江西丰城中学2024届九年级上学期10月第一次检测数学试卷(含解析)

丰城中学2023-2024学年度上学期第一次阶段考试初三数学总分120分时长120分钟考试范围(反比例函数、相似)单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．关于反比例函数的图象与性质，下列结论中不正确的是（

）A．该函数的图象是轴对称图形。B．当时，该函数的图象在第二、四象限C．该函数的图象是中心对称图形D．当时，函数值随的增大而减小2．反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

3．反比例函数的图象如图所示，以下结论：①常数；②若，在该图象上，则；③y随x的增大而增大；④若在该图象上，则也此在图象上．其中正确的是（

）A．① B．② C．③ D．④

4．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．5．如图，在矩形中，M是边的中点，N为线段与的交点，则（

）A． B．2:3 C． D．6．如图，A、B为平面直角坐标系中的两点，连接，，，，且，已知点A的横坐标为，反比例函数的图象经过点B，反比例函数的图象经过点A．则B点坐标为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．若函数反比例函数，则．8．已知，则．9．如图，已知，，，，那么线段的长度等于．

10．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即上图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高m．

11．如图，已知点A是反比例函数的图象上一点，轴交另一个反比例函数的图象于点B，C为x轴上一点，若，则k的值为．

12．如图，一次函数与反比例函数的图象交于和两点，若，则的取值范围是．三．解答题（本大题5小题，每小题6分，共30分）13．计算：（1）tan45°+4cos30°sin45°tan60°．（2）+tan60°-（sin45°）-1-|1-|14．如图，反比例函数与直线：交于点A，B两点，已知A点，．

(1)求该反比例函数的表达式；(2)求点B的坐标．15．如图，是由66个边长为1的小正方形网格组成，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图．（1）在图1中找一个格点D，使以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形（画出一种情况即可）（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB三等分（保留画图痕迹，不写画法）16．如图①，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC．（1）若AB＝6，AC＝5，AD＝4，求CE的长．（2）连接BE，作DF∥BE交AC于点F，如图②，求证：AE2＝AF•AC．17．已知：如图，正方形，连接，是延长线上一点，．(1)求的度数；(2)设与交于点，，求的长．四.（本大题3小题，每小题8分，共24分）18．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC与BD交于点O，点E在BC边上，DE与AC交于点F，∠CDE＝∠CBD．求：（1）CE的长；（2）EF的长．19．如图，为坐标原点，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点，以为边作矩形，边与轴交于点轴．

(1)求点的坐标；(2)求边所在的直线表达式．20．如图，是的直径，是的弦，，与的延长线交于点，过点作的切线交于点．

(1)求证：；(2)若，，求线段的长．五.（本大题2小题，每小题9分，共18分）21．如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象相交于点．(1)求反比例函数的表达式；(2)C是反比例函数的图象上的一点，连接，若，求直线的函数表达式．22．在平面直角坐标系中，横纵坐标互为相反数的称为“黎数”．如，．(1)求上的黎数点．(2)若有且仅有一个“黎数”，并且与在第二象限中的黎点相同，求的值．六、解答题（本小题12分）23．某数学兴趣小组在学习了三角形相关知识后，对三角形进行如下探究．已知，在中，平分，点E在边上，连接交于点F．特例感知(1)如图1，若，小明通过作辅助线平行于，交于点G，发现：；请证明以上结论；归纳证明(2)如图2，若，（1）中的结论是否任然成立？请说明理由；拓展应用(3)如图3，在四边形中，对角线相交于点O，，，求的长．

2023-2024学年度上学期初三数学参考答案1．D解：由反比例函数的图象与性质可知，的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，A正确，故不符合要求；当时，该函数的图象在第二、四象限，B正确，故不符合要求；联立方程得，，即，整理得，，∴，∴该函数的图象与直线有且只有两个交点，C正确，故不符合要求；当时，函数过第一象限，第三象限，在每个象限内函数值随的增大而减小，D错误，故符合要求；故选：D．2．B解：当时，那么，则反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限；当时，那么，则反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限；故选：B．3．D解：∵反比例函数图象经过第二、四象限，∴，所以①错误；在每一象限，y随x的增大而增大，所以③错误；∵，在图象上，∴，而，∴，所以②错误；∵，∴若在该图象上，则也此在图象上，所以④正确．故选D．4．C解：点，，，，，在反比例函数的图象上，，，，，故选：C．5．D解：四边形是矩形，，，是边的中点，，，，，，故选D．6．C解：分别过点A、B作x轴的垂线、，垂足点分别为E、F，，，点A的横坐标为，，，，，解得(负值舍去)，，，，，，，即，解得，，故点B的坐标为，故选：C．7．解：若函数是反比例函数，则，解得，故答案为：．8．3解：∵，设，∴；故答案为：3．9．解：，，即，解得，，故答案为：．10．解：∵和均为直角∴，∴，∴∵，∴,故答案为：．11．6解：延长交轴于点，连接、，点是反比例函数的图象上，轴，，，，又点在反比例函数的图象上，，，（舍去），故答案为：6．

12．或解：一次函数与反比例函数的图象交于和两点，由图象可知，当的取值范围为：或．故答案为：或．13．．解：tan45°+4cos30°sin45°tan60°=1+4=11，．14．2+1．解：原式=3+-（）-1-（-1）=3+--+1=2+1．15．（1）解：∵反比例函数与直线：交于点A，B两点，，∴，∴，∴，∴，∴，∴反比例函数的表达式为；（2）解：，解得：或，∵，∴．16．（1）如图1所示，D、E、F即为所求（只要画出一种即可）；（2）如图2所示，P、Q为线段AB三等分点，∵∥，∴，即，同理：．∴P、Q为线段AB三等分点．17．（1）如图①．∵DE∥BC，∴，即，∴AE，∴CE＝AC﹣AE＝5；（2）如图②．∵DF∥BE，∴．∵DE∥BC，∴，∴，∴AE2＝AF•AC．18．（1）∵四边形是正方形，是对角线，，又，，，；（2）中，，，设，则，，，∴，即，∴，∴．19．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，∴AD∥BC，CD＝AB＝2，∴∠ADB＝∠CBD，∵∠EDC＝∠ADB，∴∠EDC＝∠CBD，∵∠ECD＝∠DCB，∴△CDE∽△CBD，∴CE：CD＝CD：CB，∴CE：2＝2：4，解得：CE＝1；（2）∵AD∥BC，∴△ADF∽△CEF，∴DF：EF＝AD：CE＝4：1，∴EF：DE＝1：5，∵∠DCB＝90°，∴DE＝＝，∴EF＝．20．（1）解：令，整理，得，解得：．经检验，都是原方程的解，∵点在第一象限，∴，将代入直线，可得，∴点的坐标为；（2）解：延长交x轴于点E，

由（1）可知，，∵轴，∴，，∵四边形为矩形，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴点E的坐标为，设直线为，将点，点代入，可得：，解得：，∴直线的表达式为．21．（1）如图，连接，

证明：∵是的直径，∴.∴.∴.∵是的切线，∴.∴.∵，∴．∴．（2）解：∵，∴．∴．又，∴，而，∴．∴．又∴．∴．22．（1）把代入得，，把解得代入得，，点的坐标为．反比例函数的图象经过点，，反比例函数的表达式为；（2），．如图，过点作轴于点，，，设点的坐标为，则，解或（负值舍去），点的坐标为．设直线的函数表达式为，把，代入得，解得，直线的函数表达式为．23．（1）解：设“黎数”点为，，解得，上的“黎数”点为，；（2）解：有且仅有一个“黎数