广西南宁三中2022年高考仿真模拟数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生须知：

1,全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2,请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数/（力=（--+24-。（其中e为自然对数的底数）有两个零点，则实数。的取值范围是（）

C.e2--,+oojD.卜」,+8）

2.在直三棱柱ABC-A4G中，己知A5=8C=2,CCX=2y[2,则异面直线与人用所成的角

为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

3.在AABC中，点P为BC中点，过点尸的直线与AB,AC所在直线分别交于点M,N,若丽7=/1而，

AN=;/XC（/l>0,〃>0）,则2+〃的最小值为（）

57

A.—B.2C.3D,一

42

4.已知函数/（x）=cos2x+sin2（x+?｝则/（x）的最小值为（）

.,V2n1c।夜n।夜

A.1H-----B.-C.1-------D.1------

2224

5.若双曲线三一与=1的离心率6=也，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）

4b22

A.2GB.2C.73D.1

6.已知整数尤,N满足V+Vvio,记点用的坐标为（x,y）,则点/满足x+yN6的概率为（）

967

—B.—D.

3535?7

7.做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验

中成功次数X的期望为（）

A-1D.2

8.已知函数y=log〃（x+c）（。，。是常数，其中。>0且awl）的大致图象如图所示，下列关于。，c的表述正确

的是（）

A.a>\9c>1B・a>\90<c<l

C.0<6Z<l,c>\D.0<tz<l>0<c<l

2

9.若复数z=—,其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）

1+1r

A.z的虚部为-iB.|z|=2C.二的共甄复数为一ITD.z?为纯虚数

10.已知集合A={2,3,4},集合3={租,m+2},若4门8={2},则机=（）

A.0B.1C.2D.4

11.将函数/。）=6sin2x-cos2%向左平移弓个单位，得到g（x）的图象，则g（x）满足（)

A.图象关于点（春,。）对称，在区间（0,（）上为增函数

B.函数最大值为2,图象关于点［0,（）［对称

c.图象关于直线龙=g对称，在-^4上的最小值为1

6123

D.最小正周期为7,g（x）=l在0,7有两个根

12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为（）

A.372B.275C.2x/6D.2V7

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知在△ABC中，通=(2s加32°,2cos32°),反=(cos77°,-cosl3°),则通•BC=，AA5C的面

积为.

14.在AABC中，NC=90，CM=2MB.若sinN8AM=g,贝！|tanABAC=.

15.(办2_J_丫展开式中/项系数为］eg,则。的值为____.

Ix)

22

16.如图，在平面四边形A3CD中，点A，C是椭圆土+工=1短轴的两个端点，点B在椭圆上，

43

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)设函数二(二)=sin(2Z-1)+sin(2Z+j),Z€Z.

⑺求二(二)的最小正周期；

(〃)若二e6，二)且二d)=:，求sm(2二+§的值•

1J

18.(12分)设椭圆(a,b>0)过M(2,72)，N(J^,1)两点，O为坐标原点,

1/

(1)求椭圆E的方程;

(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且砺_L砺？若存在，写出该

圆的方程，若不存在说明理由.

19.(12分)已知函数/(x)=|x—1].

(1)求不等式〃x)Vx+|x+l|的解集;

⑵若函数g(x)=/。g2"(x+3)+.f(x)-2a]的定义域为R,求实数a的取值范围.

20.(12分)诚信是立身之本，道德之基，我校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用

“四黯”察i”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周(共三个

周投入成本

周期)的诚信数据统计：

第一周第二周第三周第四周

第一周期95%98%92%88%

第二周期94%94%83%80%

第三周期85%92%95%96%

(I)计算表中十二周“水站诚信度”的平均数，

(H)若定义水站诚信度高于90%的为“高诚信度”，90%以下为“一般信度”则从每个周期的前两周中随机抽取两周

进行调研，计算恰有两周是“高诚信度”的概率；

(皿)已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动,

根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由.

21.(12分)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；曲线G的普通方程为

x=cos0.

(X-l)2+y2=l,曲线C2的参数方程为L(，为参数).

y=《2sin0

(I)求曲线G和Ci的极坐标方程：

(II)设射线族分别与曲线G和C2相交于A,B两点，求以用的值.

22.(10分)已知在平面直角坐标系宜万中，椭圆C的焦点为6(-6,0),8(百,0),〃为椭圆。上任意一点，且

\MF]+\MF2\^4.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线/:丫="+加化>0,加>0)交椭圆C于P,。两点，且满足女第=◎，•40GCM。,%/。。分别为直线

PQ,OP,OQ的斜率),求AOPQ的面积为也时直线PQ的方程.

2

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

求出导函数/‘(X),确定函数的单调性，确定函数的最值，根据零点存在定理可确定参数范围.

【详解】

广(幻=上芈-2(》一0),当xe(0,e)时，f'(x)>0,/(x)单调递增，当xe(e,+8)时，_f(x)<0,/(x)单调

厂

1

递减，，在(0,转)上f(x)只有一个极大值也是最大值/(e)=—+/9—〃，显然X.0时，/(幻--O),X-4W时,

e

/(%).—QO,

11

因此要使函数有两个零点，则/(6)=—+/9-。〉0,・・・Q<9/+—.

ee

故选：B.

【点睛】

本题考查函数的零点，考查用导数研究函数的最值，根据零点存在定理确定参数范围.

2.C

【解析】

由条件可看出AB||A片，则NBAG为异面直线AG与Ag所成的角，可证得三角形BAG中，±Z?C,,解得

tanZBAC,,从而得出异面直线AC,与所成的角.

【详解】

连接AC；,BC],如图:

又AB||A4，则NBAG为异面直线AG与Ag所成的角.

因为AB，BC,且三棱柱为直三棱柱，A3±CC.,，面BCC,B{,

：.AB±BC},

又AB=BC=2,CC|=20,二8C1=J(2@'+22=26，

二tanZBAq=6，解得ZBAC,=60°.

故选C

【点睛】

考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题.

3.B

【解析】

11

由M，尸，N三点共线，可得彳7+丁=1,转化X+〃=(/l+〃)—+—,利用均值不等式，即得解.

222〃12/12/z)

【详解】

因为点尸为BC中点，所以月+,恁，

22

又因为而=2而，AN=AC,

1——.1―.

所以福=—AM+—AN,

2A2〃

因为M,P,N三点共线,

1I,

所以丁丁1

(11邑幺

所以x+〃=(x+〃)—+—=L半+父+-..1+-X2=2,

1242//J221//22

4_〃

〃Z'

当且仅当《即2=〃=1时等号成立,

11

——+——=1

222〃

所以X+〃的最小值为1.

故选：B

【点睛】

本题考查了三点共线的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于

中档题.

4.C

【解析】

利用三角恒等变换化简三角函数为标准正弦型三角函数，即可容易求得最小值.

【详解】

,(cn

1-cosI2x+2

由于£(\x+sin2(x+?l+cos2x

/(x)=cos---------+

22

,cos2xsin2x

=1+------+------

22

_V2.(

=1H----sin2xH—,

2I4)

故其最小值为：1-也.

2

故选：C.

【点睛】

本题考查利用降塞扩角公式、辅助角公式化简三角函数，以及求三角函数的最值，属综合基础题.

5.C

【解析】

根据双曲线的解析式及离心率，可求得。，仇c的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解.

【详解】

双曲线E—W=l的离心率6=立，

4b22

贝Ja=2,e=-=~,解得c=J7,所以焦点坐标为(士近,0),

所以Z?=Jc、2一屋-<7-4=6，

则双曲线渐近线方程为了=士*x,即氐±2y=(),

国xg|

不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得

V3+4

故选：C.

【点睛】

本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题.

6.D

【解析】

列出所有圆内的整数点共有37个，满足条件的有7个，相除得到概率.

【详解】

因为X，)'是整数，所以所有满足条件的点是位于圆f+y2=io(含边界)内的整数点，满足条件/+,2A］。

的整数点有(0,0),(0,±1),(0,+2),(0,±3),(±1,0),

(±2,0),(±3,0),(±1,±1),(±2,±1),(±3,±1),(±1,±2),(±2,±2),(±1,±3)共37个,

7

满足无+yzG的整数点有7个，则所求概率为3.

故选：D.

【点睛】

本题考查了古典概率的计算，意在考查学生的应用能力.

7.C

【解析】

每一次成功的概率为二="%二服从二项分布，计算得到答案.

【详解】

每一次成功的概率为二=：=：,二服从二项分布，故二(二)=(x3=/.

故选：二.

【点睛】

本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.

8.D

【解析】

根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项.

【详解】

从题设中提供的图像可以看出0<a<1,log,,c>0,log”(l+c)>0,

故得0<c<l,0<a<l,

故选：D.

【点睛】

本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征，本题属于基础题.

9.D

【解析】

将复数二整理为1-，•的形式，分别判断四个选项即可得到结果.

【详解】

22(1-0

z=---=---------——=1—1

1+Z(1+/)(1-0

Z的虚部为一1,A错误；目=/m=0,5错误；z=l+i,C错误；

z2=(l—i)2=_2i,为纯虚数，O正确

本题正确选项：D

【点睛】

本题考查复数的模长、实部与虚部、共朝复数、复数的分类的知识，属于基础题.

10.A

【解析】

根据，篦=2或机+2=2,验证交集后求得加的值.

【详解】

因为AD3={2},所以帆=2或帆+2=2.当机=2时，4口8={2,4},不符合题意，当机+2=2时，加=0.故选

【点睛】

本小题主要考查集合的交集概念及运算，属于基础题.

11.C

【解析】

由辅助角公式化简三角函数式，结合三角函数图象平移变换即可求得g(x)的解析式，结合正弦函数的图象与性质即

可判断各选项.

【详解】

函数/(%)=6sin2x-cos2x,

贝ij/(x)=2sin[2x-?),

将/(x)=2sin[2x-)向左平移弓兀个单位,

6

/、

兀c•c式

可得g(x)=2sin2(j-2sm2xH—,

6k6J

jrjrK7T

由正弦函数的性质可知，8(司的对称中心满足2%+/=丘,丘2,^x=-—+—,k&Z,所以A、B选项中

6122

的对称中心错误;

对于C,g(x)的对称轴满足2x+H=H+2y%€Z,解得了=工+&肛&GZ,所以图象关于直线x=2对称；当

6266

71715万冗、rrjr

工£—时，2x+--e,由正弦函数性质可知2sin2X+T1,2],所以在—上的最小值为1,

12363'6o6)123

所以C正确;

对于最小正周期为二=万，当71j71rn27r(7711I

D,xw0,f,+，由正弦函数的图象与性质可知，2sin21+二二1

24663k66)

时仅有一个解为x=0,所以D错误;

综上可知，正确的为C,

故选：C.

【点睛】

本题考查了三角函数式的化简，三角函数图象平移变换，正弦函数图象与性质的综合应用，属于中档题.

12.C

【解析】

根据三视图，可得该几何体是一个三棱锥S-48C,并且平面SACJ.平面ABC,ACA.BC,过S作SOLAC,连

接BO,AD=2,AC=2,BC=2,SD=2,再求得其它的棱长比较下结论.

【详解】

如图所示:

由三视图得：该几何体是一个三棱锥S-ABC,且平面SACJ.平面ABC,ACA.BC,

过S作SD_LAC,连接3。，贝!=2,AC=2,BC=2,SD=2,

所以3=yjnc2+BC2=晒，SB=ylSD2+BD2=26，SA=yjsi)2+AD2=272，

SC=yJSD2+AC2=275，

该几何体中的最长棱长为2娓.

故选：C

【点睛】

本题主要考查三视图还原几何体，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.一夜也

2

【解析】

BABC72

①根据向量数量积的坐标表示结合两角差的正弦公式的逆用即可得解；②结合①求出cosZABC

根据面积公式即可得解.

【详解】

®ABBC=2s山32°-coslT-2cos32°・cosl3°=2(s加32°・cos77°-cos32°”加77°)

=2s加(32°-77°)=-2sin45°=—0,

BABC_y[2

②画=2,困=1,cosAABC-MM=T，

・・sinZ.ABC=-----

2

||Ae|-|因si〃NABC=gx2xlx等=¥

S^ABC

故答案为：-旧也.

2

【点睛】

此题考查平面向量与三角函数解三角形综合应用，涉及平面向量数量积的坐标表示，三角恒等变换，根据三角形面积

公式求解三角形面积，综合性强.

14.迈

2

【解析】

分析：首先设出相应的直角边长，利用余弦勾股定理得到相应的斜边长，之后应用余弦定理得到直角边长之间的关系,

从而应用正切函数的定义，对边比临边，求得对应角的正切值，即可得结果.

详解：根据题意，设AC=m,8C=3〃，则CM=2〃,8W=〃，根据sinNBA'=1,

A

?[7________________

得cosNBAM=$，,由勾股定理可得AM=\Jm2+4n2,AB=\Jm2+9n2，

gg人4—E.R//r+4〃-+相-+9〃--/r276

根据余弦定理可得—/一丁—

2vnv+4犷vm"+9n~5

化简整理得加4—12加力2+36/=0,即(m2-6M2)2=0，解得加=an，

所以tan/84C=史=:上="，故答案是".

点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意分析要求对应角的正切值，需要求谁，而题中所给

的条件与对应的结果之间有什么样的连线，设出直角边长，利用所给的角的余弦值，利用余弦定理得到相应的等量关

系，求得最后的结果.

15.-2

【解析】

表示该二项式的展开式的第，+1项，令其指数为3,再代回原表达式构建方程求得答案.

【详解】

该二项式的展开式的第r+1项为『+1=(ox2J6"r.MY=(-1)'.a6-rC^.x12-3r

令12—3z*=3=>r=3,所以。=(—1)3./3x3=_20。3工3,贝！I—20c『=160=>a=-2

故答案为：-2

【点睛】

本题考查由二项式指定项的系数求参数，属于简单题.

【解析】

依题意易得A、8、C、。四点共圆且圆心在x轴上，然后设出圆心，由圆的方程与椭圆方程联立得到B的横坐标，进

5,|x|

一步得到。横坐标，再由法=1f号i计算比值即可.

S2\xD|

【详解】

因为NE4£）=N68=90°,所以A、5、C、。四点共圆，直径为BD,又A、C关于x轴对称，

22

所以圆心£在“轴上，设圆心E为90）,则圆的方程为（x—，）2+y2=*+3,联立椭圆方程?+=1

消y得d—8a=0,解得x=8f,故b的横坐标为8f,又B、。中点是£,所以。的横坐标为—6%

S]_I"4

故《--二大.

§2rIX"iI3

4

故答案为：

【点睛】

本题考查椭圆中的四点共圆及三角形面积之比的问题，考查学生基本计算能力及转化与化归思想，本题关键是求出3、

。横坐标，是一道有区分度的压轴填空题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.⑺二；（吁下

【解析】

⑺化简得到二（二）=\2sin（2二+自，得到周期.

（II）□得）=Osin（二+目=g故而（二+色==，根据范围判断cos（二+£）=一乎，代入计算得到答案.

【详解】

（/）□（□）=sin（2C-^）+sin（2D+1）=sin（2匚一习+cos（2D-j）

=、Wsm（二+六），故二=y

(//)Z(y)=v_sin(z+=p故sm(二+§=?,cos(二+§=±亍,

口呜口),故口+：e信署)，|cos(口+))|>|向(口+制,

故二+V”二)，故cos(二+:)=一于

sin(2Z+1)=2sm(二+目cos(二+司=一匚

【点睛】

本题考查了三角函数的周期，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

22o

18.(1)—+^-=1(2)x2+y2=-

843

【解析】

22

试题分析：(1)因为椭圆E:，+g=1(a,b>0)过M(2,叵),N(",l)两点,

42,11

-T+T7-1~="2_«22

所以匕、解得｛::所以｛，一椭圆E的方程为士+匕=1

61.11/=484

K炉=1*=]

(2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且砺，砺，设该圆的切线方程

y=kx+m

为>=履+〃7解方程组｛*22得/+2(奴+根)2=8,即(1+2/)/+4〃吠+2加一8=0,

——+—=1

84

则A=16k2m2-4(14-2k2)(2/-8)=8(8公一/+4)>0,即8/一疗+4>0

4km

…二一西

2m2-8

k2(2m2-8)4k2府加？一86

yy=(fc¥j+in)(kx+m)=k2xx+h〃(玉+々)+〃，----------------------------FIT2T------------

12212\+2k2\+2k2\+2k2

N(2加2—8)竺竺+苏=._8中

y%=(匕i+m)(kx+m)=k2xx+km｛x+x')+m2=

212｝21+2公1+2/i+2k2

要使"方,需使—。，即鸽AM=。，所以而-叱-8=。,所以心号^。又

8々2—>+4>0,

FKI、I1">2cciM2、8HR2-\/6-2-^6

所以｛,，所以加,EP/n>----或加4------，

因为直线)，="+〃?为圆心在原点的圆的一条切线，

位加|/=上=___=8屈

所以圆的半径为r=-^^,1+二3加一83"=会虫，

Jl+公1+——o——3

o

所求的圆为/+丫2=3此时圆的切线丫=依+机都满足m匹或加4一友，

333

而当切线的斜率不存在时切线为无=±半与椭圆会+£=1的两个交点为(*,土±5)或(-乎，士半)满足

OA1OB,

Q

综上，存在圆心在原点的圆d+9=§,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且砺J.丽.

考点：本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，圆与椭圆的位置关系.

点评：中档题，涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往要利用韦达定理.存在性问题，往往从假设存在出发，运

用题中条件探寻得到存在的是否条件具备.(2)小题解答中，集合韦达定理，应用平面向量知识证明了圆的存在性.

19.(1)(0,+oo)(2)(一8m

【解析】

(1)分类讨论，去掉绝对值，化为与之等价的三个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集即可.(2)要使函

数g(力的定义域为R,只要〃(x)=/(x+3)+-2a的最小值大于0即可，根据绝对值不等式的性质求得最小值

即可得到答案.

【详解】

(1)不等式/(x)<x+|x+l|o|x-l|<x+k+l|

X>1[-1<X<1fx<-l

<或〈或«,

X-1<X+X4-1[l-x<x+x+l\1-X<X-X-1

解得xNl或Ovxvl,即x>0,

所以原不等式的解集为(0,+8),

(2)要使函数g(x)=/og2"(x+3)+/(x)—2a]的定义域为R,

只要/2(X)="X+3)+〃X)-2a的最小值大于0即可，

又=,+2]+|.x—1|—2<z当(x+2)-(%-1)|-2<z=3—2iz,

当且仅当XG[-2,1]时取等，只需最小值3-240,即=.

2

所以实数a的取值范围是(-8,.

【点睛】

本题考查绝对值不等式的解法，考查利用绝对值三角不等式求最值，属基础题.

2

20.(I)91%；(n)y；(in)两次活动效果均好，理由详见解析.

【解析】

(I)结合表中的数据，代入平均数公式求解即可；

(n)设抽至心高诚信度”的事件为A,.,则抽至心一般信度”的事件为3,则随机抽取两周，则有两周为“高诚信度”事件

为c,利用列举法列出所有的基本事件和事件。所包含的基本事件，利用古典概型概率计算公式求解即可；

(DP结合表中的数据判断即可.

【详解】

(I)表中十二周“水站诚信度”的平均数

_95+98+92+88+94+94+83+80+85+92+95+961

x=-------------------------------------------------------------------------x——=91%.

12100

(II)设抽至U“高诚信度”的事件为4,则抽至()“一般信度”的事件为8,则随机抽取两周均为“高诚信度”事件为C,总

的基本事件为AA>、AA、AA、AA、44、A2A八4A、AA'AA'AA'4®A3、A；B、4氏、共15种，

事件C所包含的基本事件为44、AA、A4、AA、44、44、44、44、44、A4A共10种，

102

由古典概型概率计算公式可得，P(C)=—

(HI)两次活动效果均好.

理由：活动举办后，“水站诚信度，由88%—94%和80%-85%看出，后继一周都有提升.

【点睛】

本题考查平均数公式和古典概型概率计算公式；考查运算求解能力；利用列举法正确列举出所有的基本事件是求古典

概型概率的关键；属于中档题、常考题型.

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21.(I)「一2cos。=0,2p2cos2^+3p2sin2^-6=0;(II)\AB\=43--

3

【解析】

(I)根据22=/+/,》=0以)5。疗=25皿。，可得曲线G的极坐标方程，然后先计算曲线C2的普通方程，最后

根据极坐标与直角坐标的转化公式，可得结果.

(II)将射线分别与曲线。和C2极坐标方程联立，可得A,8的极坐标，然后简单计算，可得结果.

6

【详解】

(I)(x-1)2+y2=l=>x2+y2-2x=0

由/?2=+丁2,*=夕cos。,y=psi