2022-2023学年福建省三明市高一（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年福建省三明市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2} B．{0，1，2} C．[0，2] D．[﹣1，2]2．（5分）设a＝30.7，b＝30.4，c＝log30.7，则a，b，c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．a＞b＞c3．（5分）函数的零点所在区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）4．（5分）在平面直角坐标系中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若角α的终边经过点P（﹣m，2m）（m≠0），则的值为（）A． B．5 C．±5 D．5．（5分）函数的图象的大致形状是（）A． B． C． D．6．（5分）大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa，1Pa＝1N/m2），大气压强p（Pa）随海拔高度h（m）的变化规律是（k＝0.000126m﹣1），p0是海平面大气压强．已知在某高山A1，A2两处测得的大气压强分别为p1，p2，，那么A1，A2两处的海拔高度的差约为（）（参考数据：ln2≈0.693）A．550m B．1818m C．5500m D．8732m7．（5分）若函数为奇函数，则f（g（2））＝（）A．2 B．1 C．0 D．﹣18．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）．若f（x﹣）为奇函数，f（x+）为偶函数，且f（x）＝在（0，）至多有2个实根，则ω的最大值为（）A．10 B．14 C．15 D．18二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．（多选）9．（5分）已知a＞b＞1，c＜0，则下列四个不等式中，一定成立的是（）A． B．ac＜bc C．a（b﹣c）＞b（a﹣c） D．a＞b﹣c（多选）10．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“∃a≥1，a2﹣1≥0”的否定是“∀a≥1，a2﹣1＜0” B．“lna＞lnb”是“a＞b”的充分不必要条件 C．与表示同一函数 D．函数f（x）＝2x2+mx﹣1在区间（﹣1，+∞）单调递增，则实数m的范围是（4，+∞）（多选）11．（5分）函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图像如图所示，下列结论正确的是（）A． B．不等式f（x）≥1的解集为{x|6kπ+π≤x≤6kπ+3π，k∈Z} C．若把函数f（x）的图像向左平移个单位长度，得到函数h（x）的图像，则函数h（x）是奇函数 D．f（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）的图像，则函数g（x）在上是减函数（多选）12．（5分）下列关于函数f（x）＝（1﹣）cosx的结论正确的有（）A．图象关于原点对称 B．在（0，）上单调递增 C．在（，π）上单调递减 D．值域为（﹣1，1）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）+log42＝．14．（5分）函数f（x）＝loga（x﹣1）+1（a＞0且a≠1）恒过定点．15．（5分）已知cos（α+）＝（π＜α＜），则cosα＝．16．（5分）已知函数f（x）＝，若，则a＝．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合；（1）求集合A；（2）若A∩B＝B，求实数m的取值范围．18．（12分）已知sin（π﹣α）＝2cos（2π﹣α）．（1）若α为锐角，求的值；（2）求的值．19．（12分）某革命老区县因地制宜的将该县打造成“生态水果特色小县”．该县某水果树的单株产量φ（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为10x元．已知这种水果的市场售价为10元/千克．在国务院关于新时代支持革命老区振兴发展的意见，支持发展特色农业产业的保障下，该县水果销路畅通．记该水果树的单株利润为f（x）（单位：元）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？20．（12分）已知函数，x∈R．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若f（x）﹣m≥2在上恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）已知函数．（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）判断函数f（x）的单调性（无需证明）；若∀x∈R，都有f（1﹣ax）＜f（4+x2），求实数a的取值范围．22．（12分）“函数φ（x）的图象关于点（m，n）对称”的充要条件是“对于函数φ（x）定义域内的任意x，都有φ（x）+φ（2m﹣x）＝2n．”已知函数f（x）的图象关于点（2，2）对称，且当x∈[0，2]时，f（x）＝x2﹣2ax+4a﹣2．（1）求f（0）+f（4）的值；（2）设函数，（i）证明函数g（x）的图象关于点（2，﹣5）对称；（ii）若对任意x1∈[0，4]，总存在，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数a的取值范围．

2022-2023学年福建省三明市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2} B．{0，1，2} C．[0，2] D．[﹣1，2]【分析】根据集合的交集运算直接求解即可．【解答】解：∵A＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0≤x≤2}，∴A∩B＝{0，1，2}．故选：B．【点评】本题考查集合的交集运算，考查学生基本的运算求解能力，属于基础题．2．（5分）设a＝30.7，b＝30.4，c＝log30.7，则a，b，c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．a＞b＞c【分析】根据指数函数、对数函数的单调性比较大小．【解答】解：因为30.7＞30.4＞30，所以a＞b＞1，又因为c＝log30.7＜log31＝0，即c＜0，所以a＞b＞c．故选：D．【点评】本题主要考查对数值大小的比较，属于基础题．3．（5分）函数的零点所在区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【分析】利用零点存在性定理判断零点所在区间．【解答】解：，，，，，所以函数f（x）的零点所在区间为（1，2）．故选：B．【点评】本题考查了函数零点所在区间的判断，属基础题．4．（5分）在平面直角坐标系中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若角α的终边经过点P（﹣m，2m）（m≠0），则的值为（）A． B．5 C．±5 D．【分析】由题意，利用终边经过的点来定义三角函数，然后弦化切求值．【解答】解：因为角α的终边经过点P（﹣m，2m）（m≠0），设x＝﹣m，y＝2m（m≠0），所以，所以．故选：A．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．5．（5分）函数的图象的大致形状是（）A． B． C． D．【分析】先将函数转化为：，再由0＜＜1，可推知在（0，+∞）上减函数，在（﹣∞，0）上增函数，从而得到选项．【解答】解：将函数化简为：，∵0＜＜1，∴在（0，+∞）上减函数，在（﹣∞，0）上增函数，故选：D．【点评】本题考查了指数函数的图象与性质，同时考查了分类讨论思想和函数的单调性，是个基础题．6．（5分）大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa，1Pa＝1N/m2），大气压强p（Pa）随海拔高度h（m）的变化规律是（k＝0.000126m﹣1），p0是海平面大气压强．已知在某高山A1，A2两处测得的大气压强分别为p1，p2，，那么A1，A2两处的海拔高度的差约为（）（参考数据：ln2≈0.693）A．550m B．1818m C．5500m D．8732m【分析】设A1，A2两处的海拔高度分别为h1，h2，由可得关于h1与h2的关系式，整理求得h2﹣h1得答案．【解答】解：设A1，A2两处的海拔高度分别为h1，h2，则＝＝，∴0.000126（h2﹣h1）＝ln＝﹣ln2≈﹣0.693，得m．∴A1，A2两处的海拔高度的差约为5500m．故选：C．【点评】本题考查函数模型的性质及应用，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）若函数为奇函数，则f（g（2））＝（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【分析】由f（x）为奇函数求得g（x），即可由分段函数求值．【解答】解：函数为奇函数，设x＞0，则﹣x＜0，∴f（x）＝g（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣log2x，∴g（2）＝﹣1，f（g（2））＝f（﹣1）＝0．故选：C．【点评】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题．8．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）．若f（x﹣）为奇函数，f（x+）为偶函数，且f（x）＝在（0，）至多有2个实根，则ω的最大值为（）A．10 B．14 C．15 D．18【分析】由已知对称性可求得函数的周期表达式，进而可表示出ω，然后结合选项进行排除即可．【解答】解：由f（x﹣）为奇函数可得f（x）的图象关于（﹣，0）对称，由f（x+）为偶函数，可得f（x）的图象关于x＝对称，结合正弦函数的性质可知，＝（n为奇数），T＝＝，故ω＝2n，n为奇数，结合选项可知，当ω＝18时，f（x）＝sin（18x+φ），又当x＝时，φ＝，k∈z，结合0＜φ＜，可知φ＝，由f（x）＝sin（18x+）＝可得在（0，）根有，，，不符合题意，当ω＝14时，f（x）＝sin（14x+φ），又当x＝时，+φ＝，k∈z，结合0＜φ＜，可知φ不存在，当ω＝10时，f（x）＝sin（10x+φ），又当x＝时，+φ＝，k∈z，结合0＜φ＜，可知φ＝，由f（x）＝sin（10x+）＝可得在（0，）根有，符合题意，结合选项可知A符合题意．故选：A．【点评】本题综合考查了正弦函数的对称性，周期性，及特殊角的三角函数值的求解，试题具有一定的难度．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．（多选）9．（5分）已知a＞b＞1，c＜0，则下列四个不等式中，一定成立的是（）A． B．ac＜bc C．a（b﹣c）＞b（a﹣c） D．a＞b﹣c【分析】根据不等式基本性质逐个判断即可．【解答】解：对A，a＞b＞1，c＜0，则，则，所以A错；对B，a＞b＞1，c＜0，则ac＜bc，所以B对；对C，a＞b＞1，c＜0，则﹣a＜﹣b，则﹣ac＞﹣bc，则ab﹣ac＞ab﹣bc，则a（b﹣c）＞b（a﹣c），所以C对；对D，a＞b＞1，则a﹣c＞b﹣c，又c＜0，则a﹣c＞a，故a与b﹣c的大小关系不确定，所以D错．故选：BC．【点评】本题考查不等式的性质的应用，属于基础题．（多选）10．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“∃a≥1，a2﹣1≥0”的否定是“∀a≥1，a2﹣1＜0” B．“lna＞lnb”是“a＞b”的充分不必要条件 C．与表示同一函数 D．函数f（x）＝2x2+mx﹣1在区间（﹣1，+∞）单调递增，则实数m的范围是（4，+∞）【分析】利用充分必要性及函数性质逐一判断．【解答】解：命题“∃a≥1，a2﹣1≥0”的否定是“∀a≥1，a2﹣1＜0”，故A正确；lna＞lnb，则a＞b＞0，故“lna＞lnb”是“a＞b”的充分不必要条件，故B正确；f（x）定义域满足（x﹣1）（x+1）≥0，即x≤﹣1或x≥1，g（x）定义域满足，即x≥1，故C错误；由题意，得m≥4，故D错误．故选：AB．【点评】本题主要考查充分必要条件的判断，考查计算能力，属于中档题也是易错题．（多选）11．（5分）函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图像如图所示，下列结论正确的是（）A． B．不等式f（x）≥1的解集为{x|6kπ+π≤x≤6kπ+3π，k∈Z} C．若把函数f（x）的图像向左平移个单位长度，得到函数h（x）的图像，则函数h（x）是奇函数 D．f（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）的图像，则函数g（x）在上是减函数【分析】偶题意，结合图像计算得，再结合三角函数性质辨析即可．【解答】解：由图可知，故T＝6π＝，∴．再根据，∴φ＝﹣+2kπ，k∈Z．∵|φ|＜π，∴，∴，故A错误．令f（x）＝2sin（﹣）≥1，∴+2kπ≤﹣≤+2kπ，k∈Z．解得{x|6kπ+π≤x≤6kπ+3π，k∈Z}，故B正确．把f（x）的图像向左平移个单位长度，得为奇函数，故C正确．由题意，若，则，则g（x）单调递减，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查根据函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．（多选）12．（5分）下列关于函数f（x）＝（1﹣）cosx的结论正确的有（）A．图象关于原点对称 B．在（0，）上单调递增 C．在（，π）上单调递减 D．值域为（﹣1，1）【分析】利用奇偶性判断A；利用导数判断B、C；利用指数函数、幂函数的性质判断D．【解答】解：因为f（x）＝（1﹣）cosx（x∈R），所以f（﹣x）＝（1﹣）cos（﹣x）＝（1﹣）cosx＝（）cosx＝（﹣1）cosx＝﹣（1﹣）cosx＝﹣f（x），所以f（x）为R上的奇函数，故图象关于原点对称，所以A正确；因为f'（x）＝（1﹣）′cosx+（1﹣）（cosx）′＝cosx﹣（1﹣）sinx＝cosx﹣sinx，当x∈（0，）时，令g（x）＝cosx﹣sinx，则g'（x）＝（）'cosx+（cosx）'﹣（）'sinx﹣（sinx）'＝cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx＝﹣（+1）cosx﹣sinx＜0，所以f'（x）单调递减，f'（0）＝＞0，f'（）＝﹣＜0，故f（x）在（0，）上单不单调，故B错误；当x∈（，π）时，＞0，cosx＜0，＞0，sinx＞0，所以cosx＜0，sinx＞0，所以cosx﹣sinx＜0，即f'（x）＜0，所以f（x）在（，π）上单调递减，故C正确；因为ex＞0，所以1+ex＞1⇒＜2⇒﹣＞﹣2⇒1﹣＞﹣1，又因这＞0，所以1﹣＜1，所以﹣1＜1﹣＜1，又因为﹣1≤cosx≤1，所以﹣1＜（1﹣）cosx＜1，即f（x）的值域为（﹣1，1），故D正确．故答案为：ACD．【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性及值域，难点在于对B选项的判断，也考查了学生的计算能力，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）+log42＝2．【分析】利用指数，对数的性质和运算法则求解即可．【解答】解：原式＝+log4＝+＝2，故答案为：2．【点评】本题考查指数，对数的性质、运算法则，属于基础题．14．（5分）函数f（x）＝loga（x﹣1）+1（a＞0且a≠1）恒过定点（2，1）．【分析】由于结合对数函数y＝logax恒过定点（1，0）可求函数f（x）＝loga（x﹣1）+1恒过定点【解答】解：由于对数函数y＝logax恒过定点（1，0）而函数f（x）＝loga（x﹣1）+1（a＞0且a≠1）恒过定点（2，1）故答案为：（2，1）【点评】本题主要考查了利用对数函数过定点（1，0）的应用，解题的关键是对函数的图象的平移．15．（5分）已知cos（α+）＝（π＜α＜），则cosα＝．【分析】根据题意先求出，然后通过拼凑角的方式得，再结合差角公式即可求解．【解答】解：∵，∴在第四象限，，即，所以＝．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．16．（5分）已知函数f（x）＝，若，则a＝．【分析】由题意可知0＜a≤，则a﹣0，然后根据分段函数的性质建立方程即可求解．【解答】解：由题意可知0＜a≤，则a﹣0，所以由f（a）＝f（a﹣）可得：，解得a＝或（舍去），所以实数a的值为，故答案为：．【点评】本题考查了函数值的求解以及应用，考查了学生的逻辑推理能力以及运算能力，属于基础题．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合；（1）求集合A；（2）若A∩B＝B，求实数m的取值范围．【分析】（1）解不等式，能求出集合A．（2）由A＝{x|﹣2≤x≤3}．B＝{x|（x﹣m）（x﹣m+1）＜0}＝{x|m﹣1＜x＜m}，A∩B＝B，得B⊆A，由此能求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴2﹣1≤2x+1≤24，解得﹣2≤x≤3，∴A＝{x|﹣2≤x≤3}．（2）∵A＝{x|﹣2≤x≤3}．B＝{x|（x﹣m）（x﹣m+1）＜0}，A∩B＝B，∴B⊆A，又B＝{x|m﹣1＜x＜m}，∴，解得﹣1≤m≤3，∴实数m的取值范围是[﹣1，3]．【点评】本题考查集合的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．（12分）已知sin（π﹣α）＝2cos（2π﹣α）．（1）若α为锐角，求的值；（2）求的值．【分析】（1）化简已知可得sinα＝2cosα，根据正余弦平方和为1以及α为锐角可求出，，进而根据两角和的余弦公式，即可得出；（2）由tanα＝2，根据二倍角的正切公式可求出，进而根据两角和的正切公式即可求出结果．【解答】解：（1）由已知得sinα＝2cosα，又sin2α+cos2α＝1，且α为锐角，解得，，所以，＝．（2）由（1）得tanα＝2，所以＝，所以＝．【点评】本题考查的知识要点：同角三角函数的关系式变换，三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．19．（12分）某革命老区县因地制宜的将该县打造成“生态水果特色小县”．该县某水果树的单株产量φ（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为10x元．已知这种水果的市场售价为10元/千克．在国务院关于新时代支持革命老区振兴发展的意见，支持发展特色农业产业的保障下，该县水果销路畅通．记该水果树的单株利润为f（x）（单位：元）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）根据利润等于总收入减去成本，即可写出函数关系式；（2）分段求出函数的最大值，比较大小，即可确定最大利润．【解答】解：（1）当0≤x≤3时，f（x）＝10×（x2+30）﹣10x＝10x2﹣10x+300，当3＜x≤6时，，所以．（2）当0≤x≤3时，f（x）＝10x2﹣10x+300，f（x）在上单调递减，在上单调递增，所以当x＝3时，f（x）取到最大值为360．当3＜x≤6时，．因为x﹣2＞0，所以，当且仅当，即x＝4时，f（x）取到最大值为370，因为370＞360，所以当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是370元．【点评】本题考查了分段函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．20．（12分）已知函数，x∈R．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若f（x）﹣m≥2在上恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）利用三角恒等变换化简得出，解不等式，k∈Z，可得出函数f（x）的单调递增区间；（2）由得，求出函数f（x）在上的值域，利用含参变量分离法可求得实数m的取值范围．【解答】解：（1）．由，k∈Z，解得，k∈Z，所以函数f（x）的单调增区间为，k∈Z．（2）由得，所以，即，因为f（x）﹣m≥2在上恒成立，所以m≤[f（x）﹣2]min．又因为，则，所以m的取值范围为．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，考查转化能力，属于基础题．21．（12分）已知函数．（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）判断函数f（x）的单调性（无需证明）；若∀x∈R，都有f（1﹣ax）＜f（4+x2），求实数a的取值范围．【分析】（1）利用偶函数定义判断即可；（2）先判断函数的单调性结合奇偶性，可得|1﹣ax|＜|4+x2|在R上恒成立，转化为一元二次不等式恒成立．【解答】解：（1）f（x）是偶函数．证明如下：的定义域为R，关于原点对称，因为＝＝＝，所以f（x）是偶函数．（2），设，以下证明g（t）＝2t+2﹣t在（0，+∞）单调递增，∀t1，t2∈（0，+∞），t1＜t2，，因为∀t1，t2∈（0，+∞），t1＜t2，所以，，所以，所以g（t1）＜g（t2），所以g（t）＝2t+2﹣t在（0，+∞）单调递增，则在（0，+∞）单调递增，所以f（x）在（0，+∞）单调递增，又因为f（x）为偶函数，所以f（x）在（﹣∞，0）是单调递减，所以∀x∈R，都有f（1﹣ax）＜f（4+x2），等价于|1﹣ax|＜|4+x2|在R上恒成立，即|1﹣ax|＜4+x2在R上恒成立，即﹣（4+x2）＜1﹣ax＜4+x2在R上恒成立．所以在R上恒成立，所以，解得．所以a的取值范围是．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．22．（12分）“函数φ（x）的图象关于点（m，n）对称”的充要条件是“对于函数φ（x）定义域内的任意x，都有φ（x）+φ（2m﹣x）＝2n．”已知函数f（x）的图象关于点（2，2）对称，且当x∈[0，2]时，f（x）＝x2﹣2ax+4a﹣2．（1）求f（0）+f（4）的值；（2）设函数，（i）证明函数g（x）的图象关于点（2，﹣5）对称；（ii）若对任意x1∈[0，4]，总存在，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）函数f（x）的图象关于点（2，2）对称，结合条件，求出f（0）+f（4）的值即可；（2）（i）根据条件，求出g（x）+g（4﹣x），即可证明函数g（x）的图象关于点（2，﹣5）对称；（ii