黄金卷04-【赢在高考·黄金8卷】2023年高考数学模拟卷（江苏专用）（解析版）

【赢在高考・黄金8卷】备战2023年高考数学模拟卷（江苏专用）

黄金卷04

注意事项：

i.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1.（5分）（2022•全国•高三专题练习）已知集合M={x|-l<x<2）,N={x\y=Inx1则MnN=（）

A.[-1,2]B.（-1,2]C.（0,2]D.（-oo,-l）u[2,+oo）

【解题思路】先化简集合N,再去求MCN即可解决

【解答过程】N={x\y=In%]={x\x>0},

则MA/V={x|—1<%<2}A{x\x>0}={x|0<%<2]

故选：C.

2.（5分）（2022•浙江•统考高考真题）己知口”£/?,。+31=3+）（1为虚数单位），则（）

A.a=l,b=-3B.a=-1,b=3C.a=-1,b=-3D.a=l,b=3

【解题思路】利用复数相等的条件可求a”.

【解答过程】a+3i=—l+bi,而a,b为实数，

故Q=-l,b=3,

故选：B.

3.（5分）（2022•全国•统考高考真题）己知向量五=（3,4）范=（1,0）1=2+正，若〈立元>=V石则亡=

（）

A.-6B.-5C.5D.6

【解题思路】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化筒即可求得

【解答过程】解：5=（3+t,4）,cos<3">=cos<b,Z>,即二誓，

51cl\C\

解得t=5,

故选：C.

4.（5分）（2022秋.黑龙江.高三阶段练习）2022年4月16B,神舟十三号载人飞船返回舱在着陆场预定区

域成功着陆，三名航天员安全出舱.神舟十三号返回舱外形呈钟形钝头体，若将其近似地看作圆台，其高为

2.5m,下底面圆的直径为2.8m,上底面圆的直径为1m,则可估算其体积约为（）（兀。3.14）

A.3.6m3B.7.6m3C.22.8m3D.34.4m3

【解题思路】利用圆台的体积公式V=1九(户+疗，+r'2)可求得结果.

【解答过程】因为圆台的上底面圆的半径是0.5m,高是2.5m,下底面圆的半径是1.4m,

所以V=)以产+rr'+产)«1x3.14x2.5x(0.52+0.5X1.4+1.42)«7.6(m3).

故选：B.

5.(5分)(2022•全国•统考高考真题)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在

两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有()

A.12种B.24种C.36种D.48种

【解题思路】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解

【解答过程】因为内丁要在•起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有3!种排

列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方

式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，

故安排这5名同学共有：3!x2X2=24种不同的排列方式，

故选：B.

6.(5分)(2022秋•四川宜宾•高三阶段练习)设(1=61】一2b，h=VL4-1,c=21nl.l,贝U()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b

【解题思路】利用幕函数和指数函数的性质判断的范围，a利用基本不等式判断b的范围，构造新函数并利

用导数讨论函数的单调性求出c的范围，进而得出结果.

【解答过程】由e3<28,得岸<"/丽，即而<2夕，所以e「i<eLS=8，

所以eii<2/，贝ije】i-2/<0,即a<0；

I----------------—+12

由-1=x1.2-1<-1<0.184,即b<0.184；

设f(x)=Inx-华>0),则/'(x)=--1在=牛%>0,

J、JX+1、77v7X(x+l)2x(x+l)2

所以/(%)在(0,+8)上单调递增，且/(1)=0,

所以当%6(1,+">)时/(X)>0,即In%>,

当为6(0,1)时/(%)<0,即Inx<沔一”,

又1.1>1,则lnl.1>弋詈,*0.095,

所以c=21nl.l>0.19,即c>0.19,

综上，Qvb<c.

故选：A.

7.(5分)(2022・天津•统考高考真题)已知/Q)=]in2x,关于该函数有下列四个说法：

①f(x)的最小正周期为2兀：

②f(x)在[一％3上单调递增；

③当x6[—昌时，/⑸的取值范围为卜今卦

④f(x)的图象可由g(x)=；sin(2x+?的图象向左平移g个单位长度得到.

以上四个说法中，正确的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假.

【解答过程】因为〃x)=]in2x,所以〃工)的最小正周期为7=弓=兀，①不正确；

令t=2无e卜/，而y=]int在卜得上递增，所以f(x)在[―曙]上单调递增，②正确；因为t=2xe

sinte[—y,lj,所以/'(x)e[―¥，小③不正确；

由于g(x)=1sin(2x+；)=[sin]2(x+；)],所以/(x)的图象可由g(x)=|sin(2x+；)的图象向右平移;个单

位长度得到，④不正确.

故选：A.

8.(5分)(2023•全国•高三专题练习)对任意aeR,存在b€(0,+8),使得ea-lnb=l,则b-a的最小

值为()

A.-B.—C.1D.e

22

【解题思路】令ea=lnb+l=t(£>0),把b—Q用t表示，然后引入新函数，利用导数求得函数的最小值

即得.

(解答过程】由题e。=Info+1,令e。=Inh+1=t(t>0),则。=\nt,b=et-1,

所以b—a—et-1—Int,

令/Q)=et-1—lnt(t>0),贝=e*T—

令〃(%)=f'(t)-et-1—p

则if(%)=>0,

则〃⑺即尸⑴在(0,+oo)时单调递增，

又/(1)=0,则0<t<1时/(t)<0,t>1时((t)>0,

所以t=1时取得极小值也即为最小值，最小值=即b-a的最小值为1.

故选：c.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.（5分）（2022•全国•统考高考真题）已知正方体力BCD-4181GD1，则（）

A.直线BQ与。&所成的角为90。B.直线BQ与C&所成的角为90。

C.直线8cl与平面所成的角为45。D.直线BG与平面ABC。所成的角为45。

【解题思路】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.

【解答过程】如图，连接8道、B£,因为/MJ/81C,所以直线8cl与所成的角即为直线8cl与所成

的角，

因为四边形BBiQC为正方形，则8［C_L8G，故直线与所成的角为90。，A正确；

连接&C,因为4祖_L平面BBiQC,BQu平面8B1GC,则建祖工垢,

因为&C_LBCi，=所以BC】_L平面48传，

又为Cu平面4&C,所以8G_LC4，故B正确；

连接&G，设&G=0,连接B。，

因为1平面4$iGDi，GOu平面4B1GD1，则

因为6。1当。1，当劣C=当，所以C］。1平面

所以“18。为直线EC1与平面88也。所成的角，

设正方体棱长为1，则G。=立，BC、=立,sin4C［B0==］，

2BCi2

所以，直线BCi与平面所成的角为30。，故C错误；

因为GCL平面4BCD,所以4GBe为直线BQ与平面48C。所成的角，易得4GBe=45。，故D正确.

故选：ABD.

10.（5分）（2022春.江苏南通・高三阶段练习）已知函数f（x）=（/+。幻炉，则下列说法正确的是（）

A.当a=-2时，f（x）在［-14上单调递减

B.当a=-2时，函数f（x）没有最值

C.对任意aeR,函数f（x）恒有两个极值点

D.对任意a6R,过原点且与/'（X）相切的直线恒有两条

【解题思路】利用导数求函数的单调性、最值、极值，从而判断选项A,B,C；利用导数的儿何意义求切

线的方程，分析切线的斜率，从而判断选项D.

【解答过程】对于A选项，当a=—2时，/(%)=(x2—2x)ex,则/''(x)=(x?—2)eX,当xe[—1,1]时，恒

有f'(x)<0,因此f(x)在上单调递减，故A正确；

对于选项B,/'(%)=一2)留，令/''(x)=0,可得x=±&,所以f(x)在(一8,-e)上单调递增，在

(一企,夜)上单调递减，在(金,+8)上单调递增，当XT+8时，/(X)T+00,故/(X)无最大值，又当X<0时，

/(%)>0,且/(&)<0,故必乃有最小值，且最小值在x=近处取得，故B错误；

对于选项C,由题可得/''(X)=[x2+(a+2)x+a]ex,令/''(x)=0,因为e*>0,所以/+(a+2)x+a=0,

4=(a+2)2-4a=a2+4>0,即/''(x)=0存在两个不同的根，所以/(x)恒有两个极值点，故C正确；

z

对于选项D,设切点为(xo，y。),则切线方程为y-y0=/(x0)(x-x0),因为该切线过原点，所以y。=xof\xo),

xx

即(以+ax0)e°=xo(%o+ax0+2x0+a)e°,即诏+(a+l)x0=0,当a=—1时，方程有唯一解，即与=0,

所以当a=-l时，过原点且与f(x)相切的直线只有一条，故D错误.

故选：AC.

11.(5分)(2022•全国•统考高考真题)已知。为坐标原点，过抛物线。。2=22％(2>0)焦点厂的直线与。

交于A,B两点,其中A在第一象限，点M(p,0),若|4F|=|AM|,则()

A.直线4B的斜率为2乃B.\OB\=\OF\

C.\AB\>4\OF\D.AOAM+Z.OBM<180°

【解题思路】由|4F|=|4M|及抛物线方程求得4(日，字)，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线AB的

方程，联立抛物线求得8(；,-亨)，即可求出|OB|判断B选项；由抛物线的定义求出|4B|=誓即可判断C

选项；由市•砺<0,苏•丽<0求得乙408,乙4MB为钝角即可判断D选项.

【解答过程】对于A,易得Fg,0),由|4F|=|4M|可得点4在FM的垂直平分线上，贝U点横坐标为器=争

代入抛物线可得y2=2p•普=|p2,则4(%学)，则直线的斜率为击=2后A正确；

42

对于B,由斜率为2通可得直线4B的方程为x=6y+与联立抛物线方程得y2一靠py一p2=0,

2

设8即%)，则当P+%=%，则％=-字,代入抛物线得(一等)=2p-X1,解得/=多则照,-?)，

则|OB|=胞丫+(-亨I=野手I。用=导B错误；

对于C,由抛物线定义知：|48|=乎+：+D=誓>2p=4|。?|,C正确；

对于D,市.丽=(冬鸟)吗一字)=去"亨.(一字)=_乎<0,则208为钝角,

又加.丽=(小学)•(一g,—亨)=_『(_g)+乌.(一字)=_誓<°，则〃MB为钝角，

5L/.AOB+^LAMB+/.OAM+^OBM=360°,则4。4M+4OBM<180°,D正确.

故选：ACD.

12.(5分)(2023•全国•高三专题练习)已知定义在R上的单调递增的函数/(x)满足：任意xGR,有/(I一x)+

/(1+x)=2,/'(2+尤)+/(2-x)=4,则()

A.当x6Z时，/(x)=x

B.任意x£R,/(-X)=-/(%)

C.存在非零实数T,使得任意x&R,/(x+7)=/(%)

D.存在非零实数c,使得任意X6R,|/(x)-cx|<1

【解题思路】令x=1-何推导得/(x+2)=/(X)+2,结合/⑴)(2)的值可知A正确；令x=1+t可推

导得=f(2-x)-2,结合f(x)+/(2-%)=2可推导知B正确;根据/(x)单调性可知C错误；当c=1

时，根据“X)的对称中心及其在[0,1]时的值域可确定c=l时满足1/(%)-cx|Wl,知D正确.

【解答过程】对于A,令x=1-3则/'(t)+f(2-t)=2,即/(x)+f(2-x)=2,

又/'(24-x)+/(2-x)=4,/(x+2)=4-/(2-x)=4-(2-/(x))=/(%)+2；

令x=0得:/(l)+/(1)=2,f(2)+*2)=4,=f(2)=2,

则由/(x+2)=f(x)+2可知:当久eZ时，/(x)=x,A正确;

对于B,令x=l+t,则/'(-t)+/(2+t)=2,即/(-%)+/(2+x)=2,

•••/(-x)=2-f(2+x)=2-(4-/(2-x))=f(2—x)-2,

由A的推导过程知：/(2-x)=2-f(x),f(-x)=2-/(x)-2=-/(%).B正确；

对于C,,••/(>)为R上的增函数，

二当T>0时，x+T>X,则/'(x+T)>/(x)；当7<0时，x+T<x,贝疗(％+7)<f(x),

二不存在非零实数7,使得任意XeR，f(x+T)=f(x),C错误；

对于D,当c=>时,\f[x)—cx\=|/(x)-x|；

由/(l-x)+f(l+x)=2,/(2+x)+/(2-x)=4^0：f(x)关于(1,1),(2,2)成中心对称，则当aCZ时,

(a,a)为f(x)的对称中心；

当xe[0,1]时，•••/(x)为R上的增函数，/(0)=0,/(1)=1,.•./-(%)G[0,1],

•••iy(x)-%i<1；

由图象对称性可知：此时对任意尤GR,|/(x)-cx\<1,D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）（2022春•河北唐山•高二期末）（x+（X—：）展开式中的常数项为40.

【解题思路】先求出卜一，的展开式通项为Tr+1=（—2）rC，H,分析（无十号1一/展开式中的常数

项的构成，即可求解.

【解答过程】[一的展开式通项为7>+1=C枭5T（-|）r=（_2）『C"5-2r

要求（x+§（x—展开式中的常数项，只需5—2r=—l和5-2r=1,

分别解得：r=3或r=2.

因此所求常数项为（一2）3武+3x（-2）2第=-80+120=40.

故答案为：40.

14.（5分）（2023•江西景德镇•统考模拟预测）已知数列｛aj为等差数列，数列｛%｝为等比数列且公比q=2.

数列5｝和数列｛%｝的前几和分别为S3%,且满足72n+2=52”，则等差数列｛册｝的通项公式为

4n-2.

【解题思路】分别令n=1,2,3,得至1」4+2=$4,设｛%｝的公差为d,化简得到:廿1一誉=涎，解方程

7_s134Q]-/Q=4U

组可得答案.

+2£

=（T=S-2

+2=22

【解答过程】由已知得，令得，<=54T=S-2,根据等比数列求和公式，得到&=

71=1,2,3+244

58=Sg-2

(3瓦=S-2

2S4-2=5(S-2)

3瓦,7；=15仄,丁6=63灰，故15bl=54-2=>2

“-2=21(S-2)'

(63瓦=S8-22

4。1+6d-2=10。1+5d—10

设｛5｝的公差为d,则

8QI+28d-2=42%+21d-42'

42al—7d=56(a=2

化简得,4c={jr，a=4An-2o,

34%—7d=40Id=4n

故答案为：an=4n—2.

15.（5分）（2022.浙江.统考高考真题）已知双曲线及一，=l（a>0,b>0）的左焦点为F,过产且斜率为萤

的直线交双曲线于点交双曲线的渐近线于点8（工2，72）且V0V%2.若|/8|=3|凡4|,则双曲线

的离心率是乎.

【解题思路】联立直线AB和渐近线，2：y=?x方程，可求出点8,再根据|FB|=3|凡4|可求得点A,最后根据

点4在双曲线上，即可解出离心率.

【解答过程】过F且斜率为菖的直线4B:y=V（x+c）,渐近线，2：丫=N

y/o+c)

，得B8•，由|尸即=3伊川,得“一宝）,

联立b

y=aX

而点4在双曲线上，于是怒-黑=1,解得：捺=另所以离心率e=学.

16.(5分)(2023・湖北•校联考模拟预测)设a>0且a*1,若对VxG(一8,0)都有戏+a?<评成立，则实

数a的取值范围为(1,2].

【解题思路】由原不等式结合基本不等式可得/+：Sa-,再由尤<o可得x+2,则得a>l,然后由

X

谟+/结合指数的运算可得a42,再通过构造函数利用导数证明在l<aW2,xe(—8,0),有〃+工+

a1442即可.

【解答过程】因为a>0且a=1,因为a*+a；>2/吗,当且仅当初=/时取等号，

故2/*行，所以

又x<0,所以％+：=_[(_%)+4—2,当且仅当%=：时取等号,

所以Q>1.

又a*4-<-,所以Q*<--dx=2~axy显然谟>0,

aaa

所以有2-1+3>0,即1+(<Ioga2恒成立，

乂X<0,所以故loga221=loga。，所以a42.

当a>2时，1+：<Ioga2恒成立，即x>恒成立，与Vx6(一8,0)矛盾.

下面证明：在1<aW2,%€(-8,0),有〃+%+a1+x<2,

1+x

令t=a6(0,a),x=loga(：)

要使储+三W2-a1+x,即i+：wioga(2-t)

即1+i一4-bga(2-t)

由1<aS2知《=a1+x6(0,a),得:e(0,1),logaQ)<0

从而需证：loga+1>(log5-1)-loga(2-t)

即需证明：普+华虫一4.华色20,记Ina=b€(0,ln2]

InaInaInaInaJ

从而只需证：h(t)=h[lnt+ln(2—t)]—Int-ln(2—t)>0①

而九'(t)=8(：一六)—Qln(2-t)+lnt­)=i[6-ln(2-t)]+六[Int-b]t=0,

令W(t)=­[/?—ln(2—t)]+--[Int—b],则

t2—t

d(t)=同吟+/-1+(ln2-b)]+小屋+、1+(ln2叫,

令t(x)=Inx+^—l(x>0).则t<x)=：一点=妥，

当0cx<1时，t'(x)<0,当x>l时，t'(x)>0,

所以t(x)在(0,1)上递减，在(1,+8)上递增，

所以t(x)2t(l)=0,即lnx+3-120,

因为ln2—b20,所以，(t)>0

.♦.»«)在(0,a)上递增，又九”)=0,

二在0<t<<"⑴=递减，ft(t)>九⑴,

1<t<a,h'(t)>"⑴=0,/i(t)递增，h(t)>

而MD=0,从而在1<t<a时总有/i(t)>h(l)=0

...①式恒成立，不等式凉+x+a1+3<2得证.

综上所述，aG(1,2].

故答案为：(1,2].

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)(2022♦全国•统考高考真题)记立为数列｛an｝的前〃项和.已知智+n=2%+1.

(1)证明：｛%｝是等差数列；

(2)若。3a7lag成等比数列，求上的最小值.

2

【解题思路】(1)依题意可得2S”+n=2nan+n,根据即=L$>"=1作差即可得到即_01,

-bn_],n>L

从而得证；

(2)法一：由(1)及等比中项的性质求出％,即可得到的通项公式与前几项和，再根据二次函数的性

质计算可得.

【解答过程】(1)因为守+n=2an+l,即2Sn+n2=2nan+n①，

2

当n>2时，2Sn_i+("一I)=2(n—l)an_1+(n-1)②，

22

①一②得，2s7?4-n-2Sn_i—(7i—l)—2nan+n—2(n—l)an-i—(n-1),

=

B|J2un+2n-12,Tiun—2(n—l)dn_1+1,

即2(n—l)a九一2(九一1)@八_1=2(九一1),所以an-an_i=L几N2且n€N*,

所以｛Qj是以1为公差的等差数列.

(2)［方法一］:二次函数的性质

由(1)可得@4=+3,@7=+6，。9=+8'

2

又。4，。7，。9成等比数列，所以=-a9,

即(%+6/=(%+3)•(%+8),解得由=—12,

22

所以即=n-13,所以Sn=-12n+=|n-yn=|(n-y)一等，

所以，当n=12或n=13时，(Sn)min=-78.

［方法二］:【最优解】邻项变号法

由(1)可得。4=。1+3,。7=%+6，。9=%+8，

又。4，。7,成等比数列，所以。72=口4，的，

即31+6)2=31+3)•(4+8),解得出=-12,

所以Qn=n—13,即有由<a2<…<012<0,@13=0.

贝|J当九=12或71=13时，(Sn)min=-78.

18.(12分)(2022・安徽滁州•校考模拟预测)在△4BC中，角4B,。所对的边分别为Q,b,c,满足

a(tan?l+tanC)+b=btanA•tanC,且角4为钝角.

(I)求4—B的值；

(II)若b=3,cosB=孚,求^ABC的面积.

【解题思路】(I)整理可得:必+:叱=一2即tanB=3利用正弦定理可得当=注，即sinA=cosB=

l-tani4tanCaacosBsin/l

sin仔+B),即可求解;

(U)由(I)分别求得sinA,sinB,cosB,利用正弦定理求得a,再根据和角公式求得sinC,进而代入三角形面积

公式中求解即可.

【解答过程】(I)由题，整理可得半第=一之

1-tan/ltanCa

.*.tan(i4+C)=—即tanB=

二由正弦定理可得当=若，

cosBsin力

:.sinZ=cosB=sinQ+B),

・・・A为钝角，

A=-4~B,

・・・4一B=今

(H)由(I),A=、+B,cosB=孚

・•・sinA=sin(巳+3)=cosB=—,sinB=~,cos>l=——.

由正弦定理号=号，即9=2解得Q=3V2,

sinAsmBv6号

33

:.sinC=sin(A+B)=sin4cosB+cosAsinB=

二三角形面积S=jabsinC=苧.

19.(12分)(2022.全国•高三专题练习)两会期间国家对学生学业与未来发展以及身体素质的重要性的阐述

引起了全社会的共鸣.某中学体育组对高三的800名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的频率

分布直方图(引体向上个数只记整数).体育组为进一步了解情况，组织了两个研究小组.

(1)第一小组决定从单次完成1-15个引体向上的男生中，按照分层抽样抽取22人进行全面的体能测试.

①在单次完成6-10个引体向上的所有男生中，男生甲被抽到的概率是多少？

②该小组又从这22人中抽取3人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上1-5个”的人数为随机变量X,

求X的分布列和数学期望；

(2)第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这800人的学业成绩与体育成绩之

间的2x2列联表.

学业优秀学业不优秀总计

体育成绩不优秀200400600

体育成绩优秀100100200

总计300500800

请你根据列联表判断是否有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关？

参考公式：独立性检验统计量掴=二%阮)：其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

下面的临界值表供参考：

20.150.100.050.0250.0100.0050.001

P（JC>XO）

&2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【解题思路】(1)①先按照分层抽样求出1-5个、6-10个、11-15个分别抽取的人数，再由古典概型计算甲

被抽中的概率即可；

②直接计算X为0、1、2,3的概率，列出分布列计算期望即可;

（2）直接计算％2进行判断即可.

【解答过程】（1）

①单次完成1-5个引体向上的人有0.02x5x800=80人

单次完成6-10个引体向上的人有0.03x5x800=120人

单次完成11-15个引体向上的人有0.06x5x800=240人

单次完成1-15个的引体向上的男生共440人，按照分层抽样抽取22人,

设分别抽取a,b,c人，则有2=*=喜=急

所以a=4,b=6,c=12

即从1-5中选4人，6-10个中选6人，11-15个中选12人，

又因为单次完成6-10个引体向上的人共有120人，

记”单次完成6-10个引体向上的学生中甲同学被抽中”为事件A,

则「（4）=攀=/

L120NU

②X的所有可能取值有0、1、2、3

P（X=°）*黑,P（x=D=甯=崇

P(X=2)=警=急P(X=3)=簪=+

所以X的分布列如下:

X0123

204153271

P

385385385385

所以E(X)=0x型+1X理+2x牝+3x-i-=^=2

''38538538538538511

(2)

因为2=——隙叱-----

I，以(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

_800x(20000-40000)2

-600x200x300x500

=—«17.77>7.879,

9

所以有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关.

20.(12分)(2022•全国•统考高考真题)如图，P。是三棱锥P-ABC的高，PA=PB,ABLAC,E是PB的

中点.

p

（1）证明：OE〃平面P4C；

（2）若NAB。=NCB。=30。，PO=3,PA=5,求二面角C--B的正弦值.

【解题思路】（1）连接BO并延长交4c于点。，连接04、PD,根据三角形全等得到CM=0B,再根据直角

三角形的性质得到4。=DO,即可得到。为BD的中点从而得到OE//PD,即可得证；

（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的基

本关系计算可得.

【解答过程】（1）证明：连接B0并延长交4c于点。，连接。A、PD,

因为P。是三棱锥P-48c的高，所以P01平面4BC,4。,80<=平面48。，

所以PO_L4。、PO1B0,

乂PA=PB,所以△PtMmAPOS,即。4=。8,所以=N0B4,

5LAB1AC,即NB4c=90°,所以N04B+=90°,^OBA+WDA=90°,

所以NODA=LOAD

所以40=。。，BP/40=DO=OB,所以。为的中点，又E为PB的中点，所以OE//PD,

又OEC平面PAC,PDu平面PAC,

所以0£7/平面P4C

AB

C2）解：过点力作4z〃0P,如图建立空间直角坐标系,

因为P0=3,AP=5,所以。。=7AP2-P02=4,

又4OBA=40BC=30°,所以8。=204=8,则4。=4,AB=4>/3,

所以4C=12,所以。(2次,2,0),B(4V3,0,0),P(2V3,2,3),C(0,12,0),

所以E(3百

则屈=(3遮,1,|),AB=(4V3,0,0),AC=(0,12,0),

设平面的法向量为元=(x,y,z),则3V3x+y+-z。，令z=2,则y=-3,x=0,所以元=

(n-AB=4>/3x=0

(0,-3,2)；

设平面4EC的法向量为沅=3瓦c),则『'AE=^a+b+lC

(m-AC=12b=0

令Q=8，则c=-6,b=0,所以布=0,—6)；

而•沅_-124>/3

所以cos〈元，沆）=

同|沆|V13Xx^39131

设二面角C-AE-8的大小为。，则|cos8|=|cos（n,m）|=^,

所以sin。=V1-cos26=募，即二面角C-4E-B的正弦值为装.

21.（2022秋・辽宁大连•高三期末）已知双曲线Q:^-y2=1的离心率为圣经过坐标原点。的直线/与双

曲线。交于A,B两点，点4（Xi，yJ位于第一象限,C（X2，y2）是双曲线。右支上一点,ABJ.AC,设D（乙，一等）

（1）求双曲线Q的标准方程；

⑵求证：C,D,8三点共线；

（3）若△4BC面积为T，求直线/的方程.

【解题思路】（1）根据离心率即可求解a=2,

（2）利用坐标运算，结合点差法以及向量共线的坐标表示即可求解，

（3）根据三角形面积公式，利用联立方程，韦达定理，代入化简即可得到关于k的方程，

【解答过程】⑴由双曲线Q：5—y2=i的离心率为当，所以6=等=字解得a2,

所以双曲线。的标准方程为9一y2=1

(2)由4(X[))得-y)又C(%2，y2)，所以

0A=01，%),而=(x2-x1,y2-9),

由瓦？1而得X]（X2-Xi）+%（丁2一%）=0①，

22

由于401，%），C（>2，y2）在双曲线上，所以“z-----为=1,^------y2=1>

相减得多2:22=2_2n❷=3也②

4”,zVi+yzxt-x2

由①©得❷=一当⑨，

Ji+yzy\

BC=（久2+X1/2+y。前=（2/，-]yj,

由于%>0,%>0,所以红出一平=2+也3,

2%i一/12%i%

将③代入得卫士a-空1='"+"）・黄）+生竺3=o,

2%[-尹12尤1%

所以就〃而，因此C,D,B三点共线:

(3)设直线/的方程为y=kx(k>0),

y=kx

/=>（l-4fc2）%2=4,

{--y=1

故l—4i>ono<k.

所以看2=f,

直线AC的方程为y-%=-

联立‘；/'0（1-表）/+之偿+月）》-4件+力丫一4=0,

------y=i

I4,

所以/+“2=-誓誓泊>0

由于4D//y轴，%>0,所以|4D|=|y/

10(F2+k3412)_10(*+/3)%12_10(k+k3)^^2_40(k+炉)

由于%=X］2=工工位代入得S—BC

4-k24-17H+4心

4喉+k),

«表+△)-"'

令(+/c=t>0,则SAABC=JM=T，化简得24t2-35t-150=0,由于t>0,

所以t=¥

因此q+k=£,解得k=3或k=[,

由于0<k<；,所以k=±

故直线(方程为y=；x.

22.(12分)(2022•天津•统考高考真题)已知a,b£R,函数/(