八年级数学(第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明)13.2 命题与证明(沪科版 学习、上课资料)_第1页
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13.2命题与证明第十三章三角形中的边角关系、命题与证明逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2命题互逆命题定理与证明三角形内角和定理推论1,2三角形内角和定理推论3、4知1-讲感悟新知知识点命题11.定义对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题.感悟新知知1-讲特别解读:(1)命题只是对事件进行判断,判断的结果可能是正确的,也可能是错误的;(2)命题必须是一个完整的句子,不能是一个词语;(3)命题必须具有“判断”作用,要对事件作出肯定或否定的判断,故命题不能是祈使句或疑问句.感悟新知知1-讲2.命题的结构 命题由题设(条件)和结论两部分组成.题设(条件)是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.知1-讲感悟新知特别提醒◆命题常可以写成“如果……那么……”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.◆有些命题的条件和结论不明显,可将它经过适当变形,改写成“如果……那么……”的形式.感悟新知知1-讲3.命题的种类(1)真命题:如果题设成立,那么结论一定成立,这样的命题叫做真命题.(2)假命题:题设成立时,不能保证结论一定成立,这样的命题叫做假命题.感悟新知知1-讲4.反例符合命题的条件,但不满足命题结论的例子称之为反例.知1-练感悟新知例1把下列命题改写成“如果……那么……”的形式并判断命题的真假.(1)互为补角的两个角相等;(2)同角的余角相等;(3)垂直于同一条直线的两条直线平行.知1-练感悟新知解题秘方:紧扣命题的结构形式进行改写.解:(1)如果两个角互为补角,那么这两个角相等.假命题.(2)如果两个角是同一个角的余角,那么这两个角相等.真命题.(3)如果两条直线垂直于同一条直线,那么这两条直线平行.假命题.知1-练感悟新知解法提醒◆命题改写的原则:不改变命题的原意.◆命题改写的方法:理清命题的题设与结论部分,改写命题时将题设放在“如果”后面,将结论放在“那么”后面.说明一个命题是假命题,只要举出一个反例即可.这个反例必须符合命题的题设,但不满足命题的结论.而说明一个命题是真命题,则需要从已知出发,经过推理,最后得出正确结论.感悟新知知2-讲知识点互逆命题2如果两个命题的题设、结论正好相反,那么这两个命题称为互逆命题,如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做原命题的逆命题.感悟新知知2-讲特别提醒:(1)“题设、结论正好相反”是指:第一个命题的题设是第二个命题的结论,第一个命题的结论是第二个命题的题设.(2)“互逆命题”是说明两个命题之间的关系,两个命题的地位可以互换,可以确定其中任何一个为原命题,另一个为逆命题.感悟新知知2-讲(3)写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论,把题设和结论互换,并用通顺的语句将它们连接起来即可得到它的逆命题.(4)原命题的真假和其逆命题的真假没有必然联系,原命题是真命题,其逆命题不一定是真命题;原命题是假命题,其逆命题也不一定是假命题.知2-讲感悟新知特别警示 判断一个命题是真命题,需要经过推理说明其正确性,而判断一个命题是假命题,只需举一个反例即可.感悟新知知2-练判断下列命题的真假,写出逆命题,并判断逆命题的真假:(1)如果两条直线相交,那么它们只有一个交点;(2)如果a

>b,那么a2

>b2;(3)如果两个数互为相反数,那么它们的和为零;(4)如果ab

<0,那么a>0,b<0.例2

知2-练感悟新知解题秘方:紧扣互逆命题“题设、结论正好相反”这一特征改写命题.知2-练感悟新知解:(1)原命题是真命题.逆命题:如果两条直线只有一个交点,那么它们相交.逆命题是真命题.(2)原命题是假命题.逆命题:如果a2

b2,那么

a

>b.逆命题是假命题.(3)原命题是真命题.逆命题:如果两个数的和为零,那么它们互为相反数.逆命题是真命题.(4)原命题是假命题.逆命题:如果a

>0,b

<0,那么ab<0.逆命题是真命题.知2-练感悟新知解法提醒写出逆命题的关键是分清楚原命题的题设和结论,然后将它的题设和结论交换位置就可得到这个命题的逆命题.判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理,判断一个命题是假命题只需要举出一个反例就可以了.感悟新知知3-讲知识点定理与证明31.定理有些命题,是从基本事实或其他真命题出发,用推理方法判断为正确的,并被选作判断命题真假的依据.这样的真命题叫做定理.感悟新知知3-讲2.证明从已知条件出发,依据定义、基本事实、已证定理,并按照逻辑规则,推导出结论,这一方法称为演绎推理(或演绎法).演绎推理的过程,就是演绎证明,简称证明.(1)证明一个命题是真命题的依据可以是已知条件,也可以是学过的定义、基本事实(公理)、定理等.(2)证明一个命题是假命题,只要举出一个反例即可.知3-讲感悟新知特别解读定义、命题、基本事实(公理)、定理之间的联系与区别:联系:这四者都是命题.区别:定义、基本事实(公理)、定理都是真命题,都可以作为进一步判断其他命题真假的依据,只不过基本事实(公理)是最原始的依据;而命题不一定是真命题,因而不一定能作为进一步判断其他命题真假的依据.感悟新知知3-讲3.证明的一般步骤(1)审题,分清命题的题设和结论;(2)画图,结合图形写出已知和求证;(3)分析因果关系,找出证明途径;(4)有条理地写出证明过程.知3-练感悟新知填写下列证明过程中推理的依据.如图13.2-1,已知AC,BD

相交于点O,DF

平分∠CDO与AC相交于点F,BE

平分∠ABO

与AC

相交于点E,∠A=∠C.求证:∠1=∠2.例3解题秘方:根据推理过程一步一步写出推理的依据.知3-练感悟新知

已知内错角相等,两直线平行两直线平行,内错角相等已知角平分线的定义等量代换知3-练感悟新知方法点拨证明是从条件出发,经过一步一步推理,最后推出结论的过程.证明的每一步推理都要有依据,不能“想当然”,这些依据可以是已知条件,也可以是定义、基本事实、已学过的定理.在初学证明时要把依据写在每一步推理后面的括号里,如本例中的“已知”“等量代换”等.感悟新知知4-讲知识点三角形内角和定理推论1,241.推论1

直角三角形的两锐角互余.几何语言:在△ABC

中,∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°.感悟新知知4-讲2.直角三角形的表示直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC

可以写成Rt△ABC.注意:“Rt△”后必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母,不能单独使用.如“直角三角形的边”不能写成“Rt△的边”.感悟新知知4-讲3.推论2

有两个角互余的三角形是直角三角形.几何语言:在△ABC

中,∵∠A+∠B=90°,∴∠C=90°,即△ABC

为直角三角形.知4-讲感悟新知特别解读1.直角三角形的性质和判定的理论依据是三角形的内角和定理.2.在直角三角形中,若已知两个锐角之间的关系,可结合两个锐角互余求出每个锐角的大小,不需要再利用三角形内角和定理求解.感悟新知知4-练如图13.2-2,AB∥CD,直线EF

分别交AB,CD于点E,F,∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P,求证:△EFP

是直角三角形.例4

知4-练感悟新知解题秘方:三角形中有两个角的和等于90°(互余)就可说明该三角形为直角三角形.知4-练感悟新知

知4-练感悟新知特别提醒 直角三角形的判定方法:1.证明三角形中有一个内角为90°(或证明三角形的两条边互相垂直);2.证明一个三角形中有两个内角互余;3.证明三角形中有一个内角与已知的直角相等.感悟新知知4-练如图13.2-3,在△ABC

中,∠ACB=90°,∠ACD=∠B,求证:CD⊥AB.例5知4-练感悟新知解题秘方:利用直角三角形的性质与判定推导出CD,AB的夹角为直角.知4-练感悟新知证明:∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°.∵∠ACD=∠B,∴∠A+∠ACD=90°.∴∠CDA=90°.∴CD⊥AB.知4-练感悟新知教你一招 证明两条直线垂直的方法:1.定义法:推导相交的两直线的夹角中有一个角为直角.2.证明直角三角形法:在三角形中,推导出两个角的和为90°,从而得此三角形为直角三角形.感悟新知知5-讲知识点三角形内角和定理推论3、451.定义由三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.知5-讲感悟新知特别解读1.位置:在三角形的外部.2.与相邻内角互为邻补角.3.三角形每一个顶点处都有两个外角,它们是对顶角,因此三角形共有六个外角,通常每一个顶点处取一个外角.4.三角形的外角和等于360°.感悟新知知5-讲2.推论3

三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.常见应用:(1)已知一个外角及与它不相邻的两个内角中的一个,求另一个内角;(2)证明一个角等于另两个角的和或差;(3)作为中间关系式证明两个角相等.3.推论4

三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.感悟新知知5-练如图13.2-4,CE

是△ABC的外角∠ACD

的平分线,且CE

交BA的延长线于点E.例6

知5-练感悟新知解题秘方:(1)根据三角形外角性质求出∠ACD,即可求出∠ACE,求出∠CAE,再根据三角形内角和定理求出∠E;感悟新知知5-练

(1)若∠B=30°,∠ACB=40°,求∠E

的度数;解:∵∠ACB=40°,∴∠ACD=180°-40°=140°.∵CE

是△ABC的外角∠ACD

的平分线,∴∠ACE=70°.∵∠B=30°,∴∠CAE=∠B+∠ACB=70°.∴∠E=180°-70°-70°=40°.知5-练感悟新知解题秘方:(2)紧扣“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”将∠BAC

转化为∠B

与∠E

的关系,即可解决问题.感悟新知知5-练

(2)求证:∠BAC=∠B+2∠E.证明:∵CE

平分∠ACD,∴∠ACE=∠DCE.∵∠DCE=∠B+∠E,∴∠ACE=∠B+∠E.∵∠BAC=∠ACE+∠E,∴∠BAC=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E.知5-练感悟新知解法提醒三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和,拓展了求角的问题的研究方向.在求三角形的某一个角的度数或某些角的关系时

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