教师资格证高中教材知识点梳理

备注：红色字体部分重点识记

人教版必修一

第一章集合与函数概念

1.1集合

知识点梳理

(-)集合

1.集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2.集合中的元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。

说明：

(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这

个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集

合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较

它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3.集合的表示：

(1)｛…｝如｛我校的篮球队员｝，｛太平洋，大西洋,印度洋，北冰洋｝

(2)用拉丁字母表示集合：A=｛我校的篮球队员｝,B=｛1,2,3,4,5｝

(3)集合的表示方法：列举法与描述法。

列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定

的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

(1)语言描述法：例：｛不是直角三角形的三角形｝

图瞽•盛圣谖莫错法0：不等式即3>2的解集是｛xR|x-3>2｝或｛x|x-3>2｝

非负整数集(即自然数集)N,正整数集N*或N+,整数集Z,有理数集Q，实数集R

(5)元素与集合的关系：

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A

记作"行/,相反，a不属于集合A记作每人

4.集合的分类：

(1)有限集含有有限个元素的集合

(2)无限集含有无限个元素的集合

(3)空集不含任何元素的集合例：=

(二)集合间的基本关系

1.“包含“关系一子集

力匚9有两种可能有两种可能(1)A是B的一部分;(2)A与B是同一集合。反之，集合A

不包含于集合B,或集合B不包含集合儿记作工匕或1曲A

2.“相等”关系

对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时，集合B的

任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B,即

(1)任何一个集合是它本身的子集。即/C/I

(2)如果/仁心且/士〃那就说集合A是集合B的真子集，记作^^或升14

(3)如果力匚用，R匚那么4匚「

(4)如果力匚百同时R匚,I那么R

注意：若一个集合中有n个元素则它的所有子集个数2",它的所有真子集个数2”一I,

它的所有非空真子集个数2”一2。

3.不含任何元素的集合叫做空集，记为①

规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

(三)集合的运算

L交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A3的交

集。记作AAB(读作"A交B"),即AHB={x|xeA,且xGB)»

2.并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做

A再的并集。记作：AUB(读作"A并B"),即AUB={x|xGA,或xGB}»

3.交集与并集的性质：AC1A=A,AC6=。，ACB=BnA,AUA=A,

AU@=A,AUB=BUA»

4.全集与补集:

(1)全集：如果集合U含有我们所要研究的各个集合的全部元素,

这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。

(2)补集：设U是一个集合，A是U的一个子集(即Z"),

由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集(或

2

余集）记作：C"，即C）,/=（xIxuUUx足4）

(3)性质：①C'MCZM=A

②"C，d=。

③"I"一Ti

1.2函数及其表示

1.2.1函数的概念

知识点梳理

（-）函数的概念

1.设4月是两个非空的数集，如果按照某种对应法则6对于集合中任何一个数，r

在集合帝都有唯一确定的数/•（.¥）和它对应，那么这样的对应（包括集合」晒到/R

的对应法则y叫做集合到的一全函数，记作/：/<>/九

2.函数的三要素：定义域、值域和对应法则。

3.只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数。

（二）区间的概念及表示法

1.设是两个实数，目,〈人，满足,WrV/i的实数的集合叫做闭区间，记做［“，川；

满足“々r</>的实数的集合叫做开区间，记做QS）；满足“WrVA,或"VrWA的实数

r的集合叫做半开半闭区间,分别记做沁力），（“力：；满足rN他X-wxWAjY/；的实数r

的集合分别记做⑹60c㈤，（_0c㈤。

注意：对于集合（*历<工<方）与区间（亿乃，前者可以大于或等于，丽后者必须

o<h,（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）。

1.2.2函数的表示法

知识点梳理

3

（-）函数的表示方法

表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种。

解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。

列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。

图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系。

（二）映射的概念

1.设九月是两个集合，如果按照某种对应法则,/对于集合中任何一个元素，在集

合帝都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合/I、月以及到的对应法则

/）叫做集合到的映射，记作/'：

2.给定一个集合到集合的映射，且如果元素和元素对应，那么我

们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象。

1.3函数的基本性质

1.3.1单调性与最大（小）值

知识点梳理

（-）函数的单调性

1.定义及判定方法

函数的

定义图象判定方法

性质

如果对于属于定义域I内（1）利用定义

某个区间上的任意两个（2）利用已知函数

的单调性

自变量的值电,4,当/

yy=f(x)/（3）利用函数图象

f(X)2

函数的»<.立时，都有（在某个区间图

单调性f(x)1象上升为增）

0

/（阳）</（*2），那么就（4）利用复合函数

x1x2X

说/（X）在这个区间上是

增函数。

4

如果对于属于定义域I内（1）利用定义

某个区间上的任意两个（2）利用已知函数

的单调性

自变量的值为,的,当

（3）利用函数图象

3＜整时，都有（在某个区间图

象下降为减）

」（的）＞/&，那么就（4）利用复合函数

说/（Q在这个区间上是

减函数。

2.在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去

一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数。

（二）对“J”函数“x）=.x+的图象与性质

/■0）分别在（-»遍］」夜,+8）上为增函数，分别在「-右，0）上为减函数。

（三）最大（小）值定义

1.一般地，设函数y=ax）的定义域为7如果存在实数M满足：

（1）对于任意的xC,都有f（x）W.V；

（2）存在刈・7,使得/.（见）=必。那么，我们称B是函数的最大值，记作

5

/mnx（x）=叔。

2.一般地，设函数y=/•&）的定义域为7如果存在实数满足：

（1）对于任意的都有/Xx）2m；

（2）存在xn・7,使得="?。那么，我们称"，是函数"幕的最小值，记作

/min（X）"?°

1.3.2奇偶性

知识点梳理

（-）函数的奇偶性

1.定义及判定方法

函数的

定义图象判定方法

性质

（1）利用定义（要

如果对于函数/（X）定义

V先判断定义域是否

(a,f(a))

域内任意一个X,都有关于原点对称）

一a二.

/（V）=-/（-X）那么函oax（2）利用图象（图

(-a.f(-a))象关于原点对称）

数（）叫做奇函数。

函数的/X

奇偶性（1）利用定义（要

如果对于函数/（X）定义

y先判断定义域是否

域内任意一个X,都有(-a.f(-a))_(a,f(a))关于原点对称）

/（x）=/（-x）那么函数（2）利用图象（图

-aoax

象关于y轴对称）

/（X）叫做偶函数。

2.若函数八X）为奇函数，且在「=（）处有定义，贝1」"0）一0。

3.奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性

相反。

4.在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），

两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）

是奇函数。

6

第二章基本初等函数（I）

2.1指数函数

2.1.1指数与指数嘉的运算

知识点梳理

（一）根式的概念

1.如果x"—>10"f=Ml,那么叫做的欢方根。当是奇数时，的a

”次方根用符号伍表示；当最偶数时，正数的正的次方根用符号表劭负的次”

方根用符号_仁表示；0的冷方根是0；负款没旬次方根。

2.式子正叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数。当为奇数时，为任意实

数；当为偶数时，“ND。

3.根式的性质：

当为奇数时，*=〃；

当为偶数时，泞=|“|=~"2°,、。

（二）分数指数塞的概念

1.正数的正分数指数幕的意义是：涓="（〃>0.相、o的正分数

指数幕等于0。

2.正数的负分数指数塞的意义是一芳书L腐……小口…1）

0的负分数指数塞没有意义。注意口诀：底数取倒数，指数取相反数。

（三）分数指数塞的运算性质

1.74"="+'（4>0,广、WFR）

2.（/）'=>0、/<eA）

3,（7而'="方>0/、、F/?）

2.1.2指数函数及其性质

7

知识点梳理

(一)指数函数

函数名称指数函数

定义函数y=7(。>0且4/1)叫做指数函数

a1八.

0a1

\丫=2\人

J/\v-Av

图像

Z.x•，

________o

°X

定义域R

值域(0,+)

过定点图象过定点(0,1),即当x=。时，y=lc

奇偶性非奇非偶

单调性在上是增函数在正是减函数

«r>l(.v>0)优<1(%>0)

函数值的

a*=1(.x=0)a'=1(x=0)

变化情况

o'<l(x<0)ax>\(x<0)

。变化对图象的

在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，•图象越低。

影响

2.2对数函数

2.2.1对数与对数运算

知识点梳理

(-)对数的定义

8

1.若日”/1）,则叫做以为底V的对数，记作r=lo&押，其中叫做

底数，H叫做真数。

2.负数和零没有对数。

3.对数式与指数式的互化：K=IOg,N<=>=N（a>0“/I-M》0）。

4.几个重要的对数恒等式

log.,l=(),log“a=】，log”““一/,。

5.常用对数与自然对数

日自然瑞对列数奴..MV,即1。部N（其中〃=27I82X…）。

常用对数：IgN,BPlog10.¥

（-）对数的运算性质

如果”>0,a士,那么

(1)加法:log.M+log.，V=logjM-V)(2)减法：logaM—log„,V=10gti

(3)数乘：Hlog,,M=log,,M"(nf=R)⑷“2=N

⑸R)g/A/"=(log“A/S?DEfA)

(6)换底公式―［黯(—田)

2.2.2对数函数及其性质

知识点梳理

（一）对数函数及其性质

函数

对数函数

名称

定义函数y=log,.式Oita/1）叫做对数函数

图象a>l0<a<l

9

AX=]

yTH1zy^=logrox二

0/(1，O)T*1，。),

V

定义域(0,+-X-)

值域R

过定点图象过定点(1.0),即当工=1时，y=0。

奇偶性非奇非偶

单调性在(0,+8)上是增函数在(0,+A)上是减函数

10g„.v>0(x>1)log«x<0(.x>l)

函数值的

log“x=0(x=l)logx=0(x=l)

变化情况17

logflx<0(0<x<1)1og<yx>0(0<x<1)

a变化对图象的影响在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高。

(二)反函数

1.反函数的概念

设函数＞=/Xx)的定义域为"值域为，很式子)；=f(x)中解出支得式子r=e(y)。

如果对于在中的任何一个值，通过式子r=w(y)，在中和有唯一确定的值和它对应，

那么式子r=°(y)表示是的函数，函数工二忒中叫做函数了二八幻的反函数，记作

r=(V)，习惯上改写成了=A-'G)。

2.反函数的求法

(1)确定反函数的定义域，即原函数的值域；(2)从原函数百;=/金)中反解出

r=(3)将=广(T)改写成了二尸G),并注明反函数的定义域。

3.反函数的性质

10

(1)原函数丁="公与反函数尸=广(Y)的图象关于直线y=x对称。

(2)函数X的定义域.值域分别是其反函数y的,吸窄义域。

(3)若网”力)在原函数了二广々)的图象上，则「依公在反函数＞=尸(»的图象上。

(4)一般地，函数了一“幻要有反函数则它必须为单调函数。

2.3幕函数

知识点梳理

(-)幕函数的定义

一般地，函数y=K〃叫做塞函数，其中为自变量，曷常数。

)募函数的图象

2x

(三)塞函数的性质

1.图象分布：幕函数图象分布在第一.二.三象限，第四象限无图象。幕函数是偶函数时，

图象分布在第一.二象限(图象关于知对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象

关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限。

2.过定点：所有的塞函数在«)，:⑹都有定义，并且图象都通过点(1.1)。

3.单调性：如果/＞(),则幕函数的图象过原点，并且豳，+封上为增函数。如舄＜(),

则幕函数的图象在(0,+)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与辄

4.奇偶性：当为奇数时，幕函数为奇函数，当为偶数时，塞函数为偶函数。当〃=幺

P

(其中〃，“互质，37),若的奇数为奇数时，贝！|y=是奇函数，若为奇数为q

偶数时，则j是偶函数，若为偶数为奇数时，则5是非奇非偶函数。

11

5.图象特征:

塞函数》；二亡"”[0,：⑹，当>1时，若Yr。，其图象在直绻=T下方，粽>1,

其图象在直线.)；=V上方，当时，若CVY1,其图象在直线)；=r上方，若r>l,其

图象在直线)；=v下方。

第三章函数的应用

3.1方程的根与函数的零点

知识点梳理

(-)函数零点的概念

对于函数了="G/f7),把使f(x)=()成立的实数叫做函数y="6》卡。的零

点。

(二)函数零点的意义

函数y=/•(*)的零点就是方程外公=。实数根，亦即函数y=H>)X

的图象与轴交点

的横坐标。即:

方程”工)一。有实数根函数y-/■(>)的图象与轴有交点函数)-/■(>)有零点。

(三)函数零点的求法

求函数》="x)的零点：

1.(代数法)求方程的实数根；

2.(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数了二八G的图象联系起来,

并利用函数的性质找出零点。

(四)二次函数的零点

二次函数y=⑪-4bx+c,(af0)。

1./1>0,方程分z/nr+“=(IX

有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二

次函数有两个零点。

2./=。，方程or?4•〃丫4.“=。x

有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与轴有一

个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点。

3./V0,方程ox?+hx+-0X

无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零

点。

人教版必修二

第一章空间几何体

知识点梳理

1.1空间几何体的结构

(-)柱、锥、台、球的结构特征

1.棱柱(参见必修二第3页图1.1-4)

(1)定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边

都互相平行，由这些面所围成的几何体。

(2)分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱.四棱柱.五棱柱等。

(3)表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱

ABCDE-ABCDE。

(4)几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面.对角面都是平行四边形；侧

棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

2.棱锥(参见必修二第4页图1.1-5)

(1)定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所

围成的几何体。

(2)分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。

(3)表示：用各顶点字母，用各顶点字母，如五棱锥，P-ABCDE,

(4)几何特征：侧面.对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比

等于顶点到截面距离与高的比的平方。

3.棱台(参见必修二第3页图1.1-6)

(1)定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分。

(2)分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱台、四棱台、五棱台等。

(3)表示：用各顶点字母，如四棱台ABCD-A，B，CD,。

13

（4）几何特征：上下底面是相似的平行多边形；侧面是梯形；侧棱平行且相等；侧棱

交于原棱锥的顶点。

4.圆柱（参见必修二第5页图1.1-7）

（1）定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何

体。

（2）几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开

图是一个矩形。

5.圆锥（参见必修二第5页图1.1-8）

（1）定义：以直角三角形的一条直角边为轴旋转,旋转所成的曲面所围成的几何体。

（2）几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。

6.圆台（参见必修二第5页图1.1-9）

（1）定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分。

（2）几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个

弓形。

7.球（参见必修二第6页图1.1-10）

（1）定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体。

（2）几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。

1.2空间几何体的三视图和直观图

（-）中心投影与平行投影

1.中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。（参见必修二第12页图

1.2-3）

2.平行投影：在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。

（二）空间几何体的三视图

1.三视图（参见必修二第12页图1.2-4）

（1）正视图：从前往后

（2）侧视图：从左往右

（3）俯视图：从上往下

2.画三视图的原则：长对齐.高对齐.宽相等

（三）空间几何体的直观图

1.斜二测画法的步骤（参见必修二第16页图1.2T0）

（1）平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；

（2）平行于y轴的线长度变半，平行于x.z轴的线长度不变；

（3）画法要写好；

（4）成图。

1.3空间几何体的表面积与体积

（-）柱体.锥体.台体的表面积与体积

1.表面积

14

圆柱的表面积：S=2irr?+2irH=2Tr“r+，）（参见必修二第24页图1.3-3）

圆锥的表面积：5=7r/+7r“=7rr（r+/）（参见必修二第24页图L34）

圆台的表面积：5=朽（“+/+*+“）（参见必修二第24页图1.3-5）

2.体积

一般柱体的体积：V=Sh（S为底i浦面积，方,为高）

一般锥体的体积：/=:夕=（S为底而而和,h为高）

一般台体的体积：V=1（S'+x/SS'+S^h

（-）球的体积和表面积

1.球的体积：$7=?依：，

2.球的表面积：S=4KR"

第二章点、直线、平面之间的位置关系

知识点梳理

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

（一）平面

1.平面（参见必修二第41页图2.1-2）

（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的

公共直线。

（-）空间中直线与直线之间的位置关系

1.空间两条直线的位置关系（参见必修二第44页图2.1-13）

|1J和交直线：同一半而内,4H只4一个公北点

《八而必平彳由您同一平而内.没有公八点

停而直线:不同在任何一个平面内.没有公共点

2.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。（空间平行线的传递性）

符号表示为：设a.b.c是三条直线

a//b\..

..?」«//c

c//b）

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面.空间这个性质都适用。

公理4的作用是判断空间两条直线平行的依据。

3.定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

15

（三）空间中直线与平面之间的位置关系

1.空间直线与平面的位置关系（参见必修二第44页图2.1-22）

（1）直线在平面内：有无数个公共点；

（2）直线与平面相交：有且只有一个公共点；

ft线。与平面支和交丁点d.记作

/G。=A

（3）直线与平面平行：没有公共点。

百绣c与平面。平行，记作

a//a

直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。

（四）平面与平面之间的位置关系

1.两个平面之间的位置关系（参见必修二第50页图2.1-25）

（1）两个平面平行：没有公共点；

百线。与平面e平行，记作

a//a

（2）两个平面相交：有一条公共直线。

2.2直线、平面平行的判定及其性质

（一）直线与平面平行的判定

1.直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线

与此平面平行，符号表示：

a.b（~fv.jalia

作用：直线与平面平行的判定定理

（二）平面与平面平行的判定

L平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两

个平面平行，符号表示：

a,h、“Q3=P.a//（x<b//a>,8//a

作用：平面与平面平行的判定定理

（三）直线与平面平行的性质

1.直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与

此平面的交线与该直线平行。

（四）平面与平面平行的性质

1.平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的

交线平行。

2.3直线、平面垂直的判定及其性质

（一）直线与平面垂直的判定

16

L直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则该直线与

此平面垂直。（参见必修二第65页图2.3-5）

2.线面角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角。

（二）平面与平面垂直的判定

1.平面与平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。（参

见必修二第68页图2.3-13）

2.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面

角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

3.二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两

条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。

4.直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是

直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面

角。

5.求二面角的方法：

（1）定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平

面角；

（2）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面两个面的交线所

成的角为二面角的平面角。

（三）直线与平面垂直的性质

1.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

四、平面与平面垂直的性质

1.平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一

个平面垂直。

第三章直线与方程

知识点梳理

3.1直线的倾斜角与斜率

（一）平面

1.直线的倾斜角（参见必修二第82页图3.1-2）

定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴

平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是＜180。。

2.直线的斜率

（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的

斜率常用表示。即=o斜率反映直线与轴的倾斜程度。

17

当“u『0。，90°）时，&：3生

当“u（90。，180。）时，A：<0;

当”=90°时，4;不存在:，

（2）过两点的直线的斜率公式：*；=也二^（为学勖）

必—：5

（-）两条直线平行与垂直的判定

1.对于两条直线%,慎斜率分别为，fc,k;,有

It〃[2,•—A*=k->

注意：若直线人可能重合时，我们得到

总—彳或C仔

2.对于两条直线1,,阻它们互相垂直。即

LJ.l-i'•—•"ki限=-1

3.2直线的方程

（-）直线的点斜式方程

1.点斜式：

。一如=上（他一切）

2.注意：当直线的斜率为0°时，*：=（），育线的方程为?/=幼。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在。育线的方程为工=时

（二）直线的两点式方程

1.两点式：-——=k产一工（新¥的Ei丰矽）

（三）直线的一般式方程

1.斜截式：U=+b

2.截距式：三4%=|

fin

3.一般式：4#+囱+0=0（4,3不全为0）

4.直线系方程：即具有某一共同性质的直线

（1）平行直线系

平行于已知直线Anx+B0n+2=0（4“&不全为0）的直线系

+=为常数）

（2）过定点的直线系

斜率为k的直线系：+一珈=k（x+:砧），直线过定点（出「外”0）

18

过两条直线人：A,x+Hl1/+C=0心：4,工4•国力+c>=()的交点的直线方程系为

(4a;+&U+。,=0]+乂4逐+B-2V+&)=0O为参数)

其中，直线不在直线系中。

1-J

5.两直线平行与垂直

la:”=kl出1L:乜=fc>/+69

(1)l\//IlQki=k-i,bi土5

(2)

It_Ll-yAd,抬=-I

注：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

3.3直线的交点坐标与距离公式

(-)两条直线的交点坐标

Ui：4ix+Ci=0,〃：人工B>y4-C>=()相交

交点坐标即方程组(:+=:的一组解。

方程组无解<>A/4；方程组有无数解0L与八重住

(-)两点间的距离

L两点间的距离公式：设4(航,班)出(央，加)是平面直角坐标系中的两个点，则

[401=，(一―幻产+(?/2-?"尸

(三)点到直线的距离

1.点P(防加到直线4支小囱+0=0(48不同时为0)的距离

\A^-+Bl)y+C\

(四)两条平行直线间的距离

L两条平行直线+By+Ci=()和4/：+Bq+以>=0(G¥G)间的距离

,—C,\

d=—

V^+B'2

第四章圆与方程

知识点梳理

4.1圆的方程

(-)圆的标准方程

19

L定义：平面内与定点间的距离等于定长的点的集合（轨迹）圆（定点为圆心，定长为

半径）。

2.标准方程：圆心为C（a,b）,半径为r的圆的标准方程是

（x—a\'；+（#—犷=r?

圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程是

x1+y2=r2

（二）圆的一般方程

1.圆的一般方程：

形如/*/*Dx4-助4#。的二元二次方程，

（1）当炉上矿一4斤>n时，叫做圆的一般方程。

配方，得窘厂4J

所以圆心为（--,-半径为D1+E2—4F:

（2）当炉”2-4斤=（）时，方程表示一个点（一朵_外

（3）当炉十月2—4/O）时，它不表示任何图形（没有轨迹）。

4.2直线、圆的位置关系

（-）直线与圆的位置关系

1.点与圆的位置关系：

设点到圆仪：（立一a）"+（"一力"=产的圆心C的距离为d,则

42

d=IMCI=\/（xn—a）+（j/o—fe）

若\MC\>r,即（如-a）'+（ya-6）'>r-o点Af（而,在圆心C外；

若lA/CI=r,即（如—a）'+（如—力"=Q点Af（而,在圆心。上;

5

若IMCIYr,ED（xu—a）+（y»—bY/r-o点A/（网,#<）在圆心。内；

2.直线与圆的位置关系：

直线与圆相交b有两个公共点

直线与圆相切g有一个公共点

直线与圆相交台没有公共点

（-）圆与圆的位置关系

1.利用圆心距和两圆半径比较大小（几何法）：

设两圆&一的了+♦一况，=蜂与（x-a.y+（y-by=rj的圆心距为d,显然

<1=\］（——。1）2+（，2—瓦）"»则位置关系表示如下：

20

d,7<|4-79O外离；d=n4-79<>外切;

Iri—r-A<fl<ri+r”u相交；

内切；,4人

d—IF]—r9|<=>|ri—r-Ao内含

2.利用两圆的交点进行判断(代数法)：

设由两圆的方程组成的方程组为::：u

+y+D>x+E2H+F,=U

由此方程组得：有两组不同的实数解V>两圆相交；

有两组相同的实数解/>两圆相切；

无实数解v>两圆相离。

4.3空间直角坐标系

(-)空间直角坐标系

1.定义：参见必修二第134页图4.3-1,OABC-D，A，B，C是单位正方体。以0为原点,

分别以射线OA,0C,0。的方向为正方向，以0A,0C,0D，的长为单位长，建立三条数

轴：x轴.y轴.z轴。这时建立了一个空间直角坐标系0xyz»其中点。叫做坐标原点，x轴.y

轴.z轴叫做坐标轴。通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面.y0z平

面.zOx平面。

2.右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y

轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。

3.任意点坐标表示：空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示。

(二)空间两点间的距离公式

1.设空间两点4(孙人珀，8(立%则A.B两点的距离公式为

d(A,B)=，⑸一，I)2+(如一+(22-zM

人教版必修3

第一章算法初步

21

第二章统计

整理、分析数据

收集数据

估计、推断

用样本估计总体变量间的相关关系

简

线

分

单