卷3-2021年中考数学卷（江苏徐州专用）1月卷（解析版）

备战2021年中考数学【名校、地市好题必刷】全真模拟卷•1月卷

第三模拟

注意事项：

本试卷满分130分，考试时间120分钟，试题共28题.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自

己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.（2020秋・齐齐哈尔期末）在数轴上表示-2.1和3.3两点之间的整数有（）

A.4个B.5个C.6个D.7个

【分析】在数轴上找出点-2.1和3.3,找出两点之间的整数即可得出结论.

【解答】解：依照题意，画出图形，如图所示.

在-2.1和3.3两点之间的整数有：-2,-1,0,1,2,3,共6个，

故选：C.

・J------'------1-----i------1-------，，＞

-2-101?34

【知识点】数轴、有理数大小比较

2.（2020秋•福田区校级期中）截至北京时间10月11日6时30分左右，全球因感染新冠肺炎而死亡的病

例约1070000例，105个国家确诊病例超过万例.携手抗“疫”，刻不容缓.数据1070000可以用科学记

数法表示为（）

A.0.107X107B.1.07X105C.1.07X106D.1.07X107

【分析】科学记数法的表示形式为"X10"的形式，其中〃为整数.确定”的值时，要看把原数

变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，n

是正数；当原数的绝对值VI时，〃是负数.

【解答】解:将1070000用科学记数法表示为：1.07X106

故选：C.

【知识点】科学记数法一表示较大的数

3.（2020秋•罗湖区期中）已知以+3|+|。-1|=0,则a+6的值是（）

A.-2B.2C.4D.-4

【分析】由已知|“+3|+也-1|=0,根据非负数的性质可知|a+3|N0,|/2-1^0,即可得。+3=0,b-1=0,即

可计算。、6的值，即可得出答案.

【解答】解：|。+3|+|1-1|=0,

因为|a+3|20,\b-1>0,

所以“+3=0,b-1=0,

解得：a--3.b—\,

则a+b—-3+1=-2.

故选：A.

【知识点】代数式求值、非负数的性质：绝对值

4.（2020春•历下区期末）小华把如图所示的4X4的正方形网格纸板挂在墙上玩飞镖游戏（每次飞镖均落

在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是（）

【分析】根据三角形和正方形的面积公式即可得到结论.

【解答】解：•••正方形的面积为4X4=16,阴影区域的面积为《X4X1+5X2><3=5,

22

•••飞镖落在阴影区域的概率是3，

16

故选：C.

【知识点】几何概率

5.（2020秋•淇滨区校级月考）若a、人是关于x的方程』-2戊+尸-2什4=0的两实根，则Q+2）（6+2）的

最小值为（）

A.7B.10C.14D.16

【分析】根据方程的系数结合根的判别式△2（），可得出关于f的一元一次不等式，解之即可得出f的取值

范围，根据根与系数的关系可得出a+b=2f,岫=产-2汁4,将其代入（a+2）（〃+2）=ah+2（a+b）

+4中可用含，的代数式表示出（a+2）（H2）,再利用二次函数的性质即可解决最值问题.

【解答】解：•••方程f-2fx+*-2r+4=0有实数根，

（-2t）2-4XIX（p-2f+4）20,

b是关于x的方程*-2rx+--2/+4=0的两实根，

.\a+b=2t,ab=¥-2r+4,

（。+2）（b+2）=ab+2a+2/?+4=a/?+2（a+b）+4=3-2/+4+47+4=/+2/+8=（P+1）~+7.

Vl>0,

当时，（a+2）（〃+2）的值随，的增大而增大，

...当f=2时,（a+2）（b+2）取得最小值,最小值=（2+1）2+7=16.

故选：D.

【知识点】根的判别式、二次函数的性质、根与系数的关系

6.（2020秋•内江期末）如图，在AABC中已知NB、NC的平分线相交于点凡过点F作DE〃8C,交AB

于点。，交AC点、E,若4B=9,AC=7,则△AOE的周长为（）

D/M\E

A.13B.14C.15D.16

【分析】先根据角平分线的定义及平行线的性质证明△B。F和△CEb是等腰三角形，再由等腰三角形的性

质得CE=EF,则△ADE的周长=A8+AC,从而得出答案.

【解答】解：・・・5尸平分NA3C,

:./DBF=NCBF,

■:DE〃BC,

：・NCBF=NDFB,

:・/DBF=/DFB,

:・BD=DF,

同理FE=EC,

：./XADE的周长=AO+4E+£O=A3+4C=9+7=16,

故选：D.

【知识点】等腰三角形的判定与性质、平行线的性质

7.（2020•上城区一模）一把5〃z长的梯子AB斜靠在墙上，梯子倾斜角a的正切值为3,考虑安全问题，现

要求将梯子的倾斜角改为30°,则梯子下滑的距离A4'的长度是（

【分析】设AC=3%,BC=4k,根据勾股定理得至ljA8=〃Q2+BC2=5Z=5,求得AC=3米，3c=4米,

根据直角三角形的性质健康得到结论.

【解答】解：如图，•••梯子倾斜角a的正切值为申，

4

・••设AC=3七BC=4k,

AB=VAC2+BC2=5%=5,

:.k=I,

；.4C=3米，8c=4米，

VA,B'=AB=5,ZA（B'C=30°,

C=4B',

22

R1

**•AAz=/lC-A'C=3-米，

22

故梯子下滑的距离A4的长度是］米，

故选：D.

【知识点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题

8.（2020春•婺城区校级月考）如图，在团ABC。中，ZA=45°,AC=J5，点M、N分别是边AB、BC±

的动点，连接ON、MN,点、E、F分别为DN、MN的中点，连接EF,则EF的最小值为（）

A.—B.V2C.返D.1

22

【分析】连接。M，利用三角形中位线定理，可知EF=aDM,求出。M的最小值即可求出EF的最小值.

【解答】解：如图，连接力例，

,:E、F分别为CW、MN的中点，

：.EF=—DM,

2

的最小值，就是。M的最小值,

当。M_LAB时，CM最小，

RlZvlBG中，/A=45°,AD=心

：.DM=&AD^\,

2

：.EF=—DM=—,

22

的最小值是

故选:A.

【知识点】平行四边形的性质、三角形中位线定理

9.如图，在矩形ABCD中，AB=M，BC=L把矩形ABCD绕点A顺时针旋转30。得到矩形AB，CD,其中点C

的运动路径为无尸，则图中阴影部分的面积为（）

A•子券咛一乎T警

【分析】如图连接AC,CB,,AC.首先证明A、B\C共线.设CB咬CD于E,根据Sw=SfflKACC-SAAB'C_S&

ECB，计算即可；

【解答】解：如图连接AC,CB\AC.

在矩形ABCD中，VZB=90°,AB=心BC=1,

.".tanZBAC=V3»

AZBAC=30°,

•旋转角为30。，

.'.A、B'、C共线.设CB咬CD于E.

Si;i|=Sa®ACC'SAABV_SAECB'

='003b22-[・1・«_春・（2-V3）•亨・（2-b）

JbUZz3

33

故选：B.

【知识点】扇形面积的计算、矩形的性质、旋转的性质

10.（2020•无锡）如图，等边△ABC的边长为3,点。在边AC上，线段PQ在边8A上运动，PQ

得，有下列结论：

①CP与。。可能相等；

②△AQO与△BCP可能相似；

③四边形PCDQ面积的最大值为契返；

16

④四边形PCDQ周长的最小值为3+亨.

其中，正确结论的序号为（）

C.①③D.②③

【分析】①利用图象法判断或求出。。的最大值，PC的最小值判定即可.

②设AQ=x,贝U8P=4B-AQ-PQ=3-X-5=堤-x,因为NA=N8=60°,当黑=黑时，

22BPCB

△ACQ与△8PC相似，

工

即告解得x=l或微，推出当AQ=1或暂时，两三角形相似.

~2~x

③设AQ=x,则四边形PCDQ的面积=*X3?--ixxX^X-i-恭3义（3-x-X零

=鼻返+刍返X,当X取最大值时，可得结论.

88

④如图，作点。关于48的对称点。'，作》F//PQ,使得尸=尸。，连接C尸交AB于点

P1,在射线P'A上取P'Q'=PQ,此时四边形P'CDQ'的周长最小.求出C尸的长即可

判断.

解：①利用图象法可知PC＞。。，或通过计算可知。。的最大值为遮1,PC的最小值为色巨，

【解答】

22

所以POQ。，故①错误.

1C

②设AQ=xf则BP=AB-AQ-PQ=3-x--x,

VZA=ZB=60°,

当居=彩或黑=普时，△A。。与aBPC相似，

11

即《一堂或三=｝，解得x=l或3或息，

5__33且-214

2x2

...当4。=1或］•或皂时，两三角形相似，故②正确

214

③设AQ=x,则四边形PC。。的面积=SAABC-SAADC-SABCP=®Xk--lXxx^2x-1--1-X

3X(3-x--)又返=3立■+W^x,

2288

,•'x的最大值为3-

22

♦•・x=A"时，四边形PCOQ的面积最大，最大值=变巨，故③正确，

216

如图，作点。关于48的对称点。'，作。尸〃P。,使得F=P。,连接CF交A8于点P',

在射线P'4上取P'Q'=PQ,此时四边形P'CDQ'的周长最小.

过点C作C”，。'F交。'F的延长线于H,交A8于J.

由题意，DD'=2AD«sin600=返，HJ^—DD'=返，F//=---,

22422244

：.CH=CJ+HJ=1&,

4________________

=22

'CFVFH-K:HTm2+（^_）2=年，

...四边形PCDQ'的周长的最小值=3+运，故④错误，

2

故选：D.

【知识点】二次函数的最值、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、轴对称-最短路线问题

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

11.（2020秋•海珠区校级期中）己知侬-2|+（/>+1）2=0,则（〃-6）2。20=.

【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解.

【解答】解：由题意得，ab-2=3b+l=0,

解得a=-2,b=-I,

所以，（a-6）2侬=（-2+1）202。=].

故答案为：I.

【知识点】非负数的性质：绝对值、非负数的性质：偶次方

12.（2020秋•黄埔区期中）已知布-2〃=5,那么5（机-2”）2-m+2n-60=.

【分析】将5（m-2"）2-m+2n-60化成5（,〃-2"）2-（m-2n）-60>再整体代入计算即可.

【解答】解：

5（m-2n）2-m+2n-60

=5（m-2n）2-（tn-2n）-60

=5X5?-5-60

=125-5-60

=60,

故答案为：60.

【知识点】代数式求值

13.（2020•津南区一模）不透明袋子中装有12个球，其中有5个红球、4个绿球和3个蓝球，这些球除颜

色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是—.

【分析】用红球的个数除以总球的个数即可得出答案.

【解答】解：不透明袋子中装有12个球，其中有5个红球、4个绿球和3个蓝球，

从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是得；

故答案为：-p^-.

【知识点】概率公式

14.（2020秋•大东区期末）如图，已知一次函数%=4x+6的图象与x轴、一次函数以=》-2的图象分别交

于点C,。，点。的坐标为（-2,m）.若在x轴上存在点E,使得以点C,D,E为顶点的三角形是直

角三角形，请写出点E的坐标.

【分析】点£＞（-2,切）在代人”=x-2可以求得点。的坐标，进而求得一次函数y的解析式，即可求得

C的坐标，然后有三种情况分别进行讨论计算即可解答本题.

【解答】解：•.•点£＞（-2,加）在一次函数y=x-2上，

m=-2-2=-4,

二点。的坐标为（-2,-4）,

:点。（-2,-4）在一次函数y=4x+b上，

-4=4X（-2）+b,得b=4,

"次函数y=4x+4,

当y=0时，x=-\,

点C的坐标为（-1,0）,

如图，当点E为直角顶点时，过点。作DEiLr轴于昂，

VD（-2,-4）,

：.E\(-2,0)；

当点C为直角顶点时，x轴上不存在点E；

当点D为直角顶点时，过点D作DEiVCD交x轴于点E2,

设及(60),

C(-1,0),Ei(-2,0),

CEz-\-t,E\Ez=-2-t>

VD(-2,-4),

；.OEi=4,CEi=-1-(-2)=1,

2222

在RtZXOEiE中，DE^=DEI+(£|E2)=4+(-2-if)=?+4r+20,

在RtZXCOEi中，C£>2=12+42=17,

222

在RtAC£)£2中，CE2=DE>+CD,

：.(-1-r)2=产+4/+20+17.

解得t=-18.

：.E2(-18,0)；

由上可得，点E坐标为(-2,0)或(-18,0),

故答案为(-2,0)或(-18,0).

【知识点】两条直线相交或平行问题

15.（2020秋・南京期末）如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2,于点8,且BC=1,连

接AC,在AC上截取C£»=BC,以A为圆心，AO的长为半径画弧，交线段AB于点E,则点E表示的实

数是

【分析】根据垂直的定义得到/ABC=90°,根据勾股定理得到AC={AB2+BC2=遥，求得AD=AC-

CD-A/5-1.根据圆的性质得到AE=A。，即可得到结论.

【解答】解：VBC1AB,

AZABC=90",

"：AB=2,BC=\,

•MC=IAB2+BC2=旄'

■:CD=BC,

：.AD^AC-CD=y/5-1>

'JAE^AD,

:.AE=4^>-1>

...点E表示的实数是旄-1.

故答案为：Vs-1-

【知识点】实数与数轴、勾股定理

16.（2020春•江汉区期末）如图，点E是正方形ABCZ）的边。C上一点，点F是C2延长线上一点，且4

ADE^^ABF,四边形4EC尸的面积为8,DE=\,则AE的长为

【分析】由：MADEmXABF、可得正方形4BCD的面积等于四边形AECF的面积，从而可得AU=8,在

Rt^ADE中，由勾股定理可求得答案.

【解答】解：•.•△ADE岭AABF,

...正方形ABCD的面积等于四边形AECF的面积，

:四边形AECF的面积为8,

/.正方形ABCD的面积为8.

，4。2=8,

在RtZ\A£）E中，/iE=^AD2+DE2=78+1=3,

故答案为：3.

【知识点】正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理

17.（2020秋•荔湾区期末）如图，已知A、B两点的坐标分别为（2,0）、（0,2）,0c的圆心坐标为（-2,

0）,半径为2.若。是OC上的一个动点，线段D4与），轴交于点E,则△ABE面积的最小值是,

【分析】先根据当与OC相切，且在x轴的上方时，△ABE的面积最小，连接CD,则CD1_A。，再求

出4、8两点的坐标，再根据勾股定理求出4D,从而得出SMCD，再根据△AOES/\A£）C,求出△

A8E的面积.

【解答】解：当4。与OC相切，且在x轴的上方时，aABE的面积最小，

连接CD,则CO_L4f）,

.♦.4、B两点的坐标是（2,0）,（0,2）,

在RtZXACZ）中，CD=2,AC=OC+OA=4,

由勾股定理，得：A£>=2«,

AS^ACD=^AD'CD=-^X2-73X2=2-73，

.•.2=（世）、4）7，

^AACD的2V§3

.e_U_2«

•・MAOE一■Q'&ADC-----

S3

：•S4ABE=SAAOB~S&AOE=《义2X2-士=2-，.

233

故答案为：2-3S.

【知识点】垂径定理、坐标与图形性质、勾股定理、点与圆的位置关系

18.（2020•武汉模拟）如图，在RtAABC中，/C=90°,AC=6,BC=8,。是AC的中点，点、E在BC

上，分别连接B。、AE交于点凡若NBFE=45°,则CE=

【分析】过点A,B分别作8C,AC的平行线交于点K,则四边形AC2K为矩形，过点A作AM〃/)8交KB

于点过点M作交AE的延长线于点N,过点N作BC的平行线分别交AC,KB的延

长线于点4,Q,则四边形C//QB为矩形，证明△AKM之△MQN(A4S),得出KM=NQ,MQ=

AK=8,证明△ACEs可求出CE的长.

【解答】解：过点A,8分别作BC,AC的平行线交于点K,则四边形4cBK为矩形，

过点A作AM//DB交KB于点M,过点M作MNLAM交AE的延长线于点N,

过点N作8c的平行线分别交AC,K8的延长线于点”，Q,

则四边形C”Q8为矩形，

；NBFE=45°,AM//BD,

，NBFE=NMAN=45°,

/XAMN为等腰直角三角形，

,/ZAMK+ZNMQ=NAMK+NMAK=90°,

NNMQ=ZMAK,

又<NAKM=NMQN=90°,

:.XAKM21AMQN（AAS）,

:.KM=NQ,MQ=4K=8,

•.,。为AC的中点，AC=6,

.•.AD=0C=BM=3,

:.MK=NQ=3,

：.BQ=CH=5,

：.HN=HQ-NQ=8-3=5,

"."CE//HN,

.CEAC

,,HT=AH,

即鱼

511

.C£=30

..11（

故答案为：

【知识点】相似三角形的判定与性质

三、解答题（本大题共10小题，共76分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过

程或演算步骤）

19.（2020秋•龙口市期中）计算：

（I）COS2450—0°°_+tan245°-tan260°.

l-sin30

（2）3tan30°.o^O。~^cos45。W（l-tan600）2-

【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案；

（2）直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案.

工

【解答】解：（1）原式=（返）2-上「+1-（V3）2

2」

=5_

~'2；

(2)原式=3X返-2+2加乂返+«-1

__32

=V3-2+2+V3-1

=273-1.

【知识点】特殊角的三角函数值

20.(2020秋•武都区期末)解方程：

(1)(l+4)2=5(x+4)；

(2)/+44=2.

【分析】(1)利用因式分解法即可求出答案；

(2)方程利用配方法求出解即可.

【解答】解：(1)(x+4)2=5(1+4),

(1+4)2-5(x+4)=0,

(x+4)(x+4-5)=0,

x+4=0或x-1=0,

解得：X\=-4,%2=1;

(2)f+4x=2

配方得：/+4]+4=2+4,即(x+2)2=6,

开方得：x+2=±近，_

解得：xi=-2+、/1,X2--2-5/5-

【知识点】解一元二次方程-因式分解法、解一元二次方程-配方法

21.(2020春•碑林区校级月考)“垃圾分一分，环境美十分”.某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从百

货商场购进了A,B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶.已知B品牌垃圾桶比A品牌垃

圾桶每个贵50元，用4000元购买A品牌垃圾桶的数量是用3000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍.

(1)求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？

(2)若该中学决定再次准备用不超过6000元购进A,8两种品牌垃圾桶共50个，恰逢百货商场对两种

品牌垃圾桶的售价进行调整：4品牌按第一次购买时售价的九折出售，B品牌比第一次购买时售价提高

了20%,那么该学校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？

【分析】(1)设购买一个4品牌垃圾桶需x元，则购买一个8品牌垃圾桶需(x+50)元，根据数量=总价

・单价结合购买A品牌垃圾桶数量是购买B品牌垃圾桶数量的2倍,即可得出关于x的分式方程，

解之经检验后即可得出结论；

(2)设该学校此次购买胆个8品牌垃圾桶，则购买(50-个A品牌垃圾桶，根据总价=

单价X数量结合总费用不超过6000元，即可得出关于"？的一元一次不等式，解之取其中的最

大值即可得出结论.

【解答】解：(1)设购买一个A品牌垃圾桶需x元，则购买一个5品牌垃圾桶需(x+50)元，

依题意，得：生也=2X①罂，

xx+50

解得:x=100,

经检验，x=IOO是原方程的解，且符合题意，

.*.x+50=150.

答：购买一个A品牌垃圾桶需100元，购买一个8品牌垃圾桶需150元.

(2)设该学校此次购买m个B品牌垃圾桶，则购买(50-〃?)个A品牌垃圾桶，

依题意，得：100X0.9(50-m)+150X(1+20%)，”W6000,

9

解得：wiW16与■.

因为m是正整数，所以m最大值是16.

答：该学校此次最多可购买16个8品牌垃圾桶.

【知识点】分式方程的应用、一元一次不等式的应用

22.(2020秋•兰州期末)ETC(ElectronicTollCollection)不停车收费系统是目前世界上最先进的路桥收费方

式.安装有E7C的车辆通过路桥收费站无需停车就能交纳费用.某高速路口收费站有A,B,C,。四个

E7C通道，车辆可任意选择一个ETC通道通过，且通过每个ETC通道的可能性相同，一天，小李和小

赵分别驾驶安装有ETC的汽车经过此收费站.

(1)求小李通过A通道的概率；

(2)请用列表或画树状图的方法表示出两人通过此收费站的所有可能结果，并求出小李和小赵经过相同

通道的概率.

【分析】(1)根据概率公式即可得到结论；

(2)画出树状图，共有16种等可能结果，其中小李和小赵经过相同通道的结果有4种，由概

率公式即可得到结论.

【解答】解：(1)小李通过A通道的概率为二：

4

(2)画树状图如图:

由树状图可知：共有16种等可能结果,其中小李和小赵经过相同通道的结果有4种,

：.p（小李和小赵经过相同通道）=-^=4

164

【知识点】概率公式、列表法与树状图法

23.（2020秋•昆都仑区期末）某校为了了解全校学生线上学习情况，随机选取该校部分学生，调查学生居

家学习时每天学习时间（包括线上听课及完成作业时间）.如图是根据调查结果绘制的统计图表.请你根

据图表中的信息完成下列问题：

（1）频数分布表中机=—,〃=—，并将频数分布直方图补充完整；

（2）若该校有学生1000名，现要对每天学习时间低于2小时的学生进行提醒，根据调查结果，估计全

校需要提醒的学生有多少名？

（3）已知调查的E组学生中有2名男生1名女生，老师随机从中选取2名学生进一步了解学生居家学习

情况，请用树状图或列表求所选2名学生恰为一男生一女生的概率.

学习时间分组频数频率

4组（0«1）9m

B组（1«2）180.3

C组（2«3）180.3

。组（3Wx<4）n0.2

E组（4Wx<5）30.05

【分析1（1）频数分布表中〃?=0.15,〃=12,并将频数分布直方图补充完整；

（2）若该校有学生1000名，现要对每天学习时间低于2小时的学生进行提醒，根据调查结果，

估计全校需要提醒的学生有多少名？

（3）已知调查的E组学生中有2名男生1名女生，老师随机从中选取2名学生进一步了解学生

居家学习情况.请用树状图或列表求所选2名学生恰为一男生一女生的概率.

【解答】解：（1）根据频数分布表可知：

/n=l-0.3-0.3-0.2-0.05=0.15,

V184-0.3=60（人）,

：.n=60-9-18-18-3=12（人）,

补充完整的频数分布直方图如下：

（2）根据题意可知：

1000X（0.15+0.3）=450（名），

答：估计全校需要提醒的学生有450名;

（3）设2名男生用A,8表示，1名女生用C表示,

根据题意，画出树状图如下:

根据树状图可知：等可能的结果共有6种，符合条件的有4种，

所以所选2名学生恰为一男生一女生的概率为：京=±.

63

【知识点】列表法与树状图法、频数（率）分布直方图、用样本估计总体、频数（率）分布表

24.（2020秋•延边州期末）如图，等边AABC中，点E在A8上，点。在CB的延长线上，且ED=EC.

（1）如图①，点E为AB的中点，求证：AE=DB.

（2）如图②，点E在边A8上时，AEDB（填或"=

理由如下：过点E作£/〃BC,交AC于点尸（请你完成以下解答过程）.

（3）在等边△ABC中，点E在直线AB上，点。在直线BC上，且ED=EC.若48=1,AE=2时，直

接写出的长.

【分析】(1)根据等腰三角形的三线合一得到CE为NACB的平分线，证明等量代换证明结论;

(2)过点E作E尸〃8C,交4c于点片证明△OBEgZXE/C,根据全等三角形的性质证明；

(3)分点E在A8的延长线上和点E在84的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质解答.

【解答】(1)证明：♦.♦△48C为等边三角形，点E为A8的中点，

，。上为NAC3的平分线，

AZBCE=4-ZACB=4-X6O°=30°，

22

•:ED=EC,

：.ZD=ZDCE=30°,

VZABC=60°,ND+NDEB=/ABC,

；・NDEB=30°,

:・BD=BE,

■:AE=BE,

：.AE=BD；

(2)解：AE=BD,

理由如下：如图②，过点E作EF〃3C,交AC于点R

•・・△48。为等边三角形，

AZACB=ZABC=60°,

■:EF//BC,

：.ZAEF=ZABC=ZAFE=ZACB=60°,

•••△4E/为等边三角形，

：.AB=AC,

:.BE=CF,

：.ZDBE=ZEFC=120°,

♦：ED=EC,

:・/D=/ECB,

：.ND+/DEB=ZECB+ZECF=60°,

:.NDEB=NECF,

在△O3E和△MC中，

'DE二EC

<NDBE二NEFC，

BE=FC

:・4DBEmAEFC(SAS),

:.EF=DB,

■:AE=EF,

：.AE=DB；

故答案为：=;

(3)解：如图③，作£7"/8c交CA的延长线于厂,

则△AEE为等边三角形，

：.AF=AE=EF^2,NBEF=6Q”,

.\ZCEF=60°+ZBEC,

VZEDC=ZECD=+ZBEC=60°+NBEC,

ZCEF=ZEDB,

YEB=CF=3,ZCEF=ZEDB,NF=NB=60°,

/.(AAS),

：.BD=EF=2,

:.CD=BD-BC=l,

如图4,仿照以上作法可知，CO=3,

综上所述，CQ=1或3.

【知识点】三角形综合题

25.(2020秋•南沙区期中)如图，在正方形A8C。中，E、尸分别是边C。、8c上的两点，且/E4F=45°,

AE、AF分别交正方形的对角线于G、H两点，将△4OE绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ,

连接EF.

(1)求证：项平分NQAE.

(2)求证：EF=BF+DE.

(3)试试探索8”、HG、G。三条线段间的数量关系，并加以说明.

D

【分析】(1)将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△A8Q,根据旋转的性质可得/BAQ=/D4E,则可得

出结论；

(2)先判断出点。、B、尸三点共线，然后利用“边角边”证明△AEF和△AQF全等，根据全

等三角形对应边相等可得EF=QF,再根据QF=BQ+8/等量代换即可得证.

(3)把△ABH绕点A逆时针旋转90°得到△ADW.连结GM.证明△AHG丝Z\AMG(SAS),

由全等三角形的性质得出MG=HG.求出NG£>M=90°,由勾股定理就可以得出结论g=

GD^+BH2.

【解答】(1)证明：将△AOE绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ,此时AB与AD重合，

由旋转可得：ZBAQ=ZDAE,

,.•/£4尸=45°,

：.ZDAE+ZBAF^ZBAD-ZEAF^90°-45°=45°,

'：ZBAQ^ZDAE,

...NB4Q+/B4F=45°,

即NQAF=NE4F,

：.FA平分NQAE.

(2)证明：I•将△AOE绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ,此时AB与AD重合，

：.AB=AD,BQ=DE,ZABQ=ZD=90°,

；.乙48。+乙48尸=90°+90°=180°,

因此，点。，B,尸在同一条直线上，

；AQ=AE,ZQAF^ZEAF,AF^AF,

：./\QAF^/\EAF(SAS),

：.QF=EF,

:.EF=BF+DE；

(3)解：BH、HG、GO三条线段间的数量关系为序.

证明：如图，在正方形ABC。中，AB=AD,N84£>=90°,

AZABH=ZADG=45°.

把△48"绕点A逆时针旋转90°得到△AOW.连结GM.

:.DM=BH,AM=AH,NABH=45°,NDAM=NBAH.

：.^ADB+ZADM^45°+45°=90°,

即NGOM=90°.

'：ZEAF=45°,

：.ZBAH+ZDAG=45Q,

...ND4M+ND4E=45°,

即NMAG=45°,

，ZMAG=ZHAG.

在△4HG和△AMG中，

，AH=AM

<NHAG=NMAG，

AG=AG

AAAWG^AAMG(SAS),

：.MG=HG.

,：ZGDM=90°,

:.MG2=GD1+DM2,

.\HG2^GD2+BH2.

【知识点】四边形综合题

26.(2020秋•拱墅区校级期中)如图，AB是。。的直径，弦CDJ_AB于点E,G是前上一点，AG,0c的

延长线交于点尸，连接AD,GD,GC.

(1)求证：ZCGF=ZAGD.

(2)已知N)GF=120°,AB=4.

①求CD的长.

②若点G是AF'的中点，且噂•一!■,求△CDG与△AOG的面积之比.

A

【分析】(1)连接AC,根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可证结论；

(2)①连接8C,先根据题意得到/AGO=60°,进而即可证得△AC。是等边三角形，根据圆

周角定理得到/4。8=90°,/AB£>=60°,解直角三角形求得AD,即可求得C。的长；

②根据相似三角形的性质得到段■R=3,从而得到黑=■!，进一步得到普也=/■，点

AGAD2CD2SACDG2

G是AF的中点，得至I」SAAGD=SAGDF，即可得到等效:弓

'△ADG3

【解答】(1)证明：连接AC,

是。。的直径，弦CD_LA8于点£

:・DE=CE,