四川省广元天立国际学校2024届数学高一第二学期期末学业水平测试试题含解析

四川省广元天立国际学校2024届数学高一第二学期期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在平行四边形ABCD中，，，E是CD的中点，则（）A．2 B．-3 C．4 D．62．在△ABC中，已知tan＝sinC，则△ABC的形状为()A．正三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形3．已知为等差数列，其前项和为，若，，则公差等于（）A． B． C． D．4．已知等比数列，若，则()A． B． C．4 D．5．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（）A．出租车车费与出租车行驶的里程B．商品房销售总价与商品房建筑面积C．铁块的体积与铁块的质量D．人的身高与体重6．已知函数，其中为整数，若在上有两个不相等的零点，则的最大值为()A． B． C． D．7．在正六边形ABCDEF中，点P为CE上的任意一点，若，则（）A．2 B． C．3 D．不确定8．若平面α∥平面β，直线平面α，直线n⊂平面β，则直线与直线n的位置关系是（）A．平行 B．异面C．相交 D．平行或异面9．已知数列满足，则（）A．2 B． C． D．10．已知直线与互相垂直，垂足坐标为，且，则的最小值为（）A．1 B．4 C．8 D．9二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．等比数列的首项为，公比为，记，则数列的最大项是第___________项.12．已知，则____．13．在我国古代数学著作《孙子算经》中，卷下第二十六题是：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？满足题意的答案可以用数列表示，该数列的通项公式可以表示为________14．已知向量，，则在方向上的投影为______.15．函数y=tan16．已知均为正数，则的最大值为______________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知等差数列的前项的和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，记数列的前项和为，求.18．等差数列，等比数列，，，如果，（1）求的通项公式（2），求的最大项的值（3）将化简，表示为关于的函数解析式19．记为等差数列的前项和，已知，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求，并求的最小值．20．在中，分别为角所对应的边，已知，，求的长度.21．已知集合，数列是公比为的等比数列，且等比数列的前三项满足.（1）求通项公式；（2）若是等比数列的前项和，记，试用等比数列求和公式化简（用含的式子表示）

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

由平面向量的线性运算可得，再结合向量的数量积运算即可得解.【题目详解】解：由，，所以,,，则,故选：A.【题目点拨】本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了向量的数量积运算，属中档题.2、C【解题分析】

解：因为选C3、C【解题分析】

由题意可得，又，所以,故选C.【题目点拨】本题考查两个常见变形公式和.4、D【解题分析】

利用等比数列的通项公式求得公比，进而求得的值.【题目详解】∵，∴.故选：D.【题目点拨】本题考查等比数列通项公式，考查运算求解能力，属于基础题.5、D【解题分析】

根据函数的概念来进行判断。【题目详解】对于A选项，出租车车费实行分段收费，与出租车行驶里程成分段函数关系；对于B选项，商品房的销售总价等于商品房单位面积售价乘以商品房建筑面积，商品房销售总价与商品房建筑面积之间是一次函数关系；对于C选项，铁块的质量等于铁块的密度乘以铁块的体积，铁块的体积与铁块的质量是一次函数关系；对于D选项，有些人又高又瘦，有些人又矮又胖，人的身高与体重之间没有必然联系，因人而异，D选项中两个变量之间的关系不是函数关系。故选：D。【题目点拨】本题考查函数概念的理解，充分理解两个变量之间是“一对一”或“多对一”的形式，考查学生对这些概念的理解，属于基础题。6、A【解题分析】

利用一元二次方程根的分布的充要条件得到关于的不等式，再由为整数，可得当取最小时，取最大，从而求得答案.【题目详解】∵在上有两个不相等的零点，∴∵，∴当取最小时，取最大，∵两个零点的乘积小于1，∴，∵为整数，令时，，满足.故选：A.【题目点拨】本题考查一元二次函数的零点，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意为整数的应用.7、C【解题分析】

延长交于点，延长交于点，可推出，，所以有，然后利用平面向量共线的推论即可求出【题目详解】如图，延长交于点，延长交于点设正六边形ABCDEF的边长为则在中有，，所以，所以有，同理可得因为所以因为三点共线，所以有，即故选：C【题目点拨】遇到三点共线时，要联想到平面向量共线的推论：三点共线，若，则.8、D【解题分析】

由面面平行的定义，可得两直线无公共点，可得所求结论．【题目详解】平面α∥平面β，可得两平面α，β无公共点，即有直线与直线也无公共点，可得它们异面或平行，故选：D．【题目点拨】本题考查空间线线的位置关系，考查面面平行的定义，属于基础题．9、B【解题分析】

利用数列的递推关系式，逐步求解数列的即可．【题目详解】解：数列满足，，所以，．故选：B．【题目点拨】本题主要考查数列的递推关系式的应用，属于基础题．10、B【解题分析】

代入垂足坐标，可得，然后根据基本不等式，可得结果.【题目详解】由两条直线的交点坐标为所以代入可得，即又，所以即当且仅当，即时，取等号故选：B【题目点拨】本题主要考查基本不等式，属基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

求得，则可将问题转化为求使得最大且使得为偶数的正整数的值，利用二次函数的基本性质求解即可.【题目详解】由等比数列的通项公式可得，，则问题转化为求使得最大且使得为偶数的正整数的值，，当时，取得最大值，此时为偶数.因此，的最大项是第项.故答案为：.【题目点拨】本题考查等比数列前项积最值的计算，将问题进行转化是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12、【解题分析】

由于，则，然后将代入中，化简即可得结果.【题目详解】，，，故答案为.【题目点拨】本题考查了同角三角函数的关系，属于基础题.同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.13、【解题分析】

根据题意结合整除中的余数问题、最小公倍数问题，进行分析求解即可．【题目详解】由题意得：一个数用3除余2，用7除也余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，而用21除余2的数我们首先就会想到23；23恰好被5除余3，即最小的一个数为23，同时这个数相差又是3，5，7的最小公倍数，即，即数列的通项公式可以表示为，故答案为：.【题目点拨】本题以数学文化为背景，利用数列中的整除、最小公倍数进行求解，考查逻辑推理能力和运算求解能力.14、【解题分析】

由平面向量投影的定义可得出在方向上的投影为，从而可计算出结果.【题目详解】设平面向量与的夹角为，则在方向上的投影为.故答案为：.【题目点拨】本题考查平面向量投影的计算，熟悉平面向量投影的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.15、{【解题分析】

解方程12【题目详解】由题得12x+故答案为{x|x≠2kπ+【题目点拨】本题主要考查正切型函数的定义域的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.16、【解题分析】

根据分子和分母的特点把变形为，运用重要不等式，可以求出的最大值.【题目详解】（当且仅当且时取等号）,（当且仅当且时取等号），因此的最大值为.【题目点拨】本题考查了重要不等式，把变形为是解题的关键.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）数列的通项公式为（2）【解题分析】试题分析：（1）建立方程组；（2）由（1）得：进而由裂项相消法求得.试题解析：（1）设等差数列的公差为，由题意知解得.所以数列的通项公式为（2）∴18、（1）（2）（3）【解题分析】

（1）设等比数列的公比为，运用等比数列的通项公式，解方程可得公比，即可得到所求；（2）判断的单调性，可得所求最大值；（3）讨论当时，当时，由分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和.【题目详解】（1）设等比数列的公比为，，，由，，可得，，解得：，数列的通项公式：.（2）由题意得，，当时，递增；当时，递减；由，可得的最大项的值为.（3）由题意得，当时，；当时，综上函数解析式【题目点拨】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，考查化简运算能力，属于中档题.19、（1），（2），最小值为−1．【解题分析】

（Ⅰ）根据等差数列的求和公式，求得公差d，即可表示出的通项公式；（Ⅱ）根据等差数列的求和公式得Sn=n2-8n，根据二次函数的性质，可得Sn的最小值.【题目详解】（I）设的公差为d，由题意得．由得d=2．所以的通项公式为．（II）由（I）得．所以当n=4时，取得最小值，最小值为−1．【题目点拨】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项的和公式，考查了等差数列前n项和的最值问题；求等差数列前n项和的最值有两种方法：①函数法，②邻项变号法.20、或【解题分析】

由已知利用三角形的面积公式可得，可得或，然后分类讨论利用余弦定理可求的值.【题目详解】由题意得，即，或，又，当时，，可得，当时，，可得，故答案：