广西来宾市2021年中考数学真题卷（含答案与解析）

来宾市2021年初中毕业生学业考试

数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码贴在答

题卡指定位置。

2.答题时，选择题答案，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答案，用

0.5毫米黑色墨水签字笔，直接写在答题卡上对应的答题区域内。答案答在试题卷上无效。

3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1.下列各数是有理数的是（）

A.乃B.72C.吮D.0

2.如图是一个几何体的主视图，则该几何体是（）

3.如图，小明从A入口进入博物馆参观，参观后可从8,C,。三个出口走出，他恰好从C出口走出的

概率是（）

4.我国天间一号火星探测器于2021年5月15日成功着陆火星表面.经测算，地球跟火星最远距离

400000000千米，其中400000000用科学记数法表示为（）

A.4xl09B.40xl07C.4xl08D.0.4xlO9

5.如图是某市一天的气温随时间变化的情况，下列说法正确的是（)

A.这一天最低温度是-4℃B.这一天12时温度最高C.最高温比最低温高8℃D.0时至8时气温呈下降趋

势

6.下列运算正确的是()

Aa2-a3=a5B.a6-i-a2=o'C.="5D.3a2-2a-a1

7.平面直角坐标系内与点P（3,4）关于原点对称的点的坐标是（）

A.(-3,4)B.(-3,-4)C.(3,-4)D.(4,3)

8.如图，。。的半径05为4，于点。，ABAC=30°,则0。的长是（)

A.V2B.V3C.2D.3

9.•—次函数y=2x+l的图像不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

10.《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车,

九人步.问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行.问:

人与车各多少？设有x辆车，人数为丁，根据题意可列方程组为（）

y=3x-2y=3(x—2)y=3x-2y=3(x-2)

A.<B.<C.<D.

y=2x+9y=2x+9y=2x-9y=2x-9

11.如图，矩形纸片ABC。，AD:AB=>/2A>点E，/分别在AO，8c上，把纸片如图沿EF折叠,

EF

点A,5的对应点分别为A',B'，连接AA并延长交线段CD于点G,则「的值为（）

AG

A&R1c1D有

A.JD.L.Lz.

2323

a,a>b

12.定义一种运算：a^b=\i一则不等式（2x+l）*（2-x）>3的解集是（）

h,a<b

A.x>l或xv1B.-1<x<-C.工>1或xv-lD.1或xv-l

333

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13.要使分式」一有意义，则x的取值范围是____.

x-2一

14.分解因式：a2-4b2=.

15.如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45。，看楼下荷塘。处的俯角为60。，已知楼高A3为30

米，则荷塘的宽8为米.（结果保留根号）

16.为了庆祝中国共产党成立1（）（）周年，某校举行“党在我心中”演讲比赛，评委将从演讲内容，演讲能力,

演讲效果三个方面给选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占50%,演讲能力占40%,演

讲效果占10%,计算选手的综合成绩（百分制）.小婷的三项成绩依次是84,95,90.她的综合成绩是

17.如图，从一块边长为2,NA=120°的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以A为圆心的圆上（阴影

部分），且圆弧与8C,CO分别相切于点E，F，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是

120°

18.如图，已知点A(3,0),8(1,0),两点C(—3,9),。(2,4)在抛物线y=f上，向左或向右平移抛物线后,

C,D对应点分别为C',血当四边形A6C'。'的周长最小时，抛物线的解析式为.

D7"

()HI»

三、解答题(本大题共8小题，共66分)

21.如图，四边形ABCD中，AB//CD,ZB=ZD，连接AC.

(1)求证：△ABCgaCDA；

(2)尺规作图：过点C作A8的垂线，垂足为E(不要求写作法，保留作图痕迹);

(3)在(2)的条件下，已知四边形A8CO的面积为20,AB=5,求CE的长.

22.某水果公司以10元/kg的成本价新进200（）箱荔枝，每箱质量5kg,在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔

枝，现随机抽取20箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量（单位：kg）如下：

4.74.84.64.54.84.94.84.74.84.7

4.84.94.74.84.54.74.74.94.75.0

整理数据：分析数据：

质量（kg）4.54.64.74.84.95.0平均数众数中位数

数量（箱）217a3I4.75bC

（1）直接写出上述表格中。，b,。的值；

（2）平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其

中一个统计量，估算这2000箱荔枝共损坏了多少千克？

（3）根据（2）中结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本？（结果保留一位小数）

23.【阅读理解】如图1,/J4，△ABC的面积与△O8C的面积相等吗？为什么？

解：相等，在△ABC和△O8C中，分别作AE_L4，DFLl2,垂足分别为£,F.

•.ZAEF=NDFC=90。,

：.AE//DF.

QI",

四边形AEED是平行四边形，

：.AE=DF.

又SvVZAiBoC=—2BC♦AE,S^DBC=—2BC•DF,

【类比探究】问题①，如图2,在正方形ABC。的右侧作等腰△0£>£,CE=DE,4）=4,连接AE，

求AAOE的面积.

AD

解：过点E作石厂，CD于点尸，连接A尸.

请将余下的求解步骤补充完整.

【拓展应用】问题②，如图3,在正方形ABC。的右侧作正方形CEFG,点8,C,E在同一直线上，45=4,

连接BO，BF，DF，直接写出△加卢的面积.

24.2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情.如图是某跳台滑雪训练场的横截面示

意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为N轴，建立平面直角坐标系.图中的

抛物线C1:y=--/+-x+l近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点0正上方4米处的A点

'-126

1,

滑出，滑出后沿一段抛物线。2：丁=一可/+法+，运动.

y/米

水平线x/米

（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线G的函数解析式（不

要求写出自变量x的取值范围）：

（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？

（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求匕的取值范围.

25.如图①，在△ABC中，AD,3c于点。，3c=14,AD=S,BD=6点、E是AD上一动点、（不与

点A,。重合），在AADC内作矩形EFG”，点厂在。。上，点G,”在AC上，设。E=x,连接BE.

（1）当矩形EFG”是正方形时，直接写出砂的长；

S

（2）设ZXABE的面积为S，矩形EFGH的面积为5?,令'=U，求>关于%的函数解析式（不要求写

出自变量x的取值范围）；

（3）如图②，点P（a,加是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点尸的直线/分别与x轴正半轴，V轴

正半轴交于M，N两点，求AOMN面积的最小值，并说明理由.

26.如图，已知AD,EF是O。的直径，AD=672.。。与匚的边AB，0c分别交于点E，

M.连接CD并延长，与AE的延长线交于点G,ZAFE=NOCD.

（1）求证：8是切线；

（2）若GF=1,求cosNA防的值;

(3)在（2）条件下，若NA6C的平分线8”交CO于点H,连接A”交。。于点N,求——的值.

NH

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1.下列各数是有理数的是（）

A.nB.72C.gD.0

【答案】D

【解析】

【分析】利用有理数和无理数的定义判断即可.

【详解】解：四个选项的数中：兀，屈,3是无理数，0是有理数，

故选项D符合题意.

故选：D.

【点睛】此题考查了实数，熟练掌握有理数与无理数的定义是解本题的关键.

2.如图是一个几何体的主视图，则该几何体是（）

AcH

【答案】c

【解析】

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到图形.依题意，由几何体

的主视图即可判断该几何体的形状.

【详解】解：由该几何体的主视图可知，该几何体是选项C中的图形.

故选：C.

【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也考查了空

间想象能力.

3.如图，小明从A入口进入博物馆参观，参观后可从8,C,。三个出口走出，他恰好从C出口走出的

概率是（）

AAn

12

A.-B.-D.-

43°I3

【答案】B

【解析】

【分析】此题根据事件的三种可能性即可确定答案

【详解】当从A口进，出来时有三种可能性即：B,C,D；恰好从C口走出的可能性占总的！，故概率为

3

]_

3：

故答案选：B；

【点睛】此题考查事件的可能性，根据事件发生的所有可能确定概率即可.

4.我国天间一号火星探测器于2021年5月15日成功着陆火星表面.经测算，地球跟火星最远距离

400000000千米，其中400000000用科学记数法表示为（）

A.4xl09B.40xl07C.4xl08D.0.4xlO9

【答案】C

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为10"的形式，其中lW|a|<10,"为整数.确定”的值时，要看把原数

变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.

【详解】解：将400000000这个数用科学记数法表示为：4xl08.

故选：C.

【点睛】此题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的基本要求并正确确定。及”的值是解题的关键.

5.如图是某市一天的气温随时间变化的情况，下列说法正确的是（）

.这一天12时温度最高C,最高温比最低温高8℃D.。时至8时气温呈下降

趋势

【答案】A

【解析】

【分析】根据气温变化图逐项进行判断即可求解.

【详解】解：A.这一天最低温度是~4。＜2,原选项判断正确，符合题意；

B.这一天14时温度最高，原选项判断错误，不合题意；

C.这一天最高气温86,最低气温-4C,最高温比最低温高12℃,原选项判断错误，不合题意；

D.0时至8时气温呈先下降在上升趋势，原选项判断错误，不合题意.

故选:A

【点睛】本题考查了根据函数图象读取信息，理解气温随时间变化而变化并从中读取信息是解题关键.

6.下列运算正确的是()

A.a2-a3-a5B.ab-i-a2—o,C.(/)=a5D.3«2—2a-a1

【答案】A

【解析】

【分析】分别根据同底数昂的乘法、同底数幕的除法、幕的乘方、整式的加减法则进行计算，即可求解.

【详解】解：A.a2-a3^a5,原选项计算正确，符合题意；

B.原选项计算错误，不合题意；

C.(a2)3=a6,原选项计算错误，不合题意；

D.3a2一2。，不是同类项，无法相减，原选项计算错误，不合题意.

故选：A

【点睛】本题考查了同底数累的乘法、同底数暴的除法、幕的乘方、整式的加减等知识，熟知相关运算公

式和法则是解题关键.

7.平面直角坐标系内与点P(3,4)关于原点对称的点的坐标是()

A.(-3,4)B.(一3,7)C.(3,-4)D.(4,3)

【答案】B

【解析】

【分析】根据关于原点对称点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得

到答案.

【详解】解：：P(3,4),

，关于原点对称点的坐标是（-3,-4）,

故选B.

【点睛】此题主要考查了原点对称的点的坐标特点，关键是掌握坐标的变化规律：两个点关于原点对称时,

它们的坐标符号相反.

8.如图，。。的半径03为4，OCLA5于点。，N84c=30°,则0。的长是（）

A.72B.gC.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】根据圆周角定理求出NCO8的度数，再求出NO8O的度数，根据“30。的锐角所对的直角边等于

斜边的一半”求出。。的长度.

【详解】VNB4C=30。,

，ZCOB=60°,

/008=90。，

/080=30。，

；OB=4,

OD=—OB=—x4=2.

22

故选：C.

【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，掌握相关定理和性质是解题的关键.

9.一次函数y=2x+l的图像不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】根据一次函数的系数判断出函数图象所经过的象限，由k=2>0,b=l>0可知，一次函数y=2x+l

的图象过一、二、三象限.另外此题还可以通过直接画函数图象来解答.

【详解】Vk=2>0,b=l>0,

根据一次函数图象的性质即可判断该函数图象经过一、二、三象限，不经过第四象限.

故选D.

【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解决此类题目的关键是确定k、b的正负.

10.《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车,

九人步.问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行.问：

人与车各多少？设有x辆车，人数为根据题意可列方程组为()

(y=3x-2(y=3(x-2)fy=3x-2fy=3(x-2)

y-2x+9y-2x+9y-2x-9y=2x—9

【答案】B

【解析】

【分析】设有X辆车，人数为y,根据“如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那

么有9人需要步行”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，此题得解.

【详解】解：设有x辆车，人数为》人，依题意得：

\y=3(x-2)

y=2x+9'

故选：B.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次

方程组是解题的关键.

11.如图，矩形纸片ABC。，AD:AB=Bl，点、E，尸分别在4。，8c上，把纸片如图沿EF折叠,

EF

点A,8的对应点分别为A,B'，连接A4'并延长交线段CO于点G,则下的值为()

AG

【答案】A

【解析】

【分析】根据折叠性质则可得出防是AA'的垂直平分线，则由直角三角形性质及矩形性质可得

ZAEO=ZAGD,NFHE=/D=90°,根据相似三角形判定推出△瓦HS/^GAO,再利用矩形判定及性质

证得产〃=人8,即可求得结果.

【详解】解：如图，过点尸作”_L4O于点”，

・・•点A,'的对应点分别为4,B，，

EA=EA.FB=FB'，

・・・切是A4'的垂直平分线.

AZAOE=90°.

・・•四边形ABC。是矩形，

/.ZBAD=ZB=ZD=90°.

：,ZOAE+ZAEO=ZOAE+NAG。，

JZAEO=ZAGD.

VF//1AD,

：.ZFHE=ZD=90°.

，丛EFHs^GAD.

.EFFH

**AG-AD•

VZAHF=ZBAD=ZB=90°,

・・・四边形ABE”是矩形.

:・FH=AB.

.EF_FHAB_1_V2

•・前一茄一茄—7?一3；

故选：A.

【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，掌握折叠的性质、矩形及相似三角形的判定与性质是解题的关键.

a,a>h

12.定义一种运算：a^b={t一则不等式(21+1)*(2-％)>3的解集是()

b,a<b

11

A.x>l^x<-B.-1<x<一C.%>1或工<—1D.x>—或xv—1

33

【答案】C

【解析】

【分析】根据新定义运算规则，分别从2X+1N2-X和2x+l<2—x两种情况列出关于X的不等式，求解

后即可得出结论.

【详解】解：由题意得，当2x+122—x时;

即xN，时，（2x+l）*（2-x）=2x+l,

3

则2x+l>3,

解得x>1,

...此时原不等式的解集为X>1;

当2x+l<2—%时，

即时，（2x+l）*（2—x）=2—x,

3

则2-%>3,

解得x<—1,

此时原不等式的解集为%<-1；

综上所述，不等式（2x+l）*（2-x）>3的解集是》>1或x<—L

故选：C.

【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义运算规则列出关于x的不等式.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13.要使分式一工有意义，则x的取值范围是

x-2

【答案】中2

【解析】

【分析】分式有意义，则分母x-2翔，由此易求x的取值范围.

【详解】解：当分母心2用，即中2时，分式」二有意义.

/-2

故答案为：存2.

【点睛】本题考查了分式有意义的条件.从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义Q分母为

零；（2）分式有意义Q分母不为零；（3）分式值为零=分子为零且分母不为零.

14.分解因式：a2-4b2=.

【答案】（。+&）（。一如）

【解析】

【分析】利用平方差公式进行因式分解即可.

【详解】解：(T-4b2=a2-(2h)2=(a+2b)(a-2b).

故答案为(〃+»)(□-区).

【点睛】本题考查了因式分解.熟练掌握平方差公式是解题的关键.

15.如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45。，看楼下荷塘。处的俯角为60°，已知楼高AB为30

米，则荷塘的宽CO为米.(结果保留根号)

【答案】30-10^

【解析】

【分析】由三角函数分别求出BC、BD,即可得出CQ的长.

【详解】解：由题意知：ZBAC=90°-45°=45°,△ABC是直角三角形,

Be

在RfAABC中，tanZBAC=—,48=30米，

AB

.*.8C=AB・tan45°=30米,

BD

：/8AD=90°-60°=30°,tan/8A。=——,

AB

n

B£>=/lB«tan30o=30x—=1073（米），

：.CD=BC-BD=30-1Qy/3(米)；

故答案为：30-1073.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，由三角函数求出BC和8。是解决问题的关键解题的关键.

16.为了庆祝中国共产党成立1()()周年，某校举行“党在我心中”演讲比赛，评委将从演讲内容，演讲能力,

演讲效果三个方面给选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占50%,演讲能力占40%,演

讲效果占10%,计算选手的综合成绩(百分制).小婷的三项成绩依次是84,95,90,她的综合成绩是

【答案】89

【解析】

【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得.

【详解】解：选手甲的综合成绩为84x50%+95x40%+90xl0%=89（分），

故答案为：89分.

【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义.

17.如图，从一块边长为2,NA=120。的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以A为圆心的圆上（阴影

部分），且圆弧与BC,CO分别相切于点E，F,将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是

【答案】昱

3

【解析】

【分析】先利用菱形的性质得到含30。角的直角三角形，再利用勾股定理求出AE,最后利用弧长公式求出

弧长，弧长即为圆锥底面圆的周长，再利用周长公式即可求半径.

【详解】解：如图，连接AE,由切线性质可知：AELBC,即/AE8=90。；

:菱形铁片上NBAO=120。，

.*.ZB=180°-120°=60°,

：.ZBAE=30°t

：.AB=2BE=2f

AB2=BE2^AE2^

・•・AE=H

120x扃273

...扇形的弧长为:-----------------=---------71

1803

2G

所以圆锥底面圆半径为：V3.

2K-V

故答案为：昱.

3

【点睛】本题考查了菱形的性质、含30。角的直角三角形的性质、勾股定理、弧长公式等内容，解决本题的

关键是牢记相关性质与公式，本题需要学生理解扇形与圆锥的关系，蕴含了一定的空间想象思维，涉及到

了数形结合等思想方法.

18.如图，已知点A(3,0),B(l,0),两点C(—3,9),力(2,4)在抛物线y=/上，向左或向右平移抛物线后,

C,。的对应点分别为C',D0,当四边形ABC'。'的周长最小时，抛物线的解析式为.

(25Y

【答案】y=%--.

I13j

【解析】

【分析】先通过平移和轴对称得到当8、E、C'三点共线时，BC'+BE的值最小，再通过设直线BC'的解

析式并将三点坐标代入，当时，求出。的值，最后将四边形周长与。=4时的周长进行比较，确定。

的最终取值，即可得到平移后的抛物线的解析式.

【详解】解：A(3,0),8(1,0),C(-3,9),0(2,4),

AAB=3-1=2,CD=^(-3-2)2+(9-4)2=572，

由平移的性质可知：CD，=CD=5五.

四边形ABC'。的周长为48+8。'+。'。'+。'4=2+8。'+5/+。'4；

要使其周长最小，则应使BC'+O'A的值最小；

设抛物线平移了。个单位，当。＞0时，抛物线向右平移，当。＜0时，抛物线向左平移；

C'(-3+a,9),O12+a,4),

将。'向左平移2个单位得到。"(a,4),则由平移的性质可知：BD”=AD'，

将。"(a,4)关于x轴的对称点记为点E,则E(a,-4),由轴对称性质可知，BD'=BE,

：.BC'+D'A^BC'+BE,

当B、E、。三点共线时，的值最小，

设直线8。的解析式为：y=kx+b(k^Q),

.(一3+〃)％+力=9

•・k+b=。

当a04时,

9

.Q-4

<

、4-a

・99

..y=------XH----,

。一44-a

99

将E点坐标代入解析式可得：-4=——a+——，

。一44一。

25

解得：ci=—，

13

此时BC'+3E=。£=J(-3+a-疗+(9+4)2=V178，

此时四边形ABC'。'的周长为A8+BC'+C'O'+O'A=2+5j^+JF^;

当a=4时,C'(l,9),D'(6,4),4(3,0),8(1,0),

此时四边形A3C'。'的周长为：

。8+8，+。D+。9=2+（9-0）+5及+\（6-3）2+（4-0）2=16+5夜;

,.,2+572+7178<16+572.

25

当”=—时，其周长最小，

13

25

所以抛物线向右平移了一个单位，

13

所以其解析式为：丁=（%—言）；

（25V

故答案为：y=\X-—.

I13j

【点睛】本题综合考查了平移、轴对称、一次函数的应用、勾股定理、抛物线的解析式等内容，解决本题

的关键是理解并确定什么情况下该四边形的周长最短，本题所需综合性思维较强，对学生的综合分析和计

算能力要求都较高，本题蕴含了数形结合与分类讨论的思想方法等.

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

19.计算：x[-]+1]+（1-3）.

【答案】-2

【解析】

【分析】先分别计算出有理数的乘方及括号内的有理数加减，再计算乘除，即可求得结果.

3

【详解】解：2x^-l+lj-(l-3)

=8x*(—2)

=4+(—2)

=—2•

【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的运算顺序及相关运算法则是解答此题

的关键.

20.解分式方程:----=-------F1

x+13x+3

【答案】x=—3

【解析】

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到X的值，经检验即可得到分式方程的解.

xX

【详解】解:7+T+1

3x+3

去分母，得3x=x+3（x+l）,

解此方程，得x=—3,

经检验，x=-3是原分式方程的根.

【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程转化为整式方程，不要忘记检验.

21.如图，四边形ABCD中，AB//CD,ZB=ZD，连接AC.

（1）求证：△MC^ACDA；

（2）尺规作图：过点C作的垂线，垂足为E（不要求写作法，保留作图痕迹）;

（3）在（2）的条件下，己知四边形45co的面积为20,AB=5,求CE的长.

【答案】（1）证明见详解；（2）作图见详解；（3）CE=4.

【解析】

【分析】(1)根据AB〃CO,得到NBAC=NDCA,结合NB=N£＞，AC=C4,利用“A4S”即可证明；

(2)如图，延长AB,任意取一点H,使，和点C在AB两侧，以C为圆心，CH为半径画弧，交AB于尸、

G,分别以F、G为圆心，以大于LFG长为半径画弧，两弧交于/,作直线C/,交A8延长线于E,则CD±AB

2

与E；

(3)证明四边形48CC为平行四边形，根据平行四边形面积公式即可求解.

【详解】解：⑴•：AB//CD,

：.ZBAC=ZDCA,

又,：/B=/D，AC=CA,

：.AABC四△CQ4；

(2)如图，延长A8,任意取一点4,使”和点C在AB两侧，以C为圆心，C”为半径画弧，交48于F、

G,分别以F、G为圆心，以大于^FG长为半径画弧，两弧交于I,作直线CI,交AB延长线于E,则CDA.AB

2

与E；

(3)••,△ABC四△CD4,

：.AB=CD,

AB//CD,

四边形ABCD为平行四边形,

AB»CE=20,

即5C£=20,

：.CE=4.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，过直线外一点作已知直线的垂线等知

识，综合性较强，熟知相关知识点，并根据题意灵活应用是解题关键.

22.某水果公司以10元/kg的成本价新进2000箱荔枝，每箱质量5kg,在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔

枝，现随机抽取20箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量(单位：kg)如下:

4.74.84.64.54.84.94.84.74.84.7

4.84.94.74.84.54.74.74.94.75.0

整理数据：分析数据：

质量(kg)4.54.64.74.84.95.0平均数众数中位数

数量(箱)217a314.75bC

(1)直接写出上述表格中。，b,。的值；

(2)平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其

中一个统计量，估算这2000箱荔枝共损坏了多少千克？

(3)根据(2)中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本？(结果保留一位小数)

【答案】(1)a=6,b=4.7,c=4.75;(2)500kg；(3)10.5JG.

【解析】

【分析】(1)用20减去各数据的频数即可求出m根据众数、中位数的意义即可求出从c；

(2)选用平均数进行估算，用每箱损坏数量乘以2000即可求解；

(3)用购买总费用除以没有损坏的总数量即可求出解.

【详解】解：(1)«=20-2-1-7-3-1=6；

在这20个数据中，4.7频数最大，所以众数6=4.7；

47+48

将这20个数据排序，第10、11个数据分别为4.7、4.8,所以中位数c=———-=4.75；

2

(2)选用平均数进行估算，(5-4.75)X2000=500kg,

答：选用平均数进行估算，这2()0()箱荔枝共损坏了500千克；

(3)(10X2000X5)+(4.75X2000)=10.5元

答：该公司销售这批荔枝每千克定为10.5元才不亏本.

【点睛】本题考查用众数、中位数、用样本估计总体等知识，熟知相关概念并理解题意是解题关键.

23.【阅读理解】如图1,/,///,,AABC的面积与△O8C的面积相等吗？为什么？

///■:

图1

解：相等，在△A8C和△OBC中，分别作DFVl2,垂足分别为£,F.

：.ZAEF=ZDFC=90°,

AE//DF.

Q〃〃2，

•••四边形AEED是平行四边形，

：.AE=DF.

又S7ABe=—BC,AE,SGDBC=—BC・DF)

V/IDC2Z_SL^DC2

【类比探究】问题①，如图2,在正方形ABCO的右侧作等腰△(?£)£,CE=DE,AT>=4,连接AE,

求△入£)£的面积.

解：过点E作瓦'_LC£>于点尸，连接AF.

请将余下的求解步骤补充完整.

【拓展应用】问题②，如图3,在正方形48CD的右侧作正方形CEFG,点8,C,E在同一直线上，45=4,

连接3D，BF，DF，直接写出△取卢的面积.

BCE

图3

【答案】①SAADE=4;②凡9F二®.

【解析】

【分析】①过点E作）'LCD于点尸，连接4/，可得EF//AD,根据材料可知凡火*=5』防，再由

等腰三角形性质可知即可求出SAAOF；

②连接CE,证明BD//CE,即可得久B/»=S,BDC，由此即可求解.

【详解】解：①过点E作所J_CD于点/，连接AF,

•.•在正方形ABCD中，NADC=90°,

；•EF//AD,

・q_q

,,LAOE一。△八o尸,

♦：CE=DE,EFA.CD,

：,DF=LCD,

2

•.•在正方形ABC。中，AD=CD=4,

S^DE=SaADF=5A£>x£>F=]x4x2=4；

②S.BDF=8,

过程如下：如解图3,连接CE,

•..在正方形ABC。、正方形CEFG中,

ZBDC=NFCE=45°,

/.CF//BD,

•q―q

,,D*BDF—2»BDC'

•.•在正方形ABCD中，AD=3C=CZ)=4,/BCD=90°,

•<?—<?=2

,,2ABDF—。dBDC-o-

【点睛】本题主要考查了正方形性质和平行线判定和性质以及三角形面积，解题关键是理解阅读材料，根

据平行线找到等底等高的三角形.

24.2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情.如图是某跳台滑雪训练场的横截面示

意图，取某一位置的水平线为8轴，过跳台终点A作水平线的垂线为丁轴，建立平面直角坐标系.图中的

1,7

抛物线C1:y=--x2+-X+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点

1126

2

滑出，滑出后沿一段抛物线C2:y=—x+笈+c运动.

y/米

（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线的函数解析式（不

要求写出自变量x的取值范围）；

（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？

（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求〃的取值范围.

1335

【答案】（1）y—x'H—x+4-；（2）12米；（3）b>—.

■8224

【解析】

1

【分析】（1）根据题意可知：点A（0,4）点B（4,8）,利用待定系数法代入抛物线。2：>=-耳9/+法+。

即可求解;

(2)高度差为1米可得。2-G=1可得方程，由此即可求解;

(3)由抛物线C1：)，=一」-x2+2.x+l可知坡顶坐标为(7,2)，此时即当x=7时，运动员运动到坡顶

12612

正上方，若与坡顶距离超过3米，即丁=—』X72+70+CN2+3,由此即可求出b的取值范围.

812

19

【详解】解：(1)根据题意可知：点A(0,4),点B(4,8)代入抛物线。2：丁=一一%+法+，得，

8

c=4

,17，

——x4~+4Z?+c=8

I8

c=4

解得：L3，

b--

2

i3

...抛物线。2的函数解析式>=一一/+二*+4：

82

(2)•・•运动员与小山坡的竖直距离为1米，

I317

(——x2+—x+4)-(--x2+—x+l)=l,

82126

解得：%=-4(不合题意，舍去)，光2=12,

故当运动员运动水平线的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；

(3)•.•点A(0,4),

・•・抛物线。2：'=一"九2+"+4,

;抛物线C]:y=--—x2+—x+l=——(x—7)2+—,

1261212

...坡顶坐标(7,包)，

12

V当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，

y=-lx72+7Zj+4>—+3,

■812

35

解得：b>—.

24

【点睛】本题属二次函数应用中的难题.解决函数应用问题的一般步骤为：(1)审题：弄清题意，分清条件

和结论，理清数量关系；(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)

求模：求解数学模型，得到数学结论；(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题.

25.如图①，在AABC中，A。，3c于点O,BC=14,AD=S,B£>=6点