江苏省13市2021年九年级中考数学真题按题型难易度分层分类汇编：10解答题提升题与解答题压轴题

10解答题提升题&解答题压轴题

(真题来源于苏州卷，南京卷，南通卷，镇江卷，无锡卷，常州卷，盐城卷，淮安卷，徐

州卷，宿迁卷，扬州卷，泰州卷，连云港卷)

四、解答题提升题

36.(2021-镇江)如图，点4和点£(2,1)是反比例函数y=K(x>0)图象上的两点,

X

点8在反比例函数"=旦(x<0)的图象上，分别过点48作y轴的垂线，垂足分别为

x

点C,D,AC=BD,连接A9交y轴于点F.

(1)k=：

(2)设点力的横坐标为a,点尸的纵坐标为m,求证：am=-2：

(3)连接DE,当N画=90°时，直接写出点力的坐标：.

37.(2021•淮安)如图，在平面直角坐标系中，二次函数"=工/+6>(+，的图象与x轴交于

4

点为(-3,0)和点8(5,0),顶点为点。，动点以。在x轴上(点的在点0的左侧)，

在x轴下方作矩形制％,其中例7=3,MN=2.矩形椒。。沿x轴以每秒1个单位长度的

速度向右匀速运动，运动开始时，点”的坐标为(-6,0),当点M与点8重合时停止运

动，设运动的时间为。秒(方>0).

(1)b=,c=.

(2)连接劭，求直线做的函数表达式.

(3)在矩形椒。。运动的过程中，帆所在直线与该二次函数的图象交于点G,。。所在直

线与直线勿交于点”，是否存在某一时刻，使得以G、欣H、。为顶点的四边形是面积小

于10的平行四边形？若存在，求出大的值；若不存在，请说明理由.

(4)连接阳，过点户作必的垂线交y轴于点/?,直接写出在矩形椒也整个运动过程中

点??运动的路径长.

38.（2021*南通）如图，正方形4成》中，点£在边/。上（不与端点4。重合），点4关

于直线跖的对称点为点F,连接CF,设NABE=a.

（1）求N仇产的大小（用含a的式子表示）；

（2）过点C作CGJ•直线〃；垂足为G,连接。G.判断〃G与CF的位置关系，并说明理

由：

（3）将踮绕点8顺时针旋转90°得到△C8”,点E的对应点为点//,连接8尸，HF.当

△8/方为等腰三角形时，求sina的值.

39.（2021-徐州）如图1,正方形力成?〃的边长为4,点户在边4。上（夕不与人、。重合），

连接形、PC,将线段外绕点户顺时针旋转90°得到夕£将线段QC绕点夕逆时针旋转

90°得到PF,连接EF、EA、FD.

（1）求证：

①△郎•的面积S=LPB;

2

②EA=FD;

（2）如图2,EA、刃的延长线交于点附，取中的中点乂连接的V,求解/的取值范围.

图1图2

40.（2021•无锡）在平面直角坐标系中，0为坐标原点，直线y=-/3与x轴交于点8,

与V轴交于点C,二次函数y=a/+2A+c的图象过8、C两点，且与x轴交于另一点4,

点附为线段如上的一个动点，过点"作直线/平行于y轴交BC于点F,交二次函数y=

ax+2j&c的图象于点£

(1)求二次函数的表达式；

(2)当以C、E、尸为顶点的三角形与△48C相似时，求线段&•的长度；

(3)已知点〃是y轴上的点，若点M门关于直线EC对称，求点〃的坐标.

41.(2021-盐城)学习了图形的旋转之后，小明知道，将点户绕着某定点力顺时针旋转一

定的角度a,能得到一个新的点夕’，经过进一步探究，小明发现，当上述点夕在某函数

图象上运动时，点9也随之运动，并且点”的运动轨迹能形成一个新的图形.

试根据下列各题中所给的定点4的坐标、角度a的大小来解决相关问题.

【初步感知】

如图1,设力(1,1),a=90°,点夕是一次函数片=公+6图象上的动点，已知该一次

函数的图象经过点月(-1,1).

(1)点月旋转后，得到的点/V的坐标为;

(2)若点P'的运动轨迹经过点(2,1),求原一次函数的表达式.

【深入感悟】

如图2,设4(0,0),a=45°，点夕是反比例函数y=-』(x<0)的图象上的动点，

x

过点〃作二、四象限角平分线的垂线，垂足为"，求△晰"的面积.

【灵活运用】

如图3,设4(1,-V3),。=60°,点夕是二次函数7=工/+2«/7图象上的动点，

2

已知点8(2,0)、C(3,0),试探究△8C。'的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；

(2)当c>-1时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是

(3)设(/，0)是该函数的图象与x轴的一个公共点.当-1<w<3时，结合函数的图

象，直接写出a的取值范围.

43.(2021-宿迁)已知正方形ABCD与正方形AEFG,正方形45%绕点4旋转一周.

(1)如图①，连接8G、CF,求CL的值；

BG

(2)当正方形〃旋转至图②位置时，连接序、BE,分别取CABE的中点、M、N,连

接械试探究：MN与BE的关系,并说明理由；

(3)连接BE、BF,分别取BE、BF的中点、N、0,连接QN,AE=6,请直接写出线段ON

扫过的面积.

44.(2021*苏州)如图，二次函数-(»1)(勿是实数，且的图象

与x轴交于A8两点(点4在点8的左侧)，其对称轴与x轴交于点C.已知点〃位于第

一象限，且在对称轴上，勿，劭，点£•在“轴的正半轴上，00=EC,连接劭并延长交y

轴于点尸，连接”：

(1)求/、B、C三点的坐标(用数字或含。的式子表示)；

(2)已知点。在抛物线的对称轴上，当△/月2的周长的最小值等于丝时，求仍的值.

5

45.(2021-苏州)如图，在矩形483中，线段次G"分别平行于4?、AB,它们相交于点

。，点H、H分别在线段内尸、PH上,PP、=PG,PP尸PE,连接夕以PF,月，与H门相交于

点。.已知力G：GgAE:EB=\:2,设4"a,AE=b.

(1)四边形EBHP的面积四边形GPFD的面枳(填”或“v”)

(2)求证：△月卬

Si

(3)设四边形阴仍的面积为S,四边形&'O//的面积为S,求，的值.

S2

46.(2021•扬州)如图，在平面直角坐标系中，二次函数ynx'+Ax+c的图象与x轴交于点

>4(-1,0)、B(3,0),与y轴交于点C.

(1)b=,c=;

(2)若点。在该二次函数的图象上，汉SA痴=2S&KBC,求点。的坐标；

(3)若点"是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且S&M产S&.，直接写出点户的

47.(2021*扬州)在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单J

已知线段8C=2,使用作图工具作N^k?=30°,尝试操作后思考：

(1)这样的点4唯一吗？

(2)点4的位置有什么特征？你有什么感悟？

蓝追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报:点4的位置不唯一，它在以宛为弦的

圆弧上(点员C除外)，….小华同学画出了符合要求的一条圆弧(如图1).

(1)小华同学提出了下列问题，请你帮助解决.

①该弧所在圆的半径长为；

②△/成7面积的最大值为；

(2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示

的弓形内部，我们记为〃，请你利用图1证明N分'030°.

(3)请你运用所学知识，结合以上活动经脸，解决问题：如图2,已知矩形的边长

AB=2,%=3,点。在直线切的左侧，且tanN

①线段阳长的最小值为:

②若S&PC产纹P孙则线段外长为

B------------

图

1备用图

48.(2021.连云港)在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动.

(1)是边长为3的等边三角形，£■是边4?上的一点，且〃'=1,小亮以宏为边作

等边三角形田；如图1.求卢的长；

(2)宓是边长为3的等边三能形，£■是边4?上的一个动点，小亮以比•为边作等边

三角形阳；如图2.在点£从点C到点4的运动过程中，求点尸所经过的路径长；

(3)宓是边长为3的等边三角形，附是高缈上的一个动点，小亮以8M为边作等边

三角形BMN,如图3.在点版从点C到点。的运动过程中，求点/V所经过的路径长；

DB

(4)正方形/瓦沙的边长为3,£是边州上的一个动点，在点£从点C到点5的运动过

程中，小亮以8为顶点作正方形8尸其中点F、G都在直线/£上，如图4.当点£到

达点8时，点尸、G、，与点8重合.则点，所经过的路径长为，点G所经过的路

径长为.

五、解答题压轴题

49.(2021•镇江)将一张三角形纸片46c放置在如图所示的平面直角坐标系中，点4(-6,

0),点B(0,2),点C(-4,8),二次函数y=a，+bA+c(a*=0)的图象经过点A,B,

该抛物线的对称轴经过点C,顶点为D.

（1）求该二次函数的表达式及点〃的坐标；

（2）点"在边4C上（异于点4,C）,将三角形纸片4宓折叠，使得点力落在直线48上，

且点M落在边BC上，点〃的对应点记为点N,折痕所在直线/交抛物线的对称轴于点P,

然后将纸片展开.

①请作出图中点版的对应点〃和折痕所在直线/;（要求：尺规作图，不写作法，保留作

图痕迹）

②连接掰°,NP,在下列选项中：A.折痕与43垂直，B.折痕与椒的交点可以落在抛物

线的对称轴上，C.M=2,小N_&,所有正确选项的序号是

MP2MP

③点。在二次函数y=a『+"+c（a片0）的图象上，告XPDaXPMN贿,求点。的坐标.

50.（2021.镇江）如图1,NA=NB=NC=ND=NE=NF=90°,AB,FE,。。为铅直方

向的边，AF,ED,8c为水平方向的边，点£■在/18,切之间，且在8c之间，我们称

这样的图形为“Z■图形”，记作“Z.图形48。龙产.若直线将Z图形分成面积相等的两个图

形，则称这样的直线为该/•图形的面积平分线.

【活动】

小华同学给出了图1的面积平分线的一个作图方案:如图2,将这个Z.图形分成矩形4G£T、

矩形GBCD,这两个矩形的对称中心口，2所在直线是该Z.图形的面积平分线.

请用无刻度的直尺在图1中作出其他的面积平分线.（作出一种即可，不写作法，保留作

图痕迹）

【思考】

如图3,直线aa是小华作的面积平分线，它与边力,4月分别交于点KN,过椒的中

点。的直线分别交边BC,4尸于点P,0,直线PQ.（填“是”或“不是"）L图彩

/48CZ?炉的面积平分线.

图3图4

【应用】

在/■图形ABCDEF形中，已知48=4,BC=6.

（1）如图4,CD=AF=\.

①该/■图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点只0,求户。长的最大值；

②该Z图形的面积平分线与边48,缈分别相交于点G,H,当G”的长取最小值时，BG的

长为.

（2）设型=七（£>0）,在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，如果只有

AF

与边AB,3相交的面积平分线，直接写出力的取值范围.

51.（2021.淮安）【知识再现】

学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形

全等（简称‘仪’定理）”是判定直角三角形全等的特有方法.

【简单应用】

如图（1）,在△力8c中，ZBAC=90°,AB=AC,点久£分别在边47、48上.若CE=BD,

则线段/£和线段4〃的数量关系是.

【拓展延伸】

在△48C中，ZBAC^a（90°<a<180°）,48=4C=m,点、。在边4c上.

（1）若点£在边形上，且CE=BD,如图（2）所示，则线段〃■与线段4?相等吗？如果

相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由.

（2）若点£在班的延长线上，员CE=BD.试探究线段然与线段4。的数量关系（用含

有a、刀的式子表示），并说明理由.

52.（2021*泰州）如图，在。。中，48为直径，P为AB上一点、,月4=1,阳=〃（〃为常数，

且加>0）.过点P的弦CDLAB,。为前上一动点（与点8不重合），AHLOD,垂足为H.连

接力久BQ.

（1）若777=3.

①求证：NO4g60°；

②求至的值；

DH

(2)用含用的代数式表示跑，请直接写出结果；

DH

(3)存在一个大小确定的。0,对于点。的任意位置，都有-2〃”+书的值是一个定

值，求此时N。的度数.

备用图

53.(2021•常州)【阅读】

通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不

等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用.

【理解】

(1)如图1,ACLBC,CDS.AB,垂足分别为C、D,f是的中点，连接CE.已知4?=a,

BD=b(0<a<Z>).

①分别求线段宏、CD的长(用含a、。的代数式表示)；

②比较大小：CECD(填“<”、“=”或“>”)，并用含a、。的代数式表示该大

小关系.

【应用】

(2)如图2,在平面直角坐标系x勿中，点〃、/V在反比例函数(x>0)的图象上，

x

横坐标分别为〃、n.设°=工+工，记/=』pg.

mn4

①当"=1,〃=2时，/=；当m=3,"=3时，/=;

②通过归纳猜想，可得/的最小值是.请可用qz构造恰当的图形，并说明你

的猜想成立.

54.(2021*常州)在平面直角坐标系x%中，对于4、A'两点，若在y轴上存在点T,使

得NX。'=90°,且TA=TA',则称4A'两点互相关联，把其中一个点叫做另一个

点的关联点.已知点〃(-2,0)、/V(-1,0),点。(0，n)在一次函数y=-2/1的

图象上.

(1)①如图，在点8(2,0)、C(0,-1)、。(-2,-2)中，点"的关联点是(填

“8”、“C”或“〃”)；

②若在线段椒上存在点夕(1,1)的关联点U,则点〃的坐标是;

(2)若在线段脉上存在点。的关联点。’，求实数m的取值范围；

(3)分别以点£(4,2)、。为圆心，1为半径作Q0.若对G)£上的任意一点G,在

。。上总存在点G',使得G、G'两点互相关联，请直接写出点。的坐标.

备用图

55.(2021.常州)如图，在平面直角坐标系x0中，正比例函数(〃看0)和二次函

数y=-Xx+bx+3的图象都经过点A(4,3)和点B,过点A作"的垂线交x轴于点C.D

4

是线段/I3上一点(点。与点4、0、8不重合)，f是射线/C上一点，且AE=OD,连接DE,

过点。作x轴的垂线交抛物线于点F,以DE、。尸为邻边作口DEGF.

(1)填空：k=,b=：

(2)设点。的横坐标是［(。0),连接厌若ZFGE=ZDFE,求土的值；

(3)过点尸作48的垂线交线段现于点"若S△际OEUF,求勿的长.

56.(2021*无锡)已知四边形力比1〃是边长为1的正方形，点£是射线8c上的动点，以/£

为直角边在直线861的上方作等腰直角三角形/1优/AEF=9C,谡BE=m.

备用图

(1)如图，若点£在线段3c上运动，炉交CZ?于点?〃■交3于点0,连接防

①当桁工时，求线段货■的长；

3

②在△%£中，设边往上的高为万，请用含m的代数式表示〃，并求〃的最大值；

(2)设过仇?的中点且垂直于外的直线被等腰直角三角形4斤截得的线段长为匕请直

接写出y与m的关系式.

57.(2021*南京)在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？

(1)如图①，圆锥的母线长为12初，8为母线0C的中点，点4在底面圆周上，血的长

为4rtcm.在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点4爬行到点8的最短路径，并

标出它的长(结果保留根号).

①②

(2)图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成.0是圆锥的顶点，点4在圆柱

的底面圆周上，设圆锥的母线长为/,圆柱的高为/?.

①蚂蚁从点4爬行到点。的最短路径的长为(用含/,6的代数式表示).

②设标的长为a,点8在母线0c上，OB=b.圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画

出蚂蚁从点力爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路.

58.(2021•宿迁)如图，抛物线y=-—x+bx+c与x轴交于4(-1,0),B(4,0),与y

2

轴交于点C.连接4C,8C,点夕在抛物线上运动.

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图①，若点。在第四象限，点。在外的延长线上，当NC44NC8#45°B寸，求

点夕的坐标；

(3)如图②，若点。在第一象限，直线即交宓于点尸，过点户作x轴的垂线交3c于点

H,当△所/为等腰三角形时，求线段/W的长.

59.(2021.苏州)如图①，甲、乙都是高为6米的长方体容器，容器甲的底面4以7D是正方

形，容器乙的底面是矩形.如图②，已知正方形/1成步与矩形日方〃满足如下条件：

正方形483外切于一个半径为5米的圆0,矩形6仍内接于这个圆0,EF=2EH.

(1)求容器甲、乙的容积分别为多少立方米？

(2)现在我们分别向容器甲、乙同时持续注水(注水前两个容器是空的)，一开始注水

流量均为25立方米/小时，4小时后，把容器甲的注水流量增加a立方米/小时，同时保

持容器乙的注水流量不变，继续注水2小时后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方

米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变，直到两个容器的水位高度相同，停止注

水.在整个注水过程中，当注水时间为大时，我们把容器甲的水位高度记为,甲，容器乙

的水位高度记为方乙，设力乙-/?▼=/?,已知万(米)关于注水时间t(小时)的函数图象

如图③所示，其中枢平行于横轴，根据图中所给信息，解决下列问题：

①求a的值；

②求图③中线段成所在直线的解析式.

图①

图③

【参考答案】

四、解答题提升题

36.(2021-镇江)如图，点4和点£(2,1)是反比例函数y=K(x>0)图象上的两点,

X

点8在反比例函数y=2(xVO)的图象上，分别过点48作y轴的垂线，垂足分别为

X

点C,D,AC=BD,连接力8交y轴于点£

(1)k=2；

(2)设点力的横坐标为百，点下的纵坐标为力，求证：am=-2；

(3)连接出DE,当N皈=90°时，直接写出点力的坐标：(2-5).

—53―

【解析】解：(1)•.•点£(2,1)是反比例函数y=K(x>0)图象上的点,

x

-K=i

"2

解得k=2,

故答案为：2：

(2)在△〃?尸和△孙中，

"ZACF=ZBDF

.ZCFA=ZBFD,

AC=BD

：.AACFQABDFkAAS),

SABDF=St^ACF,

•.•点4坐标为(a,2),则可得C(0,2),

aa

/.AC^a,00^—,

a

即laX(2-加)=laX(2+m),

2a2a

整理得am=-2；

(3)设4点坐标为(a,—

a

则C(0,2),D(0,-A),

aa

•：E(2,1),ZC£Z7=90°,

：.C^+D^=cd,

即T+(1-2)2+22+(1+A)1(2+反)2,

aaaa

解得a=-2(舍去)或a=旦，

5

二。点的坐标为也,5).

53

37.(2021•淮安)如图，在平面直角坐标系中，二次函数肝c的图象与x轴交于

4

点4(-3,0)和点8(5,0),顶点为点D,动点以。在*轴上(点M在点。的左侧)，

在x轴下方作矩形椒也,其中的=3,MN=2.矩形腑％沿x轴以每秒1个单位长度的

速度向右匀速运动，运动开始时，点"的坐标为(-6,0),当点"与点8重合时停止运

动，设运动的时间为/■秒(£>0).

(1)b=」,c=.

—2——4—

(2)连接劭，求直线劭的函数表达式.

(3)在矩形制。。运动的过程中，肥所在直线与该二次函数的图象交于点G,夕。所在直

线与直线勿交于点”，是否存在某一时刻，使得以G、M、H、。为顶点的四边形是面积小

于10的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

(4)连接外，过点户作切的垂线交y轴于点/?,直接写出在矩形脉也整个运动过程中

点/?运动的路径长.

4

91

-r-3b+c=0b=F

42

得25讣/解得15,

-^-+5b+c=0c=-

44

故答案为：」，监.

24

2

(2)y=—x(X-1)-4,

4244

该抛物线的顶点坐标为。(1,-4);

设直线8。的函数表达式为y=mx+n,

则(5mtn=0,解得(m=l,

lm+n=-4ln=-5

y=x-5.

(3)存在，如图1、图2.

由题意得，M(t-6,0),0(t-3,0),

：.G(t-6,U_Lt+骂，H(t-3,t-8);

424

'：QM*且QH丰0,点"、8重合时停止运动,

'3(t-8)<10

3(8-t)<10

,解得星且十才8；

11-8|卉。3

t-6<5

"：MG//HQ,

:.当MG=HQ晒,以G、M、H、。为顶点的四边形是平行四边形,

A|At2JLt+^l|=|t-8|;

424

由上>型=t-8得，18什65=0,

424

解得，t、=5,t2=13（不符合题意，舍去）；

由一Lz+W2=-Z+8得，t2-10Z+1=0,

424

解得，a=5+2遍，方2=5-2遥（不符合题意，舍去），

综上所述，t=5或t=5+2^6.

（4）由（2）得，抛物线"=」乂2一Lx」国的对称轴为直线x=1,

424

过点"作直线x=1的垂线，垂足为点尸，交y轴于点G,

如图3,点。在y轴左侧，此时点/?在点G的上方，

当点"的坐标为（-6,0）时，点/?的位置最高，

此时点。与点4重合，

■:ZPGR=NDFP=qy,NRPgq0°-ZFPD=ZPDF,

：.^PRG^/\DPF,

•RGPG

"PF=DF，

.•加里坦至心，

DF2

：.R（0,4）；

如图4,为原图象的局部人大图，

当点。在y轴右侧且在直线x=1左侧，此时点/?的最低位置在点G下方,

由△2？Gs△晰，

得，空

PFDF

.3妙之；

DF

设点。的坐标为O,0）（0</-<1）,则夕（广，-2）,

/.GR—T''''-"R'=^r+—r=（r-A）2+A,

222228

，当厂=工时，GR的最大值为工，

28

：.R（0,上）；

8

如图5,为原图象的缩小图，

当点。在直线x=1右侧，则点/?在点G的上方,

当点〃与点8重合时，点??的位置最高，

过APRGs丛DPF,

得,电皿，

PFDF

3妙竺=山=28,

DF2

：.R(0,26),

.•.4+2+26+卫=&,

884

...点/?运动路径的长为-131.

4

图3

38.（2021-南通）如图，正方形力成》中，点£在边力。上（不与端点4。重合），点4关

于直线维的对称点为点尸，连接。尸，设N48£=a.

(1)求N)尸的大小(用含a的式子表示)；

(2)过点C作CGJ•直线〃；垂足为G,连接。G.判断。G与。尸的位置关系，并说明理

由；

(3)将△/1的绕点8顺时针旋转90°得到△CH/,点£的对应点为点“，连接/HF.当

△8/7/为等腰三角形时，求sina的值.

【解析】解：(1)如图1,连接8尸，

图1

点/)关于直线维的对称点为点尸，

：.AB=BF,BE1.AF,

ZABE=NEBF=a,

・・・N渐=90°-2a,

•・•四边形4BCO是正方形,

：.AB=BC,

:.BF=BC,

...N9=180°T90-2Q)=45。+a；

2

(2)DG//CF,

理由如下：如图2,连接4C,

图2

•.•四边形ABCD是正方形,

.♦.N4必=45°,/ADC=q0°,

■:CG1AF,

:.NCGA=NADC=9Q°,

.•.点4点。，点G,点C四点共圆,

:./AGD=NACD=45°,

'：AB=BF,Z.ABF=2a,

：.N〃F=180°-2'CI=90。_a,

2

N〃Z?=135°,

：.ZCFG=45°=NDGA,

：.DG//CF\

(3)YBE>AB,

:・BH>BF,

:.BH*BF;

如图3,当BH=FHK,过点、H作HNLBF于N,

・・,将△力斯绕点8顺时针旋转90°得到△///,

:.RABEQRCBH,ZEBH=90°=々ABC,

:.AE=CH,BE=BH,NABE=/CBH=a=/FBE,AB=BC,

：・NHBF=9G-a,

*：BH=FH,HN1BF,

:・BN=NF=LBF=LAB,ZBNH=9G°=/BAE,

22

・・・/BHN=a,

JNABE=NBHN,

:.△ABEQXNHB（彳弘），

:.BN=AE=LAB,

2

^£=7AE2+AB2=强低

sina5,

BE5

当BF=FH晌,

：・4FBH=/FHS-a,

:./BFH=2Q=4ABF,

：.AB//FH,

即点尸与点C重合，则点£与点。重合，

；点£在边4?上（不与端点4。重合），

二8尸=/7/不成立，

综上所述：sina的值为

5

39.（2021*徐州）如图1,正方形48切的边长为4,点夕在边4〃上（夕不与人。重合），

连接PB、PC.将线段外绕点户顺时针旋转90°得到PE,将线段PC绕点户逆时针旋转

90°得到PF,连接EF、EA、FD.

(1)求证：

①△外尸的面积S=LPB•,

2

②EA=FD;

(2)如图2,EA、仞的延长线交于点”，取的中点乂连接楸求掰V的取值范围.

图1图2

【解析】(1)证明：如图1,作曲40,交47的延长线于点G,作EHLAD,交"的延

长线于点H.

①由旋转得，PF=CP,^CPF=9Q°,

•.•四边形是正方形，

:./PDC=9Q",

V^FPG^^DPC=9Q°,ZPCMZDPC=90°,

二』FPG=/PCD,

,：NG=NPDC=90°,

：./\FPG^/\PCD(-4-45),

：.FG=PD,

：.4PDF晌面枳S=、P>FG=LPB.

22

②由①得，XFPG^XPCD,

：.PD=FG,PG=CD=4,

同理，△EPgXPBA,

:.EH=AP,P4BA=4,

♦：AH=4-AP=PD,

:.A4FG；

,:AP=4-PD=DG,

:.EH=DG・,

'：Z//=Z(9=90°,

:.△EAgADFG(%S),

：.EA=FD.

(2)如图2,在图1的基础上，作FLLEH于点、L,魁NFLE=NFLH=90°,

四边形HLFG是矩明

:.LH=FG=AH,FL=G44+4=8；

"：EH=PA,AH^PD,

:.E*A4P砧PXAD=4；

谡PD=m,EL=n,(m>0,"20),0']LH=AH=m,

/.0=4-2m；

•：EFl^El}+Fl}=n+^=n+M,

•■•^=Vn2+64-

...6■随〃的增大而增大；

由〃=4-2m可知，=随m的增大而减小，

当加=2时，〃最小=0,此时，曰7最小=J^=8;

22=4

若w=0,则〃氤*=4,此时，EFRk=^4+8Vs,

:点P不与点A。重合，

/.rri>0,

.'.n<4,EF<4娓,_

...您的取值范围是8W£7Y4j^,

.\4<A£F<2V5:

2

ZADM=ZGDF=/HEA,NDAM=ZHAE,

：.NAD除NDAM=NHE9NHAE=q0°,

Azar=90°;

,:N是EF的中点、,

:.MN=LEF,

2_

.,.椒的取值范围是2V5.

图1

40.（2021.无锡）在平面直角坐标系中，0为坐标原点，直线y=-/3与x轴交于点8,

与y轴交于点C,二次函数y=aF+2A+c的图象过8、C两点，且与x轴交于另一点4,

点”为线段如上的一个动点，过点M作直线/平行于V轴交BC于点、F,交二次函数y=

a/+2A+C的图象于点£

(1)求二次函数的表达式；

(2)当以C、E、尸为顶点的三角形与△力成?相似时，求线段炉的长度；

(3)已知点/V是y轴上的点，若点M尸关于直线对称，求点〃的坐标.

【解析】解：(1)在/=-/3中，令x=0得y=3,令y=0得x=3,

：.B(3,0),C(0,3),

把8(3,0),C(0,3)代入y=aF+2/c得：

[0=9a+6+c,解得卜=-1,

I3=cIc=3

二・二次函数的表达式为y=-x+2x+3；

(2)如图：

在y=-x+2/3中，令y=0得x=3或x=-1,

：.A(-1,0),

,:B(3,0),C(0,3),_

：.OB=OC,AB=i,,BC=3y[2,

：.ZABC^ZMFB^ZC/T=450,

...以C、E、尸为顶点的三角形与△49C相似，8和尸为对应点，

设E(ot,-m+2/77^3),则F(,m,-/3),

EF—(-滔+2»3)—(-仆3)=-m+3m,C尸=、.2+.2

①△旌时，AB=BC,

CFEF

・4=3近，

V2m-m2+3m

解得“7=0■或OT=O（舍去），

2

:.EF=>,

4

②赳ABCsXEFC畸,姻_=坦,

EFCF

•4,

-m2+3mV2m

解得m=0（舍去）或加=9,

3

：.EF=^_,

9

综上所述，牙•=?或型.

49

:点从尸关于直线EC对称，

：.4NCE=/FCE,CF=CN,

•:EF"y期,

：./NCE=4CEF,

：./FCE=4CEF,

：.CF=EF=CN,

由(2)知:

设E(m,-m+2»3),则F(m,-/3),EF—(-M+2府3)-(-*3)=-m+3m,CF

=Vm2+m2=^2OT'

-M+3m=解得m=0(舍去)或0=3-J5,

二CN=CF=Mm=3近-2,

：.N(0,3V2+1).

41.(2021-盐城)学习了图形的旋转之后，小明知道，将点户绕着某定点/顺时针旋转一

定的角度a,能得到一个新的点夕’，经过进一步探究，小明发现，当上述点夕在某函数

图象上运动时，点"也随之运动，并且点尸的运动轨迹能形成一个新的图形.

试根据下列各题中所给的定点4的坐标、角度a的大小来解决相关问题.

【初步感知】

如图1,设/(1,1),a=90°,点夕是一次函数图象上的动点，已知该一次

函数的图象经过点月(-1,1).

(1)点月旋转后，得到的点月’的坐标为(1,3)；

(2)若点P'的运动轨迹经过点8'(2,1),求原一次函数的表达式.

【深入感悟】

如图2,设4(0,0),a=45°,点。是反比例函数y=-2(x<0)的图象上的动点，

x

过点，作二、四象限角平分线的垂线，垂足为"，求△丽的面积.

【灵活运用】

如图3,设4(1,-«),a=60°,点户是二次函数尸工『+2«行7图象上的动点，

2

已知点8(2,0)、C(3,0),试探究△&W'的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；

若没有，请说明理由.

【解析】解：【初步感知】

(1)如图1,•:P、(-1,1),A(1,1),

...84〃x轴，84=2,

由旋转可得：P、'4〃y轴，P、'A=2,

:H(1,3);

故答案为：(1,3):

(2)-：P2'(2,1),

由题意得Pi(1,2),

,:P、(-1,1),P2(1,2)在原一次函数图象上,

.,.设原一次函数解析式为y—kx^-b,

则-k+b=l,

lk+b=2

b4

原一次函数解析式为

22

【深入感悟】

设双曲线与二、四象限角平分线交于人点，则:

y=-x

y=~(x<0)'

x

解得:卜=-l,

1y=l

:.N(-1,1).

①当时，

过点P作P0_Lx轴于0,连接AP,过点〃作/也L4V于点M,如图2,

,:NQAM=NPOF=45°,

:.乙PAg4PAN,

'：P'Ml.AM,

:.乙PMA=ZPQA=9Q°,

...在△户QI和雨中，

<ZPQA=ZP/MA

,NPAQ=NP'AM,

AP=AP'

：./\POA^^P'MA(A4S),

«M=S△物=怯I

22

即s△丽=—.

2

②当-1<xVO时，

过点夕作PHI.y轴于点H,过点P'作P优L/W于点M,如图3,

V^POP=N0H=45",

:./PON="OH,

二N破0=90°-NMW-"OH=45°OH,

VAPOH=APOP,OH=45°OH,

:.NPOH=/MP0,

在△00〃和"中，

，ZPHO=ZOMP/

<ZPOH=ZMPy0,

P0=Py0

J.^POH^^OP'"(加S),

S*mo-S4md=-l-K-L—,

22

综上所述，△W的面积为-1.

2

【灵活运用】

XBCP的面积有最小值，

如图4,连接48,AC,将8,C绕点4逆时针旋转60°得B：C,作轴于点”,

'：A(1,-V3),B(2,0),C(3,0),

：.O