专题04 导数在切线中的应用（优练）

第24页（共25页）专题04专题04导数在切线中的应用热点精练热点精练一、选择题（共20小题）1．（2023•榆林四模）f（x）＝x2ex+2x+1，则f（x）的图象在x＝0处的切线方程为（）A．4x﹣y+1＝0 B．2x﹣y+1＝0 C．4ex﹣y+2＝0 D．2ex﹣y+1＝02．（2023•南宁一模）已知直线y＝x是曲线f（x）＝lnx+a的切线，则a＝（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．23．（2023•江西模拟）牛顿最早研究过函数f(x)=ax2+bxA．3x﹣y＝0 B．3x+y﹣6＝0 C．2x﹣3y＝0 D．2x+3y﹣11＝04．（2023•四川模拟）设函数f(x)=xex，则曲线y＝f（xA．e B．e2 C．e4 5．（2023•呼和浩特模拟）若曲线y＝2sinx﹣2cosx在点（π2，2）处的切线与直线x﹣ay+1＝0垂直，则实数aA．﹣1 B．−12 C．﹣26．（2023•潍坊三模）若P为函数f(x)=12ex−3x图象上的一个动点，以PA．[0，2π3） B．（π2，2πC．（2π3，π） D．[0，π2）∪（2π37．（2023•宜宾模拟）已知函数y＝ex的图象在点P（0，1）处的切线与圆心为Q（1，0）的圆相切，则圆Q的面积是（）A．π B．2π C．3π D．4π8．（2023•郴州模拟）已知函数f（x）＝nx+lnx（n∈N*）的图象在点(1n，f(1n))处的切线的斜率为an，则数列{A．1n+1 B．3C．n4(n+1) D．9．（2023•河南模拟）已知点P是曲线y＝x2﹣3lnx上任意的一点，则点P到直线2x+2y+3＝0的距离的最小值是（）A．74 B．78 C．3210．（2023•如皋市模拟）若曲线f（x）＝ax（a＞1）与曲线g（x）＝logax（a＞1）有且只有一个公共点，且在公共点处的切线相同，则实数a的值为（）A．e B．e2 C．e1e 11．（2023•锦州一模）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），若∃x0∈[−π4，π3]使得f（x）的图象在点（x0，A．34 B．1 C．3212．（2023•郴州模拟）定义：若直线l与函数y＝f（x），y＝g（x）的图象都相切，则称直线l为函数y＝f（x）和y＝g（x）的公切线．若函数f（x）＝alnx（a＞0）和g（x）＝x2有且仅有一条公切线，则实数a的值为（）A．e B．e C．2e D．213．（2023•聊城三模）若直线y＝x+b与曲线y＝ex﹣ax相切，则b的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．e14．（2023•郴州模拟）若存在直线与曲线f（x）＝x3﹣x，g（x）＝x2﹣a2+a都相切，则a的取值范围是（）A．[0，25] B．[−25，0]15．（2023•泉州模拟）设点P在曲线y=12e(x−1)上，点Q在曲线y＝ln（2A．1+ln2 B．2(1+ln2) C．1﹣ln2 D．16．（2023•宝鸡三模）已知函数f（x）=0，x=0A．f（x）没有极值点 B．当m∈（﹣1，1）时，函数f（x）图象与直线y＝m有三个公共点 C．点（1，0）是曲线y＝f（x）的对称中心 D．直线y＝x﹣1是曲线y＝f（x）的切线17．（2023•西宁二模）已知函数f（x）＝x3﹣ax+2（a∈R），则下列说法错误的是（）A．当a＜0时，函数f（x）不存在极值点 B．当a＝1时，函数f（x）有三个零点 C．点（0，2）是曲线y＝f（x）的对称中心 D．若y＝2x是函数f（x）的一条切线，则a＝118．（2023•衡阳模拟）若f(x)=kx(k＜0)与g（x）＝exA．(−1e，0) B．(−∞，−1e)19．（2023•新罗区校级模拟）已知两曲线y＝ex与y＝lnx+a，则下列结论正确的是（）A．若两曲线只有一个交点，则这个交点的横坐标x∈（1，2） B．若a＝3，则两曲线只有一条公切线 C．若a＝2，则两曲线有两条公切线，且两条公切线的斜率之积为e D．若a＝1，P，Q分别是两曲线上的点，则P，Q两点距离的最小值为120．（2023•杭州模拟）已知a＞0，若点P为曲线C1：y=x22+ax与曲线C2：y＝2a2lnx+m的交点，且两条曲线在点A．e−12 B．e12 二、多选题（共10小题）21．（2023•常州模拟）已知函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x），且f'（x）＝﹣（x﹣x1）（x﹣x2），x1＜x2，则（）A．x2是函数y＝f（x）的一个极大值点 B．f（x1）＜f（x2） C．函数y＝f（x）在x=x1D．f(22．（2023•安徽模拟）已知直线l与曲线f（x）＝lnx+x2相切，则下列直线中可能与l垂直的是（）A．x+4y＝0 B．2x+5y=0 C．2x+3y=0 23．（2023•浙江模拟）已知函数f（x）＝x3﹣3x+1，则（）A．f（x）有两个极值点 B．若方程f（x）＝a有三个实根，则a≤﹣1或a≥3 C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心 D．直线y＝9x﹣15是曲线y＝f（x）的切线24．（2023•吕梁三模）已知函数f（x）＝e2x﹣2ex﹣12x，则下列说法正确的是（）A．曲线y＝f（x）在x＝0处的切线与直线x+12y＝0垂直 B．f（x）在（2，+∞）上单调递增 C．f（x）的极小值为3﹣12ln3 D．f（x）在[﹣2，1]上的最小值为3﹣12ln325．（2023•南京二模）已知函数f（x）＝|ex﹣a|，a＞0．下列说法正确的为（）A．若a＝1，则函数y＝f（x）与y＝1的图象有两个公共点 B．若函数y＝f（x）与y＝a2的图象有两个公共点，则0＜a＜1 C．若a＞1，则函数y＝f（f（x））有且仅有两个零点 D．若y＝f（x）在x＝x1和x＝x2处的切线相互垂直，则x1+x2＝026．（2023•南通模拟）已知O为坐标原点，曲线y＝lnx在点P（x1，y1）处的切线与曲线y＝ex相切于点Q（x2，y2），则（）A．x1y2＝1 B．x1C．OP→⋅D．当x2＜0时，x27．（2023•衡水二模）已知函数f(x)=eA．f（x）在x＝0处的切线方程为x﹣y+1＝0 B．32C．若函数g（x）的图象与f（x）的图象关于坐标原点对称，则g(x)=−D．f（x）有唯一零点28．（2023•吉林模拟）已知函数f（x）＝x﹣ln（x+1），数列{xn}按照如下方式取定：x1＝1，曲线y＝f（x）在点（xn+1，f（xn+1））处的切线与经过点（0，f（0））与点（xn，f（xn））的直线平行，则（）A．x2＞2−1 B．C．xn+1xn＞129．（2023•长春模拟）定义在R上函数f（x）＝x4+2x3+4x2+ax+1，则（）A．存在唯一实数a，使函数f（x）图像关于直线x=−12B．存在实数a，使函数f（x）为单调函数 C．任意实数a，函数f（x）都存在最小值 D．任意实数a，函数f（x）都存两条过原点的切线30．（2023•开福区校级二模）已知f（x）＝x3﹣x，若过点P（m，n）恰能作两条直线与曲线y＝f（x）相切，其中m≠0，则m与n可能满足的关系式为（）A．m+n＝0 B．m＝n C．m2﹣n＝0 D．﹣m3+m+n＝0三、填空题（共12小题）31．（2023•日喀则市模拟）已知直线y＝kx+b是曲线f（x）＝xex在点（1，f（1））处的切线方程，则k+b＝．32．（2023•合肥模拟）函数f（x）＝x3﹣alnx在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1＝0平行，则实数a＝．33．（2023•新乡二模）函数f（x）＝x+cosx的图象在x＝0处的切线方程为．34．（2023•徐汇区校级三模）设P是曲线y＝﹣x3+x+23上任意一点，则曲线在点P处的切线的倾斜角α的取值范围是35．（2023•秦安县校级一模）若f(x)=lnx+1x−a有且只有一个零点，则实数a36．（2023•滁州模拟）已知函数f（x）＝4x+ax2，若曲线y＝f（x）过点P（1，1）的切线有两条，则实数a的取值范围为．37．（2023•厦门模拟）已知函数f（x）＝mx+lnx，g（x）＝x2﹣mx，若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）存在公切线，则实数m的最大值为．38．（2023•宝鸡三模）已知曲线y＝ax2（a＞0）在x＝1处的切线与曲线y＝ex也相切，则该切线的斜率k＝．39．（2023•安徽模拟）若过点P（1，m）（m∈R）有3条直线与函数f（x）＝xex的图象相切，则m的取值范围是．40．（2023•广州模拟）若过点（0，b）（b＞0）只可以作曲线y=xex的一条切线，则b41．（2023•湖北模拟）已知函数f（x）＝|lnx|，直线l1，l2是f（x）的两条切线，l1，l2相交于点Q，若l1⊥l2，则Q点横坐标的取值范围是．42．（2023•招远市模拟）若曲线y＝kx﹣1（k＜0）与曲线y＝ex有两条公切线，则k的值为．

参考答案参考答案一、选择题（共20小题）1．【答案】B【解答】解：由f（x）＝x2ex+2x+1，得f′（x）＝（2x+x2）ex+2，所以f′（0）＝2，f（0）＝1，所以f（x）的图象在x＝0处的切线方程为y＝2x+1，故选：B．2．【答案】C【解答】解：∵f（x）＝lnx+a，∴f'(x)=1设直线y＝x与曲线f（x）＝lnx+a相切的切点为（x0，lnx0+a），则根据题意可知1x0=1且lnx0+a＝x0，所以a＝故选：C．3．【答案】A【解答】解：由题意可得：f(x)=2x所以在（1，f（1））处的切线方程为：y﹣3＝3（x﹣1），即3x﹣y＝0．故选：A．4．【答案】C【解答】解：∵f(x)=xex，∴f'(x)=1−xex，∴f（﹣1）＝﹣∴切点坐标为（﹣1，﹣e），切线斜率为2e，∴切线方程为y+e＝2e（x+1），分别令y＝0，x＝0得该切线分别与两坐标轴交于(−12故三角形面积为12故选：C．5．【答案】C【解答】解：由题意得，切线斜率为﹣a，y′＝2cosx+2sinx，k＝y′|x=π∴﹣a＝2，即a＝﹣2．故选：C．6．【答案】D【解答】解：由f(x)=12ex−3x设切线的倾斜角为θ（0≤θ＜π），则tanθ＞−3，可得θ∈[0，π2）∪（2π3故选：D．7．【答案】B【解答】解：y'＝ex，则k＝y'|x＝0＝e0＝1，所以y＝ex的图象在点P（0，1）处的切线方程为：y﹣1＝1×（x﹣0），即x﹣y+1＝0，因为切线与圆心为Q（1，0）的圆相切，所以圆的半径r=|1−0+1|所以圆Q的面积是πr2＝2π．故选：B．8．【答案】C【解答】解：∵f'(x)=n+1x，∴∴1a∴Sn故选：C．9．【答案】D【解答】解：设P（x，y），则y′＝2x−3x（令2x−3x=−1，解得x＝1或x=−32，∵x即平行于直线2x+2y+3＝0且与曲线y＝x2﹣lnx相切的切点坐标为（1，1），由点到直线的距离公式可得点P到直线2x+2y+3＝0的距离的最小值d=4+4故选：D．10．【答案】C【解答】解：设曲线f（x）＝ax与曲线g（x）＝logax有且仅有一个公共点（x0，y0），∵函数f（x）＝ax与函数g（x）＝logax互为反函数，∴（x0，y0）在直线y＝x上，且y＝x为两曲线的公切线，则y0＝x0，∵y＝x与曲线g（x）＝logax切于（x0，y0），∴切线斜率k＝1=1x0lna，即又y0＝x0＝logax0，∴1lna=logax0=lnx0lna，∴lnx0∴y0＝ae＝e，解得a=e故选：C．11．【答案】A【解答】解：∵f(x)=sinωx+cosωx=2又∃x0∈[−π4，π3]使得f（x）的图象在点（x∴函数f（x）在[−π4，π3]令ωx+π4=kπ+∵−π4≤x≤π3，∴−又ω＞0，故k＝0时，ω取最小值为34故选：A．12．【答案】C【解答】解：设直线l与y＝f（x）切于（m，alnm），与y＝g（x）切于（n，n2），∵f′（x）=ax，g′（x）＝2∴f（x）与g（x）切线方程分别为y=amx+alnm﹣a，y＝2nx﹣由题意得am=2nalnm−a=−n2，则a＝4m2令h（m）＝4m2﹣4m2lnm，m＞0，则h′（m）＝8m﹣8m•lnm﹣4m＝4m（1﹣2lnm），当m∈（0，e）时，h′（m）＞0，h（m）单调递增，当m∈（e，+∞）时，h′（m）＜0，h（m）单调递减．∴ℎ(m)又当m→0时，h（m）→0，当m→+∞时，h（m）→﹣∞，且已知a＞0，∴若f（x）＝alnx（a＞0）和g（x）＝x2有且仅有一条公切线，则实数a的值为2e．故选：C．13．【答案】B【解答】解：设切点坐标为（x0，y0），因为y＝ex﹣ax，所以y′＝ex﹣a，故切线的斜率为：ex0−a=1，ex0=a+1，则x又由于切点（x0，y0）在切线y＝x+b与曲线y＝ex﹣ax上，所以x0+b=ex0−ax0，所以b＝（a+1）﹣x0（令a+1＝t，则b＝t（1﹣lnt），设f（t）＝t（1﹣lnt），f'(t)=(1−lnt)+t⋅(−1t)=−lnt，令f′（t所以当t∈（0，1）时，f'（t）＞0，f（t）是增函数；当t∈（1，+∞）时，f'（t）＜0，f（t）是减函数．所以f（t）max＝f（1）＝1．所以b的最大值为：1．故选：B．14．【答案】D【解答】解：由f（x）＝x3﹣x，g（x）＝x2﹣a2+a，得f′（x）＝3x2﹣1，g′（x）＝2x，设公切线切曲线f（x）于（s，s3﹣s），切g（x）于（t，t2﹣a2+a），则过两切点的切线方程分别为：y＝（3s2﹣1）（x﹣s）+s3﹣s，y＝2t（x﹣t）+t2﹣a2+a，即y＝（3s2﹣1）x﹣2s3，y＝2tx﹣t2﹣a2+a，∴3s2−1=2t−2s3=−t2−a2+a，则9令h（s）＝9s4﹣8s3﹣6s2，则h′（s）＝36s3﹣24s2﹣12s＝12s（3s+1）（s﹣1），当s∈（﹣∞,−13）∪（0,1）时，h′（s）＜0，h（s）在（﹣∞,当s∈（−13,0）∪（1,+∞）时，h′（s）＞0，h（s）在（又h（−13）=−1127，h（1）＝﹣5，∴要使方程9s4﹣8s3﹣6s2＝﹣（2则﹣（2a﹣1）2≥﹣5，即1−5∴a的取值范围是[1−故选：D．15．【答案】D【解答】解：设P（x0，y0），则点P关于直线y＝x﹣1对称的点为（y0+1，x0﹣1），由于点P在曲线y=12e而ln(2(y则点（y0+1，x0﹣1）在曲线y＝ln（2x﹣2）上，所以曲线y=12e(x−1)与曲线y＝ln（2x﹣2）关于直线对y=12e(x−1)求导，可得y'=12ex−1，令则点（ln2+1，1）在曲线y=12e(x−1)上，且过该点的切线与直线故所求|PQ|的最小值为2×|ln2+1−1−1|故选：D．16．【答案】D【解答】解：函数f（x）的定义域为R，且f（0）＝0，因为当x≠0时，f（x）＝xln|x|，所以当x＞0时，f（x）＝xlnx，此时﹣x＜0，f（﹣x）＝﹣xln|﹣x|＝﹣xln|x|＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，对于A：当x＞0时，f（x）＝xlnx，f′（x）＝lnx+1，令f′（x）＝0得x=1所以在（0，1e）上f′（x）＜0，f（x在（1e，+∞）上f′（x）＞0，f（x所以在x=1e处的f（x）取得极小值点，故对于B：由A可得f（x）极小值＝f（1e）=1eln1e=−1e，f（x）极大值当x→0时，xlnx→0，结合f（x）的单调性和奇偶性，作出f（x）的图象：所以当−1e＜m＜1e时，函数f（x）图象与直线y对于C：若（1，0）是f（x）的对称中心，则有f（x）+f（2﹣x）＝0恒成立，令x＝0时，f（0）+f（2）＝0，但是f（2）＝0﹣f（0）＝0，与f（2）＝2ln2≠0，所以（1，0）不是f（x）对称中心，故C错误；对于D：当x＞0时，f（x）＝xlnx，f′（x）＝lnx+1，令f′（x）＝1，解得x＝1，又f（1）＝0，所以f（x）在（1，0）处的切线的方程为y﹣f（1）＝f′（1）（x﹣1），即y＝x﹣1，故D正确；故选：D．17．【答案】B【解答】解：对于A，当a＜0时，f′（x）＝3x2﹣a＞0，此时f（x）在R上单增，所以当a＜0时，函数f（x）不存在极值点，故A对；对于B，当a＝1时，f（x）＝x3﹣x+2，f′（x）＝3x2﹣1，由f′（x）＜0，可得−33＜x＜33，由f′（x所以函数f（x）的增区间为(−∞，−33)、(所以函数f（x）的极大值为f(−3极小值为f(3又因为f（﹣2）＝﹣8+2+2＝﹣4＜0，由零点存在定理可知，函数f（x）在区间(−2，−3当x≥−33时，f(x)≥f(33)＞0，所以当a＝1时，函数f对于C，对任意的x∈R，f（﹣x）+f（x）＝（﹣x3+ax+2）+（x3﹣ax+2）＝4，所以点（0，2）是曲线y＝f（x）的对称中心，故C对；对于D，设y＝2x是函数f（x）的一条切线，设切点坐标为（t，t3﹣at+2），又f′（x）＝3x2﹣a，由题意，可得f′（t）＝3t2﹣a＝2，①所以曲线y＝f（x）在x＝t处的切线方程为y﹣（t3﹣at+2）＝2（x﹣t），即y＝2x+t3﹣（a+2）t+2，则t3﹣（a+2）t+2＝0，②联立①②可得a＝t＝1，故D对．故选：B．18．【答案】A【解答】解：设两条曲线的公切线为l，P（x1，y1）是l与f（x）的切点，由f(x)=kx，得设Q（x2，y2）是l与g（x）的切点，由g（x）＝ex，得g′（x）＝ex，∴l的方程为y−y1=−kx同理得y=ex2消去x1，得4k=−e设h（x）＝﹣ex（x﹣1）2，即直线y＝4k与曲线h（x）有三个不同的交点，∵h′（x）＝ex（1﹣x2），令h′（x）＝0，得x＝±1，当x∈（﹣∞,﹣1）∪（1,+∞）时，h′（x）＜0；当x∈（﹣1,1）时，h′（x）＞0，∴h（x）有极小值为h（﹣1）＝﹣4e﹣1，h（x）有极大值为h（1）＝0，∵h（x）＝﹣ex（x﹣1）2，ex＞0，（x﹣1）2≥0，∴h（x）≤0，当x趋近于﹣∞时，h（x）趋近于0；当x趋近于+∞时，h（x）趋近于﹣∞，故h（x）的图象简单表示为下图：由图可知，当﹣4e﹣1＜4k＜0，即−1e＜k＜0时，直线y＝4k与曲线h∴k的取值范围为（−1故选：A．19．【答案】C【解答】解：若两曲线只有一个交点，记交点为A(x0，且在此处的切线为公切线，所以ex0=1x0设f（x）＝xex，则x∈（﹣1，+∞）时单调递增，f（1）＝e＞1，所以A错误．如图，a＝3时，设h（x）＝ex﹣lnx﹣3，则ℎ'(x)=ex−1x，由于h所以存在x0∈(12，1)那么当x∈（0，x0）时，h'（x）＜0，h（x）为单调递减函数，当x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）为单调递增函数，且ℎ(12)=e+ln2−3＜0则两曲线有两个公共点，故没有公切线，所以B错误．a＝2时，设（t，et）是曲线y＝ex上的一点，y′＝ex，所以在点（t，et）处的曲线y＝ex切线为y﹣et＝et（x﹣t），即y＝etx+（1﹣t）et①，设（s，lns+2）是曲线y＝lnx+a上的一点，y'=1所以在点（s，lns+2）处的切线方程为y−(lns+2)=1s(x−s)所以et=1s(1−t)et=lns+1，解得a＝1时，曲线y＝ex的一条切线为y＝x+1，y＝lnx+a的一条切线y＝x，两切线间的距离为最小值22，所以D故选：C．20．【答案】B【解答】解：设P（x0，y0），则有x022+ax0＝2a2lnx0由y=x22+ax，可得y′＝x+a；由y＝2a2lnx+m，可得y′=2a2x由②可得：x02+ax0＝2a2，即（x0+a2）2=9a24，所以x将x0＝a代入①，得a22+a2＝2a2lna+m，所以m=32a2﹣2a令f（x）=32x2﹣2x2lnx，x＞0，则f′（x）＝3x﹣（4xlnx+2x）＝x﹣4xlnx＝x（1﹣4令f′（x）＝0，得x1＝0，x2=e所以当x∈（0，e14）时，f′（x）＞0，f（当x∈（e14，+∞）时，f′（x）＜0，f（所以f（x）max＝f（e14）=3所以m的最大值为e1故选：B．二、多选题（共10小题）21．【答案】AB【解答】解：令f'（x）＞0，解得x1＜x＜x2，令f'（x）＜0，解得x＞x2或x＜x1，则f（x）在（x1，x2）上单调递增，在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递减，故x2是函数y＝f（x）的一个极大值点，f（x1）＜f（x2），A、B正确；∵x1＜x1+2x23＜x2，则f'(又∵x1＜x1+故选：AB．22．【答案】AB【解答】解：f（x）的定义域为（0，+∞），∵f'(x)=1x+2x≥22，即直线设与l垂直的直线的斜率为m，则k=−1m，所以−1故选：AB．23．【答案】ACD【解答】解：由f'（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1）＝0解得x1＝﹣1，x2＝1，则函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，所以f（x）在x＝﹣1，x＝1处取得极值，所以函数有两个极值点，所以选项A正确；由选项A可知，若方程f（x）＝a有三个实根，需要a的取值介于两个极值点之间，即f（1）＜a＜f（﹣1），即﹣1＜a＜3，所以选项B错误；计算得f（﹣x）+f（x）＝2，则点（0，1）是y＝f（x）的对称中心，所以C正确；当f'（x）＝3x2﹣3＝9时，解得x＝±2，而f（﹣2）＝﹣1，f（2）＝3，所以直线y＝9x﹣15是曲线y＝f（x）在点（2，3）处得切线，所以选项D正确．故选：ACD．24．【答案】BC【解答】解：∵f（x）＝e2x﹣2ex﹣12x，∴f'（x）＝2e2x﹣2ex﹣12＝2（ex﹣3）（ex+2），∴f'（0）＝﹣12，故A错误；令f'（x）＞0，解得x＞ln3，∴f（x）的单调递增区间为（ln3，+∞），∵（2，+∞）⊆（ln3，+∞），∴f（x）在（2，+∞）上单调递增，故B正确；当x＜ln3时，f'（x）＜0，∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，ln3），∴f（x）的极小值为f（ln3）＝3﹣12ln3，故C正确；f（x）在[﹣2，1]上单调递减，则最小值为f（1）＝e2﹣2e﹣12，故D错误；故选：BC．25．【答案】BCD【解答】解：对于A，当a＝1时，f（x）＝|ex﹣1|＝1，则ex＝0或ex＝2，则x＝ln2，故仅有1公共点，则A错误；对于B，f（x）＝|ex﹣a|＝a2，则ex﹣a＝a2或ex﹣a＝﹣a2，故a2+a＞0a−a2对于C，令f（x）＝0，则x＝lna，设f（f（x））＝0，则f（x）＝lna，又因为a＞1时，0＜lna＜a，故f（x）＝lna有两解，则C正确；对于D，当ex1−a和a−ex2同时为正或为负时，不成立，不妨设f(x1)=a−ex1，则f'(x1)=−故选：BCD．26．【答案】AB【解答】解：因为y＝lnx，所以y'=1又P（x1，lnx1），所以k=1x1，切线方程为y−ln因为y＝ex，所以y'＝ex，又Q(x2，切线：y−ex2由题意切线重合，所以1x1=ex2lnx1−1=当x1＝1时，两切线不重合，不合题意，所以−x2−1=1x1(1−x2)，x1≠1，﹣x1x2﹣x1＝1﹣x2，所以x1x2﹣OP→⋅OQ→=x1x2+y1y2=x1(−lnx1)+(lnx1)ex2=−设f（x）＝ex（﹣x+1），x＜0，则f'（x）＝ex（﹣x）＞0，所以函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，所以0＜f（x）＜1，所以0＜ex2(1−x2)＜1，所以lnx1﹣1∈（0，1），∴e＜x1＜e2，记g（x）＝x﹣lnx，（e＜x＜e2），则g'(x)=1−1x=x−1x＞0，所以函数g（x）在（e，e故选：AB．27．【答案】ABD【解答】解：对于A，f(x)=ex−12x2，求导得f′（x）＝ex﹣x，有f（0）＝1，f′（0）＝1，所以f（x）在x＝0处的切线方程为y﹣1＝x对于B，函数f(x)=ex−12x2，有f(ln2)=对于C，函数f(x)=ex−12x2，函数g（x）的图象与f对于D，f(x)=ex−12x2的定义域为R，求导得f′（令g（x）＝f′（x）＝ex﹣x，g′（x）＝ex﹣1，当x＞0时g′（x）＞0，当x＜0时，g′（x）＜0，则函数f′（x）在（0，+∞）上递增，在（﹣∞，0）上递减，于是f′（x）min＝f′（0）＝1＞0，f（x）在R上单增，而f(0)=1＞0，f(−1)=1由零点存在性定理知f（x）在（﹣1，0）内存在唯一零点，所以f（x）有唯一零点，D正确．故选：ABD．28．【答案】ABD【解答】解：因为f（x）＝x﹣ln（x+1），所以f'(x)=1−1x+1，f'(xn+1)=1−1xn+1+1，f（0）＝0﹣ln1＝0，f（xn）＝x所以1xn+1+1因为x1＝1，所以x2记u(x)=lnx−1所以u'(x)=1所以u（x）单调递减，所以u（x）＜u（1）＝0，所以lnx＜1所以ln2＜12所以x2＞2设xn＞0，则xn+1设xn＝t，f（t）＝t﹣ln（t+1），所以f'(t)=1−1t+1＞0(t＞0)，f（t所以若xn＞0，则xn﹣ln（xn+1）＞0，则xn因为x1＞0，所以x2＞0，x3＞0...xn＞0，xn+1＞0，所以xn＞0恒成立，故B正确；xn+1xn令xn＝t，即证明2t(t+2)＞ln(t+1)，令所以t＞0时，g'(t)=1t+1−2(t+2)−2t(t+2)2=(t+2)2−4(t+1)(t+2)2x1若数列{xn}为单调，则{xn}必为单调递减，则xn+1﹣xn＜0，即[xnln(xn+1)−1]−xn＜0，即x即xn＜（xn+1）ln（xn+1）（xn＞0），即t﹣1＜tlnt（t＞1），即1−1t＜lnt令ℎ(t)=lnt−(1−1t)(t＞1)，则ℎ'(t)=1所以h（t）单调递增（t＞1），所以h（t）＞h（1）＝0，所以1−1t＜lnt（t故选：ABD．29．【答案】ACD【解答】解：对于A，若f（x）图象关于x=−12对称，则f（x）＝f（﹣1﹣所以f（0）＝f（﹣1）且f（1）＝f（﹣2），所以1=4−a8+a=17−2a，解得a且当a＝3时，f（x）＝x4+2x3+4x2+3x+1＝x2（x+1）2+3x（x+1）+1，则f（﹣1﹣x）＝（﹣1﹣x）2（﹣1﹣x+1）2+3（﹣1﹣x）（﹣1﹣x+1）+1＝x2（x+1）2+3x（x+1）+1＝f（x），所以存在唯一实数a，使函数f（x）图象关于直线x=−12对称，故对于B，f'（x）＝4x3+6x2+8x+a，x∈R，则f'（x）∈R，所以函数f（x）不是单调函数，故B不正确；对于C，由于f'（x）＝4x3+6x2+8x+a，又令h（x）＝f'（x）＝4x3+6x2+8x+a，则h'（x）＝12x2+12x+8＝12（x+12）所以f'（x）在x∈R上单调递增，且x→﹣∞，f'（x）＜0；x→+∞，f'（x）＞0，故f'（x）存在唯一的零点x0，使得f（x0）＝0，所以当x∈（﹣∞，x0）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，故对任意实数a，函数f（x）都存在最小值，故C正确；对于D，由于f'（x）＝4x3+6x2+8x+a，设曲线y＝f（x）上的切点坐标为（x1，f（x1）），则k＝f'（x1）＝4x13+6x12+8x1+a，f（x1）=x所以切线方程为y﹣（x14+2x13+4x12+ax1+1）＝（4x13+6有﹣（x14+2x13+4x12+ax1+1）＝（4x13整理得3x14+4x13故选：ACD．30．【答案】AD【解答】解：设切点坐标为（t，t3﹣t），因为f（x）＝x3﹣x，则f′（x）＝3x2﹣1，切线斜率为f′（t）＝3t2﹣1，所以曲线y＝f（x）在x＝t处的切线方程为y﹣（t3﹣t）＝（3t2﹣1）（x﹣t），将点P的坐标代入切线方程可得2t3﹣3mt2+m+n＝0，过点P（m，n）恰能作两条直线与曲线y＝f（x）相切，即方程2t3﹣3mt2+m+n＝0有2个解，即2t3﹣3mt2+m＝﹣n，y＝﹣n与g（t）＝2t3﹣3mt2+m的图象有2个交点，g′（t）＝6t2﹣6mt＝6t（t﹣m），若m＞0，令g′（t）＞0，得t＞m或t＜0，令g′（t）＜0，得0＜t＜m，即g（t）在（m，+∞）上单调递减，在（m，+∞）和（﹣∞，0）上单调递增，若m＜0，令g′（t）＞0，得t＞0或t＜m，令g′（t）＜0，得m＜t＜0，即g（t）在（m，0）上单调递减，在（0，+∞）和（﹣∞，m）上单调递增，又g（0）＝m，g（m）＝2m3﹣3m3+m＝﹣m3+m，故由图可知，当﹣n＝m或﹣n＝﹣m3+m时，y＝﹣n与g（t）＝2t3﹣3mt2+m的图象有2个交点，此时，m+n＝0或﹣m3+m+n＝0．故选：AD．三、填空题（共12小题）31．【答案】e．【解答】解：由题设，f（1）＝e且f′（x）＝（x+1）ex，则f′（1）＝2e，所以，切线方程为y﹣e＝2e（x﹣1），即y＝2ex﹣e，所以k＝2e，b＝﹣e，故k+b＝e．故答案为：e．32．【答案】5．【解答】解：∵f（x）＝x3﹣alnx，∴f'(x)=3x2−ax∵切线与直线2x+y+1＝0平行，∴f'（1）＝3﹣a＝﹣2，∴a＝5．故答案为：5．33．【答案】x﹣y+1＝0．【解答】解：因为f（x）＝x+cosx，所以f′（x）＝1﹣sinx，则f（0）＝1，f′（0）＝1，故f（x）的图象在x＝0处的切线方程为y＝x+1⇒x﹣y+1＝0．故答案为：x﹣y+1＝0．34．【答案】[0，π4]∪（π2，【解答】解：由已知得tanα＝y′＝﹣3x2+1≤1＝tanπ4由α∈[0，π）得α∈[0，π4]∪（π2，故答案为：[0，π4]∪（π2，35．【答案】1．【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=1令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，若函数f(x)=lnx+1则f（x）极小值＝f（1）＝1﹣a＝0，解得：a＝1，故答案为：1．36．【答案】（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）．【解答】解：设切点为A(x0，4x0+ax02)，直线则k＝f'（x0）＝4+2ax0，所以切线方程为y−(4将（1，1）代入化简得ax所以方程ax所以a≠0，且Δ＝（﹣2a）2﹣4a（﹣3）＝4a2+12a＞0，所以a＞0或a＜﹣3，即实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）．37．【答案】12【解答】解：f'(x)=m+1x，g'(x)=2x−m，假设两曲线在同一点（x0，则m+1x