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1/1组合数学鸽巢原理例题-初中教育

组合数学鸽巢原理例题

鸽巢原理例题

组合数学鸽巢原理例题

证明[1,2n]中任意n+1个不同的数中至少有一对数互质设这n+1数为a1a2…an+1,令bi=ai+1(i=1,2,…,n)。明显,b1b2…bn=2n,a1,…,an+1,b1,…,bn这2n+1个数中必有二数相等,即存在bi与ai+1相等,而bi=ai+1,而ai与ai+1(即ai+1)是互质的。

组合数学鸽巢原理例题

一人以11周时间预备考试,他打算每天至少做一道题,但每周不多于12题。证明:存在连续的若干天,在这些天时他恰好做了21题。改为更少的题数如何?改为22题如何?令ai表示从第一天到第i天所做的题数之和。由于每天至少做一题,有:a1a2…a77=12*11=132。考虑序列:a1+21,a2+21,…,a77+21(=153).两个序列共有154个数,而ai≠aj(当i≠j时),同理,ai+21≠aj+21(当i≠j时),所以,必有某个aj=ai+21,即从第i+1天到第j天共做了21题。原命题改为小于21题,明显是成立的。

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续:22题的状况若存在某一周没有做满12题,则a77+22154,使得这154个数最多到153,从而仍有aj=ai+22;若每周都做满12题,那么a1,a2,…,a77,a1+22,a2+22,…,a77+22这154个数恰在1~154之间。

若不存在i,j使得aj=ai+22,则它们取值遍历1,2,…,154。即有a1=1,a2=2,…,a22=22。那么,他在第一周里只做了7题,与每周做满12题假设冲突。所以,存在连续的若干天,他恰好做了22题。

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设a1,a2,…,an是1,…,n的一个排列,证明,当n是奇数时,(a1-1)(a2-2)…(an-n)是一偶数。证明:只须证明上述因子中有一个是偶数即可。由于只要有一个因子是偶数,则积必为偶数。n是奇数时,1~n中有(n+1)/2个奇数,(n-1)/2个偶数。从而,a1,a3,…,an中至少有一个是奇数,设为a2i+1这样以来,(a2i+1-(2i+1))为偶数。乘积为偶数。证毕。

组合数学鸽巢原理例题

证明:在1~200中可选取100个数它们中任何两个数互素。并证明所选的100个数中的最小数不小于16。明显,当选出的数为101时,可用鸽巢原理证明,必存在两个数是倍数(或整除)关系。本题证明参见《辅导》P301,7.7题

组合数学鸽巢原理例题

证明:任给m个正整数a1,a2,…,am,必存在连续的若干项,其和是m的倍数(能被m整除)。证明:构造数列:S1=a1,S2=a1+a2,…,Sn=a1+a2+…+an;若某个Si已经可被m整除,则得证。设不存在被整除的状况,则每个Si模m的余数ri满意:1≤ri≤m-1。这样的ri共有m个。依据鸽巢原理,存在ij,但ri=rj。即Si与Sj同余。从而有:Sj-Si=km=ai+1+ai+2+…+aj.得证。

组合数学鸽巢原理例题

思索题1.2.一个1*1的方格里任选5个点,则必存在两点,其距离√2/2.空间直角坐标系中,我们把(x,y,z)坐标均为整数的点简称为格点,证明,任意9个格点中,必存在两点,其连线的中点亦是格点。设西工大在北京的办事处有90间房间。每次总是有100人中的90人到那里出差,试设计一

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