2021-2022学年四川省遂宁市绿然教科院高一（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2021-2022学年四川省遂宁市绿然教科院高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合M＝{x∈Z|﹣2＜x＜4}，N＝{﹣2，1，2，4}，则M∩N＝（）A．{1，2，4} B．{﹣2，3，4} C．{1，2} D．{2，4}2．（5分）某同学为了研究江南传统民居木作技艺，制作了如下图所示的木料，那么旋转一定的角度后可以看作函数的图象的是（）A． B． C． D．3．（5分）函数y＝的定义域为（）A．（﹣，0）∪（0，1） B．（﹣，0）∪（0，1] C．（﹣∞，0）∪（0，1） D．（﹣∞，0）∪（0，1]4．（5分）半径为3cm的圆中，有一条弧，长度为cm，则此弧所对的圆心角为（）A． B． C． D．5．（5分）已知函数，则f（2021）＝（）A．2 B． C．1 D．46．（5分）函数f（x）＝x2﹣2x零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）已知a＝30.2，b＝log0.4，c＝log20.2，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c8．（5分）若f（x），g（x）分别是R上的奇函数，偶函数，且f（x）﹣g（x）＝ex，则有（）A．g（0）＜f（2）＜f（3） B．f（2）＜f（3）＜g（0） C．g（0）＜f（3）＜f（2） D．f（2）＜g（0）＜f（3）9．（5分）将函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数f（x）的一个单调减区间为（）A． B． C． D．10．（5分）已知函数f（x）＝lnx+2x，若f（x2﹣4）＜2，则实数x的取值范围是（）A． B． C． D．11．（5分）已知函数，若方程f（x）＝logax（a＞0且a≠1）恰有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．（3，+∞）12．（5分）已知函数f（x）＝（x﹣a）|x﹣2|，其中a∈R．如果对任意实数m∈[0，1]，使得不等式f（m）≤4成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，0] B．[﹣2，6] C．[﹣3，+∞） D．[﹣2，+∞）二、填空题13．（5分）sin480°的值等于．14．（5分）已知幂函数f（x）＝（8m2﹣2m）xm在（0，+∞）上为增函数，则f（4）＝．15．（5分）设函数f（x）＝lg，a∈R，若当x∈（﹣∞，1）时，f（x）都有意义，则a的取值范围是．16．（5分）若函数的值域为R，则常数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）求值：（1）；（2）2log510+log50.25+log225•log34•log59．18．（12分）已知集合A＝{x|3≤3x≤27}，B＝{x|log2x＞1}．（1）分别求A∩B，（∁RB）∪A；（2）已知集合C＝{x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值集合．19．（12分）如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，且OA⊥OB．（1）求的值；（2）若点A的横坐标为，求2sinαcosβ的值．20．（12分）已知函数．（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；（2）用定义法证明f（x）是定义域内的减函数．21．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）图象的相邻两条对称轴的距离是，当时取得最大值2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间的最大值和最小值；（3）若函数的零点为x0，求．22．（12分）设a＞0且a≠1，函数f（x）＝loga，g（x）＝1+loga（x﹣1），两函数的定义域分别为集合A、B，若将A∩B记作区间D．（1）试求函数f（x）在D上的单调性；（2）若[m，n]⊆D，函数f（x）在[m，n]上的值域恰好为[g（n），g（m）]，求a的取值范围．

2021-2022学年四川省遂宁市绿然教科院高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合M＝{x∈Z|﹣2＜x＜4}，N＝{﹣2，1，2，4}，则M∩N＝（）A．{1，2，4} B．{﹣2，3，4} C．{1，2} D．{2，4}【分析】先求出集合M，然后结合集合的交集运算即可求解．【解答】解：因为M＝{x∈Z|﹣2＜x＜4}＝{﹣1，0，1，2，3}，N＝{﹣2，1，2，4}，则M∩N＝{1，2}．故选：C．【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．2．（5分）某同学为了研究江南传统民居木作技艺，制作了如下图所示的木料，那么旋转一定的角度后可以看作函数的图象的是（）A． B． C． D．【分析】结合函数的概念，逐项分析即可求出结果．【解答】解：由函数的定义可知，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一确定的值与之对应，结合题中的选项可知，只有选项C满足题意．故选：C．【点评】本题主要考查函数的概念，属于基础题．3．（5分）函数y＝的定义域为（）A．（﹣，0）∪（0，1） B．（﹣，0）∪（0，1] C．（﹣∞，0）∪（0，1） D．（﹣∞，0）∪（0，1]【分析】根据函数的定义域的求法，偶次根号被开方数大于等于0，分母不为0，列出不等式组，求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵函数y＝，∴，解得x＜0或0＜x≤1；∴该函数的定义域是（﹣∞，0）∪（0，1]．故选：D．【点评】本题考查了求函数定义域的应用问题，解题时应根据解析式，列出使解析式有意义的不等式（组），是基础题目．4．（5分）半径为3cm的圆中，有一条弧，长度为cm，则此弧所对的圆心角为（）A． B． C． D．【分析】利用弧长公式即可计算得解．【解答】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝cm，r＝3cm，此弧所对的圆心角α＝＝．故选：A．【点评】本题主要考查了弧长公式，此题简单，但要注意计算的正确性，属于基础题．5．（5分）已知函数，则f（2021）＝（）A．2 B． C．1 D．4【分析】结合已知函数解析式先进行转化，然后代入即可求解．【解答】解：因为，则f（2021）＝f（2020）＝•••＝f（0）＝1．故选：C．【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础题．6．（5分）函数f（x）＝x2﹣2x零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】函数f（x）＝x2﹣2x零点个数可化为函数y＝x2与y＝2x的图象的交点个数，作图求解．【解答】解：函数f（x）＝x2﹣2x零点个数可化为函数y＝x2与y＝2x的图象的交点个数，作函数y＝x2与y＝2x的图象如下，有三个交点，故选：C．【点评】本题考查了函数的零点与函数的图象的关系应用，属于基础题．7．（5分）已知a＝30.2，b＝log0.4，c＝log20.2，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c【分析】根据已知条件，结合指数函数和对数函数的单调性，即可求解．【解答】解：a＝30.2＞30＝1，0＝＜，c＝log20.2＜log21＝0，故a＞b＞c．故选：A．【点评】本题主要考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．8．（5分）若f（x），g（x）分别是R上的奇函数，偶函数，且f（x）﹣g（x）＝ex，则有（）A．g（0）＜f（2）＜f（3） B．f（2）＜f（3）＜g（0） C．g（0）＜f（3）＜f（2） D．f（2）＜g（0）＜f（3）【分析】根据奇偶性条件知，用﹣x换x，由f（x）﹣g（x）＝ex再构造一个方程，求得f（x），g（x）代入自变量的值比较即可．【解答】解：由函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，得：f（﹣x）＝﹣f（x）；g（﹣x）＝g（x）∵f（x）﹣g（x）＝ex，①∴f（﹣x）﹣g（﹣x）＝e﹣x，则﹣f（x）﹣g（x）＝e﹣x，②由①②得：，，则，，＝﹣1，∴g（0）＜f（2）＜f（3），故选：A．【点评】本题主要考查奇偶性的在求解析式中的应用，也考查了方程思想．9．（5分）将函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数f（x）的一个单调减区间为（）A． B． C． D．【分析】首先利用三角函数的平移变换的应用和正弦型函数的整体思想的应用求出结果．【解答】解：函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，即：把函数的图象，向左平移个单位，即得到f（x）的图象，故：＝sin（2x+），令：（k∈Z），解得：（k∈Z），当k＝0时，，故，故选：A．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）＝lnx+2x，若f（x2﹣4）＜2，则实数x的取值范围是（）A． B． C． D．【分析】可判断f（x）在定义域内的单调性，且f（1）＝2，由此可去掉不等式中的符号“f”，化为具体不等式，注意函数定义域．【解答】解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝＞0，∴f（x）单调递增，且f（1）＝2，∴f（x2﹣4）＜2，即为f（x2﹣4）＜f（1），则0＜x2﹣4＜1，解得2或﹣＜x＜﹣2，∴实数x的取值范围是（2，）∪（﹣，﹣2），故选：D．【点评】本题考查函数的单调性及其应用、抽象不等式的求解，考查转化思想，考查学生灵活运用知识分析解决问题的能力．11．（5分）已知函数，若方程f（x）＝logax（a＞0且a≠1）恰有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．（3，+∞）【分析】易知0＜a＜1不满足题意，当a＞1时，作出与y＝logax的图象如图所示，可得，解对数不等式即可求解．【解答】解：易知0＜a＜1时，f（x）＝logax只有一个实数根，不符合题意；当a＞1时，作出与y＝logax的图象如图所示：方程f（x）＝logax（a＞1）恰有三个不相等的实数根，即与y＝logax（a＞1）的图象有三个交点，因为f（1）＝f（5）＝f（9）＝2，所以，即loga5＜2＜loga9，即，所以5＜a2＜9，解得，故实数a的取值范围是．故选：C．【点评】本题考查函数零点、方程的根及函数图象的关系，属中档题．12．（5分）已知函数f（x）＝（x﹣a）|x﹣2|，其中a∈R．如果对任意实数m∈[0，1]，使得不等式f（m）≤4成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，0] B．[﹣2，6] C．[﹣3，+∞） D．[﹣2，+∞）【分析】分离参数得，转化为恒成立问题，利用基本不等式求得最值得解．【解答】解：对任意的m∈[0，1]，使得不等式f（m）≤4，即（m﹣a）|m﹣2|≤4，化简整理得，m2﹣（a+2）m+2a+4≥0，对∀m∈[0，1]成立，分离参数得，∀m∈[0，1]成立，令，1≤2﹣m≤2，∴，当且仅当即m＝0时等号成立，∴a≥﹣2，∴实数a的取值范围为[﹣2，+∞）．故选：D．【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查了函数思想及转化思想，属于中档题．二、填空题13．（5分）sin480°的值等于．【分析】利用诱导公式化简所给的式子，可得结果．【解答】解：sin480°＝sin（360°+120°）＝sin120°＝sin（180°﹣60°）＝sin60°＝，故答案为：．【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．14．（5分）已知幂函数f（x）＝（8m2﹣2m）xm在（0，+∞）上为增函数，则f（4）＝2．【分析】由题意，利用幂函数的定义和性质，先求出函数的解析式，再求出f（4）的值．【解答】解：∵幂函数f（x）＝（8m2﹣2m）xm在（0，+∞）上为增函数，∴．解得m＝，故f（x）＝＝，则f（4）＝＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．15．（5分）设函数f（x）＝lg，a∈R，若当x∈（﹣∞，1）时，f（x）都有意义，则a的取值范围是[0，+∞）．【分析】问题转化为a＞＝﹣（22x+2x）在（﹣∞，1）上恒成立，然后利用换元法求出﹣（22x+2x）的范围，即可得到a的范围．【解答】解：要使当x∈（﹣∞，1）时，f（x）都有意义，则当x∈（﹣∞，1）时，a•2x+4x+8x＞0恒成立，即a＞＝﹣（22x+2x）恒成立，∵x∈（﹣∞，1），∴2x∈（0，2），令2x＝t，即t∈（0，2），﹣（22x+2x）＝﹣（t2+t）在（0，2）上单调递减，则﹣（t2+t）∈（﹣6，0），则a≥0．∴a的取值范围是[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查化归与转化思想，训练了恒成立问题的求解方法，是中档题．16．（5分）若函数的值域为R，则常数a的取值范围是[1，+∞）．【分析】分别求得x＞2与x≤2时f（x）的取值范围，由函数的值域为R，可得答案．【解答】解：∵函数，当x＞2时，f（x）＝log2x＞1；当x≤2时，f（x）＝﹣x2+a≤a；又f（x）的值域为R，∴a≥1，故答案为：[1，+∞）．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）求值：（1）；（2）2log510+log50.25+log225•log34•log59．【分析】（1）结合指数幂的运算法则，即可求解；（2）结合对数的运算法则，即可求解．【解答】解：（1）原式＝＝＝；（2）原式＝log5（100×0.25）+＝log525+8＝2+8＝10．【点评】本题主要考查指数、对数的运算性质，属于基础题．18．（12分）已知集合A＝{x|3≤3x≤27}，B＝{x|log2x＞1}．（1）分别求A∩B，（∁RB）∪A；（2）已知集合C＝{x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值集合．【分析】（1）解指数不等式我们可以求出集合A，解对数不等式，我们可以求集合B，再由集合补集的运算规则，求出∁RB，进而由集合交集和并集的运算法则，即可求出A∩B，（∁RB）∪A；（2）由（1）中集合A，结合集合C＝{x|1＜x＜a}，我们分C＝∅和C≠∅两种情况，分别求出对应的实数a的取值，最后综合讨论结果，即可得到答案．【解答】解：（1）A＝{x|3≤3x≤27}＝{x|1≤x≤3}…（1分）B＝{x|log2x＞1}＝{x|x＞2}…（1分）A∩B＝{x|2＜x≤3}…（1分）（∁RB）∪A＝{x|x≤2}∪{x|1≤x≤3}＝{x|x≤3}…（2分）（2）当a≤1时，C＝∅，此时C⊆A…（1分）当a＞1时，C⊆A，则1＜a≤3…（1分）综上所述，a的取值范围是（﹣∞，3]…（1分）【点评】本题考查的知识点是集合交、并、补集的混合运算，集合关系中的参数取值问题，指数不等式的解法，对数不等式的解法，其中解指数不等式和对数不等式求出集合A，B是解答本题的关键，在（2）的解答中易忽略C为空集也满足条件而错解为（1，3]，也容易忽略最后要的结果为集合，不能用不等式的形式表达．19．（12分）如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，且OA⊥OB．（1）求的值；（2）若点A的横坐标为，求2sinαcosβ的值．【分析】（1）由题意可得，进而利用诱导公式即可求解．（2）由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式即可求解．【解答】解：（1）∵由题意可得，∴，，∴．（2）∵点A的横坐标为，∴，，，∴．【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义以及诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．20．（12分）已知函数．（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；（2）用定义法证明f（x）是定义域内的减函数．【分析】（1）f（x）为奇函数，利用奇函数的定义可得答案；（2）令x1＜x2，用定义法可证明f（x）是定义域内的减函数．【解答】解：（1）f（x）为奇函数．理由如下：∵的定义域为R，且f（﹣x）+f（x）＝﹣+＝0，∴f（x）为奇函数；（2）证明：令x1＜x2，则＜，∴＞，∴f（x1）﹣f（x2）＝﹣＞0，∴f（x）是定义域内的减函数．【点评】本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于基础题．21．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）图象的相邻两条对称轴的距离是，当时取得最大值2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间的最大值和最小值；（3）若函数的零点为x0，求．【分析】（1）根据对称轴可得周期，由最大值可得A＝2，再将点代入解析式，结合|φ|＜即可解出；（2）根据正弦函数的图象与性质即可求最值；（3）由题意可得，根据，结合诱导公式即可求解．【解答】解：（1）因为图象的相邻两条对称轴的距离是，所以f（x）的最小正周期为，所以，因为在时取得最大值2，所以A＝2，且，可得，因为|φ|＜，可