专题02 函数的性质（优练）

第26页（共27页）专题02专题02函数的性质热点精练热点精练一、选择题（共19小题）1．（2023•深圳一模）已知f（x）为奇函数，且x＜0时，f（x）＝ex，则f（e）＝（）A．ee B．﹣ee C．e﹣e D．﹣e﹣e2．（2023•昌江县二模）已知f（x）是R上的奇函数，且f（x+2）＝﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x2+2x，则f（15）＝（）A．3 B．﹣3 C．255 D．﹣2553．（2023•安康二模）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）＝f（1﹣x），则f（2022）＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．24．（2023•西安模拟）设函数f（x）的定义域为R，且f（x+1）是奇函数，f（2x+3）是偶函数，则（）A．f（5）＝0 B．f（4）＝0 C．f（0）＝0 D．f（﹣2）＝05．（2023•鞍山一模）函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）＝f（1﹣x），若x∈[0，1]，f（x）＝2x，则f（2023）＝（）A．4 B．2 C．1 D．06．（2023•西安模拟）已知函数f（x）＝x3+x+1，若f（1﹣x）+f（2x）＞2，则x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，1） C．（﹣1，+∞） D．（1，+∞）7．（2023•湖南一模）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+1）为奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝k⋅3x+a．若f（0）+f（3）＝4，则f（log32）＝（）A．2 B．0 C．﹣3 D．﹣68．（2023•河北三模）已知函数f（x）的定义域为R，函数g（x）＝f（x）+x2为奇函数，且g（x+4）＝g（x），则f（6）的值为（）A．0 B．3 C．﹣44 D．﹣369．（2023•平顶山模拟）f（x）为定义在R上的偶函数，对任意的x2＞x1≥0，都有f(x2)−f(x1)x2−A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（2，+∞） C．（0，2） D．（﹣∞，2）10．（2023•泸州模拟）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝2﹣f（﹣x），且函数f（x+1）是偶函数，当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝1﹣x2，则f(2023A．925 B．1625 C．342511．（2023•张掖四模）已知函数f（x）的定义域为R，f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，f（3）＝0，且对任意的x1，x2∈（﹣∞，0），x1≠x2，满足f(x2)−f(x1)xA．（﹣∞，1]∪[2，+∞） B．[﹣4，﹣1]∪[0，1] C．[﹣4，﹣1]∪[1，2] D．[﹣4，﹣1]∪[2，+∞）12．（2023•九江二模）定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（﹣1）＝0，则关于x的不等式xf（x）＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）13．（2023•江西模拟）已知函数f(x)=16x+t，x＜14loA．（∞，﹣2] B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，0） D．[0，+∞）14．（2023•鹰潭一模）已知函数f（x）=xex+xex+1，且f（1+a）+A．（﹣2，1） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．（﹣1，2） D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）15．（2023•邢台模拟）已知函数f（2x+1）是定义在R上的奇函数，且f（2x+1）的一个周期为2，则（）A．1为f（x）的周期 B．f（x）的图象关于点(12C．f（2023）＝0 D．f（x）的图象关于直线x＝2对称16．（2023•石家庄模拟）设函数f（x）定义域为R，f（x﹣1）为奇函数，f（x+1）为偶函数，当x∈（﹣1，1）时，f（x）＝﹣x2+1，则下列结论错误的是（）A．f(7B．f（x+7）为奇函数 C．f（x）在（6，8）上是减函数 D．方程f（x）+lgx＝0仅有6个实数解17．（2023•江西模拟）设函数f(x)=a2x+1x−1+1，(x＞1)，在区间（0，2）随机抽取两个实数分别记为a，b，则fA．18 B．14 C．3418．（2023•广州模拟）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+1）+f（x﹣1）＝2，f（x+2）为偶函数，若f（0）＝2，则k=1115A．116 B．115 C．114 D．11319．（2023•汕头一模）已知函数f（x），g（x）的定义域为R，g'（x）为g（x）的导函数，且f（x）+g'（x）＝2，f（x）﹣g'（4﹣x）＝2，若g（x）为偶函数，则下列结论不一定成立的是（）A．f（﹣1）＝f（﹣3） B．g'（2）＝0 C．f（4）＝2 D．f（1）+f（3）＝4二、多选题（共13小题）20．（2023•山西模拟）已知定义域为R的函数f（x）在（﹣1，0]上单调递增，f（1+x）＝f（1﹣x），且图像关于（2，0）对称，则f（x）（）A．f（0）＝f（2） B．周期T＝2 C．在（1，2]单调递减 D．满足f（2021）＞f（2022）＞f（2023）21．（2023•福建模拟）已知函数f（x）定义域为R，f(x+12)为奇函数，且∀x∈R有f（2﹣4x）＝fA．f（x+1）＝f（x） B．f(−1C．f（x+2）为偶函数 D．f(x−122．（2023•无锡三模）已知函数f（x）的定义域为R，f（x+2）为奇函数，f（2x+1）为偶函数，则（）A．f（x）的图象关于直线x＝1对称 B．f（x）的图象关于点（1，0）对称 C．f（x）的图象关于直线x＝2对称 D．f（x）的图象关于点（2，0）对称23．（2023•秦皇岛二模）函数f（x）与g（x）的定义域为R，且f（x）g（x+2）＝4，f（x）g（﹣x）＝4．若f（x）的图象关于点（0，2）对称．则（）A．f（x）的图象关于直线x＝﹣1对称 B．k=12004C．g（x）的一个周期为4 D．g（x）的图象关于点（0，2）对称24．（2023•湖南模拟）已知函数f（x）满足：①f（a+x）为偶函数；②f（c+x）+f（c﹣x）＝2d，a≠c．f'（x）是f（x）的导函数，则下列结论正确的是（）A．f'（x）关于x＝c对称 B．f（2x）的一个周期为2|c﹣a| C．f（f（x））不关于（c，d）对称 D．f（f（x））关于x＝a对称25．（2023•安徽模拟）已知f（x）（x∈R）为偶函数，且f(x−32)=f(x+12)恒成立．当x∈A．f（x）的周期是2k（k≠0，k∈Z） B．f（x）的图象关于点（1，0）对称 C．当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）＝﹣x D．当x∈[﹣2，0]时，f（x）＝3﹣|x+1|26．（2023•烟台模拟）定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（4+x）＝0，f（2+2x）是偶函数，f（1）＝1，则（）A．f（x）是奇函数 B．f（2023）＝﹣1 C．f（x）的图象关于直线x＝1对称 D．k=127．（2023•安徽模拟）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）＝f（x）f（y）+f（x）+f（y），x＞0时，f（x）＞0，f（2）＝3，则（）A．f（1）＝1 B．函数f（x）在区间（0，+∞）单调递增 C．函数f（x）是奇函数 D．函数f（x）的一个解析式为f（x）＝2x﹣128．（2023•南京模拟）函数f（x）及其导函数f'（x）的定义域均为R，且f（x）﹣f（﹣x）＝2x，f'（1+x）+f'（1﹣x）＝0，则（）A．y＝f（x）+x为偶函数 B．f（x）的图象关于直线x＝1对称 C．f'（0）＝1 D．f'（x+2）＝f'（x）+229．（2023•高州市二模）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣1﹣x）＝f（7+x），函数f（x+2）﹣1为奇函数，且对∀a，b∈[2，3]，当a≠b时，都有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）．函数g(x)=2x−152x−4与函数f（x）的图象交于点（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，yA．f（2022）＝2022 B．函数f（x+1）为偶函数 C．函数f（x）在区间[4，5]上单调递减 D．x30．（2023•泰安一模）已知函数f（x）＝sinxcos2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）既是奇函数，又是周期函数 B．f（x）的图象关于直线x=π2C．f（x）的最大值为69D．f（x）在(0，31．（2023•大同模拟）定义在R上的函数f（x），g（x）满足f（0）＜0，f（3﹣x）＝f（1+x），g（2﹣x）+g（x）＝2，g(x+1A．x＝6是函数f（x）图象的一条对称轴 B．2是g（x）的一个周期 C．函数f（x）图象的一个对称中心为（3，0） D．若n∈N*，且n＜2023，f（n）+f（n+1）+…+f（2023）＝0，则n的最小值为2三、填空题（共14小题）32．（2023•叙州区校级模拟）已知f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＜0时f（x）＝ex，则f（ln2）＝．33．（2023•抚州模拟）若函数f（x）＝log2（16x+1）﹣ax是偶函数，则loga2＝．34．（2023•河南三模）已知函数f(x)=2x−2−xln(e35．（2023•蒙城县校级三模）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝f（2﹣x），若x∈[0，1]时，f（x）＝x，则f（11）＝．36．（2023•江苏模拟）已知定义在R上的函数f（x）为奇函数，且满足f（1+x）＝f（3+x）．当0≤x≤1时，f（x）＝x3﹣x，则f(112)+f(6)37．（2023•湖南模拟）已知函数f（x）＝x5+x．若f（2x﹣1）+f（2﹣x）＞0．则x的取值范围是．38．（2023•郴州模拟）已知定义在R上的函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且函数f（x）﹣1为奇函数，则f（3x+4）+f（1﹣x）＜2的解集为．39．（2023•江宁区一模）设函数f(x)=ex+e−x−1lg(x2+1)，则使得f40．（2023•西安校级三模）设函数f(x)=ln(1+|x|)−11+x2，不等式f（sinx）＜f41．（2023•浙江模拟）写出一个同时具有下列性质①②③的函数：f（x）＝．①f（x）的周期为2；②f（x）在(2③f（x）的值域为[0，4]．42．（2023•红河州一模）已知函数f（x）＝x3+2x﹣1+（sinx﹣cosx）2，则不等式f（x2﹣2x）+f（2﹣x）＞0的解集为．43．（2023•杭州模拟）已知函数f（x）＝e|x﹣1|+x2﹣2x，则使得f（x）＞f（2x）成立的x的取值范围是．44．（2023•湖南模拟）已知f（x）是定义在（﹣5，5）上的增函数，且f（x）的图象关于点（0，﹣1）对称，则关于x的不等式f（2x+1）+f（x﹣1）+3x+2＞0的解集为．45．（2023•徐汇区三模）设定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝2f（x+1），且当x∈[﹣1，0）时，f（x）＝﹣x（x+1）．若对任意x∈[λ，+∞），不等式f(x)≤34恒成立，则实数λ的最小值是

参考答案参考答案一、选择题（共19小题）1．【答案】D【解答】解：f（x）为奇函数，且x＜0时，f（x）＝ex，则f（e）＝﹣f（﹣e）＝﹣e﹣e，故选：D．2．【答案】B【解答】解：因为f（x）是R上的奇函数，且f（x+2）＝﹣f（x），所以f（x+4）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x2+2x，则f（15）＝f（3）＝﹣f（1）＝﹣3．故选：B．3．【答案】B【解答】解：由（x+1）＝f（1﹣x）且f（x）是奇函数得f（2+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），f（0）＝0，所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），所以f（x）是周期函数，周期为4，f（2022）＝f（2）＝f（0）＝0．故选：B．4．【答案】A【解答】解：∵函数f（x）的定义域为R，且g（x）＝f（x+1）是奇函数，∴g（0）＝f（0+1）＝f（1）＝0，又f（2x+3）是偶函数，∴f（2x+3）＝f（﹣2x+3），令x＝﹣1，得f（1）＝f（5）＝0，其它选项无法确定．故选：A．5．【答案】B【解答】解：因为f（1+x）＝f（1﹣x），且f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（1+x）＝f（x﹣1），令t＝x﹣1，则x＝t+1，所以f（t+2）＝f（t），即f（x）＝f（x+2），所以函数f（x）的周期为2，所以f（2023）＝f（1011×2+1）＝f（1）＝2．故选：B．6．【答案】C【解答】解：令g（x）＝f（x）﹣1＝x3+x，易知g（x）为奇函数且g（x）在R上单调递增．化简f（1﹣x）+f（2x）＞2，得f（1﹣x）﹣1+f（2x）﹣1＞0，即g（1﹣x）+g（2x）＞0，转化为：g（1﹣x）＞﹣g（2x）＝g（﹣2x），所以1﹣x＞﹣2x，解得x＞﹣1，故选：C．7．【答案】A【解答】解：∵f（x+1）为奇函数，∴f（﹣x+1）＝﹣f（x+1），又f（x）为偶函数，∴f（﹣x+1）＝f（x﹣1），∴f（x﹣1）＝﹣f（x+1），即f（x）＝﹣f（x+2），∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），所以函数f（x）的周期为4，由f（﹣x+1）＝﹣f（x+1），令x＝0，易得f（1）＝0，f（3）＝f（﹣1）＝f（1）＝0，∴f（0）＝4，∴f(0)=k+a=4f(1)=3k+a=0，解得k＝﹣2，a∴当x∈[0，1]时，f(x)=−2⋅3故选：A．8．【答案】D【解答】解：因为函数g（x）＝f（x）+x2为奇函数，所以有g（﹣2）＝﹣g（2），又g（x+4）＝g（x），所以函数g（x）的周期为4，且g（﹣2）＝g（2），所以有g（﹣2）＝g（2）＝0，则g（6）＝g（2）＝0．即g（6）＝f（6）+62＝0，所以f（6）＝﹣36．故选：D．9．【答案】A【解答】解：对任意的x2＞x1≥0，都有f(x2)−f(令g（x）＝f（x）﹣2|x|，则g（x）＝f（x）﹣2|x|在[0，+∞）上单调递增，因为f（x）为定义在R上的偶函数，所以g（﹣x）＝f（﹣x）﹣2|﹣x|＝f（x）﹣2|x|＝g（x），即g（x）＝f（x）﹣2|x|为偶函数，又g（2）＝f（2）﹣2×|2|＝0，由f（x）＞2|x|，可得g（x）＝f（x）﹣2|x|＞0，即g（|x|）＞g（2），所以|x|＞2，所以f（x）＞2|x|的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．故选：A．10．【答案】C【解答】解：因为函数f（x+1）是偶函数，所以f（x+1）＝f（﹣x+1），所以f（﹣x）＝f（x+2），又因为f（x）＝2﹣f（﹣x），所以f（x）+f（x+2）＝2，即有f（x+2）+f（x+4）＝2，所以f（x+4）＝f（x），所以函数f（x）的周期为4，所以f(20235)=f（4×101+35）＝f（35）＝2﹣f（−3故选：C．11．【答案】C【解答】解：∵f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，∴f（x）的图象关于点（0，0）对称，∴f（x）是定义在R上的奇函数，∵对任意的x1，x2∈（﹣∞，0），x1≠x2，满足f(x2)−f(x1)x2−x1＜0，∴f（所以当x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）时，f（x）＞0；当x∈（﹣3，0）∪（3，+∞）时，f（x）＜0，所以由（x﹣1）f（x+1）≥0可得x−1＜0，−3≤x+1≤0或x−1＞0，0≤x+1≤3或解得﹣4≤x≤﹣1或1≤x≤2，即（x﹣1）f（x+1）≥0的解集为[﹣4，﹣1]∪[1，2]．故选：C．12．【答案】A【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，且f（0）＝0，f（1）＝0，可画出其大致图像，如图所示，因为xf（x）＜0，所以当x＞0时，f（x）＜0，解得0＜x＜1，当x＜0时，f（x）＞0，解得﹣1＜x＜0，当x＝0时，显然不合题意，所以不等式xf（x）＜0的解集为（﹣1，0）∪（0，1），故选：A．13．【答案】B【解答】解：因为f(x)=16x+t，x＜14log12x，x≥当x≥14时要使函数f（x）存在最大值，则最大值一定是在x=1即f(x)max=f(14即实数t的取值范围是（﹣∞，0]．故选：B．14．【答案】C【解答】解：令F（x）＝f（x）﹣1=xex+F（﹣x）＝﹣xe﹣x+−xe−x=−xex所以F（x）为奇函数，又F′（x）＝ex+xex+1−x当x≥0时，令g（x）＝（x+1）e2x+1﹣x，则有g′（x）＝e2x+2（x+1）e2x﹣1＝（2x+3）e2x﹣1，因为x≥0，所以g′（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，所以g（x）≥g（0）＝1＞0，所以F′（x）＞0，所以F（x）在[0，+∞）上单调递增，又因为F（x）为奇函数，所以F（x）在R上单调递增，所以f（1+a）+f（1﹣a2）＞2⇔f（1+a）﹣1+f（1﹣a2）﹣1＞0⇔F（1+a）+F（1﹣a2）＞0，所以F（1+a）＞﹣F（1﹣a2）＝F（a2﹣1），所以1+a＞a2﹣1，即a2﹣a﹣2＜0，解得﹣1＜a＜2，即实数a的取值范围是（﹣1，2）．故选：C．15．【答案】C【解答】解：因为y=tanπx2故函数f(2x+1)=令2x+1＝t可得，f(t)=tan函数y＝f（t）的最小正周期为4，对称中心为（2k+1，0），k∈Z，函数y＝f（t）没有对称轴，A错误，B错误，D错误；因为函数f（2x+1）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣2x+1）＝﹣f（2x+1），取x＝0可得，f（1）＝0，因为f（2x+1）的一个周期为2，所以f（2x+4+1）＝f（2x+1），取x=μ−12可得，f（μ+4）＝f（μ），由f（μ+4）＝f（μ）可得，函数f（x）为周期为4的函数，所以f（2023）＝f（505×4+3）＝f（3）＝0，故选：C．16．【答案】C【解答】解：根据题意，因为f（x﹣1）为奇函数，所以f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），即f（﹣x）＝﹣f（x﹣2），所以f（x）关于点（﹣1，0）对称；因为f（x+1）为偶函数，所以f（﹣x+1）＝f（x+1），即f（﹣x）＝f（x+2），所以f（x）关于x＝1对称，由f（﹣x）＝﹣f（x﹣2），f（﹣x）＝f（x+2）得f（x+2）＝﹣f（x﹣2），所以f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），即f（x）是周期为8的周期函数，结合函数的对称性，可得f（x）图象如图所示：由此分析选项：对于A，f（72）＝﹣f（−12）＝﹣（−14对于B，f（x）关于点（﹣1，0）对称，且f（x）是周期为8的周期函数，则f（x）的图象关于点（7，0）对称，则有f（7+x）＝﹣f（7﹣x），即f（x+7）为奇函数，B正确；对于C，由图象可知：f（x）在（6，8）上单调递增，C错误；对于D，方程f（x）+lgx＝0的解的个数等价于f（x）与y＝﹣lgx的交点个数，因为f（12）＝f（4）＝﹣f（0）＝﹣1，﹣lg12＜﹣lg10＝﹣1，所以结合图象可知：f（x）与y＝﹣lgx共有6个交点，即f（x）+lgx＝0有6个实数解，D正确．故选：C．17．【答案】D【解答】解：由函数f(x)=a2x+1x−1又由f（x）＞b2恒成立就转化为（a+1）2＞b2成立，因为若a，b∈（0，2），所以等价于a+1＞b，如图所示，由面积比几何概型，其概率为1−1故选：D．18．【答案】C【解答】解：由f（x+1）+f（x﹣1）＝2，得f（x+2）+f（x）＝2，即f（x+2）＝2﹣f（x），所以f（x+4）＝2﹣f（x+2）＝2﹣[2﹣f（x）]＝f（x），所以函数f（x）的周期为4，又f（x+2）为偶函数，则f（﹣x+2）＝f（x+2），所以f（x）＝f（4﹣x）＝f（﹣x），所以函数f（x）也为偶函数，又f（x+1）+f（x﹣1）＝2，所以f（1）+f（3）＝2，f（2）+f（4）＝2，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝4，又f（1）+f（﹣1）＝2，即2f（1）＝2，所以f（1）＝1，又f（0）+f（2）＝2，f（0）＝2，∴f（2）＝0，所以k=1115故选：C．19．【答案】A【解答】解：∵g（x）为偶函数，∴g（﹣x）＝g（x），则﹣g′（﹣x）＝g′（x），∴g′（x）为奇函数且g′（0）＝0，令x＝4，得f（4）﹣g′（0）＝2，则f（4）＝2，故C正确；令x＝2，得f(2)+g'(2)=2f(2)−g'(2)=2，∴f(2)=2g'(2)=0，故f（x）+g′（x）＝2，f（2+x）+g′（2+x）＝2，∴f（x）﹣g′（4﹣x）＝2，两式相加得f（2+x）+f（2﹣x）＝4，∴f（x）关于点（2，2）成中心对称，∴f（1）+f（3）＝4，故D正确；∵f（x）+g′（x）＝2，∴f（x+4）+g′（x+4）＝2，f（x）﹣g′（4﹣x）＝2，则f（x）+g′（x+4）＝2，两式相减可得f（x）＝f（x+4），∴f（x）以4为周期，根据以上性质得f（﹣1）+f（﹣3）＝4，不能推导出f（﹣1）＝f（﹣3），故A错误．故选：A．二、多选题（共13小题）20．【答案】ACD【解答】解：由f（1+x）＝f（1﹣x）知f（x）的对称轴为x＝1，所以f（0）＝f（2），故A正确；由f（1+x）＝f（1﹣x）知：f（2+x）＝f（﹣x），又图像关于（2，0）对称，即f（2+x）＝﹣f（2﹣x），故f（4+x）＝﹣f（﹣x），所以﹣f（2+x）＝f（4+x），即﹣f（x）＝f（2+x），所以f（x）＝f（x+4），f（x）的周期为4，故B错误；因为f（x）在（﹣1，0]上单调递增，且T＝4，所以f（x）在（3，4]上单调递增，又图像关于（2，0）对称，所以f（x）在（0，1]上单调递增，因为关于x＝1对称，所以f（x）在（1，2]上单调递减，故C正确；根据周期性，f（2021）＝f（1），f（2022）＝f（2），f（2023）＝f（3），因为关于x＝1对称，所以f（2）＝f（0），因为周期T＝4，所以f（3）＝f（﹣1）；结合f（x）在（1，2]上单调递减，且（﹣1，0]上单调递增，故f（3）＝f（﹣1）＜f（0）＝f（2）＜f（1），即f（2021）＞f（2022）＞f（2023），故D正确．故选：ACD．21．【答案】BCD【解答】解：因为∀x∈R有f（2﹣4x）＝f（4x），所以f（2﹣x）＝f（x），即函数关于x＝1对称，因为f(x+12)为奇函数，所以f（x）＝﹣f（1﹣x），所以f（2﹣x）＝﹣f（1﹣x），即f（x+1）＝﹣f（x），所以f（x+2）＝f（x由f（x）＝﹣f（1﹣x）可得f（x+1）＝﹣f（x），所以f（12）＝﹣f（−12），即f（−由f（x+2）＝f（x），f（2﹣x）＝f（x）得f（2﹣x）＝f（2+x），所以f（x+2）为偶函数，C正确；由f（x）＝﹣f（1﹣x），f（x+2）＝f（x）可得f（x）＝﹣f（﹣1﹣x），即f（x−12）＝﹣f（﹣x−12），故f（x故选：BCD．22．【答案】AD【解答】解：∵f（x+2）为奇函数，∴f（2﹣x）＝﹣f（2+x），即f（x）关于点（2，0）中心对称，故D正确，C错误．又由f（2x+1）为偶函数，则有f（﹣2x+1）＝f（2x+1），用x替换上式中2x，则f（1﹣x）＝f（1+x），即f（x）关于x＝1对称，故A正确，B错误．故选：AD．23．【答案】AC【解答】解：对于A，由f（x）g（﹣x）＝4，得f（﹣x﹣2）g（x+2）＝4，所以f（﹣x﹣2）＝f（x），则f（x）的图象关于直线x＝﹣1对称，选项A正确；对于B，由于f（x）的图象关于点（0，2）对称，则f（﹣x）+f（x）＝4，由选项A的结论可知，f（x﹣2）＝f（﹣x），则f（x﹣2）+f（x）＝4，所以f（x﹣4）+f（x﹣2）＝4，则f（x）＝f（x﹣4），所以函数f（x）的一个周期为4，则k=12004f(k)=501[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]=501×8=4008对于C，由f（x）＝f（x+4），及f（x）g（﹣x）＝4，得g（﹣x）＝g（﹣x﹣4），则函数g（x）的一个周期为4，选项C正确；对于D，取f(x)=sin(π2x)+2又g(−1)+g(1)=163，与g（x）的图象关于点（0，2）对称矛盾，则选项故选：AC．24．【答案】ABD【解答】解：A选项，由f（c+x）+f（c﹣x）＝2d两边求导得f'（c+x）﹣f'（c﹣x）＝0，即f'（x）关于x＝c对称，故A正确；B选项，由f（a+x）为偶函数，知f（a+x）＝f（a﹣x）⇒f（﹣x）＝f（2a+x），又f（c+x）+f（c﹣x）＝2d⇒f（﹣x）＝2d﹣f（2c+x），则f(2a+x)=2d−f(2c+x)⇒f(x)=2d−f(x+2|c−a|)f(x+2|c−a|)=2d−f(x+4|c−a|)⇒f（x）＝f（x+4|c﹣a|），即f（x）的一个周期为4|c﹣a|，则f（2x）的一个周期为2|c﹣C选项，注意到当c＝d时，f（c+x）+f（c﹣x）＝2c⇒f（x）+f（2c﹣x）＝2c．则f（f（c+x））+f（2c﹣f（c+x））＝f（f（c+x））+f（f（c﹣x））＝2c，即此时f（f（x））关于（c，c），即（c，d）对称，故C错误；D选项，由f（a+x）为偶函数，知f（x）关于x＝a对称，即f（a+x）＝f（a﹣x），则f（f（a+x））＝f（f（a﹣x）），即f（f（x））关于x＝a对称，故D正确．故选：ABD．25．【答案】ACD【解答】解：由f(x−32)=f(x+12)得f（x）＝f（x+2），即f（x）是周期为2的周期函数，则f（x）的周期是2k（k∵f（x）是偶函数，∴f（x）＝f（x+2）＝f（﹣x），则函数f（x）关于x＝1对称，故B错误，当x∈[﹣3，﹣2]时，﹣x∈[2，3]，则f（﹣x）＝﹣x＝f（x），即此时f（x）＝﹣x，x∈[﹣3，﹣2]，故C正确，当x∈[0，1]时，x+2∈[2，3]，...f（x）＝f（x+2）＝x+2，x∈[0，1]，∵函数f（x）是偶函数，∴当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝f（﹣x）＝﹣x+2，当x∈[﹣2，﹣1]时，x+2∈[0，1]，此时f（x）＝f（x+2）＝x+2+2＝x+4，当x∈[﹣2，0]时，f（x）=−x+2，当x∈[﹣2，﹣1]时，f（x）＝3﹣|x+1|＝3+x+1＝x+4，当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝3﹣|x+1|＝3﹣x﹣1＝2﹣x，故D正确，故选：ACD．26．【答案】ABD【解答】解：对于选项A，∵f（2+2x）是偶函数，∴f（2﹣2x）＝f（2+2x），∴函数f（x）关于直线x＝2对称，∴f（﹣x）＝f（4+x），∵f（x）+f（4+x）＝0，∴f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数，则A正确；对于选项B，∵f（4+x）＝﹣f（x），∴f（8+x）＝﹣f（4+x），∴f（8+x）＝f（x），∴f（x）的周期为8，∴f（2023）＝f（253×8﹣1）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，则B正确；对于选项C，若f（x）的图象关于直线x＝1对称，则f（3）＝f（﹣1），但是f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，f（3）＝f（1）＝1，即f（3）≠f（﹣1），这与假设条件矛盾，则选项C错误；对于选项D，将x=12代入f（2﹣2x）＝f（2+2x），得f（3）＝将x＝1代入f（x）+f（4+x）＝0，得f（5）＝﹣f（1）＝﹣1，同理可知f（7）＝﹣f（3）＝﹣1，又∵f（x）的周期为8，∴f（x）正奇数项的周期为4，∴k=1100kf（2k﹣1）＝f（1）+2f（3）+3f（5）+...+100＝[f（1）+2f（3）+3f（5）+4f（7）]+[5f（9）+6f（1l）+7f（13）+8f（15）]+...+[97f（193）+98f（195）+99f（197）+100f（199）]＝25×（﹣4）＝﹣100，则D正确．故选：ABD．27．【答案】ABD【解答】解：A项：∵f（x+y）＝f（x）f（y）+f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＞0，f（2）＝3，令x＝y＝1，则f（2）＝[f（1）]2+2f（1）＝3，解得f（1）＝1（﹣3舍去），A正确；B项：任取x1＜x2∈（0，+∞），则f（x2）＝f[x1+（x2﹣x1）]＝f（x1）f（x2﹣x1）+f（x1）+f（x2﹣x1），∵当x＞0时，f（x）＞0，∴f（x2﹣x1）＞0，f（x1）＞0，∴f（x1）f（x2﹣x1）+f（x1）+f（x2﹣x1）＞f（x1），即f（x2）＞f（x1），∴函数f（x）在区间（0，+∞）单调递增，B正确；C项：令x＝y＝0，则f（0）＝[f（0）]2+2f（0），解得f（0）＝0或f（0）＝﹣1，当f（0）＝0，且x＞0时，令y＝﹣x，则0＝f（x）f（﹣x）+f（x）+f（﹣x），若f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），即0＝﹣f2（x）+f（x）﹣f（x），解得f（x）＝0，与题意矛盾；当f（0）＝﹣1时f（x）不为奇函数．综上所述，函数f（x）不是奇函数，C错误；D项：当f（x）＝2x﹣1，则f（x+y）＝2x+y﹣1，f（x）f（y）+f（x）+f（y）＝（2x﹣1）（2y﹣1）+（2x﹣1）+（2y﹣1）＝2x+y﹣2x﹣2y+1+2x﹣1+2y﹣1＝2x+y﹣1，∴f（x+y）＝f（x）f（y）+f（x）+f（y），易得f（x）＝2x﹣1在R上单调递增，∴x＞0时，f（x）＝2x﹣1＞20﹣1＝0，f（2）＝22﹣1＝3，故函数f（x）的一个解析式为f（x）＝2x﹣1，D正确．故选：ABD．28．【答案】BC【解答】解：A选项，假设y＝f（x）+x为偶函数，则有f（﹣x）﹣x＝f（x）+x，变形为f（x）﹣f（﹣x）＝﹣2x，与f（x）﹣f（﹣x）＝2x矛盾，故假设不成立，y＝f（x）+x不是偶函数，A错误；B选项，假设f（x）的图象关于直线x＝1对称，则有f（1+x）＝f（1﹣x），两边求导得到f′（1+x）＝﹣f′（1﹣x），即f′（1+x）+f′（1﹣x）＝0，由于题目条件中有f′（1+x）+f′（1﹣x）＝0，故假设成立，B正确；C选项，f（x）﹣f（﹣x）＝2x两边求导得f′（x）+f′（﹣x）＝2，令x＝0得f′（0）+f′（0）＝2，解得f′（0）＝1，C正确；D选项，因为f（1+x）＝f（1﹣x），将﹣x﹣1代替x，得f（﹣x）＝f（x+2），又f（x）﹣f（﹣x）＝2x，故f（x）﹣f（x+2）＝2x，即f（x+2）﹣f（x）＝﹣2x，两边求导得f′（x+2）﹣f′（x）＝﹣2，f′（x+2）＝f′（x）﹣2，D错误．故选：BC．29．【答案】BCD【解答】解：因为f（﹣1﹣x）＝f（7+x），所以f（x）＝f（6﹣x），f（x）的图象关于x＝3对称，因为函数f（x+2）﹣1为奇函数，所以f（x）的图象关于点（2，1）对称，且f（0+2）﹣1＝0⇒f（2）＝1，又f（﹣x+2）﹣1＝1﹣f（x+2）⇒f（x+2）＝2﹣f（2﹣x），所以f（x）＝2﹣f（4﹣x）＝2﹣f[6﹣（2+x）]＝2﹣f（2+x）＝2﹣[2﹣f（2﹣x）]＝f（2﹣x）＝f[6﹣（2﹣x）]＝f（x+4），即f（x）＝f（x+4），所以f（x）的周期为4，所以f（2022）＝f（2）＝1，故A错误；由上可知，f（x）＝f（2﹣x），f（x+1）＝f[2﹣（x+1）]＝f（1﹣x），故B正确；因为∀a，b∈[2，3]，当a≠b时，都有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a），即（a﹣b）[f（a）﹣f（b）]＞0，所以f（x）在区间[2，3]单调递增，因为f（x）的图象关于点（2，1）对称，所以f（x）在区间[1，2]单调递增，又f（x）的图象关于x＝3对称，所以f（x）在区间[4，5]单调递减，C正确；因为g(x)=2x−152x−4=1−112(x−2)所以f（x）与g（x）的交点关于点（2，1）对称，不妨设x1＜x2＜x3＜•••＜xm，则x1+xm＝x2+xm﹣1＝x3+xm﹣2＝⋅⋅⋅＝4，y1+ym＝y2+ym﹣1＝y3+ym﹣2＝⋅⋅⋅＝2，所以x1+x2+⋯+xm＝2m，y1+y2+⋯+ym＝m，所以x1+x故选：BCD．30．【答案】AB【解答】解：对于A，因为函数f（x）＝sinxcos2x的定义域为R，又f（﹣x）＝sin（﹣x）cos（﹣2x）＝﹣sinxcos2x＝﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数；又因为f（2π+x）＝sin（2π+x）cos（4π+2x）＝sinxcos2x＝f（x），所以函数f（x）为周期函数，故选项A正确；对于B，若函数f（x）的图象关于直线x=π2对称，则f（x﹣x）＝f（x）成立，因为f（π﹣x）＝sin（π﹣x）cos（2π﹣2x）＝sinxcos2x＝f（所以f（x﹣x）＝f（x），故选项B正确；对于C，因为函数f（x）＝sinxcos2x＝sinx﹣2sin3x，令sinx＝t（﹣1≤t≤1），则y＝g（t）＝t﹣2t3，g'（t）＝1﹣6t2，令g'（t）＞0，解得−6令g'（t）＜0，解得−1≤t＜−66或又g（﹣1）＝1，g（66）=故函数f（x）的最大值为1，C错误；对于D，由题意得f′（x）＝cosxcos2x﹣2sinxsin2x≥0在（0，π2而f'(π4)=−故选：AB．31．【答案】ABC【解答】解：由f（3﹣x）＝f（1+x）可得f（2﹣x）＝f（2+x），所以f（x）关于直线x＝2对称，所以f（2x）关于直线x＝1对称，即g(x+12)−1所以g(x+12)关于直线x＝1对称，所以g（x所以有g（3﹣x）＝g（x），所以有g（2﹣x）＝g（x+1），所以g（2﹣x）﹣1＝g（x+1）﹣1．又由g（2﹣x）+g（x）＝2可得，g（1﹣x）+g（1+x）＝2，所以g（x）关于点（1，1）对称，所以g（1﹣x）﹣1＝﹣g（1+x）+1．对于B项，因为g（2﹣x）﹣1＝g（x+1）﹣1，g（1﹣x）﹣1＝﹣g（1+x）+1，所以，g（1﹣x）＝﹣g（2﹣x），所以g（﹣x）＝﹣g（1﹣x）＝g（﹣x+2），所以，g（x）的周期为T＝2，故B项正确；对于A项，由已知f(2x)=g(x+12)−1周期为2，所以f因为f（x）关于直线x＝2对称，所以x＝6是函数f（x）图象的一条对称轴，故A项正确；对于C项，g（x）关于点（1，1）对称，所以f(2x)=g(x+12)−1所以f（x）关于点（1，0）对称，所以f（2﹣x）＝﹣f（﹣x）．又f（x）关于直线x＝2对称，所以f（4+x）＝f（﹣x），所以f（4+x）＝﹣f（2﹣x），所以有f（3+x）＝﹣f（3﹣x），所以函数f（x）图象的一个对称中心为（3，0），故C项正确；对于D项，由C知，f（x）关于点（1，0）对称，f（x）关于点（3，0）对称，所以f（0）+f（2）＝0，f（1）＝f（3）＝0，所以f（0）+f（1）+f（2）+f（3）＝0．又f（x）的周期为4，所以对k∈Z，f（4k）+f（4k+1）+f（4k+2）+f（4k+3）＝0．因为f（2023）＝f（4×505+3）＝f（3），则当n＝2时，有f（n）+f（n+1）+⋯+f（2023）＝f（2）+f（3）＝f（2）．因为f（0）+f（2）＝0，所以f（2）＝﹣f（0）＞0，不满足题意；当n＝1时，f（n）+⋯+f（2023）＝f（1）+f（2）+f（3）＝f（2），不满足题意；当n＝3时，f（n）+f（n+1）+⋯+f（2023）＝f（3）＝0，满足题意．故n的最小值为3，D错误．故选：ABC．三、填空题（共14小题）32．【答案】−1【解答】解：根据题意，当x＜0时，f（x）＝ex，而ln2＞0，则﹣ln2＜0，所以f(ln由f（x）是奇函数，则f(ln2)=−f(−ln2)=−f(ln故答案为：−133．【答案】1．【解答】解：∵f（x）为偶函数，定义域为R，∴对任意的实数x都有f（x）＝f（﹣x），即log∴2ax=lo由题意得上式对任意的实数x恒成立，∴2a＝4，解得a＝2，所以loga2＝1．故答案为：1．34．【答案】1．【解答】解：因为函数f(x)=2x−则f（﹣x）＝﹣f（x），即2−x所以，ln（e﹣2x+1）+ax＝ln（e2x+1）﹣ax，所以，2ax=ln(e所以，a＝1．故答案为：1．35．【答案】﹣1．【解答】解：根据题意，奇函数f（x）满足f（x）＝f（2﹣x），则有f（2﹣x）＝﹣f（﹣x），即f（x+2）＝﹣f（x），变形可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（11）＝f（﹣1+12）＝f（﹣1）＝﹣f（1），而x∈[0，1]时，f（x）＝x，则f（1）＝1，故f（11）＝﹣f（1）＝﹣1；故答案为：﹣1．36．【答案】38【解答】解：因为定义在R上的函数f（x）为奇函数，且满足f（1+x）＝f（3+x），故函数的周期T＝2，因为当0≤x≤1时，f（x）＝x3﹣x，所以f（0）＝0，f（12）=−38，f（−12）＝﹣f则f(112)+f(6)=f（−12故答案为：3837．【答案】（﹣1，+∞）．【解答】解：因为函数f（x）＝x5+x定义域为R，f（﹣x）＝（﹣x）5+（﹣x）＝﹣x5﹣x＝﹣f（x），f′（x）＝5x4+1≥1，所以f（x）是奇函数且在R上单调递增，由f（2x﹣1）+f（2﹣x）＞0，可得f（2x﹣1）＞﹣f（2﹣x）＝f（x﹣2），则2x﹣1＞x﹣2，解得x＞﹣1，即x的取值范围是（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣1，+∞）．38．【答案】{x|x＜−5【解答】解：∵函数f（x）﹣1为奇函数，∴函数f（x）关于（0，1）中心对称，又f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴f（x）在（﹣∞，+∞）单调递增，从而f（3x+4）+f（1﹣x）＜2可化为f（3x+4）＜2﹣f（1﹣x）＝f（x﹣1），∴3x+4＜x﹣1，即x＜−5故答案为：{x|x＜−539．【答案】（﹣3，−12）【解答】解：∵f(x)=ex+∴f（﹣x）＝f（x）即f（