函数与角度有关问题【考点精讲】（解析版）

专题19函数与角度有关问题

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丁

题型1：等角问题题型3：其他角度问题

函数与角度有关问题

题型2：二倍角问Q

方法技巧

1.（特殊角）若点P在抛物线上，且/PBD=90。，求点P的坐标。

利用直线8。的解析式及勾股定理，数形结合，列出有关的方程，即可求出点P的坐标.

g题型精讲

题型一：等角问题

【例1】（2021.四川自贡市）如图，抛物线y=（x+l）（x-。）（其中。＞1）与x轴交于4、

B两点,交y轴于点C.

（1）直接写出NOC4的度数和线段AB的长（用a表示）；

（2）若点。为AABC的外心，且△以»与△ACO的周长之比为，而：4,求此抛物线

的解析式；

（3）在（2）的前提下，试探究抛物线y=（x+l）（x-a）上是否存在一点P,使得

NC4P=ZDB4?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)/OCA=45°,AB=a+\(2)y=x2-x-2；(3)存在，P\(-----),

;24

P2(1.-2).

【分析】

(1)根据二次函数解析式可得A(。，0),C(0,-a),B(-1,0),即可得出O4=0B=m

08=1,即可证明是等腰直角三角形，可得/OC4H5。，根据线段的和差关系可表示

A8的长；

(2)如图，作AA8C的外接圆。。，根据等腰直角三角形的性质可得4C=0a，利用两点

间距离公式可用”表示出BC的长，根据圆周角定理可得/O=2/O4C=90。，可得AOBC是

等腰直角三角形，即可证明AQBCS/X0C4,根据相似三角形周长之比等于相似比列方程求

出“值即可得答案；

(3)如图，过点。作于“，过点C作AC的垂线，交x轴于E过点。作OGLAC

于G,连接AP交C尸于E,可得△OCF是等腰直角三角形，利用待定系数法可得直线C尸

的解析式，根据外心的定义及等腰直角三角形的性质可求出点。坐标，即可得出84、DH

的长，根据NC4P=NDA4，/BHO=/ACE=90。可证明△根据相似三角

形的性质可求出CE的长，根据两点间距离公式可得点E坐标，利用待定系数法可得直线

AE解析式，联立直线AE与抛物线的解析式求出点P坐标即可得答案.

【详解】

(1)•.•抛物线y=(x+l)(x-a)(其中a>l)与X轴交于4、8两点，交y轴于点C.

.•.当x=0时，y=-a,

当y=0时，(x+l)(x-a)=0,

解得：％=-1,超=。，

；.A(a,0),C(0,-a),B(-1,0),

OB=I,OA=OC=a,

...△OC4是等腰直角三角形，

/0CA=45°,A8=OA+O8=o+1.

(2)如图，作△ABC的外接圆。。，

•••点。为AABC的外心，

:.DB=DC,

是等腰直角三角形，0A=a,

ZOAC=45°,AC=Oa，

■:NBDC和/BAC是BC所对的圆心角和圆周角，

・・・N8QC=2N8AC=90。，

NDBC=45。,

・•・NDBC=NOAC,

：./\DBC^AOCAt

VABCD与/XACO的周长之比为Ji6:4，

2

.BCMHI1yja+lV10

••-----=-------f即——=-------，

AC4y/2a4

解得：a=±2,

经检验：a=±2是原方程的根，

,/a>l,

67=2,

抛物线解析式为：y=(X+l)(x-2)=炉—x—2.

(3)如图，过点。作于〃，过点C作AC的垂线，交x轴于R过点。作OGLAC

于G,连接AP交CF于E,

a=2,

：.C(0,-2),4(2,0),AC=2五,

,：ZOCA=45°,

/Ob=45。，

...△OCF是等腰直角三角形，

：.F(-2,0),

设直线CF的解析式为y=kx+b,

-2k+b=0

[b=-2

{k=-\

直线CF的解析式为y=-x-2,

•.'△OCA是等腰直角三角形，OGJ_HC,

...OG所在直线为AC的垂直平分线，点G为AC中点,

:点。为AA3c的外心，

.••点D在直线OG上，

VA(2,0),C(0,-2),

：.G(1,-1),

设直线OG的解析式产加r,

.••直线OG的解析式尸-x,

•.•点。为△ABC的外心，

...点。在AB的垂直平分线上，

-1+21

，点。的横坐标为-----=-,

22

把户;代入户-X得＞=-；,

••D(一,--),

22

113

:・DH=—,—=一，

222

ZCAP=ZDBA,NBHD=/ACE=90。,

:ABHDSMCE,

13

DHBH

-----=-----，即2_2

CEAC~CE~2^2

解得：CE=2叵

3

•••点E在直线CF上，

・♦・设点E坐标为(〃，-〃-2),

:・CE=折+(_如_2+2)2=半,

解得：n=±-,

3

248

Ey(----,-----),一)

333

设直线AEi的解析式为y=kx+",

2K+1=0

L=-

解得：r2,

队=-1

二直线A£i的解析式为y=g无一1,

同理：宜线A&的解析式为y=2x-4,

1,

y=-x_1

联立直线解析式与抛物线解析式得2

y=x2-x-2

1

X＞一-2缶=2

解得：：，＜八（与点A重合，舍去），

、，二[%=。

5

----),

4

y=2x—4

联立直线AE解析式与抛物线解析式得＜

2y=x2-x-2

Xi—1X,--2

解得：\c，《-八（与点A重合，舍去），

[Ji=-2[%=0

E2

综上所述：存在点P,使得NC4P=/D区4,点尸坐标为Pi,P（1,-2）.

242

题型二：二倍角问题

【例2】(2021•山东泰安市)二次函数;；=0?+法+4(。力0)的图象经过点A(-4,0),

8(1,0),与y轴交于点C,点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC,交于点。,

过点P作PDJ_x轴于点D.

(1)求二次函数的表达式；

(2)连接BC,当N£)P3=2NBCO时，求直线BP的表达式；

(3)请判断：冬是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由.

1515PO4

【答案】(1)》=一/一3工+4；(2)y=-—；(3)就•有最大值为:，P点、

885

坐标为(—2,6)

【分析】

(1)将A(-4,0),8(1,0)代入丁=欠2+加+4(。*())中，列出关于内匕的二元一次方程

组，求出“、％的值即可；

(2)设BP与>•轴交于点E,根据PDUy轴可知，ZDPB=NOEB,当ZDPB=2ZBCO.

即NQEB=2N8CO,由此推断AOEB为等腰三角形，设OE=a,则CE=4—。，所以

BE=4-a,由勾股定理得BE?=0£2+0§2,解出点E的坐标，用待定系数法确定出

BP的函数解析式即可：

(3)设PD与AC交于点M过B作y轴的平行线与AC相交于点M.由A、C两点坐标

可得AC所在直线表达式，求得M点坐标，则BM=5,由BM//PN,可得

PQPNPN,

△APNQsAAgMQ,谓==设;>(%,-42-34+4)(-4</<0),则

(70DMJ

N(%，%+4)条=乜-3竺4-4+4)=幺当=，根据二次函数

QB555

性质求解即可.

【详解】

解：(1)由题意可得：

。•(-4日+力(-4)+4=()

a+8+4=0

ci——1

解得：〈

b=-3'

二次函数的表达式为y=-x2-3x+4；

(2)设8P与y轴交于点E,

,/PO//y轴，

："DPB=NOEB,

■:/DPB=2NBC0,

:"0EB=2/BC0,

：.ZECB=ZEBC,

：.BE=CE,设OE=a,

则CE=4—a,BE=4-a,

在RtABOE中，山勾股定理得BE2=OE2+OB2，

.\(4-«)2=«2+l2

解得a=—

8

•••E吟

设BE所在直线表达式为y=kx+e(k^O)

__I5

,八15

k-O+e=—,

8解得，

15

k\+e=O.

T-

直线BP的表达式为y———x+—.

88

(3)设P£>与AC交于点N.

过8作y轴的平行线与AC相交于点M.

由4、C两点坐标分别为(-4,0),(0,4)

可得AC所在直线表达式为y=尤+4

点坐标为(1,5),BM=5

由BM//PN，可得△PNQ^ABMQ,

.PQPNPN

设P(g,一a/一3ao+4)(—4<a0<0),则N(q),4+4)

.PQ_-3ao+4•-(4+4)__aj_4ao_-(4+2厂+4

,•透一5一5一5-

...当/=-2时，黑有最大值0.8,

此时P点坐标为(—2,6).

【例3】如图①，四边形0ABe是矩形，点A的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,6),

点尸从点O出

发，沿线段。4以每秒1个单位长度的速度向点A移动，同时点。从点A出发，沿线段AB

以每秒2个单

位长度的速度向点8移动，当点P与点A重合时移动停止.设点P移动的时间为1秒.

(1)当△CBQ与ABAQ相似时，求/的值；

(2)当f=l时，抛物线y=7+bx+c经过P,。两点，与)，轴交于点M,抛物线的顶点为K,

如图②所示，该抛物线上是否存在点。，使若存在，请求出所有满足条

件的点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)级&QBCs»PAQ、△CBQ^APAQ,两种情况分别求解；

1

(2)证明/MKE=NQKE=*NMKQ.(i)当点D在直线MQ的上方时，证明

3

MHMEMH7

△HMQ^/XMEK.：.—=(ii)当点O在直线MQ的下方时，y

4

轴上存在点”，如图③所示，使N”QM=*/MKQ=N/WKE.即可求解.

【解析】解：(1)如图①，•••当点P与点A重合时运动停止，且△粗。可以构成三角

形，

•..四边形OA8c是矩形，

：.ZB=ZPAQ=900.

当4CBQ与4PAQ相似时，存在两种情况:

①当△Q8CS/\R1Q时，

.BCBQ36-2t

""AQ~AP'"2t—3-t'

A4?-15r+9=0.

•*.ri=3（舍），t2=T：

②当△CBQs△以。时，

.CBBQ

PA~A。'

.36-2t

"3-t-2t

/.?-9t+9=Q.

...U笔9+3也而(舍入夫,-9-+-3--7-5),

22

综上所述，当△CBQ与△w。相似时，或上上芳：

(2)当f=l时，P(1,0),Q(3,2).

把P(1,0),Q(3,2)代入抛物线y=/+bx+c中并解得:

抛物线：y=/-3x+2.

；・顶点k(―,—^),

连接MQ,

VQ(3,2),M(0,2),

轴，

作抛物线对称轴，交MQ于E,

：.KM=KQ.J.KELMQ.

图②

1

，NMKE=ZQKE=^ZMKQ.设DQ交)，轴于H.

(i)当点。在直线MQ的上方时，如图②所示，

则NQQM=寺NMKQ=NMKE.

"：4HMQ=NMEK=9Q°,

MHME

MQ-EK

3

MH7

—=解得M〃=2.

32+1

：.H(0,4).

/.直线HQ的解析式为y=—

由方程组7=—/+4得/-3x+2=—1xr+4.

V=%2-3%+2

解得XI=3（舍），X2=-|.

240

AD（―｝，—）;

39

（ii）当点D在直线MQ的下方时，y轴上存在点H,如图③所示，使NHQM=；NMKQ

图③

由对称性得”（0,0）,即，与原点重合.

直线0。的解析式产泰

r2

由方程组y=/得#-1ix+6=o.

y=%2-3x4-2

o

解得XI=3（舍），X2=y

24

•\D（一，一）.

39

74024

综上所述，点。的坐标为（一名—）或（;，-）.

3939

题型三：其他角度问题

【例4】（2021.四川）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线卜=加+云+4（。片0）经过

点A（-2,0）和点8（4,0）.

（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；

（2）点尸为该抛物线上一点（不与点C重合），直线CP将AA3C的面积分成2：1两部分,

求点P的坐标；

（3）点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴移动，运动时间为f秒，当

NOC4=NOa?-NOM4时，，求f的值.

【答案】（1）y=~x2+x+4；（2）点2（6,-8）；（3）当点M从点C出发，以每秒

1个单位的速度沿V轴正方向移动时，，=2秒；沿C。方向在V轴移动时，f=10秒.

【分析】

（1）根据待定系数法将AB两点坐标代入函数解析式求解即可；

（2）在AABC的A8边上找到将AB分成2：1两部分的点Q,此时C。将AABC的面积分成

2：1两部分，求出直线C。与抛物线交点坐标即是点P坐标；

（3）先利用图形在NOCB内构造乙4'CB=NOCB—NOC4,求出tan/A'CB,在RMOAM中

由tan/OM4=tanNA'a3,0A=2,求出OM长即可解答，

【详解】

解：（1）由抛物线丁=以2+云+4（。/0）经过点A（-2,0）和点8（4,0）,得：

j4«-2/7+4=0

[16〃+4/?+4=0'

_1

解得：\a~~2

b=\

即：条抛物线所对应的函数表达式为：y=-g/+x+4；

（2）由（1）可知点C坐标为（0,4）

♦.•点4（-2,0）和点8（4,0）.

AB=6>

.•.将48分成2：1两部分的点有原点和。（2,0）,此时C。将AA3C的面积分成2：1两部

分，如解（2）图，

•.•点户为该抛物线上一点（不与点C重合），

直线CP经过。点，

设直线CP解析式为：y=kx+b,经过C（0,4）,Q（2,0）两点，得：

任=4

[2k+b=0f

上4,

[k=-2

即可设直线CP解析式为：＞=-21+4,

联立函数解析式为：,y2——x2+x+4,

y=-2x+4

玉=0x=6

解得:2

48

71=y2=-

故P点坐标为（6,-8）,

（3）如解（3）图取点A关于），轴对称点连接C4',过点4作垂足为H,

山轴对称性质可知：OA'=OA=2,ZA'CO=ZACO,

ZA'CB=ZBCO-ZA'CO=ZBCO-ZACO,

,?NOCA=ZOCB-ZOMA,即Z.OMA=NOCB-ZOCA,

/.ZOMA=ZA'CB

VOB=OC=4,ZBOC=90°,

AZOCB=ZOBC=45°,BA=2,BC=4也

HB=HA!=0，

HC=BC-BH=30,

4Hi

tanZOMA=tanZA'CB=——=-,

CH3

.八&“OA仁1,

•・OM=---------=24--=6

tanZ.OMA3

点M从点C出发，以每秒1个单位的速度远动：

当沿y轴正方向移动时，MC=0M-0C=6-4=2,则f=2秒，

当沿y轴CO方向移动时，MC^OM+OC=6+4=10,则r=10秒，

综上所述：当点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正方向移动时，f=2秒；沿

co方向在y轴移动时，，=io秒.

【例5】抛物线y=-/+2X+3与y轴交于B,与x轴交于点。、A,点A在点。的右边，顶

点为凡C(0,1)

(1)直接写出点从A、F的坐标；

(2)设。在该抛物线上，且SA8AF=SABAQ，求点。的坐标；

(3)对大于1常数根，在x轴上是否存在点使得sin/BMC=2?若存在，求出点M

坐标；若不存在，说明理由？

【分析】(1)y=-/+2x+3,令y=0,解得：x=3或-1,即可求解；

(2)连接A8,过点尸作直线机平行于直线48交抛物线与点Q,在84下方作直线〃,

使直线机、”与直线AB等距离，过点尸作x轴的垂线交AB于点“、交直线”与点尸,

直线”与抛物线交于点。'、Q",即可求解;

2CH

⑶由SABCM=|xBCxOM=IxCHxMB,贝ijCH=与》•-fsinNBMC=

ZZIV1D—+9CM

2

=即可求解.

【解析】解：⑴尸-f+2r+3…①,

令y=0,解得：x=3或-1,

令x=0,则y=3,故点B(0,3),

同理点尸(I,4)；

(2)连接A3,过点F作直线加平行于直线48交抛物线与点Q,在区4下方作直线小

使直线制、"与直线AB等距离，

过点尸作x轴的垂线交AB于点”、交直线〃与点产，直线”与抛物线交于点Q、Q",

直线BA的表达式为：y=-x+3,

则直线m的表达式为：y=-x+b,将点尸坐标代入上式并解得:

直线m的表达式为：y=-x+5…②，

联立①②并解得：x=l或2（舍去1）,

故点。(2,3)；

则点〃(1,2),则F4=4-2=2,

故直线〃的表达式为：y=-x+3-2=-x+1…③，

联立①③并解得：》=岑上,

乂上八……，3+g23-V17-1+V17

故点。坐标为（---，---）或（---，---

综上，点。⑵3)或、3+A/17+-1-717或3(-x丁/17’—-1+V17

（3）过点C作于点4,

设：OM=a,则MB=近2+9,CM=y/a2+l,

2a

SABCM=ILxBLCxOM=|xCHxMB,则[VICDH=，镖”

解得：a=±(2m-5)+2Vm2—5m4-4,

即点M(J(2m-5)+2Vm2-5m+4,0)或(一(2m-5)+2Vm2-57n+4,0).

M提分训练

1.如图抛物线y=ax2+bx+6的开口向下与x轴交于点4(-6,0)和点8(2,0),与y

轴交于点C,点尸是抛物线上一个动点(不与点C重合)

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点P是抛物线上一个动点，若AP。的面积为12,求点P的坐标；

(3)如图2,抛物线的顶点为。，在抛物线上是否存在点E,使得NEAB=2ND4C,若

存在请直接写出点E的坐标；若不存在请说明理由.

【分析】(1)函数的表达式为：y=a(x+6)(x-2)=a(f+4x-12),即可求解；

(2)8PCA=/GXAC=|X争Gx6位=12,解得：P4=4,直线AC的表达式为：尸x+6,

即可求解；

12

(3)smZDAC=—=—,sin2/ZMC=sin/OAD'=吧=善=3=sin/EAB,则

AD10AD/V805

tanZEAfi=",即可求解.

4

【解析】解：(1)函数的表达式为：y=〃(x+6)(x-2)=a(x2+4x-12),

-12a=6,解得：a=

函数的表达式为：y=-|x2-2什6…①，

顶点。坐标为(-2,8)；

(2)如图1所示，过点P作直线用〃AC交抛物线于点/，在直线AC下方等距离处作

直线〃交抛物线与点严、P'",

过点P作/W〃y轴交AC于点4,作PGLAC于点G,

；OA=OC,:.NPHG=NCAB=45。,则"P=&PG,

SAPCA=，GX4C=：X¥PGX6&=12,解得：PH=4,

直线AC的表达式为：y=x+6,

则直线m的表达式为：），=/10…②，

联立①②并解得：*=-2或-4,

则点P坐标为（-2,8）或（-4,6）；

直线”的表达式为：产"2…③

同理可得点P（尸"、P"）的坐标为（-3-VT7,或（-3+67,717-1）,

综上，点P的坐标为（-2,8）或（-4,6）或（-3-旧，-V17-1）或（-3+g,

V17-1）.

（3）点A、B、C、。的坐标为（-6,0）、（2,0）、（0,6）、（-2,8）,

则AC=V72,CD=V8,AD=V80,

则NACZ）=90。，

sinZDAC=—=—,

AD10

延长DC至。使CD=CO,连接47,过点。作

图2

则。。'=2倔AD=AD'=V80,

5AADD'=-XDD'^AC=-DHxAD',

22

即：2V8xV72=DHxV80,解得：萦，

12

sin2/£>4C=sin/OA£>'=—=^=-=smZEAB,

AD（\1805

则tan/EAB=

4

①当点E在A8上方时，

则直线AE的表达式为：y=|r+b,

将点A坐标代入上式并解得：

直线AE的表达式为：y=%+?…④，

42

联立①④并解得：x=|（不合题意值已舍去），

即点E（；,?）；

28

②当点E在A8下方时，

同理可得：点E（:,—?）,

28

综上，点E（p募）或—£）.

2.已知：在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线>=一9+〃与x轴交于点A,与y

轴交于点C.经过点A,C的抛物线yn/+Bax-S与x轴的另一个交点为点B.

（1）如图1,求a的值；

（2）如图2,点D,E分别在线段AC,AB上，且8E=2AO,连接。E,将线段绕点。

顺时针旋转得到线段。凡且旋转角NECF=NO4C,连接CF,求tan/ACF的值；

（3）如图3,在（2）的条件下，当/OFC=135。时，在线段AC的延长线上取点M,过点

M作交抛物线于点M连接。N,EM,若MN=DF,求点N的横坐标.

(2)证明△AOEg/\GF£),即可求解；

(3)证明△DEMAMSN(MS),则MS=DT=NS=ET=设点M(x,--x-3),

424

则点-当一日)，将点N的坐标代入二次函数表达式，即可求解.

244

【解析】解：(1)丫=底+3皿-3,当x=0,y=-3,故点C(0,-3),

将点C的坐标代入直线表达式并解得：h=-3,

则宜线AC的表达式为：y=-：x-3,则点A(-4,0),

将点A的坐标代入二次函数表达式并解得：a=-

4

(2)在直线AC上取点G使OG=AE,连接/G,过点尸作

VZFDC+ZFDE=ZBAC+ZAED,1^ZBAC=ZEDF,

：.ZFDH=NAED,

而OG=AE,DF=DE,

：.AADE^AGFD,

:・AD=GF,

\UAB=AC=5,BE=2AD,

：.AD=GF=CGf

VtanZBAC=",设/77=3m,则"G=4m,FG=5m=GC,

4

tanZACF=~~=~<

(3)如图3,过点。作。R_LFC交FC的延长线于点R,过点尸作/7/J_C。交于点，,

由(2)知tanZAC尸=1,

在RtACDR'V，设DR=V10r,则CR=3VIU/,CD=10t,

VZDFC=135°,则△£>「/?是等腰直角三角形，则//?=。/?=旧3

CF=CR-CF=2V10/,

在RtA尸，C中，tanNACF=%

则F4=27,CH=6t,DH=CD-CH=10/-6t=4t,

则tanNFO”=—DH=-2=tanZAED,

在RsACT中，tan/BAC=m,

4

设：DT=3n,则AT=4",AD=5n,

在RSDTE中，tanZAED=~2,

则ET=2DT=6〃，BE=2AD=1On,

'：AT+TE+BE=AB,即4〃+6"+10〃=5,

解得：〃=；，

4

则E7=|,OT=*

,:MN=EF=DE,AMN//DE,

：.四边形MNDE为平行四边形，；.NDEM=NDNM,

过点N作x轴的平行线交直线AC于点K,过点M作MSLNK于点S,

则NAEW=NKN£>,:.NTED=NMNS,

而MN=DE,/ETD=NMSN=90。,

：.ADET94MSN(AAS),

:・MS=DT=±3,NS=ET=3

42

设点M(x,--x-3),则点N(x-J----),

4244

将点N的坐标代入二次函数表达式得：

3x153/3、2，9/3、

=-\xz~+-xx)—3,

444242

解得：》=二磬(舍去负值)，

故点N的横坐标为：字.

3.如图，直线产夕-2与1轴交于点B,与y轴交于点A,抛物线产以2_1+。经过A,B

两点，与x轴的另一交点为C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)M为抛物线上一点，直线AM与x轴交于点M当空=，时，求点M的坐标；

AN2

(3)P为抛物线上的动点，连接AP,当/以8与AAOB的一个内角相等时，直接写出点尸

的坐标.

x

2

【分析】（1）直线y=1-2与x轴交于点8,与y轴交于点A,则点A、8的坐标分别

为：（0,-2）、（4,0）,即可求解；

（2）直线MA的表达式为：y=（；〃]-：）x-2,则点N,0）,当等=:时，则黑=

-22m-3AN2ON2

即：叱回=：,即可求解：

g2

（3）分/以B=NAOB=90。、ZPAB=OAB,NB4B=OBA三种情况，分别求解即可.

【解析】解：（1）直线）=》-2与x轴交于点B,与），轴交于点A,则点4、8的坐标

分别为：（0,-2）、（4,0）,

则c=-2,将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：a=

故抛物线的表达式为：尸卡-|x-2…①；

（2）设点M（m,9-|*2）、点A（0,-2）,

却

将点例、A的坐标代入一次函数表达式：丫=履+匕并解得:

直线MA的表达式为:y=（1?-|）x-2,

则点N（工，0）,

m-3

当丝底时，则处=三，即：巴病=三，

AN2ON2I—I2

'm-31

解得：，〃=5或-2或2或I,

故点M的坐标为：（5,3）或（-2,3）或（2,-3）或（1,-3）；

（3）①NE4B=NAO8=900时，

则直线AP的表达式为：y=-2x-2…②，

联立①②并解得：x=-1或0（舍去0）,

故点P(-1,0)；

②当/物8=048时，

当点P在AB上方时，无解;

当点尸在AB下方时，

将4OAB沿AB折叠得到4OAB,直线。4交x轴于点H、交抛物线为点尸，点P为所

求，

则80=08=4,OA=OA=2,设O"=x,

则sin/H=罂=罂，即：-^―=-r=>解得：x=J，则点H(-：0),

HBHA4+xVx2+433

则直线A”的表达式为：y=—…③，

联立①③并解得：户：，故点P(1,-?);

③当时，

当点P在A8上方时，

则AH=BH,

设OH=a,则4H=8，=4-a,AO=2,

故(4-a)2=(+4,解得：a=|,

故点H(|,0),

则直线AH的表达式为：产*2…③,

联立①③并解得：x=0或蓝(舍去0),

故点P(1,；

39

当点P在AB下方时,

同理可得：点P(3,-2)；

综上，点P的坐标为：(-1,0)或(|,-j)或彳，f)或(3,-2).

4.如图，抛物线y=-/+6x+c与x轴交于点A(-1,0)和8(3,0),与y轴交于点C

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图1,若点尸在线段OC上，且OF=O4,经入过点尸的直线在第一象限内与抛物

线交于点D,与线段8c交于点£求黑的最大值；

EF

(3)如图2,若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当NQCO=NPBC时，请直接写

出点。的坐标.

【分析】(1)函数的表达式为：y=-(x+1)(x-3),即可求解；

(2)作QN〃CF,则竺="=三(-x2+2x+3+x-3),即可求解：

EFCF2

(3)AP8c为直角三角形，tan/P8C=^=3当/QC0=/P8C时，tan/QCO=tana=

CB3

【解析】解：(I)函数的表达式为：y=-(x+1)(x-3)=-r+2%+3,

则点C(0,3)；

(2)过点D作y轴的平行线交BC于一点N,

将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得:

函数BC表达式为：y=-x+3,

。尸=OA=1,则点尸(0,1),CF=2,

设点力(x,-jr+2r+3),则点N(x,-x+3),

DN//CF,则丝=—=1（-x2+2x+3+x-3）=--x2+-x,

EFCF222

V-i<0,则需有最大值，此时x=|,

装的最大值为；;

EF8

（3）连接PC,点尸坐标（1,4）,

则PC=VLV20,BC=V18,

则4PBC为直角三角形，lanZPBC=^=7,

CB3

过点。作。轴于点儿

设点。（x,-/+2x+3）,

则tan/HCQ=tana=|=3+/_3

解得：x=0或5或-1（舍去0）,

故点。（-1,0）或（5,-12）.

5.(2021•四川中考真题)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线了=0^+桁+4(4片0)经

过点A(-2,0)和点3(4,0).

(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；

(2)点尸为该抛物线上一点(不与点C重合)，直线CP将的面积分成2：1两部分,

求点尸的坐标；

(3)点例从点C出发，以每秒1个单位的速度沿)‘轴移动，运动时间为，秒，当

NOC4=NOCB—NQM4时，求/的值.

2

【答案】（1）y=~x+x+4;（2）点P（6,-8）；（3）当点M从点C出发，以每秒

1个单位的速度沿V轴正方向移动时，f=2秒；沿C。方向在V轴移动时，f=10秒.

【分析】

（1）根据待定系数法将AB两点坐标代入函数解析式求解即可；

（2）在AABC的A8边上找到将AB分成2：1两部分的点Q,此时C。将AABC的面积分成

2：1两部分，求出直线C。与抛物线交点坐标即是点P坐标；

（3）先利用图形在NOCB内构造乙4'CB=NOCB—NOC4,求出tan/A'CB,在R/A。!"中

由tan/OM4=tanNA'a3,0A=2,求出OM长即可解答，

【详解】

解：（1）由抛物线丁=以2+云+4（。/0）经过点A（-2,0）和点8（4,0）,得：

j4«-2/7+4=0

[16〃+4/?+4=0'

_1

解得："F

b=\

即：条抛物线所对应的函数表达式为：y=-g/+x+4；

（2）由（1）可知点C坐标为（0,4）

♦.•点4（-2,0）和点8（4,0）.

AB=6,

.•.将48分成2：1两部分的点有原点和。（2,0）,此时C。将AA3C的面积分成2：1两部

分，如解（2）图，

•.•点户为该抛物线上一点（不与点C重合），

直线CP经过。点，

设直线CP解析式为：y=kx+b,经过c（0.4）,Q（2,0）两点，得：

b-4

2&+b=0

b=4

\k=-2f

即可设直线CP解析式为：y=-2x+4,

y=-—X2+x+4

联立函数解析式为:2

y=-2x+4

玉=0刍=6

解得:

X=4,2=-8,

故P点坐标为（6,-8）,

（3）如解（3）图取点A关于y轴对称点4,连接CA',过点4作AH_L3C,垂足为”,

山轴对称性质可知：OA=OA=2,ZA'CO=ZACO,

：.NA'CB=ZBCO-ZA'CO=ZBCO-ZACO,

---NOCA=ZOCB-NOMA,即ZOMA=NOCB-ZOC4,

NOMA=ZACB

VOB=OC=4,ZBOC=90°,

：.ZOCB=ZOBC=45°,BA'=2,BC=4也

•••HB=HA!=叵,

HC=BC-BH=3五,

4Hi

tanZOMA=tanNA'CB=——=-,

CH3

.八一OA入1,

..OM=---------=2-r--=6,

tan4OMA3

点M从点C出发，以每秒1个单位的速度远动：

当沿丁轴正方向移动时，MC=OM—OC=6-4=2,则f=2秒，

当沿y轴CO方向移动时，MC=OM+OC=6+4=10,则f=10秒，

综上所述：当点”从点c出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正方向移动时，工=2秒；沿

co方向在y轴移动时，r=io秒.

6.（2021•内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-d+4x经过坐标原

点，与X轴正半轴交于点A,点是抛物线上一动点.

（1）如图1,当,">0,n>0,且〃=3加时，

①求点M的坐标：

②若点在该抛物线上，连接。M,BM,C是线段上一动点（点C与点M,B

不重合），过点C作CD//MO,交x轴于点O,线段0。与MC是否相等？请说明理由；

（2）如图2,该抛物线的对称轴交x轴于点K,点在对称轴上，当伍〉2,〃>0,

且直线EM交x轴的负半轴于点尸时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N,G为y

轴上一点，点G的坐标为（0弓），连接GF.若EF+NF=2MF，求证:射线FE平分ZAFG.

图1图2

【答案】（1）①M（L3）；@OD=MC,见解析；（2）见解析

【分析】

（1）①直接将点加（抽〃）代入解析式，又有〃=3机，

即可解出坐标；②相等，先求出点3,由两点求出直线的方程，添加辅助线构建直角三角形,

利用勾股定理求出边长，证明三角形是等腰三角形即可；

（2）根据已知条件求出点的坐标，再求出所在直线的解析式，求出直线与y轴的交点,

添加辅助线，利用三角形相似对应边成比例，找到边与边之间的关系，在直角三角形中利用

勾股定理建立等式求出边长，再根据角平分线上的点到两条线之间的距离相等，即可判断出

为角平分线.

【详解】

解：（1）如答案图6.

①•.•点M（见〃）在抛物线上，且〃=3〃?,

-nr+4/n=3m>解得〃4=°，(舍去)

m2=1,

n-3,M(l,3).

②OD=MC,

•・•点9・y）在该抛物线上,

_15„,1515、

”=后小（不记）・

设直线M8交x轴于点，，解析式为卜=%/+〃,

f3

k[+b[=3,K———

14'

'15,,15解得，

——k.+&=——.,15

[411164=不

/.V=——X+—

“44

当尸0时，x=5,

.*.H(5,0),/.OH=5.

过点M作砂_Lx轴，垂足为七

: