江苏省2022年高考数学模拟题分类汇编-正弦定理解边角互化的应用

江苏省2022年高考数学模拟题分类汇编-正弦定理解边角互

化的应用

一、单选题

1.（2022•江苏•扬中市第二高级中学模拟预测）设锐角AABC的内角A8,C所对的边分

别为ahc,若4=（,"=百，则〃+02+儿的取值范围为（）

A.（1,9]B.（3,9]

C.（5,9]D.（7,9J

2.（2022.江苏.扬中市第二高级中学模拟预测）锐角AMC的内角A,B,C的对边分

别为。，b,J且a=l,Z?cosA-cosB=l,若A,8变化时，sin8-22sin2A存在最大

值，则正数X的取值范围是（）

A.（0,乎）B.（0,1）C.（¥，与D.（pl）

二、多选题

3.（2022•江苏苏州•模拟预测）在AABC中，AB=c，BC=a，CA=b,下列命题为真

命题的有（）

A.若同〉卜|,贝lJsinA>sin3

B.若无B>0，贝IJAABC为锐角三角形

C.若&$=0,贝IJAMC为直角三角形

D.若在+"）（1+:-1）=0,则AMC为直角三角形

4.（2022•江苏•常州高级中学模拟预测）已知A,8分别是椭圆—X+/2=1,(«>1)的左

a-

、右顶点，P是椭圆在第一象限内一点，且满足NPB4=2N418,设直线南，P8的斜率

分别为此，勺，贝IJ（）

2

A.ktk2=-a

B.若|必|=乎归回，则椭圆的方程为常+>2=1

C.若椭圆的离心率”坐，则&=-1

D.△E4B的面积随勺的增大而减小

三、解答题

5.(2022・江苏•盐城中学模拟预测)记锐角AABC内角4,B,C的对边分别为“力,c,且

Z?ccosB=4(c—l)cosC,/?=2,月.cwZ?.

A

⑴求U；

(2)将AC延长至。，使得3c»=AC,记△A3。的内切圆与边AD相切于点T,AT是否

为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.

6.(2022.江苏•南京市江宁高级中学模拟预测)从①A为锐角且sinB—cosC="1；

2ah

②力=2asin(C+m)这两个条件中任选一个，填入横线上并完成解答.在三角形ABC中，

O

已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,.

⑴求角4

⑵若八且c且BC边上的高AQ为2G，求8的长.

4

7.(2022•江苏泰州•模拟预测)在锐角△ABC中，角A,B,。所对的边分别为mb,c,

已知边上的高等于4

(1)求证：sinA=sin8sinC；

cb

(2)若/班C=45。，求；+一的值.

bc

8.(2022•江苏・南京师大附中模拟预测)在AA3C中，内角A,B,C所对的边长分别

为a,b,c,且满足字=1+里.

btan3

(1)求角A;

(2)角A的内角平分线交BC于点“，若〃=4",AM=3也,求sinZAMC.

9.(2022•江苏南京•模拟预测)请在①向量元sin81，3=,且列九

②折=2csin(A+g)这两个条件中任选一个填入横线上并解答.

在锐角三角形A8C中，已知角A,B,C的对边分别为“，h,c,.

(1)求角C；

⑵若AABC的面积为2打，求2a+b的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

10.(2022•江苏・徐州市第七中学模拟预测)在中，内角A,B,C的对边分别为a,

b,c,请在①6+bcosC=8csinB;②(20-a)cosC=ccosA；

③/+从-。2=地5这三个条件中任意选择一个，完成下列问题：

34nol-

⑴求NC；

(2)若a=5,c=7,延长CB到。，使cosNAZ)C=@,求线段的长度.

7

11.(2022.江苏•南京外国语学校模拟预测)在AABC中，a,b,c分别为A,B,C所对

,,-sinA+sin3

边，tanC=----------------.

cosA+cosB

(1)求cosC的值；

(2)若sinA=3且，求2的值.

7c

12.(2022•江苏淮安•模拟预测)在△ABC中，记角4,B,C所对的边分别为mb,c,

.八sinA

已知tan^=----------

2-cosA

(1)若tan8=；,求tanC的值：

(2)已知中线AM交8C于M,角平分线AN交8c于M且40=3,MN=1,求AABC的

面积.

13.(2022•江苏•模拟预测)已知的内角A,B,C的对边分别为。，b,J面

积为S,满足S=g(/-b2卜me.

(1)证明：sinA=2sinB；

(2)求所有正整数Z，加的值，使得c=欣?和tanA=AtanC同时成立.

14.(2022.江苏江苏•三模)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为〃，b,J

且"acosB=c.从条件①、②中找出能使得A48C唯一确定的条件，并求边BC上的高

2

h.

条件①a=2,sinC=：条件②“=近，b=y/3.

2

15.(2022•江苏・南京市雨花台中学模拟预测)在①3asinC=4ccos4；

②》sin色尹=«“sin8这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完

整的题.

在"BC中，角A,B,C的对边分别为a,h,c,己知，,“=3夜.

MC

⑴求sinA；

TT

(2)如图，M为边4c上一点，MC=MB,ZABM=-,求"BC的面积.

16.(2022•江苏♦二模)已知A4?C的内角A,B,C的对边分别为小b,c,且

sin2A+sin2B-sin2C_2b-c

sinA•sinBa

⑴求4

(2)若a=5,b=c+3,求AABC的面积.

17.(2022•江苏南通•模拟预测)在中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,

a=1,/7cos4+cosB=2b.

(1)证明：c=»;

(2)求AA3C的面积的最大值.

18.(2022•江苏扬州•模拟预测)在△ABC中，bsinA=acosB.

(1)求/8的大小；

(2)再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的面

积

条作①cosA=-?；

2

条件②6=&;

条件③：AB边上的高为理.

2

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分

别解答，接第一个解答计分.

19.(2022•江苏江苏•一模)在①sin8+sinC=W①，②cos8+cosC=£,③A+c=5

99

这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.

已知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且。=3,sinA=—,,

3

求AABC的面积.

20.(2022•江苏♦金陵中学模拟预测)记AMC中，a,b,c•分别是角A,B,C所对的边,

且。=bcosA+asinB.

⑴求5；

(2)若b=4,点M为AC边的中点，且|丽'|=2应，求AABC的面积.

21.(2022•江苏江苏•二模)在^ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,siiVl

=2sinB.

⑴若。=2,C=2V7,求C；

（2）点。在边AB上，且AO=gc,证明：8平分/AC8.

22.（2022.江苏•南京市宁海中学二模）在中，角A,B,C所对的边分别b,

c.已知2Z?cos8=ccosA+acosC.

⑴求B；

（2）若a=2,b=底,设。为CB延长线上一点，且AO_LAC,求线段3。的长.

23.（2022.江苏无锡.模拟预测）在A4?C中，内角A,B,C所对的边分别是。，h,c,

已知2ccosB=2a-匕.

⑴求C；

⑵若43=AC,3是AABC外的一点，且4）=2,8=1,则当NO为多少时，平面

四边形A8C£＞的面积S最大，并求S的最大值.

24.（2022•江苏南通•模拟预测）已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,h,c,

6sin'+=asinB

2

⑴求角A;

（2）若匕=6,BC边上的高为九3,求c.

2

25.（2022•江苏南通•模拟预测）在“ABC中，角A,8,C的对边分别是“，b,c,已知

c=5,2bcosC=2a-c.

（1）求角3的大小；

（2）若AABC的面积106，设。是8c的中点，求鬻的值.

sinZJCAD

26.（2022•江苏・南京市第五高级中学一模）如图，已知aABC的内角A,B,C所对的边

分别是a,b,c,6（l+cosC）=gcsinNABC.

⑴求角C：

(2)若a=5,c=7,延长CB至M,使得cosNAMC=»L求3M.

7

27.（2022.江苏省木渎高级中学模拟预测）已知AABC的内角A,B,C的对边分别为4,

b,c,且满足①C=28；②6cosA=acosB；@h2-c2=ai-^2ac.

(1)从①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；

(2)若£＞为线段A8上一点，且=CD=4,求△58的面积.

28.(2022•江苏无锡•模拟预测)在AABC中，c=»cosB,C=y.

(1)求IB；

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使A/IBC存在且

唯一确定，求BC边上中线的长.

条件①：c=J5b;

条件②：AABC的周长为4+26；

条件③：AABC的面积为地；

4

29.(2022•江苏•常州高级中学模拟预测)记AA3C是内角A,B,C的对边分别为。，b,

c.已知。2="c,点Z)在边AC上，BDsinZABC=asinC.

(1)证明：BD=b；

(2)^AD=2DC,求cosZABC.

30.(2022•江苏苏州•模拟预测)在AABC中,a,h,c分别是内角A,B,C的对边，且

满足asin。0=更加访A.

26

(1)求角8大小；

(2)若AABC为锐角三角形，且6=4,求AABC周长/的取值范围.

四、双空题

31.(2022•江苏・华罗庚中学三模)在AABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,

已知2sinA/inC=,则小/A+sin2c的最大值为_________;设。是AC上一

smCa~+c-b~

点，且AD:DC=1:2,8»=1,则a+3c的最大值为.

32.(2022.江苏•扬中市第二高级中学模拟预测)在AABC中，角A,B,C所对的边分

别为a,b,c.已知向量,"=(1-2sin2*cosC),*=(c-46,a)且蔡j_；，E为BC边上

一点，满足/=行，靛=2丘1•则sinA=，AABC面积的最大值为.

参考答案:

1.D

【分析】由正弦定理求出b=2sinB,c=2sin再由余弦定理可得

〃+c2+6c=8sin8si„-B）+3,化为5+4sin（2B-J结合角的范围，利用正弦函数的

性质可得结论.

【详解】因为A=5,〃=6,

a_^_9_b_c

由正弦定理可得sinAV3sinB.121

—sin------D

2I3)

则有b=2sina。=25由(停一3),

由IBC的内角A8,C为锐角，

71

0<B<-,

2

可得

八27r口冗

0<------B<一,

32

7T_71TC__715乃1c4、.Ir.7C]“

/.—<B<—=>—<2B---<——=>—<sin2B---<12<4sin2B---------<4,

6266626JI.6)

由余弦定理可得cr=b1+c1-2AcosAn3=/_历,

因止匕有b1+c2+be-2bc+3

=8sinBsin^-Bj+3

=4^sin8cos8+4sin28+3

=2\/3sin28-2cos28+5

=5+4sin（2B-5）e（7,9]

故选：D.

【点睛】方法点睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两

边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角

的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.

2.A

【分析】由。=1,AcosA-cos8=l可得bcosA-。cos8=〃，由正弦定理转化为角的关系可

答案第1页，共36页

TTrr

以得到sin(8-A)=sinA,由此推出B=24,又AABC为锐角三角形，可求出将

62

sin8-2/lsin2A都用角A表示可以得到717不sin(2A+e)-/l,且tanp”,当

sinB-22sin2A取最大值时利用tan。=1211(5-24)可求得2的范围.

【详解】解：因为。=1,Z?cosA-cosB=l,所以〃cosA-〃cos5=a,

可得：sinBcosA-sinAcosB=sinA,即sin(B-A)=sinA,B=2A

八,万

0<A<—0<A<-

22

71汽471

因为AMC为锐角三角形，则有,0cBe—,即<0<2A<-,解得:—<A<—

2262

0<C<-0<7T-3A<—

22

sinB-22sin2A=sin2A-22sin2A=sin2A-2(l-cos2A)

=5/1+42sin(2A+0)-%(tan0=4),

rr____rr

当2A+8=e时，原式有最大值加+无一2,此时0=5-24,

则4=tan9=tan(£-2A]=—i―,;<2A<gtan2A>G,即0<—!—<—,所

【2Jtan2A32tan2A3

以北村)•

故选：A.

【点睛】本题考查三角函数正弦定理的应用，考查三角函数辅助角公式，对辅助角公式的熟

练应用是解题的关键，属于难题.

3.ACD

【分析】利用正弦定理判断选项A,利用数量积的性质判断选项B和C,利用数量积的性质

和余弦定理判断选项D.

【详解】解：A：若同〉忖，由正弦定理得2RsinA>2Rsin3,

/.sinA>sinB,则A正确；

B：若Z/>0，贝!|«»(打一44(73)>(),

.\cosZACB<0,即ZACB为钝角，

.•.△他。为钝角三角形，故B错误；

C：若7后=0，则ACJ_8C,

答案第2页，共36页

.•.△43C为直角三角形，故C正确;

D：若S+c-a）.（b+a-c）=0，则b-（a-c）2=0»

r2r2r2

r2r2r2rra+c—b

+c-b=2"，SD，

l「|2「2I

\a\+C-bF.2

由余弦定理知———rI”•=cosB,

2ac

/.cosB=-cosB,则cosB=0,

•.•»e（0,7r）,.-.B=pAMC为直角三角形，故D正确.

故选：ACD.

4.BCD

【分析】利用斜率公式及椭圆方程可判断A,利用条件及正弦定理可求仁=也，匕=-述,

14'7

可判断B,结合条件及4&的关系式可判断C,由题可得S-=2。-）），再利用导数可

判断D.

【详解】对于A选项，由题意可知A（—a,0）,B（a,0）,设P（x0,几），则

kk一二%%"方_1,故A错误;

“卢2——~7一~~-2

冗+〃/一〃XQ—uXQ—cia

由了T正r弦j定e理/得JM向=sinZPBA=2、cos"/A…B=丁4应

对于B选项,

AcosZPAB=^-,则tanNPAB=正，即4=正，

3414

2tan4PAB半,从而一半

=tan2ZPAB=

l-tan2ZPAB

因此一邛f串，即摄4则椭圆方程为丁+小，故B正确;

对于C选项，由B可知，-&=匚方，得饭：-网=2匕，

i=（2+扑,吟=一（2+5）,

X^=—,b=\,

3

答案第3页，共36页

k77

所以a=JL得=二,即&=一彳勺，故C正确;

e33

PD,PD\

对于D选项，过尸作叨JLAB于Q,则——=%

"AD]~BD\=一42,

......IPO!inz

故为=|4阴=|4。|+忸力=中—1\PD\,即归功=Z1ak9”,

k、k2K?一%

2a却2222（一；）

^^2a-\PD\=

k,—k、&-k、3krk：，k\>0-

k,+——4-

'l-^2

设八步曹'x>°'则小…2/士6<o

（31）2

所以/(x)在(0,+8)上单调递减，则△目43的面积随尢的增大而减小，故D正确.

故选：BCD.

5.(1)2；

(2)是，定值为92

【分析】(1)由题设得bccos6=h2(c-l)cosC,整理得ccos5+bcosC=AcosC,结合正弦

定理化简得sinA=2sinCcosC=sin2C,结合AC的范围求得A=2C即可求解；

(2)先由(1)中结论结合正余弦定理求得/=2C+C2,再由向量的线性运算得

BD=^BC-^BA,进而求得8D=c+g,由切线长定理化简即可求得AT.

(1)由bccosB=4(c-l)cosC,0=2可得历cos3=〃(c-l)cosC,即ccosB=b(c-1)cosC,

整理得。8§5+〃85。二秘(：00。，由正弦定理得sinCcosB+sin3cosc=hsinCcosC,又

答案第4页，共36页

sinCcosB+sinBcosC=sin(B4-C)=sin(乃一A)=sinA,则sinA=2sinCeosC=sin2C,又

c^b,C工B,A+2C,则A=2C,BP-^=2；

”=2c•上W,整理得（2—c）〃=c（2—c）（2+c）,又c*b,则a=Zc+c?,设内切圆

2ab

圆心为。，内切圆与边A3,3。分别相切于点瓦尸，则3石=8£4七=47,。7二。/，又

—.—.—.—.4—»—»4/—•—.\4—»1—.

BD=BA+AD=BA+-AC^BA+-(BC-BAJ=-BC--BA,则

而2』册二,就一加.丽=%+fosB

999999

16.1,8a2+c2-44o

—a~+-c~-------------=—a~

999lac3

816(4?DC44

=c2~+-c+—=cd■—,贝！］B£)=c+一则=B尸+尸£>—BE—AE=£)7—AT=—,

39I3j33

o2

又。T+AT=AO=—,则47=一.

33

6.(1)条件选择见解析，77T

(2)3

【分析】（1）在三角形中，运用正余弦定理，实现边角互化即可求解.

（2）根据三角形的面积公式可得a,6,c的关系，在A/IBC中运用余弦定理可求出a,b,c的值,

然后根据边的长度用余弦定理求角，即可求解.

（1）

选①

22

c-a一

因为sinB-cosC=---------,所以2a/?sinB=c2-a2+2abcosC,

lab

由余弦定理得，c=cr+tr-labcosC,所以2absin8=b?,即勿sinB=Z?

由正弦定理得2sinXsin3=sin8

答案第5页，共36页

在AA3C中，有sinB>0,故sinA=4

2

由4为锐角，得A=J

6

选②

因为6=2〃sin(C+7),由正弦定理得sinB=2sinAsin(C+^)

66

即sin(A+C)=2sinAsin(C+—)

6

化简得cosAsinC=GsinAsinC

在△ABC中，有sinC>0,由A为锐角得COSAHO,

所以tanA=@,得A=2

36

⑵

由题意得，S.ABC=gax26=gbcsinA=；6c,所以，be=4舄

又匕=必^。，所以/=16〃,/=3a

4

由余弦定理cosABAC=^—C———="+B,解得。=7,c=4b,b=&T

2bc2x46/2

所以，COSNBC4="2+"-C249+21-16x741\

2ab2x7互-7

所以AA8C是钝角三角形

所以cosNACO=-cosN8G4=@,所以tanNACO=空

73

在直角"8中，CD=———=2石x@=3

tanZACD2

7.(1)证明见解析

⑵*

bc2

【分析】（1）由锐角三角形可得AO=AsinC,结合题意和正弦定理整理可证；（2）利用等

面积1Asin45o=1a-a可得病="此，结合余弦定理"=从+°2-力m。$45。化简整理.

222

（1）

设5c边上的高为A£>,则AD=AsinC,所以a=8sinC,

由正弦定理得sinA=sin8sinC.

答案第6页，共36页

(2)

由余弦定理得"=Z?2+02-2Z?ccos45°=ft2+c2-\［2bc，

因为4csin45°=1a-a,所以/=变反，

222

所以1尻♦=/+c-2-3bc,即从+/=g近be,

所以1+2=］点.

bc2

8.(Dp

⑵地

7

【分析】(1)先由正弦定理及切化弦得COSA=g,结合角A的范围，即可求解；

(2)先由S.C=S,M”+S“CM结合面积公式求得尻•nSS+c),再由余弦定理求得“c的值,

再由正弦定理求出sinZAMC即可.

(1)

由正弦定理及切化弦可得

sinA

2sinC_cosA_isinAcosB_sinBcosA+sinAcosB_sin(A+B)

=fIT:~=IT—■—,

sin8sm6sin8cosAsinBcosAsinBcosA

cos3

Xsin(A+B)=sin(,r-C)=sinC,sinB>0,sinC>0,则2，由。=_，出°—,gpcosA=—,又

sinBsinBcosA2

Ae(O,i),则A=。；

(2)

6

SARC=Sarm+SMM=，x36c'sinNBAM+,x3GbsinNCAM=^-^-(b+c］，

t^noMAACJW224\/

可得秘=3(6+c),又由余弦定理得

答案第7页，共36页

,b'+c-a(Z>+c)-2bc-\12(b+c)-6(/>+c)-l121/古人

cosA=--------=——........-------1--------------=-,解得8+c=16(负值舍

2bc2bc6e+c)2

去)，则be=48,

彷=4仿=12

可得<…或<、，XsinZAMC=sinZzAMB,显然当力=4或12时，sinZAMC的值相

[c=l2[c=4

同，不妨设b=12,则c=4,

由正弦定理得一一=.可得sinC=辈，又怨=.二”,可得

sinCsinABAC4J7sinCsinZAMC

/2V7

sinZ.AMC=---.

7

9.⑴C=]

(2)(8,10)

【分析】(1)选①：根据平面共线向量的坐标表示和正弦定理可得/=02+/-他，结合余弦

定理即可求出C；选②：根据正弦定理和两角和的正弦公式化简计算可得6cosc=sinC,

结合特殊角的正切值即可求出C；

Q

(2)由三角形的面积公式可得2a+6=2a+2=/(a),法一：利用余弦定理解得2<a<4；法

a

-：由正弦定理可得2<。<4,进而利用导数求出函数/(a)的值域即可.

(1)

选择①：

因为无旧所以6—=(…)sinj

h+cc+a

工丁心…e,口(c-a)a(h-c]b

由正弦定理得，——二=^——二，

b+cc+a

即a(^c2一〃~)=b(/?2—c~),即ac2+be2=a3+0,，即c?(a+力)=(〃+/?)(/―他+夕),

HPc1=a2+b2-ab•因为COSC="+"---=—，

2ab2

7T

又C为锐角，所以C=].

选择②：

因为屏=2csin(A+1),

答案第8页，共36页

由正弦定理得，百sinB=2sinCsin（A+]J,

即6sin8=sinCsin4+6sinCcosA.

XsinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC,

所以百sinAcosC=sinCsinA.

因为sinA>0,所以GcosC=sinC,

又C为锐角，所以tanC=6，C=p

⑵

因为S«ABC=gabsinC=^-ah=2G,

Q

所以=8,则2。+b=2。+—.

a

（法一）由余弦定理得，c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-8.①

,_[cosA>0,[b2+c2-a2>0,

因为△ABC为锐角三角形，所以R八即2，小

[cosB>0,[a+c-b~>0n.

俨>4他丫

将①代入上式可得2:即'解得2<a<4.

>4,2）

a>4,

令/（4）=2a+g,,则/'（同=2_§=^^>0,

所以/(a)在2<a<4上单调递增，所以/(2)</(a)</(4),

即8</(a)<10,即2a+6的取值范围为(8,10).

（法二）由正弦定理得g=sinA=sin（B+J=；sin8+JcosB=+@j

bsinBsinBsinB22tanB

a

==T,]

又5I所以今

tanB

0<A=--B<-,

32解得

因为AA3C为锐角三角形，所以

八兀

0<Bn<—,62

2

答案第9页，共36页

因为tanB>正，所以0<二<6,+^<2,

3tan8222tanB

14

Bpl<—<2,解得2<a<4.

28

令/(a)=2a+g,2<a<4,贝1]r(4)=2*=枣二l>0，

所以/(a)在2<a<4上单调递增，所以〃2)<〃。)</(4),

即8</(a)<10,即2a+b的取值范围为(8,10).

一71

10.(l)C=y

(2)5

【分析】(1)若选①，由正弦定理将已知式子统一成角的形式，再利用三角函数恒等换公式

化简可求出角C,若选②，由正弦定理将已知式子统一成角的形式，再利用三角函数恒等换

公式化简可求出角C,若选③，对已知式子利用余弦定理和三角形的面积公式化简可求出角

C,

(2)在A43C中，由余弦定理可求得6=8,再利用正弦定理得sinNABC的值，然后分别在

△AB2ZV18利用正弦定理和余弦定理求解即可

(1)

若选①，因为方+加0$。=能。$桁8，

所以由正弦定理得sinB+sinBcosC=J5sinCsinB,

因为sinBwO,所以GsinC-cosC=1,

所以色■sinC—'cosCuL,所以sin(c_g]=：,

222I2

因为Ce(0,;r),所以,

o\oo7

所以c-g=g，所以C=g，

663

若选②，因为(2Z?-a)cosC=ccosA,

所以由正弦定理得(2sinB-sinA)cosC=sinCcosA,

所以2sinBcosC=sinCcosA+cosCsinA=sin(A+C)=sinB,

答案第10页，共36页

因为sinBwO,所以cosC=；,

因为所以C=（,

若选③，因为"+/一。2=羊5行品，

所以2〃bcosC=^^-x—absinC,

32

因为W0,所以tanC=G，

因为Ce(O,"),所以C=(,

(2)

“2.L/1_八2

在AABC中，由余弦定理得cosC=

2ah

125+Z?~—49r.%ZH7

—=----------，化筒得—5/?—24=0,

210ft

解得8=8或6=-3(舍去)，

b

由正弦定理得

sinZABCsinC

8二7r-

所以sin/AB。—.兀，所以sin/A3C二处

sin—7

3/

所以sinZABD=sin(4-ZABC)=sinZABC=-y-,

因为cosNAOC=浮，ZWCe(O,万)，

所以sinZADC=V1-cos2ZADC=

ADAB

在△ABD中，由正弦定理得

sinZABDsinZ.ADC

AD7

得皿=骼

所以逑―2"，

"7~~T~

在△AC。中，由余弦定理得

AC2=AD2+CD2-2ADCDcosZADC，

+(5+B»-2臂(5+8。)•浮

所以64=

化简得84-28D-I5=O,

解得8。=5或8。=-3（舍去）

答案第11页，共36页

所以线段30的长度为5

H.(1)^-

2S/2T

21

【分析】(1)利用正弦定理和余弦定理将已知条件tanC=",'八转化为''边”的等式

/+/=o,再利用余弦定理即可求得cosC的值；

(2)首先利用角C的值和已知条件sinA=2互判断出角A为锐角，再利用两角和的正弦公

7

式求得sinB的值，进而利用正弦定理即可求得&的值.

C

(1)

,-sinA4-sinfir/口sinCsinA+sinB

由tanC=-----------------,可得-----=----------

cosA4-cosBcosCcosA+cosB

则sinC(cosA+cosB)=cosC(sinA+sinjB),

由正弦定理得c(cosA+cosB)=(«+&)cosC

,人〜口b"-ara~+c~-b~(+b~-c^

由余弦定理得C--——+--------------=(。+6)———

I2bc2acJ2ab

222

整理得(。+。乂〃+。2-，一他)=0,yi,a+b>Of^a+b-c-ab=0

ab_1

则

2ab~2

⑵

I兀

由(1)可知cosC=],又0<C<7T,则c=§,

由sinA=3^wl,可知角A为钝角或锐角

7

若A为钝角，贝!jsirt4=2=sin—=>A>—A+C〉兀

7233

这与5c内角和为兀矛盾，即A不能为钝角，

二.A为锐角，由sinA=3豆，可得

77

・..AcA.「_2不1>/216_5不

..sino=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=-----x—i-------x—=------

v7727214

bsinB57725屈

-=------=------x—="=--------

csinC14y/321

答案第12页，共36页

12.(1)1加。二一2或100。=2；

(2)y.

3

【分析】(1)利用同角关系式可得《必=［或5皿4=1,然后利用和角公式即得;

(2)由题可得sinC=2sinB,利用角平分线定理及条件可得=3,CN=2,进而可得

A=|,&2=y,即得.

(1)

在sinA1

--=-

2-cosA2

2sinA+cosA=2

所以

sin2A+cos2A=1

3

解得sinA=g或sinA=1,

331

当sinA=不时，tanA=~,tan/?=—

31

4—

所以tan(A+B)=」y2r

1----X—

42

当sinA=l时，因为OvAv/r,

所以A=彳，又tanB=—,

22

所以tanC=2.

⑵

..„sinA

.tanB=----------,

2—cos4

.sinBsinA_.....

・・------=-----------,2sinBD—sinBDcosA—smAcosBD,

cosB2-cosA

/.2sinB=sinBcosA+sinAcosB=sin(A+B),BPsinC=2sinB,

：.c=2bf

由角平分线定理可知，—=—=7=2,BN=2CN,又MN=1,BM=CM,

ACCNb

所以BM=3,CN=2,

答案第13页，共36页

A

I7T

由AM=—BC=3,可得4=一,

22

*'•b2+c2=a2=361b~——,

所以S=，6c=L2从=h2=—.

225

13.(1)证明见解析

Q)k=1,m=2

【分析】(1)由S=；"sinC结合已知条件得，2/—3"一力2=0,整理得。-26=0,再

利用正弦定理边化角即可求解；

(2)由tanA=AtanC得，?=々乂半，再利用正余弦定理