2024届新高考数学“8+4+4”小题期末狂练（13）解析版

2024届高三“8+4+4”小题期末冲刺练（13）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z满足，则（）A.i B. C. D.1【答案】A【解析】由已知，所以.故选：A.2.已知集合，集合，则（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，，因此，.故选：B.3.江南的周庄、同里、甪直、西塘、鸟镇、南浔古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外.这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处.某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则只选一个苏州古镇的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】从这6个古镇中挑选2个去旅游可能情况有种情况，只选一个苏州古镇的概率为．故选：B4.条件，，则的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】若，使得，则，可得，则，因为函数在上单调递减，在上单调递增，且，故当时，，即，所以，的一个必要不充分条件是.故选：A.5.若，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，因为，，又，所以，故，故，，故选：D6.函数在区间上所有零点的和等于（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】因为，令，则，则函数的零点就是函数的图象和函数的图象在交点的横坐标，可得和的函数图象都关于直线对称，则交点也关于直线对称，画出两个函数的图象，如图所示.观察图象可知，函数的图象和函数的图象在上有8个交点，即有8个零点，且关于直线对称，故所有零点的和为.故选：D7.已知函数在区间为上存在零点，则的最小值（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】设在区间上的零点，则有，可看作直线上一点与原点的距离平方，易知原点到直线的距离，因为，当时取得等号，显然，即C项正确.故选：C8.已知圆锥的顶点为，母线长为2，底面半径为，点在底面圆周上，当四棱锥体积最大时，A B. C. D.【答案】C【解析】设圆锥的高为，相交于点，，则，，，当且仅当，时，取得最大值，则令，则，令，解得所以在上单调递减，在上单调递增所以，则四棱锥的体积的最大值为，所以当四棱锥体积最大时，.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9.某人记录了自己一周内每天的运动时长（单位：分钟）：.若这组数据的第40百分位数与第20百分位数的差为3，则的值可能为（）A.47 B.45 C.53 D.60【答案】AC【解析】将已知的6个数按照从小到大的顺序排列为.又，，若，则这组数据的第20百分位数与第40百分位数分别是46和，；若，则这组数据的第20百分位数与第40百分位数分别是50和，.所以，则这组数据的第20百分位数与第40百分位数分别是和50，或50和，则，解得或53.故选：AC.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.有极大值 B.有极小值C.无最大值 D.在上单调递减【答案】BC【解析】因为的定义域为，并且，时当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，取得极小值，无极大值，也无最大值，并且，所以BC正确，AD错误；故选：BC11.筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）.现有一个半径为3米的简车按逆时针方向每分钟旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面开始计算时间，设时间为t（单位：秒），已知，则（）A.，其中，且B.，其中，且C.大约经过38秒，盛水筒P再次进入水中D.大约经过22秒，盛水筒P到达最高点【答案】ABD【解析】由题意知，如图，若为筒车的轴心的位置，为水面，为筒车经过秒后的位置，筒车的角速度，令且，∴，故，而，∴，其中，且，又，若，且，所以，此时，故，其中，且，故A、B正确；当时，，且，，∴，故盛水筒没有进入水中，C错误；当时，，且，，故盛水筒到达最高点，D正确.故选：ABD12.如图，点是正方体中的侧面上的一个动点，则（）A.点存在无数个位置满足B.若正方体的棱长为，三棱锥的体积最大值为C.在线段上存在点，使异面直线与所成的角是D.点存在无数个位置满足到直线和直线的距离相等【答案】ABD【解析】对于A，连接，四边形为正方形，；平面，平面，；又，平面，平面，则当平面，即在线段上时，恒成立，点存在无数个位置，使得，A正确；对于B，连接，交于点，连接，交于点，，，，平面，平面，又平面，；同理可得：；又，平面，平面，即平面；∽，，，；是边长为的等边三角形，；设点到平面的距离为，则；当与重合时，取得最大值，，B正确；对于C，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，当在线段上时，可设，，则，，；则当时，，异面直线与所成的角大于，C错误；对于D，平面，点到直线的距离即为其到点的距离，若点到直线和直线的距离相等，则点轨迹是以为焦点，为准线的抛物线在侧面上的部分，点存在无数个位置满足到直线和直线的距离相等，D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．13.二项式的展开式中，所有项系数和为，则的系数为______（用数字作答）.【答案】【解析】令可得二项式的所有项系数和为，所以.二项式的展开式的通项公式为，，1，…，8，所以的展开式中，的系数为.故答案为：14.如图所示，将一个顶角为的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作．如果这个操作过程无限继续下去……，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的科克曲线（Kochcurve）．已知最初等腰三角形的面积为3，则经过5次操作之后所得图形的面积为__________．【答案】【解析】根据题意，每次挖去的三角形面积是被挖三角形面积的，所以每一次操作之后所得图形的面积是上一次三角形面积的，由此，第次操作后所得图形面积是，即经过5次操作之后所得图形的面积是.故答案为：15.已知函数的部分图像如图所示，在区间内单调递减，则的最大值为________．【答案】【解析】由图可知函数过点，所以，即，所以或，，因为，所以或，又函数在原点右侧最近的零点的右侧的极值点函数取