2022-2023学年安徽省六安二中高一（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年安徽省六安二中高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若复数z满足i•z＝3﹣4i，则|z|＝（）A． B．5 C．7 D．252．（5分）围绕民宿目的地进行吃住娱乐闭环消费已经成为疫情之后人们出游的新潮流．在用户出行旅游决策中，某机构调查了某地区1000户偏爱酒店的用户与1000户偏爱民宿的用户住宿决策依赖的出行旅游决策平台，得到统计图，则下列说法中不正确的是（）A．偏爱民宿用户对小红书平台依赖度最高 B．在被调查的两种用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和相等 C．小红书在所有被调查用户住宿决策中的占比与携程旅行在所有被调查用户住宿决策中的占比不相等 D．在被调查的两种用户住宿决策中，同程旅行占比都比抖音的占比高3．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知，A＝2B，则A的值是（）A． B． C． D．4．（5分）样本中共有5个个体．其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本的标准差为（）A． B． C．2 D．5．（5分）已知圆锥的母线长为2，轴截面顶角的正弦值是，过圆锥的母线作截面，则截面面积的最大值是（）A．1 B． C．1或2 D．26．（5分）对于函数f（x）＝2sinx（cosx﹣sinx）+1，下列结论中正确的是（）A．f（x）的最大值为 B．f（x）的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 C．f（x）在上单调递减 D．f（x）的图象关于点中心对称7．（5分）如图，S是△ABC所在平面外一点，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，且SA⊥面ABC，SA＝3，则SA与平面SBC的夹角为（）A． B． C． D．8．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且CB＝2，AB＝AC＝，二面角P﹣AC﹣B的大小为120°，则三棱锥P﹣ABC的外接球表面积为（）A． B．10π C．9π D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知平面向量，，则下列说法正确的是（）A． B．在方向上的投影向量为 C．与垂直的单位向量的坐标为 D．若向量与向量共线，则λ＝0（多选）10．（5分）若，则（）A． B．事件A与B不互斥 C．事件A与B相互独立 D．事件A与B不一定相互独立（多选）11．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝8，b＜4，c＝7，且满足（2a﹣b）cosC＝ccosB，则下列结论正确的是（）A．C＝60° B．△ABC的面积为 C．b＝2 D．△ABC为锐角三角形（多选）12．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，AD＝2BC，PA＝2，直线PC与平面ABCD和平面PAB所成的角分别为45°和30°，则（）A．PA＝AB B． C．直线PD与平面PAC所成角的余弦值为 D．若AD的中点为E，则三棱锥P﹣ECD的外接球的表面积为20π三、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分。13．（5分）tanθ＝3，则sin2θ﹣cos2θ的值为．14．（5分）甲、乙两支羽毛球队体检结果如下：甲队的体重的平均数为60kg，方差为100，乙队体重的平均数为64kg，方差为200，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1：3，那么甲、乙两队全部队员的方差等于．15．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝CC1＝3，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．16．（5分）如图，已知在东西走向上有甲、乙两座小山，一辆测量车在甲山山底M的正南方向的P点处测得山顶A的仰角为30°，该测量车在水平面上向北偏西60°方向行驶100m后到达点Q，在点Q处测得乙山山顶B的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经计算，tanθ＝2，若甲、乙山高分别为100m、200m，求两山山顶A，B之间的距离．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且bcosC＝csinB．（1）求角C；（2）若b＝，△ABC的面积为2，求c．18．（12分）某中学为研究本校高三学生在市联考中的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，得到以[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组的样本频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）请估计本次联考该校语文成绩的中位数和平均数；（3）样本内语文分数在[130，140），[140，150]的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人成绩在[130，140）中的概率．19．（12分）如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1，AB＝AA1＝4，E，F分别为A1C1，B1C的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面A1BC；（Ⅱ）求三棱锥B1﹣A1BC的体积．20．（12分）从条件①；②中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在△ABC中：内角A，B，C的对边分别为a，b，c，___．（1）求角C的大小；（2）设D为边AB的中点，求的最大值．21．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC＝2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P的位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的中点．（1）证明：平面EMN⊥平面PBC；（2）求二面角B﹣EN﹣M的正切值．22．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空：每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．已知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为，乙胜丙的概率为，各场比赛的结果相互独立．经抽签，第一场比赛甲轮空．（1）求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率；（2）求只需四场比赛就决出冠军的概率；（3）求甲最终获胜的概率．

2022-2023学年安徽省六安二中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若复数z满足i•z＝3﹣4i，则|z|＝（）A． B．5 C．7 D．25【分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．【解答】解：由i•z＝3﹣4i，得z＝，∴|z|＝||＝＝．故选：B．【点评】本题考查复数模的求法，考查化归与转化思想，是基础题．2．（5分）围绕民宿目的地进行吃住娱乐闭环消费已经成为疫情之后人们出游的新潮流．在用户出行旅游决策中，某机构调查了某地区1000户偏爱酒店的用户与1000户偏爱民宿的用户住宿决策依赖的出行旅游决策平台，得到统计图，则下列说法中不正确的是（）A．偏爱民宿用户对小红书平台依赖度最高 B．在被调查的两种用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和相等 C．小红书在所有被调查用户住宿决策中的占比与携程旅行在所有被调查用户住宿决策中的占比不相等 D．在被调查的两种用户住宿决策中，同程旅行占比都比抖音的占比高【分析】由酒店预订条形图和民宿预订扇形图逐一分析四个选项得答案．【解答】解：由右图可知，偏爱民宿用户对小红书平台的选择占比为1﹣（10%+20%+16%+18%+12%）＝24%，则偏爱民宿用户对小红书平台依赖度最高，故A正确；在被调查的酒店用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和为25%+19%＝44%，在被调查的民宿用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和为24%+20%＝44%，则在被调查的两种用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和相等，故B正确；小红书在所有被调查用户住宿决策中的占比为19%+24%＝43%，携程旅行的占比为25%+20%＝45%，携程旅行的占比略高于小红书占比，故C正确；在被调查的两种用户住宿决策中，同程旅行占比分别为15%和12%，抖音的占比分别为6%和18%，则酒店预订方面同程旅行占比高，民宿预订方面抖音的占比高，故D错误．故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查统计知识的应用，是基础题．3．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知，A＝2B，则A的值是（）A． B． C． D．【分析】由，利用正弦定理、倍角公式化简整理即可得出结论．【解答】解：∵，∴sinA＝sinB，∵A＝2B，∴sin2B＝sinB，∴2sinBcosB＝sinB≠0，化为cosB＝，∵0＜A+B＜π，∴0＜3B＜π，∴B∈（0，），解得B＝，则A＝，故选：A．【点评】本题考查了正弦定理、倍角公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．（5分）样本中共有5个个体．其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本的标准差为（）A． B． C．2 D．【分析】根据已知中数据，代入平均数公式，计算出a值，进而代入标准差计算公式，可得答案．【解答】解：∵样本a，0，1，2，3的平均值为1，∴＝1解得a＝﹣1则样本的标准差s＝＝故选：D．【点评】本题考查的知识点是标准差与平均数，熟练掌握标准差的计算公式是解答的关键．5．（5分）已知圆锥的母线长为2，轴截面顶角的正弦值是，过圆锥的母线作截面，则截面面积的最大值是（）A．1 B． C．1或2 D．2【分析】截面形状为等腰三角形，结合面积的正弦形式可得结果．【解答】解：∵轴截面顶角的正弦值是，∴轴截面顶角为或，设截面三角形顶角为θ，则截面面积为，当轴截面顶角为时，截面面积的最大值是2sin＝1，当轴截面面积顶角为时，截面面积的最大值是2sin＝2．故选：C．【点评】本题考查圆锥及其母线、轴截面顶角、截面等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（5分）对于函数f（x）＝2sinx（cosx﹣sinx）+1，下列结论中正确的是（）A．f（x）的最大值为 B．f（x）的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 C．f（x）在上单调递减 D．f（x）的图象关于点中心对称【分析】由可得f（x）的最大值为，故A错误；将的图象向右平移个单位长度得到的图象，可得B错误；根据余弦函数的减区间可知f（x）在上单调递减，可得C正确；由，可知D错误．【解答】解：因为f（x）＝2sinx（cosx﹣sinx）+1＝sin2x﹣2sin2x+1＝sin2x+cos2x＝，所以当，k∈Z，即，k∈Z时，f（x）取得最大值为，故A错误；将的图象向右平移个单位长度得到的图象，所以B错误；由，得，所以是f（x）的一个单调递减区间，所以f（x）在上单调递减，所以C正确；因为，所以点不是f（x）的图象的对称中心，所以D错误．故选：C．【点评】本题考查了三角函数中的恒等变换，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换以及余弦函数的性质，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．7．（5分）如图，S是△ABC所在平面外一点，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，且SA⊥面ABC，SA＝3，则SA与平面SBC的夹角为（）A． B． C． D．【分析】结合勾股定理，余弦定理与三角形的面积公式求得S△SBC＝2，S△ABC＝，设点A到平面SBC的距离为h，利用等体积法求得h＝，再设SA与平面SBC的夹角为θ，由sinθ＝，得解．【解答】解：因为SA⊥面ABC，且AB，AC⊂平面ABC，所以SA⊥AB，SA⊥AC，因为AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，SA＝3，所以S△ABC＝AB•BCsin∠ABC＝＝，AC＝2，SB＝，SC＝，在△SBC中，由余弦定理知，cos∠SBC＝＝＝﹣，所以sin∠SBC＝＝，所以S△SBC＝SB•BC•sin∠SBC＝＝2，由SA⊥面ABC，知点S到平面ABC的距离为SA＝3，设点A到平面SBC的距离为h，因为VS﹣ABC＝VA﹣SBC，所以•SA•S△ABC＝•h•S△SBC，即•3•＝•h•2，解得h＝，设SA与平面SBC的夹角为θ，则sinθ＝，因为，所以．故选：C．【点评】本题考查空间中线面角的求法，熟练掌握等体积法，余弦定理与三角形的面积公式是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．8．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且CB＝2，AB＝AC＝，二面角P﹣AC﹣B的大小为120°，则三棱锥P﹣ABC的外接球表面积为（）A． B．10π C．9π D．【分析】取AC中点E，BC中点N，连接PE，AN，过点E在平面ABC内作EM⊥AC交AB于M，与AN交于N，由已知可证面PAC⊥平面PME，面ABC⊥平面PME，F为△ABC的外心，E为△PAC的外心，过E，F在面PME内分别作PE，ME的垂线，交点即为外接球的球心，计算可得球的半径，从而得表面积．【解答】解：取AC中点E，BC中点N，连接PE，AN，过点E在平面ABC内作EM⊥AC交AB于M，与AN交于N，因为PA＝PC，所以AC⊥PE，PE∩ME＝E，PE⊂平面PME，ME⊂平面PME，所以AC⊥平面PME，又AC⊂平面ABC，AC⊂平面APC，所以面PAC⊥平面PME，面ABC⊥平面PME，因为AB＝AC，所以AN⊥BC，所以F为△ABC的外心，E为△PAC的外心，在平面PME内过E作PE的垂线EO，在平面PME内过F作EM的垂线FO与EO交于O，则O为外接球的球心，二面角P﹣AC﹣B的大小为120°，所以∠PEM＝120°，所以∠OEF＝30°，由△AEF∽△ANC，可得＝＝，又AN＝＝2，AE＝，CN＝，所以EF＝，AF＝，所以OF＝EFtan30°＝，所以OA＝＝＝，所以外接球的半径为，三棱锥P﹣ABC的外接球表面积为S＝4π（）2＝10π．故选：B．【点评】本题考查空间几何体的外接球的表面积问题，重点在于确定球心的位置，属中档题．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知平面向量，，则下列说法正确的是（）A． B．在方向上的投影向量为 C．与垂直的单位向量的坐标为 D．若向量与向量共线，则λ＝0【分析】可求出，，，根据数量积的公式即可求出A项；根据投影向量的计算公式即可判断B项；设出坐标（x0，y0），根据题意列出关系式，解出方程组即可判断C项；分别求出向量与向量的坐标，根据共线向量的坐标表示，即可求出λ的值．【解答】解：对于选项A，∵，，∴，，，则，故A正确；对于选项B，在方向上的投影向量为，故B错误；对于选项C，设与垂直的单位向量的坐标（x0，y0），则有，解得或，∴与垂直的单位向量的坐标为或，故C错误；对于选项C，显然与不共线，∵＝（1﹣3λ，1+4λ），＝（1+3λ，1﹣4λ），且向量与向量共线，∴（1﹣3λ）（1﹣4λ）﹣（1+3λ）（1+4λ）＝0，解得λ＝0，故D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，考查了投影向量的定义，属于中档题．（多选）10．（5分）若，则（）A． B．事件A与B不互斥 C．事件A与B相互独立 D．事件A与B不一定相互独立【分析】由已知结合互斥事件与独立事件的定义检验各选项即可判断．【解答】解：因为P（）＝，所以P（A）＝，A错误；又P（B）＝，P（AB）＝＝＝P（A）P（B），故A，B独立，C正确，D错误；由P（AB）≠0可知，A，B不互斥，B正确．故选：BC．【点评】本题主要考查了互斥事件与独立事件的判断，属于基础题．（多选）11．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝8，b＜4，c＝7，且满足（2a﹣b）cosC＝ccosB，则下列结论正确的是（）A．C＝60° B．△ABC的面积为 C．b＝2 D．△ABC为锐角三角形【分析】先利用正弦定理化简，整理后可求出角C判断A，利用余弦定理判断CD，利用三角形的面积公式判断B．【解答】解：∵（2a﹣b）cosC＝ccosB，∴（2sinA﹣sinB）cosC＝sinCcosB，∴2sinAcosC＝sinBcosC+cosBsinC，即2sinAcosC＝sin（B+C），∴2sinAcosC＝sinA．∵在△ABC中，sinA≠0，∴，∴C＝60°，A正确，由余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC，得49＝64+b2﹣2×8bcos60°，即b2﹣8b+15＝0，解得b＝3或b＝5，又b＜4，∴b＝3，C错误，∵△ABC的面积，B正确，又∵，∴A为钝角，△ABC为钝角三角形，D错误．故选：AB．【点评】此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及两角和与差的正弦函数公式，属于中档题．（多选）12．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，AD＝2BC，PA＝2，直线PC与平面ABCD和平面PAB所成的角分别为45°和30°，则（）A．PA＝AB B． C．直线PD与平面PAC所成角的余弦值为 D．若AD的中点为E，则三棱锥P﹣ECD的外接球的表面积为20π【分析】设AB＝a，BC＝b，易得∠PCA即为直线PC与平面ABCD所成角的平面角，∠BPC即为直线PC与平面PAB所成角的平面角，从而可求得AB，BC，即可判断AB；以点A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可判断C；易得△CDE为等腰直角三角形，则△CDE外接圆的圆心O1为CD的中点，设三棱锥P﹣ECD的外接球的球心为O，半径为R，则OO1⊥平面ECD，设，再根据OP＝OD＝R求得半径，即可判断D．【解答】解：设AB＝a，BC＝b，则，因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC，则∠PCA即为直线PC与平面ABCD所成角的平面角，所以∠PCA＝45°，所以AC＝PA，即，，因为AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB，PA⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，则∠BPC即为直线PC与平面PAB所成角的平面角，所以∠BPC＝30°，所以，即，所以，即，故A错误；，则，所以，故B正确；对于C，如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，则，故，设平面PAC的法向量为，则有，可取，则，所以直线PD与平面PAC所成角的正弦值为，余弦值为，故C错误；因为AD的中点为E，所以AE//BC且AE＝BC，又AB⊥AD，所以四边形ABCE为矩形，所以，所以△CDE为等腰直角三角形，CD＝2，则△CDE外接圆的圆心O1为CD的中点，半径r＝1，如图，设三棱锥P﹣ECD的外接球的球心为O，半径为R，则OO1⊥平面ECD，设，则OP＝OD＝R，即，解得c＝2，所以，所以三棱锥P﹣ECD的外接球的表面积为4πR2＝20π，故D正确．故选：BD．【点评】本题考查空间几何体的外接球的表面积，考查线面角的余弦值的求法，考查转化思想，属中档题．三、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分。13．（5分）tanθ＝3，则sin2θ﹣cos2θ的值为．【分析】由万能公式化简后代入即可求值．【解答】解：∵tanθ＝3∴sin2θ﹣cos2θ＝﹣＝﹣＝故答案为：【点评】本题主要考查了万能公式的应用，属于基本知识的考查．14．（5分）甲、乙两支羽毛球队体检结果如下：甲队的体重的平均数为60kg，方差为100，乙队体重的平均数为64kg，方差为200，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1：3，那么甲、乙两队全部队员的方差等于178．【分析】根据已知条件，结合平均数和方差的公式，即可求解．【解答】解：甲队队员在所有队员中人数所占权重为，乙队队员在所有队员中人数所占权重为，∵甲队的体重的平均数为60kg，乙队体重的平均数为64kg，∴甲、乙两队全部队员的平均权重为kg，甲、乙两队全部队员体重的方差为．故答案为：178．【点评】本题主要考查平均数和方差的公式，考查计算能力，属于基础题．15．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝CC1＝3，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．【分析】根据已知作出图形，利用异面直线所成角的定义及余弦定理即可求解．【解答】解：由题意可知，连接AD1，B1D1，如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，所以AB∥C1D1，且AB＝C1D1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，所以BC1∥AD1．所以角∠B1AD1为异面直线AB1与BC1所成的角．又因为AB＝4，BC＝CC1＝3，所以，在△B1AD1中，由余弦定理得，异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角所成角，考查运算求解能力，属于中档题．16．（5分）如图，已知在东西走向上有甲、乙两座小山，一辆测量车在甲山山底M的正南方向的P点处测得山顶A的仰角为30°，该测量车在水平面上向北偏西60°方向行驶100m后到达点Q，在点Q处测得乙山山顶B的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经计算，tanθ＝2，若甲、乙山高分别为100m、200m，求两山山顶A，B之间的距离100m．【分析】在Rt△AMP中求得PM，连接QM，在△PQM中求得PQ，推出△PQM为等边三角形，得出QM，在Rt△AMQ中求得AQ，在Rt△BNQ中求得BQ，最后在△BQA中利用余弦定理求得BA．【解答】解：在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，所以PM＝100，连接QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，又PQ＝100，所以△PQM为等边三角形，所以QM＝100，在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2+QM2，得AQ＝200，又在Rt△BNQ中，tanθ＝2，BN＝200，所以BQ＝100，在△BQA中，BA2＝BQ2+AQ2﹣2BQ•AQcosθ＝50000+40000﹣2×100×200×＝50000，解得BA＝100．所以A，B两山顶间的距离是100m．故答案为：100m．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用，考查了分析问题与解决实际问题的能力，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且bcosC＝csinB．（1）求角C；（2）若b＝，△ABC的面积为2，求c．【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再由同角三角函数的商数关系，可得，结合C∈（0，π），得C的值；（2）先利用三角形的面积公式，求ab的值，从而得a，再利用余弦定理，即可得解．【解答】解：（1）由正弦定理及bcosC＝csinB，得，因为sinB≠0，所以，即，因为C∈（0，π），所以．（2）由（1）得，，因为，所以ab＝8，又b＝，所以a＝4，由余弦定理得，c2＝a2+b2﹣2abcosC＝32+2﹣8＝26，所以c＝．【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正余弦定理，三角形的面积公式，同角三角函数的基本关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和计算能力，属于基础题．18．（12分）某中学为研究本校高三学生在市联考中的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，得到以[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组的样本频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）请估计本次联考该校语文成绩的中位数和平均数；（3）样本内语文分数在[130，140），[140，150]的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人成绩在[130，140）中的概率．【分析】（1）利用频率分布直方图直接列式计算作答．（2）利用频率分布直方图求中位数、平均数的方法列式计算作答．（3）求出分数在[130，140），[140，150]的人数，再用列举法结合古典概率公式计算作答．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：（0.012+0.022+0.028+0.018+x+0.008+0.002）×10＝1，解得：x＝0.01．（2）由频率分布直方图知，分数在区间[80，100）、[80，110）的频率分别为0.34，0.62，因此，该校语文成绩的中位数m在[100，110）之间，则（m﹣100）×0.028＝0.16，解得：m＝，语文成绩的平均数为＝85×0.12+95×0.22+105×0.28+115×0.18+125×0.1+135×0.08+145×0.02＝107.4，所以该校语文成绩的中位数是，语文成绩的平均数是107.4．（3）由频率分布直方图知，分数在[130，140），[140，150]内分别有8人和2人，因此抽取的5人中，分数在[130，140）内有＝4人，在[140，150]内有1人，记[130，140）内的4人为a，b，c，d，在[140，150]内的1人为F，从5人中任取2人的结果有：ab，ac，ad，aF，bc，bd，bF，cd，cF，dF，共10个不同结果，它们等可能，选出的2人中恰有一人成绩在[130，140）中的结果是：aF，bF，cF，dF，所以选出的两名学生中恰有一人成绩在[130，140）中的概率是P＝＝．【点评】本题考查由频数分布直方图求频率，中位数、平均数，属于中档题．19．（12分）如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1，AB＝AA1＝4，E，F分别为A1C1，B1C的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面A1BC；（Ⅱ）求三棱锥B1﹣A1BC的体积．【分析】（Ⅰ）连接BC1，与B1C交于点F，利用中位线定理证明EF∥A1B，由线面平行的判定定理证明即可；（Ⅱ）利用＝﹣2，可求三棱锥B1﹣A1BC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接BC1，与B1C交于点F，因为侧面BCC1B1为正方形，则F为BC1，B1C的中点，因为E，F分别为A1C1，BC1的中点，则EF∥A1B，又A1B⊂平面A1BC，EF⊄平面A1BC，故EF∥平面A1BC；（Ⅱ）解：由已知可得S△ABC＝AB×AC×sin60°＝×4×4×＝4，＝﹣2＝4×4﹣2××4×4＝．【点评】本题考查线面平行的证明，考果空间几何体的体积的计算，属中档题．20．（12分）从条件①；②中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在△ABC中：内角A，B，C的对边分别为a，b，c，___．（1）求角C的大小；（2）设D为边AB的中点，求的最大值．【分析】（1）若选择条件①，由正弦定理边化角即可求解；若选择条件②，利用和差角公式化简即可；（2）利用向量建立等量关系，由重要不等式即可求得最值．【解答】解：（1）选择条件①，，则，即，∵sinA≠0，∴，即，又0＜C＜π，∴，∴，即．选择条件②，由，得，则，即，化简得，，∵，∴，∴，即．（2）∵，∴，∴，∵a2+b2⩾2ab，∵a2+b2≥2ab，∴，当且仅当a＝b时取等号，∴的最大值为．【点评】本题主要考查三角形中的几何计算，考查转化能力，属于中档题．21．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC＝2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P的位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的中点．（1）证明：平面EMN⊥平面PBC；（2）求二面角B﹣EN﹣M的正切值．【分析】（1）根据题意证明BC⊥平面PEB，可得PE⊥BC，结合BC⊥EB，可证明BC⊥平面PEB，可得BC⊥EM，结合EM⊥PB，能证明平面EMN⊥平面PBC；（2）根据三垂线法可得∠MRQ是二面角B﹣EN﹣M的平面角，结合题意分析运算即可．【解答】（1）证明：∵PE⊥