四川省绵阳市三台县2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷

四川省绵阳市三台县2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（解析版）一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1．下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A的坐标是（﹣1，0）．现将△ABC绕点A顺时针旋转90°，则旋转后点C的坐标是（）A．（2，1） B．（1，2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣1，﹣2）3．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（）A．1或﹣1 B．﹣1 C．1 D．4．将抛物线y＝﹣2（x+3）2+1向左平移2个单位，再向上平移1个单位后所得到的抛物线的解析式为（）A．y＝2（x+1）2 B．y＝﹣2（x+5）2+2 C．y＝﹣2（x+5）2+3 D．y＝﹣2（x﹣5）2﹣15．已知关于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1＝0，下列说法正确的是（）A．当k＝0时，方程无解 B．当k＝1时，方程有一个实数解 C．当k＝﹣1时，方程有两个相等的实数解 D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解6．一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝57．如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．1.2厘米/分 D．1.4厘米/分8．宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．设房价定为x元，宾馆当天利润为8640元．则可列方程（）A．（180+x﹣20）（50﹣）＝8640 B．（x+180）（50﹣）﹣50×20＝8640 C．x（50﹣）﹣50×20＝8640 D．（x﹣20）（50﹣）＝86409．已知一次函数y＝x+c的图象如图，则二次函数y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．10．如图，已知∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝6，点P在△ABC内，将△APC绕着点A逆时针方向旋转60°得到△AEF．则AE+PB+PC的最小值为（）A． B．8 C． D．11．如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（）A．18m2 B．18m2 C．24m2 D．m212．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；⑤若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2，其中正确的结论是（）A．①③⑤ B．①④⑤ C．①②④ D．①⑤二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）方程3（x﹣5）2＝2（5﹣x）的解是．14．（4分）设x1，x2是关于x的方程x2﹣3x+k＝0的两个根，且x1＝2x2，则k＝．15．（4分）如图，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CE＝OB，已知∠DOB＝72°，则∠E等于．16．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为．17．（4分）已知函数y＝的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为．18．（4分）如图，已知直线y＝x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y＝x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣MC|的值最大，求出点M的坐标三、解答题：（共7个题，共90分）19．（16分）（1）解方程：（x﹣5）（x+2）＝8．（2）先化简，再求值：（x+1﹣）÷，其中x满足方程：x2+x﹣6＝0．20．（12分）已知关于x的两个一元二次方程：方程①：（1+）x2+（k+2）x﹣1＝0；方程②：x2+（2k+1）x﹣2k﹣3＝0．（1）若方程①有两个相等的实数根，求：k的值；（2）若方程①和②只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根；（3）在（2）中若一定有实数根的那个方程的两根分别为x1、x2，且两根的平方和为3（即x12+x22＝3）中，求k的值．21．（12分）如图①是一条抛物线形状的拱桥，水面宽AB为6米，拱顶C离水面的距离为4米．（1）建立恰当的坐标系，并求出抛物线的解析式；（2）一艘货船的截面如图②所示，它是由一个正方形MNEF和一个梯形KLGH组成的轴对称图形，货船的宽度KH为5米，货物高度MN为3米．若船弦离水面的安全距离为0.25米，请问货船能否安全通过桥洞？说明理由．22．（12分）如图，在半径为2的扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C是上的一个动点（不与点A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E．（1）当BC＝2时，求线段OD的长和∠BOD的度数；（2）在△DOE中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．（3）在△DOE中，是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由．23．（12分）在△ABC中，BA＝BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝∠ABC．（1）如图1，以点B为旋转中心，将△EBC按逆时针方向旋转，得到△E′BA（点C与点A重合，点E到点E′处），连接DE′．求证：DE′＝DE；（2）如图2，若∠ABC＝90°，AD＝4，EC＝2，求DE的长．24．（12分）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如表：时间x（天）1≤x＜5050≤x≤90售价（元/天）x+4090每天销量（件）200﹣2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？25．（14分）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C、D两点之间的距离是；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．

参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1．下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；D、是轴对称图形，是中心对称图形，故选项正确．故选：D．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A的坐标是（﹣1，0）．现将△ABC绕点A顺时针旋转90°，则旋转后点C的坐标是（）A．（2，1） B．（1，2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣1，﹣2）【分析】利用网格特点和旋转的性质画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后的图形，然后写出旋转后点C的坐标．【解答】解：如图，△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，旋转后点C的坐标为（2，1）．故选：A．【点评】本题考查了坐标与图形变换﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．3．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（）A．1或﹣1 B．﹣1 C．1 D．【分析】把x＝0代入已知方程列出关于a的新方程，通过解新方程来求a的值；注意根据一元二次方程的定义得到：a﹣1≠0．【解答】解：∵一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根是0，∴a2﹣1＝0且a﹣1≠0解得：a＝1或﹣1，且a≠1．∴a＝﹣1．故选：B．【点评】本题主要考查了方程的解的定义和一元二次方程的解，把求未知系数的问题转化为方程求解和不等式的问题来解决．4．将抛物线y＝﹣2（x+3）2+1向左平移2个单位，再向上平移1个单位后所得到的抛物线的解析式为（）A．y＝2（x+1）2 B．y＝﹣2（x+5）2+2 C．y＝﹣2（x+5）2+3 D．y＝﹣2（x﹣5）2﹣1【分析】先利用顶点式得到抛物线y＝﹣2（x+3）2+1顶点坐标为（﹣3，1），再根据点平移的坐标特征得到点（﹣3，1）平移后所得对应点的坐标为（﹣5，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线的解析式即可．【解答】解：抛物线y＝﹣2（x+3）2+1顶点坐标为（﹣3，1），点（﹣3，1）先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后所得对应点的坐标为（﹣5，2），所以平移后的抛物线的解析式为y＝﹣2（x+5）2+2．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．5．已知关于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1＝0，下列说法正确的是（）A．当k＝0时，方程无解 B．当k＝1时，方程有一个实数解 C．当k＝﹣1时，方程有两个相等的实数解 D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解【分析】利用k的值，分别代入求出方程的根的情况即可．【解答】解：关于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1＝0，A、当k＝0时，x﹣1＝0，则x＝1，故此选项错误；B、当k＝1时，x2﹣1＝0方程有两个实数解，故此选项错误；C、当k＝﹣1时，﹣x2+2x﹣1＝0，则（x﹣1）2＝0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项正确；D、由C得此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，代入k的值判断方程根的情况是解题关键．6．一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝5【分析】移项，配方，即可得出选项．【解答】解：x2﹣4x﹣1＝0，x2﹣4x＝1，x2﹣4x+4＝1+4，（x﹣2）2＝5，故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键．7．如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．1.2厘米/分 D．1.4厘米/分【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB于D，由垂径定理求出AD的长，再由勾股定理求出OD的长，然后计算出太阳在海平线以下部分的高度，即可求解．【解答】解：设“图上”圆的圆心为O，连接OA，过点O作OD⊥AB于D，如图所示：∵AB＝16厘米，∴AD＝AB＝8（厘米），∵OA＝10厘米，∴OD＝＝＝6（厘米），∴海平线以下部分的高度＝OA+OD＝10+6＝16（厘米），∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，∴“图上”太阳升起的速度＝16÷16＝1.0（厘米/分），故选：A．【点评】本题考查的是垂径定理的运用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．8．宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．设房价定为x元，宾馆当天利润为8640元．则可列方程（）A．（180+x﹣20）（50﹣）＝8640 B．（x+180）（50﹣）﹣50×20＝8640 C．x（50﹣）﹣50×20＝8640 D．（x﹣20）（50﹣）＝8640【分析】直接利用（房间定价﹣180）÷10＝减少的房间数，进而利用每间房间利润×住的房间数＝8640，进而得出答案．【解答】解：设房价定为x元，由题意得：（x﹣20）（50﹣）＝8640．故选：D．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出减少的居住房间数是解题关键．9．已知一次函数y＝x+c的图象如图，则二次函数y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】根据一次函数图象经过的象限，即可得出＞0、c＞0，由此即可得出：二次函数y＝ax2+bx+c的图象对称轴x＝﹣＜0，与y轴的交点在y轴正正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．【解答】解：观察函数图象可知：＞0、c＞0，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象对称轴x＝﹣＜0，与y轴的交点在y轴正正半轴．故选：C．【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据一次函数图象经过的象限，找出＞0、c＞0是解题的关键．10．如图，已知∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝6，点P在△ABC内，将△APC绕着点A逆时针方向旋转60°得到△AEF．则AE+PB+PC的最小值为（）A． B．8 C． D．【分析】连接PE，BF，过B作AF垂线交FA延长线于G，由旋转性质得AP＝AE，∠PAE＝∠CAF＝60°，PC＝EF，再证明△APE为等边三角形，将AE+PB+PC转化为PB+PE+EF≥BF，再在直角△BGF中由勾股定理求出BF即可．【解答】解：如图，连接PE，BF，过B作AF垂线交FA延长线于G，∵△APC绕着点A逆时针方向旋转60°得到△AEF，∴AP＝AE，∠PAE＝∠CAF＝60°，PC＝EF，∴△APE为等边三角形，即AE＝PE，∴AE+PB+PC＝PB+PE+EF≥BF，∵∠BAC＝60°，∴∠BAF＝120°，∴∠BAG＝60°，∴AG＝AB＝2，GF＝2+6＝8，∴BG＝＝＝2，∴BF＝＝＝2．故选：D．【点评】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，将AE+PB+PC转化为PB+PE+EF≥BF是解决本题的关键．11．如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（）A．18m2 B．18m2 C．24m2 D．m2【分析】过点C作CE⊥AB于E，则四边形ADCE为矩形，CD＝AE，∠DCE＝∠CEB＝90°，设CD＝AE＝xm，则∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝（12﹣x）m，由直角三角形的，性质得出BE＝BC＝（6﹣x）m，得出AD＝CE＝BE＝（6﹣x）m，AB＝AE+BE＝x+6﹣x＝（x+6）m，由梯形面积公式得出梯形ABCD的面积S与x之间的函数关系式，根据二次函数的性质直接求解．【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，则四边形ADCE为矩形，∴CD＝AE，∠DCE＝∠CEB＝90°，设CD＝AE＝xm，则∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝（12﹣x）m，在Rt△CBE中，∵∠CEB＝90°，∴BE＝BC＝（6﹣x）m，∴AD＝CE＝BE＝（6﹣x）m，AB＝AE+BE＝x+6﹣x＝（x+6）m，∴梯形ABCD面积S＝（CD+AB）•CE＝（x+x+6）•（6﹣x）＝﹣x2+3x+18＝﹣（x﹣4）2+24，∴当x＝4时，S最大＝24．即CD长为4m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为24m2；故选：C．【点评】此题考查了梯形的性质、矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、二次函数的运用，利用梯形的面积建立二次函数是解题的关键．12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；⑤若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2，其中正确的结论是（）A．①③⑤ B．①④⑤ C．①②④ D．①⑤【分析】根据抛物线对称轴为直线x＝2可得a与b的关系，从而判断①，由x＝﹣3时y＜0可判断②，由抛物线经过（﹣1，0）及抛物线对称轴可求出b与a，c与a的关系，从而判断③，由A，B，C三点到对称轴的距离大小判断④，将方程的解转化为抛物线与直线y＝﹣3的交点问题，从而判断⑤．【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，①正确．由图象可得x＝﹣3时，y＜0，∴9a+c＜3b，②错误．∵抛物线经过（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∵b＝﹣4a，∴c＝﹣5a，∴8a+7b+2c＝8a﹣28a﹣10a＝﹣30a，∵抛物线开口向下，∴a＜0，﹣30a＞0，③正确．∵点C，点B，点A到抛物线对称轴距离依次增大，∴y3＞y2＞y1，④错误．∵抛物线经过（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，∴抛物线经过（5，0），∴抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣5），∴a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为抛物线与直线y＝﹣3的交点的横坐标，由图象可得x1＜﹣1＜5＜x2，⑤正确．故选：A．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）方程3（x﹣5）2＝2（5﹣x）的解是5或．【分析】观察知，可用换元法把5﹣x看作一个整体，求解方程即可．【解答】解：根据题意，令y＝5﹣x，代入原方程得：3y2＝2y，解得y1＝0，y2＝，∴x1＝5，x2＝；【点评】本题考查换元法解一元二次方程，是基础题型．14．（4分）设x1，x2是关于x的方程x2﹣3x+k＝0的两个根，且x1＝2x2，则k＝2．【分析】根据根与系数的关系求得x2＝1，将其代入已知方程，列出关于k的方程，解方程即可．【解答】解：根据题意，知x1+x2＝3x2＝3，则x2＝1，将其代入关于x的方程x2﹣3x+k＝0，得12﹣3×1+k＝0．解得k＝2．故答案是：2．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．15．（4分）如图，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CE＝OB，已知∠DOB＝72°，则∠E等于24°．【分析】根据圆的半径相等，可得等腰三角形；根据三角形的外角的性质，可得关于∠E的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：如图：CE＝OB＝CO，得∠E＝∠1．由∠2是△EOC的外角，得∠2＝∠E+∠1＝2∠E．由OC＝OD，得∠D＝∠2＝2∠E．由∠3是三角形△ODE的外角，得∠3＝E+∠D＝∠E+2∠E＝3∠E．由∠3＝72°，得3∠E＝72°．解得∠E＝24°．故答案为：24°．【点评】本题考查了圆的认识，利用圆的半径相等得出等腰三角形是解题关键，又利用了三角形外角的性质．16．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为．【分析】根据等式的性质，可得∠BAD与∠CAD′的关系，根据SAS，可得△BAD与△CAD′的关系，根据全等三角形的性质，可得BD与CD′的关系，根据勾股定理，可得答案．【解答】解：在AD的上方过点A作AD′⊥AD，使得AD′＝AD，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD＝∠DAD′+∠CAD，即∠BAD＝∠CAD′，在△BAD与△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD＝CD′．∠DAD′＝90°由勾股定理得DD′＝，∠D′DA+∠ADC＝90°由勾股定理得CD′＝，∴BD＝CD′＝，故答案为：．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，勾股定理，作出全等图形是解题关键．17．（4分）已知函数y＝的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为17．【分析】根据题意可知，当直线经过点（1，12）时，直线y＝kx﹣3与该图象有公共点；当直线与抛物线只有一个交点时，（x﹣5）2+8＝kx﹣3，可得出k的最大值是15，最小值是2，即可得它们的和为17．【解答】解：当直线经过点（1，12）时，12＝k﹣3，解得k＝15；当直线与抛物线只有一个交点时，（x﹣5）2+8＝kx﹣3，整理得x2﹣（10+k）x+36＝0，∴10+k＝±12，解得k＝2或k＝﹣22（舍去），∴k的最大值是15，最小值是2，∴k的最大值与最小值的和为15+2＝17．故答案为：17．【点评】本题考查分段函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，结合图象求出k的最大值和最小值是解题的关键．18．（4分）如图，已知直线y＝x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y＝x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣MC|的值最大，求出点M的坐标（，﹣）【分析】根据直线的解析式求得点A（0，1），那么把A，B坐标代入y＝x2+bx+c即可求得函数解析式，据此知抛物线的对称轴．易得|AM﹣MC|的值最大，应找到C关于对称轴的对称点B，连接AB交对称轴的一点就是M．应让过AB的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M坐标．【解答】解：∵直线y＝x+1与y轴交于点A，∴点A的坐标为（0，1），将A（0，1）、B（1，0）坐标代入y＝x2+bx+c得，解得：．∴物线的解析式为y＝x2﹣x+1＝（x﹣）2﹣；则抛物线的对称轴为x＝，B、C关于直线x＝对称，∴MC＝MB，要使|AM﹣MC|最大，即是使|AM﹣MB|最大，由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时|AM﹣MB|的值最大．知直线AB的解析式为y＝﹣x+1∴，解得：．则M（，﹣），故答案为：（，﹣）．【点评】本题综合考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，直线和抛物线的交点等；求两条线段和或差的最值，都要考虑做其中一点关于所求的点在的直线的对称点．三、解答题：（共7个题，共90分）19．（16分）（1）解方程：（x﹣5）（x+2）＝8．（2）先化简，再求值：（x+1﹣）÷，其中x满足方程：x2+x﹣6＝0．【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；（2）先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再进行约分得到原式＝，接着利用因式分解法解方程x2+x﹣6＝0，然后把符合题意的x的值代入计算即可．【解答】解：（1）x2﹣3x﹣10＝8，x2﹣3x﹣18＝0，（x﹣6）（x+3）＝0，x﹣6＝0或x+3＝0，所以x1＝6，x2＝﹣3；（2）原式＝•＝•＝，解方程x2+x﹣6＝0得：x1＝2，x2＝﹣3，当x＝2时，原式的分母为0，故舍去，当x＝﹣3时，原式＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法和分式的化简计算．20．（12分）已知关于x的两个一元二次方程：方程①：（1+）x2+（k+2）x﹣1＝0；方程②：x2+（2k+1）x﹣2k﹣3＝0．（1）若方程①有两个相等的实数根，求：k的值；（2）若方程①和②只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根；（3）在（2）中若一定有实数根的那个方程的两根分别为x1、x2，且两根的平方和为3（即x12+x22＝3）中，求k的值．【分析】（1）由方程有两个相等的实数根，由根的判别式可得到关于k的方程则可求得k的值；（2）由方程②的判别式可求得该方程总有两个实数根，则可知方程①没有实数根；（3）根据根与系数的关系求出两根之积和两根之和的关于k的表达式，再将x12+x22＝3变形，将表达式代入变形后的等式，解方程即可．【解答】解：（1）∵方程①有两个相等的实数根，∴，则k≠﹣2，＝k2+4k+4+4+2k＝k2+6k+8，则（k+2）（k+4）＝0，∴k＝﹣2，k＝﹣4，∵k≠﹣2，∴k＝﹣4；（2）∵＝4k2+12k+13＝（2k+3）2+4＞0，∴无论k为何值时，方程②总有实数根，∵方程①、②只有一个方程有实数根，∴此时方程①没有实数根．（3）由根与系数的关系知：x1+x2＝﹣2k﹣1，x1x2＝﹣2k﹣3，∵x12+x22＝（x1+x2）﹣2x1x2＝（﹣2k﹣1）2﹣2（﹣2k﹣3）＝4（k+1）2+3，x12+x22＝3，∴4（k+1）2+3＝3，解得k＝﹣1．【点评】本题主要考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．21．（12分）如图①是一条抛物线形状的拱桥，水面宽AB为6米，拱顶C离水面的距离为4米．（1）建立恰当的坐标系，并求出抛物线的解析式；（2）一艘货船的截面如图②所示，它是由一个正方形MNEF和一个梯形KLGH组成的轴对称图形，货船的宽度KH为5米，货物高度MN为3米．若船弦离水面的安全距离为0.25米，请问货船能否安全通过桥洞？说明理由．【分析】（1）建立适当的平面直角坐标系，可得二次函数的解析式；（2）假设点K点H刚刚与抛物线相交，求M点的纵坐标，如果点M到x轴的距离大于3.25就能通过否则就不能通过．【解答】解：（1）以AB所在的直线为x轴，AB的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系；由题意可知：A（﹣3，0），C（0，4）；设抛物线的关系式：y＝ax2+k，．∴k＝4，a＝﹣，∴此抛物线解析式为：y＝﹣x2+4．（2）货船不能通过，理由如下：货船是由一个正方形MNEF和一个梯形KLGH组成的轴对称图形，把它加入坐标轴中，当点K、点H在抛物线上，设F（1.5，m），把x＝1.5，y＝m代入得m＝3，∵3＜3.25，∴此船不能通过．【点评】考查二次函数解析式的求法，数形结合思想，二次函数在实际生活中的运用，掌握如何建立适当的平面直角坐标系，设出关系式，把对应点的坐标代入是解题关键．22．（12分）如图，在半径为2的扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C是上的一个动点（不与点A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E．（1）当BC＝2时，求线段OD的长和∠BOD的度数；（2）在△DOE中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．（3）在△DOE中，是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）根据垂径定理及勾股定理即可解决问题；（2）利用三角形的中位线定理即可解决问题；（3）利用等腰三角形的性质即可解决问题．【解答】解：（1）如图，∵OD⊥BC，∴BD＝CD＝，∴，∴∠BOD＝30°；由勾股定理得：OD2＝22﹣12＝3，∴OD＝；即线段OD的长和∠BOD的度数分别为、30°．（2）存在，DE＝；如图，连接AB；∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，∴AB2＝OB2+OA2＝8，∴AB＝；∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴BD＝CD，AE＝EC，∴DE是△ABC的中位线，DE＝＝．（3）存在，∠DOE＝45°；∵OD⊥BC，OE⊥AC，且OA＝OB＝OC，∴∠BOD＝∠COD，∠AOE＝∠COE，∴∠DOE＝，即∠DOE＝45°．【点评】该命题以圆为载体，在考查垂径定理、三角形中位线定理、勾股定理的同时，还渗透了对动态观念、直觉思维等能力的考查；对分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．23．（12分）在△ABC中，BA＝BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝∠ABC．（1）如图1，以点B为旋转中心，将△EBC按逆时针方向旋转，得到△E′BA（点C与点A重合，点E到点E′处），连接DE′．求证：DE′＝DE；（2）如图2，若∠ABC＝90°，AD＝4，EC＝2，求DE的长．【分析】（1）先根据旋转的性质得BE′＝BE，∠E′BA＝∠EBC，则∠E′BE＝∠ABC，再利用∠DBE＝∠ABC易得∠DBE′＝∠DBE，根据“SAS”判断△BDE′≌△BDE，所以DE′＝DE；（2）以点B为旋转中心，将△EBC按逆时针方向旋转90°得到△E′BA（点C与点A重合，点E到点E′处），如图2，利用等腰直角三角形的性质得∠BCE＝∠BAD＝45°，利用旋转的性质得∠BAE′＝∠BCE＝45°，AE′＝CE＝2，则∠DAE′＝90°，在Rt△DAE′中利用勾股定理可计算出DE′＝2，然后就根据（1）的结论即可得到DE＝DE′＝2．【解答】（1）证明：∵以点B为旋转中心，将△EBC按逆时针方向旋转，得到△E′BA（点C与点A重合，点E到点E′处），∴BE′＝BE，∠E′BA＝∠EBC，∴∠E′BE＝∠ABC，∵∠DBE＝∠ABC，∴∠DBE＝∠E′BE，即∠DBE′＝∠DBE，在△BDE′和△BDE中，，∴△BDE′≌△BDE（SAS），∴DE′＝DE；（2）解：以点B为旋转中心，将△EBC按逆时针方向旋转90°得到△E′BA（点C与点A重合，点E到点E′处），如图2，∵∠ABC＝90°，BA＝BC，∴∠BCE＝∠BAD＝45°，∵△EBC按顺时针方向旋转90°得到△E′BA，∴∠BAE′＝∠BCE＝45°，AE′＝CE＝2，∴∠DAE′＝∠BAD+∠BAE′＝90°，在Rt△DAE′中，∵DE′2＝AD2+AE′2＝42+22＝20，∴DE′＝2，由（1）的结论得DE＝DE′＝2．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理．24．（12分）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如表：时间x（天）1≤x＜5050≤x≤90售价（元/天）x+4090每天销量（件）200﹣2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？【分析】（1）根据题意可以分别求得1≤x＜50和50≤x≤90时的y与x的函数关系式；（2）根据题意可以分别求得两段的函数的最大值，从而可以解答本题；（3）根据题意分两种情况列出相应的不等式，从而可以解答本题．