2022-2023学年河北省石家庄一中东校区高一（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年河北省石家庄一中东校区高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）函数f（x）＝+lg（x+1）的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（1，+∞） C．（﹣1，1） D．（﹣1，1）∪（1，+∞）2．（5分）命题“∀x＞0，xsinx＜2x﹣1”的否定是（）A．∀x＞0，xsinx≥2x﹣1 B．∃x＞0，xsinx≥2x﹣1 C．∀x≤0，xsinx＜2x﹣1 D．∃x≤0，xsinx≥2x﹣13．（5分）已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（）A．a2＜b2 B．ab2＜a2b C． D．4．（5分）若扇形的圆心角α＝120°，弦长AB＝12cm，则弧长l＝（）A． B． C． D．5．（5分）f（x）＝lg（x2﹣2ax+1+a）在区间（﹣∞，1]上递减，则a范围为（）A．[1，2） B．[1，2] C．[1，+∞） D．[2，+∞）6．（5分）化简：的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．27．（5分）函数在[﹣4，4]上的图象大致是（）A． B． C． D．8．（5分）已知函数f（x）＝2﹣x﹣4x，若a＝0.3﹣0.25，b＝log0.250.3，c＝log0.32.5，则（）A．f（b）＜f（a）＜f（c） B．f（c）＜f（b）＜f（a） C．f（c）＜f（a）＜f（b） D．f（a）＜f（b）＜f（c）二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知函数在R上单调递减，则a不可能等于（）A． B．1 C． D．2（多选）10．（5分）下面关于叙述中正确的是（）A．关于点对称 B．关于直线对称 C．在区间上单调 D．为函数f（x）的零点（多选）11．（5分）已知x，y是正数，且2x+y＝1，下列叙述正确的是（）A．2xy的最大值为 B．4x2+y2的最小值为 C．x（x+y）的最大值为 D．的最小值为（多选）12．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，有f（1+x）＝﹣f（1﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x2+x﹣2，则（）A．f（x）是以4为周期的周期函数 B．f（2025）+f（2022）＝﹣2 C．函数y＝f（x）﹣log2（x+1）有3个零点 D．当x∈[3，4]时，f（x）＝x2﹣9x+18三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（））＝．14．（5分）幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）xm的图象关于y轴对称，则实数m＝．15．（5分）函数f（x）＝x5﹣ax3+1在区间[﹣5，5]上有f（m）＝5，则f（﹣m）＝．16．（5分）对于任意实数a，b，定义设函数f（x）＝﹣x+3，g（x）＝log2x，则函数h（x）＝min{f（x），g（x）}的最大值是．四、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤3}，集合B＝{x|m﹣2≤x≤m+2，m∈R}．（1）若A∩B＝{x|0≤x≤3}，求实数m的值；（2）若p：x∈A，q：x∈∁RB，且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）（1）已知，求的值．（2）计算的值．19．（12分）若二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（x+2）﹣f（x）＝16x且f（0）＝2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若存在x∈[1，2]，使不等式f（x）＞2x+m成立，求实数m的取值范围．20．（12分）已知函数的图象的对称中心到对称轴的最小距离为．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）﹣a＝0在区间上有两个不相等的实根，求实数a的取值范围．21．（12分）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为400万元，每生产x万箱，需另投入成本p（x）万元，当产量不足60万箱时，p（x）＝x2+50x；当产量不小于60万箱时，p（x）＝101x+﹣1860，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．（1）求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？22．（12分）已知函数．（1）判断并证明f（x）在其定义域上的单调性；（2）若f（k•3x）+f（3x﹣9x+2）＜0对任意x≥1恒成立，求实数k的取值范围．

2022-2023学年河北省石家庄一中东校区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）函数f（x）＝+lg（x+1）的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（1，+∞） C．（﹣1，1） D．（﹣1，1）∪（1，+∞）【分析】根据函数成立的条件，即可得到结论．【解答】解：要使函数f（x）有意义，则，即，解得x＞﹣1且x≠1，即函数的定义域为（﹣1，1）∪（1，+∞），故选：D．【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．2．（5分）命题“∀x＞0，xsinx＜2x﹣1”的否定是（）A．∀x＞0，xsinx≥2x﹣1 B．∃x＞0，xsinx≥2x﹣1 C．∀x≤0，xsinx＜2x﹣1 D．∃x≤0，xsinx≥2x﹣1【分析】根据全称命题的否定是特称命题改写即可．【解答】解：命题“∀x＞0，xsinx＜2x﹣1”的否定是∃x＞0，xsinx≥2x﹣1．故选：B．【点评】本题考查了命题的否定，注意对结论要全盘否定，属于基础题．3．（5分）已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（）A．a2＜b2 B．ab2＜a2b C． D．【分析】结合不等式的性质判断即可．【解答】解：已知a，b为非零实数，且a＜b，对于选项A，当a＜b＜0，则a2＞b2则选项A错误；对于选项B，取0＜a＜b，则ab2﹣a2b＝ab（b﹣a）＞0，则选项B错误；对于选项C，，则选项C正确；对于选项D，当0＜a＜b，则＞0，则选项D错误．故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质，属基础题．4．（5分）若扇形的圆心角α＝120°，弦长AB＝12cm，则弧长l＝（）A． B． C． D．【分析】先求出半径，再利用弧长公式即可求出弧长．【解答】解：∵扇形的圆心角α＝120°，弦长AB＝12cm，∴半径r＝＝4，∴弧长l＝|α|r＝×＝．故选：B．【点评】本题主要考查了弧长公式，是基础题．5．（5分）f（x）＝lg（x2﹣2ax+1+a）在区间（﹣∞，1]上递减，则a范围为（）A．[1，2） B．[1，2] C．[1，+∞） D．[2，+∞）【分析】由题意，在区间（﹣∞，1]上，a的取值需令真数x2﹣2ax+1+a＞0，且函数u＝x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．【解答】解：令u＝x2﹣2ax+1+a，则f（u）＝lgu，配方得u＝x2﹣2ax+1+a＝（x﹣a）2﹣a2+a+1，故对称轴为x＝a，如图所示：由图象可知，当对称轴a≥1时，u＝x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上单调递减，又真数x2﹣2ax+1+a＞0，二次函数u＝x2﹣2ax+1+a在（﹣∞，1]上单调递减，故只需当x＝1时，若x2﹣2ax+1+a＞0，则x∈（﹣∞，1]时，真数x2﹣2ax+1+a＞0，代入x＝1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）故选：A．【点评】本题考查复合函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，复合函数单调性遵从同增异减的原则．6．（5分）化简：的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】由题意利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式即可化简求解．【解答】解：原式＝＝﹣1．故选：B．【点评】本题考查了诱导公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．7．（5分）函数在[﹣4，4]上的图象大致是（）A． B． C． D．【分析】根据函数的奇偶性和特殊值求得正确答案．【解答】解：，所以f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除AB选项；，所以cos8＜0，所以，排除C选项．所以D选项正确．故选：D．【点评】本题主要考查函数图象的判断，考查函数性质的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）＝2﹣x﹣4x，若a＝0.3﹣0.25，b＝log0.250.3，c＝log0.32.5，则（）A．f（b）＜f（a）＜f（c） B．f（c）＜f（b）＜f（a） C．f（c）＜f（a）＜f（b） D．f（a）＜f（b）＜f（c）【分析】可看出f（x）是R上的减函数，可得出0.3﹣0.25＞1，0＜log0.250.3＜1，log0.32.5＜0，然后即可得出a，b，c的大小关系，进而得出f（a），f（b），f（c）的大小关系．【解答】解：y＝2﹣x是R上的减函数，y＝﹣4x是R上的减函数，∴f（x）＝2﹣x﹣4x是R上的减函数，∵0.3﹣0.25＞0.30＝1，0＝log0.251＜log0.250.3＜log0.250.25＝1，log0.32.5＜log0.31＝0，∴a＞b＞c，∴f（a）＜f（b）＜f（c）．故选：D．【点评】本题考查了指数函数的单调性，减函数的定义，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知函数在R上单调递减，则a不可能等于（）A． B．1 C． D．2【分析】分段函数单调递减，需满足在每一段上均单调递减，且分段处的左端点函数值大于等于右端点的函数值，得到不等式，求出a的取值范围，得到答案．【解答】解：y＝x2﹣2ax+3的对称轴为x＝a，故，解得，故a不可能等于和2．故选：AD．【点评】本题主要考查了分段函数的单调性，属于基础题．（多选）10．（5分）下面关于叙述中正确的是（）A．关于点对称 B．关于直线对称 C．在区间上单调 D．为函数f（x）的零点【分析】根据已知条件，结合正弦函数的性质，即可求解．【解答】解：，当x＝时，f（x）＝0，即它的图象关于点对称，故A正确，B错误；x∈，则，f（x）单调递增，故C正确；令，k∈Z，解得x＝，k∈Z，故D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题．（多选）11．（5分）已知x，y是正数，且2x+y＝1，下列叙述正确的是（）A．2xy的最大值为 B．4x2+y2的最小值为 C．x（x+y）的最大值为 D．的最小值为【分析】利用基本不等式逐个判断各个选项即可．【解答】解：对于A，∵x＞0，y＞0，2x+y＝1，∴2xy＝，当且仅当2x＝y，即x＝，y＝时，等号成立，即2xy的最大值为，故A正确，对于B，∵x＞0，y＞0，2x+y＝1，∴4x2+y2＝（2x+y）2﹣4xy＝1﹣4xy，由A可知，xy，∴4x2+y2＝，当且仅当x＝，y＝时，等号成立，即4x2+y2的最小值为，故B正确，对于C，∵x＞0，y＞0，2x+y＝1，∴x（x+y）＝＝，当且仅当x＝x+y，即x＝，y＝0时，等号成立，显然y＝0不成立，所以x（x+y）的最大值取不到，故C错误，对于D，∵x＞0，y＞0，2x+y＝1，∴＝＝+1＝2+1，当且仅当，即x＝，y＝时，等号成立，即的最小值为2+1，故D正确，故选：ABD．【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，使用时要注意“一正，二定，三相等”三个条件缺一不可，属于中档题．（多选）12．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，有f（1+x）＝﹣f（1﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x2+x﹣2，则（）A．f（x）是以4为周期的周期函数 B．f（2025）+f（2022）＝﹣2 C．函数y＝f（x）﹣log2（x+1）有3个零点 D．当x∈[3，4]时，f（x）＝x2﹣9x+18【分析】根据函数对称性和奇偶性，可得f（x）的周期，即可判断A的正误，根据f（x）解析式及周期，代入数据，可判断B的正误；分别作出y＝log2（x+1）和y＝f（x）的图像，即可判断C的正误；根据函数周期及奇偶性，化简整理，可判断D的正误，即可得答案．【解答】解：因为f（1+x）＝﹣f（1﹣x），且f（x）为偶函数，所以f（x+4）＝f（1+x+3）＝﹣f（1﹣（x+3））＝﹣f（﹣2﹣x）＝﹣f（﹣（2+x））＝﹣f（2+x）＝﹣f（1+1+x）＝f（1﹣（1+x））＝f（﹣x）＝f（x），故f（x）的周期为4，故A正确．由f（x）的周期为4，则f（2025）＝f（1）＝0，f（2022）＝f（2）＝﹣f（0）＝2，所以f（2025）+f（2022）＝2，故B错误；令y＝f（x）﹣log2（x+1）＝0，可得f（x）＝log2（x+1），作函数y＝log2（x+1）和y＝f（x）的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有3个交点，故C正确；当x∈[3，4]时，4﹣x∈[0，1]，则f（x）＝f（﹣x）＝f（4﹣x）＝（4﹣x）2+（4﹣x）﹣2＝x2﹣9x+18，故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查了抽象函数的奇偶性、周期性与对称性，考查函数的零点与解析式，考查数形结合思想，属于中档题．三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（））＝．【分析】推导出f（）＝，从而f（f（））＝f（），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（）＝，f（f（））＝f（）＝＝．故答案为：．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（5分）幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）xm的图象关于y轴对称，则实数m＝2．【分析】根据幂函数的定义与性质，列方程求出m的值，再验证即可．【解答】解：函数f（x）＝（m2﹣3m+3）xm是幂函数，∴m2﹣3m+3＝1，解得m＝1或m＝2；当m＝1时，函数y＝x的图象不关于y轴对称，舍去；当m＝2时，函数y＝x2的图象关于y轴对称；∴实数m＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．15．（5分）函数f（x）＝x5﹣ax3+1在区间[﹣5，5]上有f（m）＝5，则f（﹣m）＝﹣3．【分析】由题意设g（x）＝x5﹣ax3，定义域[﹣5，5]上时，可判断g（x）为奇函数，由题意可得g（m）的值，进而求出f（﹣m）的值．【解答】解：f（x）＝x5﹣ax3+1，设g（x）＝x5﹣ax3，定义域[﹣5，5]上时，g（﹣x）＝（﹣x）5﹣a（﹣x）3＝﹣g（x），所以g（x）为奇函数，则g（m）+g（﹣m）＝0，而f（m）＝5＝g（m）+1，可得g（m）＝4，所以f（﹣m）＝g（﹣m）+1＝﹣g（m）+1＝﹣4+1＝﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题考查奇函数的性质的应用，属于基础题．16．（5分）对于任意实数a，b，定义设函数f（x）＝﹣x+3，g（x）＝log2x，则函数h（x）＝min{f（x），g（x）}的最大值是1．【分析】分别作出函数f（x）＝﹣x+3和g（x）＝log2x的图象，结合函数f（x）＝﹣x+3和g（x）＝log2x的图象可知，在这两个函数的交点处函数h（x）＝min{f（x），g（x）}的最大值．【解答】解：∵x＞0，∴f（x）＝﹣x+3＜3，g（x）＝log2x∈R，分别作出函数f（x）＝﹣x+3和g（x）＝log2x的图象，结合函数f（x）＝﹣x+3和g（x）＝log2x的图象可知，h（x）＝min{f（x），g（x）}的图象，在这两个函数的交点处函数h（x）＝min{f（x），g（x）}的最大值．解方程组得，∴函数h（x）＝min{f（x），g（x）}的最大值是1．故答案是1．【点评】数形结合是求解这类问题的有效方法．四、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤3}，集合B＝{x|m﹣2≤x≤m+2，m∈R}．（1）若A∩B＝{x|0≤x≤3}，求实数m的值；（2）若p：x∈A，q：x∈∁RB，且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据已知条件，结合交集的定义，即可求解；（2）根据已知条件，结合补集和充分条件的定义，即可求解．【解答】解：（1）因为A∩B＝{x|0≤x≤3}，所以，所以，所以m＝2；（2）∁RB＝{x|x＜m﹣2或x＞m+2}，p：x∈A，q：x∈∁RB，且p是q的充分条件，则A⊆∁RB，所以m﹣2＞3或m+2＜﹣1，解得m＞5或m＜﹣3，故实数m的取值范围为{m|m＞5或m＜﹣3}．【点评】本题主要考查补集、交集的运算，属于基础题．18．（12分）（1）已知，求的值．（2）计算的值．【分析】（1）利用同角三角函数关系，化弦为切，代入求值即可；（2）利用对数运算法则计算出答案．【解答】解：（1），因为，所以；（2）＝．【点评】本题主要考查了诱导公式的应用，考查了对数的运算性质，属于基础题．19．（12分）若二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（x+2）﹣f（x）＝16x且f（0）＝2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若存在x∈[1，2]，使不等式f（x）＞2x+m成立，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）由f（0）＝2，求出c＝2，根据f（x+2）﹣f（x）＝4ax+4a+2b＝16x，通过系数相等，从而求出a，b的值；（Ⅱ）问题转化为∃x∈[1，2]，使不等式m＜4x2﹣10x+2成立，令g（x）＝4x2﹣10x+2，x∈[1，2]，求出g（x）的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）由f（0）＝2，解得：c＝2，∴f（x）＝ax2+bx+2（a≠0），由f（x+2）﹣f（x）＝[a（x+2）2+b（x+2）+2]﹣[ax2+bx+2]＝4ax+4a+2b＝16x，∴，解得：，∴f（x）＝4x2﹣8x+2；（Ⅱ）∵∃x∈[1，2]，使不等式f（x）＞2x+m，即∃x∈[1，2]，使不等式m＜4x2﹣10x+2成立，令g（x）＝4x2﹣10x+2，x∈[1，2]，故g（x）最大＝g（2）＝﹣2，∴m＜﹣2．【点评】本题考查了求二次函数的解析式问题，考查了求参数的范围问题，考查了转化思想，是一道中档题．20．（12分）已知函数的图象的对称中心到对称轴的最小距离为．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）﹣a＝0在区间上有两个不相等的实根，求实数a的取值范围．【分析】（1）由已知结合周期公式可求ω，进而可求函数解析式，再由正弦函数的单调性可求；（2）结合正弦函数的单调性及最值，把已知问题转化为y＝f（x）与y＝a在区间上有2个交点，可求．【解答】解：（1）设f（x）的周期为T，则，所以，即ω＝1，所以函数f（x）的解析式是．令，解得x∈，k∈Z故f（x）的增区间为，k∈Z，令，解得x∈，k∈Z，f（x）的减区间为，k∈Z．（2）由（1）可知，f（x）的减区间为，单调增区间为，k∈Z，又因为，所以f（x）在单调递增，在单调递减，又因为，，，所以0．故a的取值范围为[0，）．【点评】本题主要考查了正弦函数的周期公式，单调性的应用，考查了函数零点个数的应用，体现了转化思想的应用，属于中档题．21．（12分）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为400万元，每生产x万箱，需另投入成本p（x）万元，当产量不足60万箱时，p（x）＝x2+50x；当产量不小于60万箱时，p（x）＝101x+﹣1860，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．（1）求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？【分析】（1）由总售价减去成本分类写出销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；（2）利用配方法及基本不等式求出两段函数的最大值，取最大值中的最大者得结论．【解答】解：（1）当0＜x＜60时，y＝100x﹣（）﹣400＝；当x≥60时，y＝100x﹣（101x+）﹣400＝1460﹣（x+）．∴；（2）当0＜x＜60时，y＝，∴当x＝50时，y取得最大值，最大值为850万元；当x≥60时，y＝1460﹣（x+）．当且仅当x＝，即x＝80时，y取得最大值，最大值为1300