湖北省2023届高三4月调研模拟考试数学试卷(含答案)

湖北省2023届高三4月调研模拟考试数学试卷

学校：姓名：班级：考号：

一、选择题

1、复数品

与下列复数相等的是（）

..（兀、-Visin-4兀）

A.cos-+isin——B.cos-

3JI3）3JITJ

D.-l-V3i

2、已知集合Af={#2一3x<0「N-{x|log2x<4},且全集U=[-1,20],则U=（）

B.N&M）

C.MU&MD.N_4M）

3、城市交通信号灯的配时合理与否将直接影响城市交通情况.我国采用的是红绿交通

信号灯管理方法，即“红灯停、绿灯行”.不妨设某十字路口交通信号灯的变换具有周期

性.在一个周期T内交通信号灯进行着红绿交替变换（东西向红灯的同时，南北向变为

绿灯；然后东西向变为绿灯，南北向变红灯）.用”表示一个周期内东西方向到达该路

口等待红灯的车辆数，V表示一个周期内南北方向到达该路口等待红灯的车辆数，R

表示一个周期内东西方向开红灯的时间，S表示一个周期内所有到达该路口的车辆等

待时间的总和（不考虑黄灯时间及其它起步因素），则S的计算公式为（）

（H+V）R2

A.B.HR+V（T-R）

CHR2+V（T-R）1（H+V）R

D.

-2

4、已知数列｛。“｝是等差数列，数列也“｝是等比数列，若为+4+6=5九,

4乙%=36,则tang^=（）

-1-她

A.GB.-A/3C.—D.--

33

5、在△ABC中AHAC=4,怛。|=2,且点。满足8r>=ZX7,则卜回=（）

A.V5B.V6C.#>D._

2

6、已知sinasin(W-a)=3cosasin(a+£),贝(Jcos2a+g)=()

V3i6

A.----B.-lC.-D.—

222

7、已知动直线/的方程为(1-〃卜+2缈-3/—3=0,aeR,尸(百,1),。为坐标原

点，过点。作直线/的垂线，垂足为Q,则线段PQ长度的取值范围为()

A.(O,5]B,[l,5]C.[5,-H»)D.(O,3]

MAMA

8、已知函数〃x)及其导函数/'(x)定义域均为R,满足/-+x=2%,

127127

记，其导函数为g'(x),且g'(3-X)的图象关于原点对称，则g'(9)+g倍]=()

A.OB.3C.4D.1

二、多项选择题

9、以下说法正确的有()

A.某医院住院的8位新冠患者的潜伏天数分别为10,3,8,3,2,18,7,4,则该样

本数据的第50百分位数为5.5

B.经验回归直线y=bx+a至少经过样本点数据中的一个点

C.若P(8|A)=0.3,P(B)=0.3,则事件A,B相互独立

D.若随机变量J~,则尸信=k)取最大值的必要条件是左=10

\2)

10、已知函数/(x)=sin(azr+e)(其中①〉0,冏<],T为/(x)图象的最小正周

期，满足/倍)=且/(x)在(0,兀)恰有两个极值点，则有()

I①J\5J

A.0=」

6

B.函数y=/尤+二]为奇函数

k3①J

/Q

D.若刃eN*,则直线-为图象的一条切线

11、已知在棱长为2的正方体ABCD-ABGA中，过棱8C,C。的中点E,F作正方

体的截面多边形，则下列说法正确的有（）

A.截面多边形可能是五边形

B.若截面与直线AC1垂直，则该截而多边形为正六边形

C.若截面过4用的中点，则该截面不可能与直线4。平行

D.若截面过点A,则该截面多边形的面积为啰

0

12、已知抛物线f=2py（p>0）的焦点为F,过点厂的直线/与抛物线交于A,B两

点，与其准线交于点。，/为的中点，且|A同=3,点”是抛物线上8A间不同于

其顶点的任意一点，抛物线的准线与y轴交于点M抛物线在A,8两点处的切线交于

点T,则下列说法正确的有（）

（3、

.抛物线焦点口的坐标为

AI0,2-J

「33、

B.过点N作抛物线的切线，则切点坐标为±亍1

\24J

C.在△FMN中，若“肱V|=|MF|,reR,贝h的最小值为己-

D.若抛物线在点M处的切线分别交8T,AT于"，G两点，则忸叫・|G4|="7卡©

三、填空题

13、在某项测量中，其测量结果J服从正态分布N（3e）（b>0）,且尸偌>4）=（，则

尸偌>2）=.

14、若+的展开式中常数项为160,则/+〃的最小值为.

15、已知函数〃x）=log“x-（而）'-k）g〃2（a>l）有两个零点，则实数a的取值范围为

16、已知X为包含v个元素的集合（veN*,丫23）.设A为由X的一些三元子集（含

有三个，元素的子集)组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包

含在唯一的一个三元子集中，则称(X,A)组成一个V阶的Steiner三元系.若(X,A)为一

个7阶的Steiner三元系，则集合A中元素的个数为.

四、解答题

17、设数列也｝前〃项和S“满足s"+””=『L’

n~+n

(1)证明：数列［s,一一二］为等比数列；

I"+1J

(2)记］=—求数列〃氏一^的前“项和

bn〃+1电-1电+「中

18、如图，在三棱柱A8C-ABC中,AC3,AB=1,E,b分别为&C,阴的

中点，且EF_L平面AAG。.

(1)求棱的长度；

5

(2)若且△AFC的面积S»FC=半，求二面角尸-。的正弦值.

19、在△ABC中，D为边BC上一点、,ZBAD=90。，NB=/DAC,UBD^IAC.

(1)求tan25；

(2)若AB=7,求△ABC内切圆的半径.

20、高性能计算芯片是一切人工智能的基础.国内某企业已快速启动AI芯片试生产，

试产期需进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测.智能检测在生产线上自动完

成，包括安全检测、蓄能检测、性能检测等三项指标，且智能检测三项指标达标的概

率分别为丝，空，色，人工检测仅对智能检测达标(即三项指标均达标)的产品

504948

进行抽样检测，且仅设置一个综合指标.人工检测综合指标不达标的概率为

p(O<p<l).

(1)求每个AI芯片智能检测不达标的概率；

(2)人工检测抽检50个AI芯片，记恰有1个不达标的概率为/(p),当〃=。()时，

/(p)取得最大值，求Po；

(3)若AI芯片的合格率不超过93%,则需对生产工序进行改良.以(2)中确定的区

作为P的值，试判断该企业是否需对生产工序进行改良.

v-22

21、已知双曲线C：/-g=l(a>0,方>0)的离心率为△，过点£(1,0)的直线/与C

左右两支分别交于M,N两个不同的点(异于顶点).

(1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积(。为坐标原点)；

(2)若A,B为双曲线的左右顶点，且出口=4,试判断直线AN与直线的交点G

是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由

22、已知函数〃x)=(cosx—l)eT,g(x)=ax2+(1-ev)x(ae/?).

(1)当xe(0,7t)时，求函数/(x)的最小值；

(2)当XWLR+8〕时，不等式绰恒成立，求实数a的取值范围.

2)e'

参考答案

1、答案：B

解析：由题设厂、」+^i=cos'+isin工,

1-后（1-"V3ii）f（l+"V3i）2233

，故A、C、D错误；

fFucos^-^+isin^-^^=cosy+isin^-,故B正确.

故选：B.

2、答案：D

解析：由已知得集合M表示的区间为（0,3）,集合N表示的区间为（0,16）,则

M@N）=。,N虱"）=[3,16）,知_风必=[-1,3）」16,20）,所以

N_（aM=[-i,2o]=j

故选:D.

3、答案：B

解析：由题意得：

一个周期T内，东西方向路口等待红灯的车辆数为H,等待开红灯的时间为R,

则一个周期T内，东西方向路口等待时间的总和为HR,

又交通信号灯红绿交替变换时间周期为T,

所以一个周期T内，南北方向路口等待开红灯的时间为T-R,

又一个周期T内，南北方向路口等待红灯的车辆数为V

则一个周期T内，南北方向路口等待时间的总和为V（T-R）,

一个周期T内，到达该路口的车辆等待时间的总和S=〃R+V（T-R）,

故选：B.

4、答案：A

解析：由%=3%=5兀，故q，则4+4=4+/，b»4b（,=忧=36,

故勿=百，则仇％=3,

所以tan+%=tanf--=-tan--^3.故选：A.

1-地I3）3

5、答案：A

解析：根据题意可知。为中点,

A

___I,,1/,2..「2

.-.IAD\2=-(AB+AC)2=-\AB+2AB-AC+AC

44\

,22*..2

又BC=(AC-AB)2=AC-2ACAB+AB'=4

=4+2ACA3=

AO『=；x(12+8)=5,故M=6

故选:A.

6、答案：C

71\"1{/71\./71X

解析：sinasin——a=sinasin——a+—=sinacosa+—=3coscrsina+一

U)[2I6〃k6J\6J

所以tana=3tan(0+聿)，则

71

tancir+tan—与，仄

~63tana+，3

tana=3x--------------=------=------

i兀A/3

1-tantztan-1-^tana

63

y/3,故tan(£+二]=一迫，由

所以tan%4-2V3tancr+3=0,贝!Jtana=-

I6)3

2(兀1.2/兀)_in2dl

/、cosa+一—sm~a+一

2乃、I6j16

cos2a+—=----5-----公-----5-----

，"cos2fj+sin2f)E")2

故选:C.

7、答案：B

解析：解：由（1一片卜+2〃丁—3/_3=0可得

1-a22aC

-------xH-----------y-3=0

1+a21+Q

令a=tan，由万能公式可得

2

,e.2o,+20

cos——sin--1-tan12

cos8=22__2_l-a

"—.e.0~\+0\+cT

cos—+sm~2一1+tan2—

222

2sin—cos—2tan—

sin”一户3二一与Tn

cos2-+sin2-1+tan2-l+a~

222

所以直线/的方程为cosS+ysinS—3=0①，

由题意可知过原点与直线I垂直的直线方程为xsine-ycos6=0②，

①2+②2

可得V+y2=9,即表示

点Q的轨迹为圆心为（0,0）半径为3的圆，

于是线段PQ长度的取值范围为P-POj+PO],

因为|PO|=2,

所以线段P。长度的取值范围为[1,5].

故选:B.

8、答案：D

解析：由g'（3-x）关于原点对称，则g（3-x）关所以g（x）关于x=3对称，g'（x）关

于（3,0）对称，且g'⑶=0,

又可|+少《|一十2,即

g[+x）+g（|-d=2,则g（x）关于（|,1）

对称，综上，g（6-x）=g（x）,g（3-x）+g（x）=2

,则g（6-x）+g（3-x）=2,

所以g0—|)+g(3一|)=gC)+g(|)=2,而g《)=l,故g]m=l,

a

又g'(x)-g'(3-x)=0,则g'(x)关于x=5对称，即g[3-x)=g，(x),

所以g'(x)=-g'(x+3),则g'(9)=-g'(6)=g<3)=0,

所以g'（9）+g6）=L

故选D

9、答案：AC

解析：对于A,数列从小到大为2,3,3,4,7,8,10,18,则8x50%=4,故第50百分位数为

土吆=5.5,故A正确；

2

对于B,回归直线不一定过样本点，但必过样本中心，故B错误;

对于C由尸（AB）=P（3|A）P（A）,则

P(AB)P（AB）P（B）

P(A)=，故P（4）P（B）=P(AB)

P(B\A)P（6|A）

所以事件A,B相互独立,故C正确;

对于D,由p（“左）=c[g）（i-；），要使尸心=&）取最大值，

只需＜4取最大，显然当左=10或11时以最大，故％=10是P（J=攵）取最大的充分

条件，故D错误.

故选:AC.

10、答案:BCD

解析：因为巴）=T="，所以sin（兀+Q）=sin+8）,

则兀+9=弓+9+2也（不符题意，舍去）

或兀+9+—+(p=2kn+—

3I2

故夕=1，而Ml＜《，则夕=一],故A错误;

y=+=sin(ox),而sin(-5)+sin(s)=0,所以是奇函数,故B正确；

由/(x)=sin,x-]J在(0,兀)恰有两个极值点，根据正弦函数的图象及性质可得

3兀兀，5兀11/17L.七次

—<con——<—n—<CD<—，4故4rC正确；

23266

当啰EN”时，由上可得啰=2,即

/(x)=sin(2x-1),则

尸(x)=2cos(2x—方)

当x=0时，/1'(0)=1,/(。卜-¥，则y=x-#是/(x)=sin(2x-1)的一条切线,

故D正确.

故选:BCD.

11、答案：ABD

解析：对于B项，如下图所示，在正方体中易证&GL面\BD,

分别取棱AA，A4，的中点G、〃、J,

由中位线的性质可得平面A\BDH平面EFGHIJ,故AQ，面EFGHIJ,

而六边形EFGHIJ显然为正六边形,故B正确；

对于C项，如下图所示，连接AGBD交于。点,

记面A?和面Ag的中心分别为G、H,易知G、H、E、尸共面(即符合要求的截面).

连接A0,CO交GH,EF于N,M两点，由中位线性质可得N、M为A0,C0的中点，

故ACHMN,所以4。/面GHEF,所以C项错误；

对于AD项,如下图所示,延长Eb分别与直线A

B、AD交于P、。两点，连接4P，4Q交棱£>Q、80于TS,

则五边形A,SEFT为所得截面,A正确；

故D正确.

6

故选：ABD

12、答案：BCD

解析：

13、答案：-

5

解析：由题设，P(J>2)=；+P(2<J<3),而Pe>4)=g—尸(3<4<4)=；,

3

又尸(2<』<3)=尸(3<J<4),故P(2<J<3)=—

所以PC>2)='+3=±

2105

故答案为：-

5

14、答案：4

解析：（67X--V的展开式中通项公式为配产q.卢”

IX）

令6-2r=0,求得厂=3,

可得展开式的常数项为7；=C：♦/万=20Y0

再根据展开式中的常数项为-160,可得-20/方=—160

所以=8,所以质=2,

所以/+/22"=4,当且仅当。=〃=2时，取等号.

故答案为：4.

15、答案：leave）

解析：由题设（x）=log“]-a方，令f=|■，则y=log“f与y=储在fw（0,+oo）上有两个

交点，则y=loguz,y=储交点都在y=/上，它们互为反函数

设y=】og/，）="与y=f相切，y'=-----，y'=a'\na

tlna

若切点为（加,加），m>0,

所以<嬴"="=可得加=e，此时

m

0-logrtm

11

综上，y=log.t,y="之间,在1vQ<守时有两个交点,在。二e"时有一个交点,在

Q>ee时无交点，

所以1<a<ee.

故答案为：l,e）.

16、答案：7

解析：由题设,令集合％={4,。,。,〃,7/，8},共7个元素，

所以X的三元子集，如下共35个：

{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},[a,b,f},{a,b,g},{a,c,d},

{a,c,e\,{a,c,f},{a,c,g\,{a,d,e},{a,d,f},{a,d,g},

{a,e,f},{a,e,g},{a,f,g},{b,c,d},{b,c,e},{b,c,f},

{b,c,g},{b,d,e},{b,d,f},{b,d,g},{b,e,f},{b,e,g},

抄，/，g}，{c,d,e\,{c,d,f},{c,d,g},{c,e,f},{c,e,g},

{d,e,f},{d,e,g},{d,f,g},[e,f,g]

因为A中集合满足X中的任意两个不同的元素，

都恰好同时包含在唯一的一个三元子集,所以A中元素满足:

{a,b,c},{a,d,e},{a，fg}，{b,e,g},{c,d,g},{c,e,7},共7个;

{a,b,c\,{a,d,f},{a,e,g},{b,d,e},{b,f,g},{c,d,g},{c,ej},共7个;

{a,b,c},{a,d,g),{b,d,e},{b,f,g},[c,d,f},{c,e,g},共7个;

{a,b,d}»(a,c,e],{a，/，g}，{b,c,f},{b,e,g},[c,d,g],{d,ej},共7个;

{a,b,d},{a,c,g},{a,e,f},\b,c,e\,{b,f,g},{c,d,f],{d,e,g},共7个;

[a,b,d],[a,c,f],{a，e,g}，{b,c,e},{b,f,g},{c,d,g},{d,e,7},共7个;

{a,b,e],[a,c,d],{a，£g}，{b,c,f},{b,d,g},{c,e,g],{d,e,/},共7个;

{a,h,e},{a,c,f},{a,d,g},{b,c,d),{bj，g}，{c,e,g},{d,ej},共7个;

{a,b,e},{a,c,g},{a,d,/},{b,c,d},物",g}，{c,e,f},{d,e,g},共7个;

{a,b,f},{a,c,d],{a,e,g},{b,c,e\,{b,d,g},{c,f,g},{d,e,7},共7个;

{a,b,f},{a,c,g}，[a,d,e],{b,c,d},\b,e,g},{c,e,f],{dj,g},共7个;

{a，)，g}，{a,c,d},{a,e,f},{b,c,e},{b,d,f},{c,/,g},{d,e,g},共7个；

{a,b,g},{a,c,e},{a,d,f},,{b,c,d},{b,e,f},{cj,g},{d,e,g},共7个;

{a，"g}，{a,d,e},{b,c,d},{b,e,f},{c,e,g},{d,/,g}共7个；

共有15种满足要求的集合A,都只有7个元素.

故答案为:7.

17、答案：(1)见解析

(2)1——?—

2,,+,-1

解析：(1)S,,+q="，且为=S“_S,i(〃22),

n+n

2

2S—,i

n+ln

1、=S.T_(心2)

•••2S「

n+1)

S.i

------^-=p-=—(n>2)，令〃=1,可得$二。,

S，2

n

所以数列卜「马是首项为T公比柘的等比数列.

(2)由(1)可得S———

"H+1

1(c1)1

",——b„=­(S"----〃--+---"=—2"

.•也=2"

.一一2"

(--1)(%-1)(2n-l)(2n+1-l)

11

++-------------;----1------:----

(2"-12n+l-lJ2,,+|-1

18、答案：(1)5C=AB=1

⑵乎

解析：（1）取AC中点O,连接EQ,BD,

ABC-A4cl为三棱柱，

DE〃BF且DE=BF,

：.四边形DEFB为平行四边形，

EF//DB

又即1平面M1平面A4,CC,

DB1AC,

又。为AC的中点，

.•.△ABC为等腰三角形，

BC=AB=\

（2）由（1）知，AB2+BC--AC2,

AB±BC,

EF=DB膜,且A416G

且E/IAC,

・•.S”c=gAC.EF=；ACx与=与,

4c=2,

由（1）知08_L平面441clC,

DBLAA.,又三棱柱中A41〃B4，

...DB1BB]

又所以ABDB=B,

BB[1平面ABC,

BB11平面4B£,所以ABC-为直三棱柱，

「.△AA。为直角三角形，可求得/*=近，

又在三棱柱ABC—AB£中，AB1BC,

AB〕_LBQ

以B1为坐标原点，向量4c,4A，方向为X轴，y轴，Z轴正方向建立空间直角

坐标系4一砂,4(0,0,0),4(。,1,0),q(1,0,0),c(i,o,@,5(0,0,旬,

F0,0,一，

I2J

(0

所以4尸=0,-1,—,AC=(L-1,3)，

\7

设平面AFC的一个法向量为4=(x,y,z),则

勺A^F=0-y+——z=o„

2,取勺

拉]•A^C-0x-y+y/2z=0

易知平面BM尸的一个法向量为%=(1,0,0),

设二面角4-4F-C的平面角为。,

sin6=——.

2

19、答案：（1）三74

（2）2

解析：（1）设NB=/O4C=a,

...ZADC=90°+a,NC=90°-2a,

AnAT

在△ADC中，由正弦定理可得,及、=二力一；，

sin(90-2«)sin(90+a)

在△ABD中，AD=BDsina,5LAC^—BD»

7

n

Dr..BD

所以8°sina=j,

cos2acosa

.12

…sinacosa=—cos2a，

7

・1c12c

••一sin2a=—cos2a，

27

c24

.•tan2a=——・

7

c2tana24

(，)tan2a—----；—=—，

1-tarra7

(3tana+4)(4tana-3)=0,

又易知a为锐角，

.’3

一tana——y

4

..34

-sina=—，cosa--»

55

AB=7,

BD=—,

4

.•.△ABD中，AC=15,

3

又cosNBAC=cos(90。+a)=—sina=——，

在△ABC中，

由余弦定理可得，BC2=AB2+AC2-2AB-ACcosABAC=400

BC=2().

设△ABO的内切圆半径为r,则

S△ABC=；ABACsinNBAC=；(A5+AC+BC)r，

则r=2

3

20、答案:⑴否

（2）需要对生产工序进行改良

解析：（1）记事件A="每个4芯片智能检测不达标”，则

4948473

P（A）=1一产⑷____x__x__=___

504948-50

(2)由题意/(p)=C；oP(l—p)49,

.­.f'(P)=5()[。一p)49+px49(1-x(-1)]

=50(1-/?)48(1-50/7)

令/'(p)=0,则1

50

当。＜专，尸（〃）＞°'

当p£，/'（p）＜。，

所以〃P）的最大值点外=一

记事件8="人工检测达标“，则

-=—»又P（M=1-」=也

\1'5050、）5050

所以-B）=P（A）P（同可=±x4=92.12%＜93%，

所以需要对生产工序进行改良.

21、答案：（1）AMN%=W=1

a

（2）存在定直线x=4,使直线AN与直线的交点G在定直线上

解析：（1）由题意得卜=5=8,所以。=》，

\c2^a2+b2

设N（积％），P（如为），则

22

Mb2

2?

22

、ab

22

作差得江必hx}+x2_hx0

-2——2.

%一々aM+%ay0

又MN的斜率如=上二匹=4•血，*=为，

司一%2矿为%

b2

所以=1