2，方差为3，那么数据2x1+3，2x2+3，…，2x10+3的均值和方差分别为（）A．2，3 B．7，6 C．7，12 D．4，12【分析】利用平均数和方差的求法分别列式，求出平均数和方差．【解答】解：因为数据x1，x2，…，x10的均值为2，所以＝2，所以新数据的平均数为：＝＝2×+3＝7，则原数据的方差为：[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+…+（x10﹣2）2]＝3，则新数据的方差为：[（2x1+3﹣7）2+（2x2+3﹣7）2+…+（2x10+3﹣7）2]＝[（2x1﹣4）2+（2x2﹣4）2+…+（2x10﹣4）2]＝[4（x1﹣2）2+4（x2﹣2）2+…+4（x10﹣2）2]＝4×3＝12．故选：C．【点评】本题考查均值和方差的意义，掌握平均数和方差的计算方法是解决问题的关键．5．（5分）某科技攻关青年团队共有20人，他们的年龄分布如下表所示：年龄45403632302928人数2335241下列说法正确的是（）A．29.5是这20人年龄的一个25%分位数 B．29.5是这20人年龄的一个75%分位数 C．36.5是这20人年龄的一个中位数 D．这20人年龄的众数是5【分析】分别计算25%，75%分位数得到A正确，B错误，再计算中位数和众数得到CD错误，得到答案．【解答】解：对选项A：20×25%＝5，25%分位数为，正确；对选项B：20×75%＝15，75%分位数为，错误；对选项C：这20人年龄的中位数是，错误；对选项D：这20人年龄的众数是32，错误．故选：A．【点评】本题主要考查统计的知识，属于基础题．6．（5分）甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，则选出的2名教师性别相同的概率是（）A． B． C． D．【分析】用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．【解答】解：甲校的3名教师记为A，B，1，乙校的3名教师记为C，2，3，其中A，B，C表示男教师，1，2，3表示女教师，若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，所有可能的结果有：AC，A2，A3，BC，B2，B3，1C，12，13，共计9个，选出的2名教师性别相同的结果有AC，BC，12，13，共计4个；则选出的2名教师性别的概率为P＝．故选：B．【点评】本题考查了列举法求古典概型的概率问题，属于基础题．7．（5分）已知m，n是两条直线，α，β是两个平面．给出下列命题：①若m⊥α，m⊥n，则n∥α；②若m⊥β，n⊥β，则n∥m；③若m⊥α，m⊥β，则α∥β；④若α∥β，m⊂α，n⊂β，则n∥m；⑤α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n，则命题正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】在①中，n∥α或n⊂α；在②中，由线面垂直的性质定理得n∥m；在③中，由面面平行的判定定理得α∥β；在④中，n与m平行或异面；在⑤中，m与n相交、平行或异面．【解答】解：由m，n是两条直线，α，β是两个平面，知：在①中，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故①错误；在②中，若m⊥β，n⊥β，则由线面垂直的性质定理得n∥m，故②正确；在③中，若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故③正确；在④中，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则n与m平行或异面，故④错误；在⑤中，α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故⑤错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．8．（5分）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为塹堵，在塹堵ABC﹣A1B1C1中，若AB＝BC＝AA1＝2，若P为线段BA1中点，则点P到平面A1B1C的距离为（）A． B． C． D．2【分析】连接BC1，CB1相交于N，可证BC1⊥平面A1B1C，进而可求点B到平面A1B1C的距离，进而求得点P到平面A1B1C的距离．【解答】解：连接BC1，CB1相交于N，由A1B1⊥B1C1，BB1⊥A1B1，BB1∩B1C1＝B1，∴A1B1⊥平面BB1C1C，∵BC1⊂平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1，又四边形BB1C1C是正方形，∴BC1⊥CB1，∵A1B1∩B1C＝B1，∴BC1⊥平面A1B1C，∴BN为点B到平面A1B1C的距离，由BC＝AA1＝2，可得BN＝BC1＝，∴P为线段BA1中点，∴点P到平面A1B1C的距离为．故选：C．【点评】本题考查点到面的距离的求法，考查推理论证能力，属中档题．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）（多选）9．（5分）下面结论正确的是（）A．若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件 B．若事件A与B是相互独立事件，则与也是相互独立事件 C．若P（A）＝0.6，P（B）＝0.2，A与B相互独立，那么P（A∪B）＝0.68 D．若P（A）＝0.8，P（B）＝0.7，A与B相互独立，那么【分析】由相互独立和互斥事件的定义可判断A、B；由相互独立的乘法公式和对立事件的定义可判断C，D．【解答】解：对于A，由互斥事件的定义可知，事件A，B互斥，但是A与也是互斥事件不成立，故A错误；对于B，若A与B相互独立，则A与，B与，与都是相互独立事件，故B正确；对于C，如果A与B相互独立，则P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.6+0.2﹣P（AB）＝0.8﹣P（A）P（B）＝0.8﹣0.6×0.2＝0.68，故C正确；对于D，如果A与B相互独立，则，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了相互独立和互斥事件的定义，考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．（多选）10．（5分）将颜色分别为红、绿、白、蓝的4个小球随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人一个，则（）A．事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”是互斥不对立事件 B．事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是互斥不对立事件 C．事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”的对立事件是“丙分得白球，丁分得红球” D．当事件“甲分得红球”的对立事件发生时，事件“乙分得红球”发生的概率是【分析】由已知结合互斥事件及对立事件的定义及古典概率公式检验各选项即可判断．【解答】解：事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”可以同时发生，不是互斥事件，A错误；事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”不能同时发生，是互斥事件，除了甲分得红球或者乙分得红球以外，丙或者丁也可以分得红球，B正确；事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”与事件“丙分得白球，丁分得红球”可以同时发生，不是对立事件，C错误；事件“甲分得红球”的对立事件是“甲没有分得红球”，因此乙、丙、丁三人中有一个人分得红球，事件“乙分得红球”发生的概率是，D正确．故选：BD．【点评】本题主要考查了互斥事件及对立事件的判断，还考查了古典概率公式的应用，属于基础题．（多选）11．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b＝ccosA，角A的角平分线交BC于点D，AD＝1，cosA＝，以下结论正确的是（）A．AC＝ B．AB＝8 C．＝ D．△ABD的面积为【分析】由已知结合正弦定理及和角公式化简可求C＝，然后结合锐角三角函数定义可得cosA＝，再结合角平分线定理及勾股定理和三角形的面积公式对各选项进行判断即可．【解答】解：因为b＝ccosA，由正弦定理可得，sinB＝sinCcosA＝sin（A+C），所以sinAcosC＝0，因为sinA≠0，所以cosC＝0即C＝，∵＝cosA＝，由角平分线定理可得，＝，设AC＝x，AB＝8x，则BC＝3x，CD＝，Rt△ACD中，由勾股定理可得，，解可得x＝，即AC＝，AB＝6，∵SABC＝＝，所以S△ABD＝＝．故选：ACD．【点评】本题综合考查了正弦定理，三角形的面积公式，角平分线定理及锐角三角函数定义在求解三角形中的应用，属于中档试题．（多选）12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，点E，F，G，M分别是BC，AA1，C1D1，BB1的中点则（）A．直线A1G，EF是异面直线 B．平面DMC1截正方体所得截面的面积为 C．三棱锥A﹣MC1D1的体积为 D．三棱锥A1﹣BDC1的内切球的体积为【分析】对于A，取B1C1的中点P，连接PE，取PE的中点Q，连接A1Q，证明EF∥A1Q，即可判断；对于B，延长C1M，CB交于点H，连接HD交AB点N，连接MN，AB1，说明平面DMC1截正方体所得截面为四边形MNDC1，从而可以判断；对于C，连接BC1，B1C，证明B1C⊥平面ABC1D1，再根据即可判断；对于D，利用等体积法可求三棱锥A1﹣BDC1的内切球的半径，进而可求体积．【解答】解：对于A，如图，取B1C1的中点P，连接PE，取PE的中点Q，连接A1Q，则A1F∥EQ，A1F＝EQ，所以四边形A1FEQ是平行四边形，所以EF∥A1Q，又因A1G∩A1Q＝A1，所以直线A1G，EF是异面直线，故A正确；对于B，如图，延长C1M，CB交于点H，连接HD交AB点N，连接MN，AB1，因为BB1∥CC1，M为BB1的中点，则，所以B为HC的中点，因为AB∥CD，所以N为AB的中点，则MN∥AB1，因为AD∥B1C1，AD＝B1C1，所以AB1C1D为平行四边形，所以AB1∥DC1，所以MN∥DC1，则平面DMC1截正方体所得截面为等腰梯形MNDC1，在等腰梯形MNDC1中，，则梯形的高为，所以等腰梯形MNDC1的面积为，故B错误；对于C，连接BC1，B1C，则BC1⊥B1C，因为AB⊥平面BCC1B1，B1C⊂平面BCC1B1，所以AB⊥B1C，又AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥平面ABC1D1，又因为M为BB1的中点，所以三棱锥M﹣AC1D1的高为，，所以，故C正确；三棱锥A1﹣BDC1为正四面体，且棱长为4，每个侧面的面积为×（4）2×＝8，三棱锥A1﹣BDC1的体积为43﹣4×××43＝，设三棱锥A1﹣BDC1的内切球的半径为r，则4××8×r＝，解得r＝，所以三棱锥A1﹣BDC1的内切球的体积为πr3＝，故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查空间几何体的性质，考查异面直线，考查截面面积，考查内切球的体积的求法，属中档题．三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分。）13．（5分）已知冰箱里有4袋牛奶，其中1袋枣味、3袋原味，若小明从中任取两袋，则取到枣味牛奶的概率为．【分析】根据样本空间和所求事件包含的样本点，由古典概型的概率公式求值．【解答】解：设4袋牛奶编号分别为a，b，c，d，其中a为枣味，b，c，d为原味，从中任取两袋，则样本空间Ω＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}，共6个样本点，用事件A表示“取到枣味”，则A＝{ab，ac，ad}，共3个样本点，根据古典概型的概率公式可得，．故答案为：．【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．14．（5分）某高中的三个年级共有学生2000人，其中高一600人，高二680人，高三720人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取50人进行访谈，若采取分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是15．【分析】根据分层抽样原则直接计算即可．【解答】解：由题意，从全校2000人中抽取50人访谈，按照年级分层，则高一年级应该抽人．故答案为：15．【点评】本题主要考查了分层抽样的定义，属于基础题．15．（5分）已知正四面体P﹣ABC棱长为2，则PA与平面ABC所成角的余弦值为．【分析】根据正四面体的几何性质，结合线面角的定义进行求解，能求出PA与平面ABC所成角的余弦值．【解答】解：设顶点P在平面ABC的射影为O，连接AO，则∠PAO是PA与平面ABC所成角，∵正四面体P﹣ABC棱长为2，∴O是底面△ABC的中心，∴AO＝＝＝，∴cos＝＝，∴PA与平面ABC所成角的余弦值为．故答案为：．【点评】本题考查正四面体的结构特征、线面角的余弦值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．（5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，M，N分别为BC，AC边上的中点，AM，BN相交于P，则∠MPN的余弦值为．【分析】利用平面向量加法法则能求出，，再利用向量夹角公式cos∠MPN＝|cos＜，＞|＝||．由此能求出∠MPN的余弦值．【解答】解：设＝，＝，∴＝＝＝（）＝+，＝＝+＝﹣+．＝（+）2＝（++）＝，＝（﹣）2＝﹣+＝，∴＝（）•（﹣+）＝﹣﹣+＝3，∴cos∠MPN＝|cos＜，＞|＝||＝＝．故答案为：．【点评】本题考查向量的表示、向量夹角余弦值的求法，考查向量夹角数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．四、解答题：（共6小题共70分）17．（10分）已知复数z＝1+xi（i是虚数单位），且•（1+i）为纯虚数（是z的共轭复数）．（1）求实数x的值及复数z的模；（2）若复数ω＝在复平面内所对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据复数的乘法运算算出，然后可得答案；（2）对ω进行运算化简，然后可得答案．【解答】解：（1）由题意得为纯虚数，所以1+x＝0，1﹣x≠0，所以；（2），因为在复平面内所对应的点在第二象限，所以m﹣1＜0，m+1＞0，解得﹣1＜m＜1，故m的取值范围为（﹣1，1）．【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．18．（12分）某次军事演习中，空军同时出动了甲、乙、丙三架不同型号的战斗机对一目标进行轰炸，已知甲击中目标的概率是；甲、丙同时轰炸一次，目标未被击中的概率是；乙、丙同时轰炸一次都击中目标的概率是．（Ⅰ）求乙、丙各自击中目标的概率．（Ⅱ）求目标被击中的概率．【分析】（1）利用甲击中目标的概率是；甲，丙同时轰炸一次，目标未被击中的概率是；乙、丙同时轰炸一次郡击中目标的概率是，且甲，乙，丙是否击中目标相互独立，建立方程，求乙，丙各自击中目标的概率；（2）直接利用对立事件的概率求解．【解答】解：（1）记甲、乙、丙各自独立击中目标的事件分别为A、B、C．则由已知得P（A）＝，P（）＝[1﹣P（C）]＝，∴P（C）＝，由P（BC）＝P（B）P（C）＝，得P（B）＝，∴P（B）＝；（2）目标被击中的概率P＝1﹣P（）＝1﹣＝．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，考查了相互独立事件的概率及互斥事件的概率，是中档题．19．（12分）某市为了解疫情期间本地居民对当地防疫工作的满意度，从本市居民中随机抽取若干人进行满意度测评（测评分满分为100分）．根据测评的数据制成频率分布直方图如下：根据频率分布直方图，回答下列问题：（1）估计本次测评分数的中位数（精确到0.01）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）估计本次测评分数的第85百分位数（精确到0.01）；（3）若该市居民约为250万人，估计全市居民对当地防疫工作满意度测评分数在85分以上的人数．【分析】利用频率分布直方图以及样本数字特征知识可解．【解答】解：（1）在频率分布直方图中，由（0.004+0.006+0.020）×10＝0.3＜0.5，（0.004+0.006+0.020+0.030）×10＝0.6＞0.5，所以中位数位于（70，80）内，设中位数为x，则（0.004+0.006+0.020）×10+0.030×（x﹣70）＝0.5，解得，即本次测评分数的中位数约为76.67，由频率分布直方图可知，本次测评分数的平均数为[0.004×45+0.006×55+0.020×65+0.030×75+0.024×85+0.016×95）×10＝76.20，即本次测评分数的平均数约为76.20．（2）在频率分布直方图中，前5组频率之和为0.84，小于0.85，故第85百分位数位于第6组，所以≈90.63，即第85百分位数约为90.63，（3）由频率分布直方图知测评分在85分以上的频率为，所以估计该市居民测评分在85分以上的人数约为250×0.28＝70（万人）．【点评】本题主要考查频率分布直方图、平均数、方差、中位数、分位数等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力、应用意识、创新意识等；考查统计与概率思想、分类与整合思想、化归与转化思想等；考查数据分析、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性．属于中档题．20．（12分）为进一步加强中华传统文化教育，提高学生的道德素养，培养学生的民族精神，更好地让学生传承和发扬中国传统文化和传统美德，某校组织了一次知识竞赛．现对参加活动的1280名学生的成绩（满分100分）做统计，得到了如图所示的频率分布直方图．请大家完成下面问题：（1）求a值；（2）若从该校80分至100分之间的同学按分层抽样抽取一个容量为7的样本，再从该样本任选2人参加与其他学校之间的比赛，求抽到的两人至少一人来自90分至100分的概率．【分析】（1）根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1求解；（2）利用古典概型的概率公式求解．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，（0.005+a+0.035+a+0.010）×10＝1，解得a＝0.025；（2）由（1）知：（80，90）与（90，100）的样本比例为5：2，所以7个个体有5个取自（80，90），2个取自（90，100），若（80，90）中5个分别为a，b，c，d，e，中2个分别为x，y，则从中抽取2人的所有组合为{ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，ax，ay，bx，by，cx，cy，dx，dy，ex，ey，xy}，有21种情况，其中两人至少来一人自（90，10