经济数学基础（第六版）（上册）课件 第20讲5.1定积分的概念

经济数学基础辅导第20讲顾静相5.1定积分的概念教学要求

理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质．定积分的概念教材中用几何与经济两个实际背景完全不同的例子引入了定积分概念，大家一定要认真阅读，了解定积分所要解决的实际问题．

定积分定义

定义5.1

设函数f(x)在区间[a,b]上定义．用点a=x0<x1<x2<…<xn=b将区间[a,b]分成n个小区间:

[x0,x1]，[x1,x2]，…，[xn-1,xn]，记

xi

=xi-xi-1(i=1,2,…,n)．在每个小区间[xi－1,xi]上任取

i(xi-1

i

xi)，作和式称为积分和．定积分定义作和式称为积分和．当n无限增大，且

x()

0时，如果Sn的极限存在，且极限值与区间[a,b]的划分方法及点

i的取法无关，则称函数f(x)在区间[a,b]上可积，此极限值称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作

，即

，定积分定义即，其中f(x)称为被积函数，[a,b]称为积分区间，a称为积分下限，b称为积分上限，x称为积分变量，f(x)dx称为被积表达式．定积分的概念对于定积分的概念，应注意以下几点：

1．函数f(x)在区间[a,b]上的定积分是积分和的极限，如果这一极限存在，则它是一个确定的常量．它只与被积函数f(x)和积分区间[a,b]有关，而与积分变量使用的字母的选取无关．即

．

定积分的概念2．在定积分定义中假设a<b，但如果b<a，我们规定：

，即互换定积分的上、下限，定积分要变号．

如果a=b，则

.定积分的概念

3．如果函数f(x)在区间[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上有界，即函数f(x)有界是其可积的必要条件．这一结论也可叙述为：如果函数f(x)在区间[a,b]上无界，则f(x)在[a,b]上不可积．定积分的性质性质1

常数因子可以提到积分号前面，即

(k为常数)．定积分的性质性质2

两个函数代数和的积分等于它们分别积分的代数和，即．此条性质可以推广到有限个函数的情形．性质1

常数因子可以提到积分号前面，即

(k为常数)．定积分的性质性质1

两个函数代数和的积分等于它们分别积分的代数和，即．此条性质可以推广到有限个函数的情形．性质2

常数因子可以提到积分号前面，即

(k为常数)．性质3(积分的区间可加性)如果c是任意一点，有．定积分的性质性质4如果函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上满足：f(x)

g(x)，那么．定积分的性质性质4如果函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上满足：f(x)

g(x)，那么．性质5

如果函数f(x)=1，那么

．定积分的性质性质4如果函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上满足：f(x)

g(x)，那么．性质5

如果函数f(x)=1，那么

．性质6(估值定理)设函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值分别为M，m，那么．定积分的性质性质7(积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么在[a,b]上至少存在一点

，使得

，

(a,b)．定积分的性质几何意义：由曲线y=f(x)，x轴和直线x=a，x=b所围成的曲边梯形面积等于区间[a,b]上某个矩形的面积，这个矩形的