安徽省定远县中2024届数学高一第二学期期末学业水平测试试题含解析

安徽省定远县中2024届数学高一第二学期期末学业水平测试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．同时具有性质：“①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在上是单调递增函数”的一个函数可以是（）A． B．C． D．2．已知，函数，存在常数，使得为偶函数，则可能的值为（）A． B． C． D．3．在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，则的面积为（）A． B． C． D．4．如果，并且，那么下列不等式中不一定成立的是（）A． B． C． D．5．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的平面几何图形．此图由两个圆构成，O为大圆圆心，线段AB为小圆直径．△AOB的三边所围成的区域记为I，黑色月牙部分记为Ⅱ，两小月牙之和（斜线部分）部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）A． B． C． D．6．已知实数满足，则的最大值为（）A．8 B．2 C．4 D．67．已知都是正数,且，则的最小值等于A． B．C． D．8．已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．9．如图，有一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，汽车在点测得公路北侧山顶的仰角为30°，汽车行驶后到达点测得山顶在北偏西30°方向上，且仰角为45°，则山的高度为（）A． B． C． D．10．已知数列的前项和为，且，则()A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若点，是圆C：上不同的两点，且，则的值为______.12．已知扇形的面积为，圆心角为，则该扇形半径为__________．13．已知向量，满足，且在方向上的投影是，则实数_______.14．已知为第二象限角，且，则_________.15．函数的定义域________．16．已知数列满足：，，则使成立的的最大值为_______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．我市某商场销售小饰品，已知小饰品的进价是每件3元，且日均销售量件与销售单价元可以用这一函数模型近似刻画.当销售单价为4元时，日均销售量为400件，当销售单价为8元时，日均销售量为240件.试求出该小饰品的日均销售利润的最大值及此时的销售单价.18．如图，在四棱锥中，平面平面，，且，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若为的中点，求证：平面．19．如图，是正方形，是该正方形的中心，是平面外一点，底面，是的中点.求证：（1）平面；（2）平面平面.20．已知函数（其中，）的最小正周期为，且图象经过点（1）求函数的解析式：（2）求函数的单调递增区间．21．设角，，其中：（1）若，求角的值；（2）求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】

利用正弦函数、余弦函数的图象和性质，逐一检验，可得结论．【题目详解】A,对于y＝cos（），它的周期为4π，故不满足条件．B,对于y＝sin（2x），在区间上，2x∈[，]，故该函数在区间上不是单调递增函数，故不满足条件．C,对于y＝cos（2x），当x时，函数y，不是最值，故不满足②它的图象关于直线x对称，故不满足条件．D,对于y＝sin（2x），它的周期为π，当x时，函数y＝1，是函数的最大值，满足它的图象关于直线x对称；且在区间上，2x∈[，]，故该函数在区间上是单调递增函数，满足条件．故选：D．【题目点拨】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的图象和性质，属于中档题．2、C【解题分析】

直接利用三角函数性质的应用和函数的奇偶性的应用求出结果.【题目详解】解：由函数，存在常数，使得为偶函数，则，由于函数为偶函数，故，所以，当时，.故选：C.【题目点拨】本题考查三角函数的性质的应用，属于基础题.3、B【解题分析】

由正弦定理得，利用余弦定理可求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积.【题目详解】，，又，，由余弦定理可得，可得，所以，的面积为.故选：B.【题目点拨】本题考查三角形面积的计算，同时也考查了余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.4、D【解题分析】

不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可判定A的真假；a>b，-1>-2，根据同向不等式可以相加，可判定B的真假；根据a-b>0则b-a<0，进行判定C的真假；a的符号不确定，从而选项D不一定成立，从而得到结论．【题目详解】∵a，b∈R，并且a>b，∴−a<−b，故A一定正确；a>b，−1>−2，根据同向不等式可以相加得，a−1>b−2，故B一定正确；a−b>0则b−a<0，所以a−b>b−a，故C一定正确；不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，而a的符号不确定，故D不一定正确.故选D.【题目点拨】本题主要考查利用不等式的性质判断不等关系，属于基础题.5、D【解题分析】

设OA＝1，则AB，分别求出三个区域的面积，由测度比是面积比得答案．【题目详解】设OA＝1，则AB，，以AB中点为圆心的半圆的面积为，以O为圆心的大圆面积的四分之一为，以AB为弦的大圆的劣弧所对弓形的面积为π﹣1，黑色月牙部分的面积为π﹣（π﹣1）＝1，图Ⅲ部分的面积为π﹣1．设整个图形的面积为S，则p1，p1，p3．∴p1＝p1＞p3，故选D．【题目点拨】本题考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，正确求出各部分面积是关键，是中档题．6、D【解题分析】

设点，根据条件知点均在单位圆上，由向量数量积或斜率知识，可发现，对目标式子进行变形，发现其几何意义为两点到直线的距离之和有关.【题目详解】设，，均在圆上，且，设的中点为，则点到原点的距离为，点在圆上，设到直线的距离分别为，，，.【题目点拨】利用数形结合思想，发现代数式的几何意义，即构造系数，才能看出目标式子的几何意义为两点到直线距离之和的倍.7、C【解题分析】

,故选C.8、B【解题分析】因为，所以由题设在只有一个零点且单调递减，则问题转化为，即，应选答案B．点睛：解答本题的关键是如何借助题设条件建立不等式组，这是解答本题的难点，也是解答好本题的突破口，如何通过解不等式使得问题巧妙获解．9、D【解题分析】

通过题意可知：，设山的高度，分别在中求出，最后在中，利用余弦定理，列出方程，解方程求出的值.【题目详解】由题意可知：.在中，.在中，.在中，由余弦定理可得：（舍去），故本题选D.【题目点拨】本题考查了余弦定理的应用，弄清题目中各个角的含义是解题的关键.10、D【解题分析】

通过和关系，计算通项公式，再计算，代入数据得到答案.【题目详解】，取，两式相减得：是首项为4，公比为2的等比数列.故答案选D【题目点拨】本题考查了等比数列的通项公式，前N项和，意在考查学生的计算能力.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

由，再结合坐标运算即可得解.【题目详解】解：因为点，是圆C：上不同的两点，则，，又所以，即，故答案为：.【题目点拨】本题考查了向量模的运算，重点考查了运算能力，属基础题.12、2【解题分析】

将圆心角化为弧度制，再利用扇形面积得到答案.【题目详解】圆心角为扇形的面积为故答案为2【题目点拨】本题考查了扇形的面积公式，属于简单题.13、1【解题分析】

在方向上的投影为，把向量坐标代入公式，构造出关于的方程，求得.【题目详解】因为，所以，解得：，故填：.【题目点拨】本题考查向量的数量积定义中投影的概念、及向量数量积的坐标运算，考查基本运算能力.14、.【解题分析】

先由求出的值，再利用同角三角函数的基本关系式求出、即可.【题目详解】因为为第二象限角，且，所以，解得，再由及为第二象限角可得、，此时.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查两角差的正切公式及同角三角函数的基本关系式的应用，属常规考题.15、.【解题分析】

根据反正弦函数的定义得出，解出可得出所求函数的定义域.【题目详解】由反正弦的定义可得，解得，因此，函数的定义域为，故答案为：.【题目点拨】本题考查反正弦函数的定义域，解题的关键就是正弦值域的应用，考查运算求解能力，属于基础题.16、4【解题分析】

从得到关于的通项公式后可得的通项公式，解不等式后可得使成立的的最大值.【题目详解】易知为等差数列，首项为，公差为1，∴，∴，令，∴，∴.故答案为：4【题目点拨】本题考查等差数列的通项的求法及数列不等式的解，属于容易题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、当该小饰品销售单价定位8.5元时，日均销售利润的最大，为1210元.【解题分析】

根据已知条件，求出，利润，转化为求二次函数的最大值，即可求解.【题目详解】解：由题意，得解得所以日均销售量件与销售单价元的函数关系为.日均销售利润.当，即时，.所以当该小饰品销售单价定位8.5元时，日均销售利润的最大，为1210元.【题目点拨】本题考查函数实际应用问题，确定函数解析式是关键，考查二次函数的最值，属于基础题18、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解题分析】

（Ⅰ）线线垂直先求线面垂直，即平面，进而可得；（Ⅱ）连接D与PC的中点F，只需证明即可．【题目详解】（Ⅰ）因为，所以．因为平面平面，且平面平面，所以平面．因为平面，所以．（Ⅱ）证明：取中点，连接，．因为为中点，所以，且．因为，且，所以，且，所以四边形为平行四边形．所以．因为平面，平面，所以平面．【题目点拨】此题考查立体几何证明，线线垂直一般通过线面垂直证明，线面平行只需在面内找到一个线与已知线平行即可，题目中出现中点一般也要在找其他中点连接，属于较易题目．19、（1）见解析；（2）见解析．【解题分析】

（1）连接，证明后即得线面平行；（2）可证明平面，然后得面面垂直．【题目详解】（1）如图，连接，∵分别是中点，∴，又平面，平面，∴平面；（2）∵，底面，底面，∴，又正方形中，，∴平面，而平面，∴平面平面.【题目点拨】本题考查证明线面平行和面面垂直，掌握线面平行和面面垂直的判定定理是解题关键．20、(1)；(2)，.【解题分析】

（1）根据最小正周期可求得；代入点，结合的范围可求得，从而得到函数解析式；（2）令，解出的范围即为所求的单调递增区间.【题目详解】（1）最小正周期过点，，解得：，的解析式为：（2）由，得：，的单调递增区间为：，【题目点拨】本题考查根据三角函数性质求解函数解析式、正弦型函数单调区间的求解；关键是能够采用整体对应的方式来利用正弦函数的最值和单调区间求解正弦型函数的解析式和单调区间.21、（1）；（2）.【解题分析】

（1）由，可