2023-2024学年高中数学人教A版2019选择性课后习题第一章1-4-2　第2课时　夹角问题VIP

第2课时夹角问题A级必备知识基础练1.已知点A(0,1,1),B(2,1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线AB和直线CD所成角的余弦值为()A.52266 B.C.52222 D2.已知正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD的夹角为()A.30° B.45° C.60° D.90°3.(2021河南洛阳模拟)如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A.63 B.255 C.54.两个平面的法向量分别为(0,1,3)和(2,2,4),则这两个平面的夹角的余弦值为.

5.如图所示,四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.(1)求SC与平面ASD所成角的余弦值;(2)求平面SAB和平面SCD夹角的余弦值.B级关键能力提升练6.已知在菱形ABCD中,∠ABC=60°,将△ABC沿AC折起,使得平面BAC⊥平面DAC,则二面角BCDA的余弦值为()A.2 B.12C.33 D.7.正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等,则AC1与平面BB1C1C的夹角的余弦值为.

8.如图,三棱柱OABO1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,且∠O1OB=60°,∠AOB=90°,OB=OO1=2,OA=3,求异面直线A1B与O1A所成角的余弦值为.

C级学科素养创新练9.如图,在正方形ABCD中,EF∥AB,若沿EF将正方形折成一个二面角后,AE∶ED∶AD=1∶1∶2,则直线AF与CE所成角的余弦值为.

第2课时夹角问题1.AAB=(2,2,1),CD=(2,3,3),而cosAB,CD=AB·CD|AB||CD2.B如图所示,建立空间直角坐标系.设PA=AB=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),∴AD=(0,1,0).取PD的中点E,则E0,∴AE=易知AD是平面PAB的一个法向量,AE是平面PCD的一个法向量,所以cos<AD,AE>=22,故平面PAB与平面PCD的夹角为3.D如图所示,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,1),C1(0,2,1),∴BC1=(连接AC,易证AC⊥平面BB1D1D,∴平面BB1D1D的一个法向量为a=AC=(2,2,0).∴所求角的正弦值为|cos<a,BC1>|=4.156由(0,-1,3)·5.解(1)建立如图所示的空间直角坐标系,S(0,0,2),C(2,2,0),D(1,0,0),SC=(2,2,2),∵AB⊥平面ASD,故平面ASD的一个法向量为AB=(0,2,0),设SC与平面ASD所成的角为θ,则sinθ=|cos<SC,AB>|=|SC·AB||SC||AB|=33,(2)平面SAB的一个法向量为m=(1,0,0),∵SC=(2,2,2),SD=(1,0,2),设平面SCD的一个法向量为n=(x,y,z),由SC·n=0,SD·n=0⇒x+y-z=0,x-2z=0,令z=1可得平面SCD的一个法向量为n=(2,6.D设菱形ABCD的边长为1,取AC的中点O,连接BO,DO,因为∠ABC=60°,所以BO⊥AC,又平面BAC⊥平面DAC,平面BAC∩平面DAC=AC,所以BO⊥平面ACD,如图,建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),C12,0,0,B0,0,32,D0,32,0,所以OB=0,0,32,BC=12,0,32,CD=12,32设平面BCD的法向量为n=(x,y,z),则BC令z=1,得x=3,y=1,则n=(3,1,1).易知平面CDA的一个法向量为OB=0,0,32,所以|cos<OB,n>|=3232×7.104设三棱柱的棱长为1,以B为原点,建立坐标系如图则C1(0,1,1),A32AC又平面BB1C1C的一个法向量n=(1,0,0),设AC1与平面BB1C1C的夹角为θ,则sinθ=|cos<n,AC1>|=|AC1·n|8.17以O为坐标原点,OA,OB所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的空间直角坐标系则A(3,0,0),B(0,2,0),A1(3,1,3),O1(0,1,3),所以A1B=(3,1,3),O1A=(3,设所求的角为α,则cosα=|A即异面直线A1B与O1A所成角的余弦值为179.45因为AE∶ED∶AD=1∶1∶2所以AE⊥ED,即A