吉林汪清县2022年高考数学五模试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设a为锐角，若cos[a+（）=3

-,贝（jsin2。的值为（)

17717

B.------D

252525-

1

2.已知集合A={x|1<XW24},8==则GB=（）

yj-+6x—5

A.{x|x>5)B.{尢15Vx<24}

C.或工之5}.{x|5<x<24}

3.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何

体的体积为

A.72B.64C.48D.32

47r

4.如图，用一边长为正的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为-1的鸡蛋（视

为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（）

V2R百亚+1口省+1

15.------

22,2

5.在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工

作，则不同的选法共有（）

A.60种B.70种C.75种D.150种

6.某几何体的三视图如图所示（单位：c/n）,则该几何体的表面积是（）

A.Scm2B.12cm2C.（4>/5+2）cm2D.（4有+4卜病

7.如图，在矩形。43。中的曲线分别是丁=4皿，y=co4的一部分，C（0,l）,在矩形0A3C内随机

取一点，若此点取自阴影部分的概率为《，取自非阴影部分的概率为鸟，则（）

A.[<鸟B.Pt>P2C.[=£D.大小关系不能确定

8.△AbC是边长为2G的等边三角形，E、尸分别为AB、AC的中点，沿旅把石尸折起，使点A翻折到点P

的位置，连接心、PC,当四棱锥P-3CEE的外接球的表面积最小时，四棱锥尸-5CEE的体积为（）

A56R373（、底n376

A.------B・------C・D.-------

4444

9.已知函数=若关于X的不等式[/（力了+4（力<0恰有1个整数解，则实数4的最大值

为（）

A.2B.3C.5D.8

10.一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（）

2

A.16B.12C.8D.6

11.如图，长方体ABC。一A4G2中，2A5=3A4]=6,Q=2的,点了在棱A4上，若7PJ_平面PBC,则

uuuuu

TP・B、B=()

A.1B.-1C.2D・-2

12.曲线>=；13+21111上任意一点处的切线斜率的最小值为（）

3

A.3B.2C.-D.1

2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知数列｛afl｝满足川=3a.，且&+&+4=9,则地+%+%）=.

x>1,

14.若变量X,y满足约束条件yNx,则Z=2x+），的最大值是.

3x+2y<15,

15.。尤2+?=）的展开式中二项式系数最大的项的系数为（用数字作答）.

16.在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人.在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并

且恰有其中的1名患者治愈出院.如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出

院患者的人数为,第天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知函数/（x）=logi（2蛆2-3X+8〃Z）.

4

（I）当机=1时，求函数/（X）在己,2]上的值域；

2

（H）若函数/（x）在（4,+8）上单调递减，求实数加的取值范围.

18.（12分）如图，在三棱锥P—A8C中，平面Q4C_L平面ABC,AB=BC,PALPC.点E,F,。分别为线

段PA，PB,AC的中点，点G是线段CO的中点.

(1)求证：平面EBO.

(2)判断FG与平面良。的位置关系，并证明.

19.(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知平行于x轴的动直线/交抛物线C：y2=4x于点P,点尸为C的焦点.圆

心不在y轴上的圆M与直线/,PF,x轴都相切，设M的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；

(2)若直线4与曲线E相切于点。(SJ),过。且垂直于4的直线为4,直线4，分别与y轴相交于点A,B.当线

段A3的长度最小时，求s的值.

20.(12分)电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性

有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.

(1)根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?

非体育迷体育迷合计

男

女1055

合计

(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3

次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差

D(X).

n^ad-bcy

(a+b)(c+d)(a+c)p+d)

0.050.01

k3.8416.635

21.(12分)已知/(x)=|x+l|+|x+3].

(1)解不等式/(x)<6；

(2)若。，"c均为正数，且/(a)+/(0)+c=10,求的最小值.

22.(10分)已知函数g(x)=lnx-如'-1.

(1)讨论g(x)的单调性；

(2)若函数/(x)=xg(x)在(0,+8)上存在两个极值点芭，x2,且不<电，证明lnX[+111%2>2.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

用诱导公式和二倍角公式计算.

【详解】

JTJTJT3J

sin2a=-cos(2a+—)=-cos2(a+—)=-[2cos2(<z+—)-l]=-[2x(—)2—1]--.

244525

故选：D.

【点睛】

本题考查诱导公式、余弦的二倍角公式，解题关键是找出已知角和未知角之间的联系.

2.D

【解析】

首先求出集合3,再根据补集的定义计算可得;

【详解】

M：V-X2+6%-5>0>解得1<X<5

/.B={%11<x<5},6AB=(x15<x<24).

故选：D

【点睛】

本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.

3.B

【解析】

由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4,高为3的正四棱

锥，利用体积公式，即可求解。

【详解】

由题意，几何体的三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4,

高为3的正四棱锥，

所以几何体的体积为V=%—%=4x4x5—gx4x4x3=64,故选B。

【点睛】

本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间

几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。求解以三视图为载体的空间几何体的表面

积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解。

4.D

【解析】

先求出球心到四个支点所在球的小圆的距离，再加上侧面三角形的高，即可求解.

【详解】

设四个支点所在球的小圆的圆心为。'，球心为。，

由题意，球的体积为上，即一万R2=/可得球。的半径为1,

333

又由边长为友的正方形硬纸，可得圆。'的半径为:，

又由。'到底面的距离即为侧面三角形的高，其中高为

2

所以球心到底面的距离为^-+-=史上1.

222

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及球的性质的综合应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力,

属于基础题.

5.C

【解析】

根据题意，分别计算“从6名男干部中选出2名男干部”和“从5名女干部中选出1名女干部”的取法数，由分步计数原

理计算可得答案.

【详解】

解：根据题意，从6名男干部中选出2名男干部，有C；=15种取法，

从5名女干部中选出1名女干部，有C：=5种取法，

则有15*5=75种不同的选法；

故选：C.

【点睛】

本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理问题，属于基础题.

6.D

【解析】

根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积.

【详解】

根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为2x2=4.侧面的高为/?方=石，所以侧面积为

4xgx2x6=4石.所以该几何体的表面积是（46+4卜病.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题.

7.B

【解析】

先用定积分求得阴影部分一半的面积，再根据几何概型概率公式可求得.

【详解】

根据题意，阴影部分的面积的一半为：(cosx-sinx)dx=yp2—1>

>/2-1/f—\

于是此点取自阴影部分的概率为D_。_4^2-1)4(1.4-1)_1.

r,—2x----=------->-------=-

2713.22

又故6>£.

故选B.

【点睛】

本题考查了几何概型，定积分的计算以及几何意义，属于中档题.

8.D

【解析】

首先由题意得，当梯形8CEE的外接圆圆心为四棱锥P-3CEE的外接球球心时，外接球的半径最小，通过图形发现,

的中点即为梯形BCEE的外接圆圆心，也即四棱锥P-3CEE的外接球球心，则可得到P0=0C=6,进而可

根据四棱锥的体积公式求出体积.

【详解】

如图，四边形8CEE为等腰梯形，则其必有外接圆，设。为梯形3CEE的外接圆圆心，

当。也为四棱锥P-5CEE的外接球球心时，外接球的半径最小，也就使得外接球的表面积最小，过A作8C的垂线

交8C于点M,交EF于点N,连接PM,PN,点。必在AM上,

E、厂分别为AB、AC的中点，则必有AN=PN=MN,

ZAPM=90.即△ADW为直角三角形.

对于等腰梯形8CEE,如图:

因为△ABC是等边三角形，E、F、”分别为AB、AC.BC的中点,

必有MB=MC=MF=ME,

所以点“为等腰梯形5CEE的外接圆圆心，即点。与点加重合，如图

112

'1-P。=0C=~BC=y/3,PA--JAO—PO-\/3—3=瓜，

所以四棱锥P-BCEE底面BCFE的高为丝丝=®巫=五,

AM3

,,_1c,13,_I31o0后_3近

VP_BCFE=-3X43X4X2X2^3X3><^2~~4~~

故选：D.

【点睛】

本题考查四棱锥的外接球及体积问题，关键是要找到外接球球心的位置，这个是一个难点，考查了学生空间想象能力

和分析能力，是一道难度较大的题目.

9.D

【解析】

画出函数/（X）的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出.

【详解】

解：函数/（X）,如图所示

[/(")丁+4(力<0=/(月(/(耳+Q)<0

当〃>0时，一々</(%)<0,

由于关于X的不等式[/(x)了+4(x)<0恰有1个整数解

因此其整数解为3,又/(3)=—9+6=—3

**•—a<—3<0>_a>/(4)——8,则3<aW8

当a=0时，[/(x)]<0,则a=0不满足题意；

当a<0时，0</(x)V-CI

当0<-aWl时，0</(x)<—a,没有整数解

当一。>1时，0<./•(£)<—。，至少有两个整数解

综上，实数。的最大值为8

故选：D

【点睛】

本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围，属于较难题.

10.B

【解析】

根据正三棱柱的主视图，以及长度，可知该几何体的底面正三角形的边长，然后根据矩形的面积公式，可得结果.

【详解】

由题可知：该几何体的底面正三角形的边长为2

所以该正三棱柱的三个侧面均为边长为2的正方形，

所以该正三棱柱的侧面积为3x2x2=12

故选：B

【点睛】

本题考查正三棱柱侧面积的计算以及三视图的认识，关键在于求得底面正三角形的边长，掌握一些常见的几何体的三

视图，比如：三棱锥，圆锥，圆柱等，属基础题.

11.D

【解析】

根据线面垂直的性质，可知7P，必；结合卒=2两即可证明△夕小三儿8尸为，进而求得贻.由线段关系及平

UUUUU

面向量数量积定义即可求得7尸・4从

【详解】

长方体A3CD—A4G0中，2A6=3A4]=6,

点7在棱A4上，若7P_L平面P8C.

则7P_LP3，庭=2月瓦

则ZPTAi=NBPB],所以APL41=\BPB{,

贝iJ7Xi=P%=1,

uirumruiruuur

所以TPB、B=TP-B]BcosNPTA

=VF+FX2X-=-2,

故选：D.

【点睛】

本题考查了直线与平面垂直的性质应用，平面向量数量积的运算，属于基础题.

12.A

【解析】

根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率左23,即可得出答案.

【详解】

13

解：由于y=§d+2inx,根据导数的几何意义得:

k-/f(x)=x2+—=x2+—+—>3^lx2•—­—=3(x>0),

即切线斜率左23,

当且仅当X=1等号成立，

13

所以y=］尤3+2inx上任意一点处的切线斜率的最小值为3.

故选：A.

【点睛】

本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.-5

【解析】

数列｛qJ满足4用=知，数列以3为公比的等比数列，再由已知结合等比数列的性质求得kg+%+%)的值即

可.

【详解】

,­•«„+1=3%,

■■数列｛q,｝是以3为公比的等比数列,

又“2+%+/=9,

%+%+偈=9*3*=3,,

log,(as+%+%)=-log§=-5

3

故答案为：-5.

【点睛】

本题考查了等比数列定义，考查了对数的运算性质，考查了等比数列的通项公式，是中档题.

14.9

【解析】

做出满足条件的可行域，根据图形，即可求出z=2x+y的最大值.

【详解】

做出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，

目标函数z=2x+)，过点A时取得最大值，

y=xx=3

联立，解得,即A(3,3),

3x+2y=15y=3

所以z=2x+)，最大值为9.

故答案为9

【点睛】

本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.

15.5670

【解析】

根据二项式展开的通项，可得二项式系数的最大项，可求得其系数.

【详解】

二项展开式一共有9项，所以由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第5项，系数为C：3,=567().

故答案为：5670

【点睛】

本题考查了二项式定理展开式的应用，由通项公式求二项式系数，属于中档题.

16.161

【解析】

由题意可知出院人数构成一个首项为1,公比为2的等比数列，由此可求结果.

【详解】

某医院一次性收治患者127人.

第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.

且从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，

二从第15天开始，每天出院人数构成以1为首项，2为公比的等比数列，

则第19天治愈出院患者的人数为%=1x24=16,

解得〃=7,

第7+15-1=21天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.

故答案为：16,1.

【点睛】

本题主要考查了等比数列在实际问题中的应用，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中

档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

-55~|「3、

17.(I)log,10,10g,—(II)—,+oc

_448」L1。)

【解析】

(I)把僧=1代入，可得/(为=1呜(2/-31+8),令y=2/_3x+8,求出其在22］上的值域，利用对数函

22

数的单调性即可求解.

(II)根据对数函数的单调性可得8。)=2/虹2-3》+8加在(4,+8)上单调递增，再利用二次函数的图像与性质可得

m>0,

3

-^<4,解不等式组即可求解.

4m

、g(4)20,

【详解】

(I)当机=1时，/(x)Tog|(2/—3x+8),

2

此时函数/(X)的定义域为；,2.

因为函数y=2/-3x+8的最小值为.2x8-3-=55.

88

最大值为2x22-3x2+8=10,故函数为")在1,2上的值域为log,10,log,；

8

L2」L44.

(n)因为函数y=i°gi-在(o,+8)上单调递减，

4

m>0,

X

故g(x)=2，九/一3x+8加在(4,+oo)上单调递增，贝।卜

4m

g(4)>0,

33、

解得团2元，综上所述，实数机的取值范围—,+=o|.

【点睛】

本题主要考查了利用对数函数的单调性求值域、利用对数型函数的单调区间求参数的取值范围以及二次函数的图像与

性质，属于中档题.

18.(1)见解析(2)EG//平面EB0.见解析

【解析】

(D要证24_1平面EB。，只需证明3O_LB4,OE1PA,即可求得答案；

(2)连接AE交座于点。，连接Q。，根据已知条件求证尸G//QO,即可判断FG与平面E80的位置关系，进

而求得答案.

【详解】

(1)

P

VAB=BC,。为边AC的中点，

BO1AC,

•.・平面PACJ■平面ABC,平面R4Cn平面ABC=AC,BOu平面ABC,

30,平面PAC,

BOIPA,

••・在A/HC内，。，E为所在边的中点，

OE//PC,

又：PALPC,OELPA,

7%_1_平面£8。.

(2)判断可知，FG//平面EBO,

证明如下：

连接AE交况于点Q,连接Q。.

.•E、F、。分别为边Q4、PB、AC的中点，

.A0

••------Z.

0G

又：。是AE4B的重心，

.超=2=也

"QF0G'

FGHQO,

•••FGtz平面EBO,Q。u平面EBO,

•••尸6//平面仍0.

【点睛】

本题主要考查了求证线面垂直和线面平行，解题关键是掌握线面垂直判定定理和线面平行判断定理，考查了分析能力

和空间想象能力，属于中档题.

19.(1)y2=x-1,(尸。)(2)19+".

24

【解析】

⑴根据题意设可得PF的方程2〃(x—1)=0,根据距离即可求出；

(2)点。处的切线4的斜率存在，由对称性不妨设。>0,根据导数的几何意义和斜率公式，求并构造函数，利

用导数求出函数的最值.

【详解】

(1)因为抛物线C的方程为y2=4x,所以厂的坐标为(1,0),

设因为圆"与X轴、直线/都相切，/平行于X轴，

所以圆M的半径为时，点P(〃2,2〃)，

则直线PF的方程为，=二^,即2〃(x—1)-y-1)=0,

|2n(zn-l)-n(n2—1)1

所以।<4=同,又如〃

7(2H)2+(H2-1)2

所以|2加一"2-="2+],即〃2_加+[=0,

所以E的方程为y2=x—],(>H0),

(2)设。(产+1J),4(0,yj,8(0,%)，

由(1)知，点。处的切线4的斜率存在，由对称性不妨设r>o,

由,'=）k,所以,脑=t八-y1=赤二1r五1'％=t—gv=一2历rr-口----=-一2，,

所以乂=；一5,%=2/+小，

..,t1R51

所以A3=2t+3r--+—=2r+—r+—,t>0.

1122t22t

令/（，）=2/+|7+],，>o,

51⑵4+5/_l

则/⑺=6产-I-------------

22t2~2F~

由广⑺>0得二5;心,由广⑺<0得o<7二？

所以打。在区间0,广；尸单调递减，在『5；产收单调递增，

k/\?

所以当r=咨时，/⑺取得极小值也是最小值，即48取得最小值

必12,19+V73

此时s=厂+1=--------.

24

【点睛】

本题考查了直线和抛物线的位置关系，以及利用导数求函数最值的关系，考查了运算能力和转化能力，属于难题.

39

20.(1)无关；⑵：，—.

416

【解析】

(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而可得列联表如下：

非体育迷体育迷合计

男301545

女451055

合计7525100

将22列联表中的数据代入公式计算，得

nfnuna-nnnP100x(30x10-45x15)*100…

-------------l2-----=-----------------；-----=—*3.03

叫+mn.m.275x25x45x5533

因为3.0300.841,所以我们没有充分理由认为“体育迷”与性别有关.

(2)由频率分布直方图知抽至IJ“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率会由题意

知X〜B(3,J),从而X的分布列为

4

X0123

P

39

E(X)=np=—=.D(X)=np(1—p)=——

416

21.(1)(一5,1)；(2)—

【解析】

(1)利用零点分段讨论法可求不等式的解.

(2)利用柯西不等式可求/+O2+C2的最小值.

【详解】

2x+4,x>-1

(1)/(x)=<2,-3<x<-l,

—2x—4,x<一3

x>-l-3<x<-lfx<-3

由/(x)<6得.或'或〈，

2x+4<62<61-2冗-4<6

解得

(2)”a)+/(0)+c=(2«+4)+(2Z?+4)+c=10,

所以2z+20+c=2,

由柯西不等式+ag)仅；+与+与)2(以］a+)得:

(a2+/+°2)Q2+2z+昨(2〃+2b+C)2

所以9(〃+/72+,2)2(24+26+(?)2=4,

44

即6+廿+^^?(当且仅当。=/,=20=—时取“=”).

9