大学线性代数习题册答案详解

习题参考答案

第一章行列式

1.1二阶、三阶行列式

一、计算下列行列式1、1；2、0；3^4；二、1、%=1,々=32、玉=1,尢2=2

1.2n阶行列式定义及性质

一、计算下列行列式1、0；2、2000；3、-8；4、-58；5、-192；6、512；

二、计算下列行列式1、4abcdef;2^x4-y4；3、-x4+y4；4、(a2a3-b2b3)(%4-岫。；5、0；

三、计算下列n阶行列式1、an+(-l)n+'bn；2、(n-l)(-l)B-1；3、(n-1)/；三12；3；

四、解下列方程：

1、x}=x2=x3=0,x4=—10；2、Xy=2,x2=3；3、=l,x2=2,x3=3；

*五、计算下列行列式

1、按某行(列)展开行列式

解:按第一列展开

00yo00

ox00xy00=丁+(-1严〉"

Dn=X....+(-1产)

00X00yo

00000

2、化为上(下)三角形行列式计算

n(n+l)

223n-\n

0

解：把。〃的各列加到第1列上去得-1000

o

D”2-200

0000-(n-1)

-----------23•••n-\n

2

0-10•••001

，，-1

00-2•••00=(-D--(«+!)!

000­••0-(〃-1)

n(n+\)

223n-\n

0

解:把。〃的各列加到第1列上去得-1000

o

2=2-200

0000-(n-1)

+1)

23…n—\n

2

0-10…00递推法

00-2…00

000…0一。7—1)

解：按第一行展开得。“=3。,1一2。“_2⑴

设一2）⑵

比较⑴与⑵系数得仁；片,所以｛1；或｛7；

分别代入（2）得|2一。1=2（。1-。,-2）=2"一2（02-R）=2"⑶

9-2°T=（。1-2。.）=（2-22）=1

+

其中。=3,A=7,消去（3）中。一得Dn=2"'-1

4、用范德蒙行列式计算

解：此式不是范德蒙行列式.将第〃+1行，第〃行，…，第2行分别向上与相邻行交换〃次，〃-1次，…，1次，共交

换了“（〃+1）次；将列也作同样的变换。这样一共交换了〃（〃+1）次，即偶数次，得

I1…11

a—na—n+\…a—\a

(«-«)2(a-n+1)2•••(a-I)2a2

（々-〃尸(。-〃+1尸…（a-1尸an-]

(a-n)n(a-〃+1)”•­•(a-Dnan

由范德蒙行列式的计算公式得

-1n-22

Dn+l=1-2•••••n-1-2.••••(zj-l)••••♦2-1=2"-3•••••(»-1)•/?

5、拆为多个行列式的和

解：利用性质3把行列式拆为两个行列式的和（最后一列拆项）

a

x+a}a2〃3…0x+axa23…%

0a

6x+a2?…a'X+%3…a〃

*

D,.=%a?x+4・••°a:.a2X+…a”

4%%…a2〃3…an

等号右边第一个行列式按最后一列展开,第二个最后一列提出册后，第i列减去最后一列的％倍（/=1,2,­••,«-1）,

即得

X00…1

0X0…1

Dn=xDn-\+nxn

a00x…1xDn_x-vanx~=---=x+

/=i

000…1

6、解：先对0〃的第1列提出公因数m，然后将第j列减去第1列的可倍。二2,3，…,n）,即得

aa}b2-a2bl哂-岫…地一岫

b20a2b3-a3b2…砧,一。也

b、00…％超-a也

%00A,-«A-i

",00…0

=（一1严她,3也-%4）（贴3-。3b2）…（。"-也,-4"%）・

〃-1

=（—1严。也，11（4%—《+也）・

1=1

1.4克莱姆法则

=

一■、解线性方程组1、%=—,%22,%3=——2^Xj=l,x2=2,X3=1

二、/（X）=-X2+^X+2三、Xw—2且四、右夕或右—1有非零解；几。2且AH—1有唯一解

第二章矩阵

2.1矩阵定义及其运算

]_

一、填空题1,2>AB=BA二、1、C2、C3、C4、B二、2

4

25—91

16036624

四、1、-1211-12、

51102034

4-13-6

23

25-142-19-9-19

3、4、0-2-3

168-9

-2-31

5、k>1;0

+28+/）=；（8+/）

五、+2B+I）；A2=40

（B2+2B+I）=2（B+I）^B2=1

513

*六、I、8032、0

-21-2

*七、设A=；（A++A—Ar），；（A+A7）是对称矩阵，；（A-4，）是反对称矩阵

2.2逆矩阵

1_26

一、填空题、2、-83、充要4、I5、二、1、B2、

144a-27c

-135-

222127-

--21一

-

2]_210To

三、1、1）可逆，3£2）、可逆，2、

22

-2.219

,2-

011_5To.

13

3、M=一二■，底二2

2一2

四、可逆，.•.M/0」.依上0,,卜0,*卜0,,[=[4「，0

公（火70）,47,4*,47可逆；（4*『=二4

⑶

（时十，（4厂（川），（打:马⑺一"

五、1、证明:由+A3+B2=。得A?+AB=-B?即A（A+8）=-B2

两边取行列式|A||A+B|=|A（A+B）|=|-B2|=（-I）,'|B|2

又•••8可逆，，忸设0,从而卜卜0,恒+/#0；二44+8都可逆。

、证明：将方程改写为则，小3,33

2A2_3A=2//=-4*--A-八（一A-一

2222

A可逆，且A-I=4-3/

22

3、证明：将方程改写为（A—31）（A+/）=—7/则

（A—3/）,（A+/）都可逆，（A+/）T=_g（A—3/）,（A-3/）-1=-1（A+Z）

*六、解:由（3A）-I=1A_|,Af=\A\A-'=^A~'

16

得|（3A）-'-2A*|=lA-'-A-'=-|A-'=（-|）3|A-1|=-T7XB

27

*七、解：由题设得C（2E-C-®AT=E,G|]（2C-B）AT=E.

234、

由于0123，|2C-B|=l#=0,故2C-B可逆,

2C-B=

0012

（0001

’1000、-i'1000、

2100-2100

于是A=[（2C-8）T]T=[（2C—8）T]T=—

32101-210

（432l?k01-2

2.3初等变换与初等矩阵

100

1001-k0

一、填空题1、2212、0000010二、1、B2、C

I

100001

001

122>-

---二

99911000

2121-4-3

---2100

三、1、999-2、1-5-33、

1-210

221-164

01-21

9--

-99-

1

00010

1怎_1

J_00

00；006001

41

4、1四、00五、010

1-3

00：00100

1,1

。2100

J1_2

0000

;%

96-2300

六、B=(A+2iy'A107-2七、030

-12-8300-1

2.5矩阵的秩

一、填空题1、0;2、3；3、4、-35、1

二、1、A2、C3、A4、C5、A

三、1、32、2；3、4；

四、1）—2（左一1）2（Z+1）2）当k=1,H（A）=1,当左=—l,R（A）=2,当左Hl,且&W—1,R（A）=3

五、当〃=g且/1=0,或;1=1,或X=—R（A）=2,其它情况，R（A）=3

第三章向高

§3.1向量的概念及其运算

10

77417]_

1-5]-12、-4-63、

设363~63

4

4、1)[3-15122)2)[145-14-7]

5、2a3）=3，2a3尸）=3，所以可以线性表示，P=-\9ax+15a2-56a3

§3.2线性相关与线性无关

一、判断向量组的线性相关性，并说明原因

1、线性相关，2、线性无关3、线性无关4、线性相关5、线性相关

二、1、2；2、abc0；3、＞

三、1、C；2、C；

四、1、解：考察向量方程

k1al+k2(a2+a3)+1^(ax+a2+a3)=0

即(自+左2+攵3)%+(/+e)a2+k3a3=0

•・,向量组线性无关，,K+22+攵3=攵3+&=%3=0

=k2=k3=0

+^2,%+。2+。3线性无关。

2、解：考察向量方程

k[(a,-a2^+k2(a2-a3)+k3(a3-a])=0

即(匕一k3)a{+(k2-kx)a2+(%-包)%=6

•・,向量组四,。2，。3线性无关，二1一人3=&-K=k3-k2=O

匕=&二左3有非零解

(/—4)，(4—。3)(。3—)线性相美。

3、解：考察向量方程

kI(aI+a2)+k2(a2+a3)+---+km_1(am_1+am)+km(am+%)=♦

即(k]+km)ot[+(k)+k2)a2+・♦・+(*+km)am=0

♦・•向量组a切线性无关，二h+*=k[+k2=・・・=km_]+ktn=0(1)

这是一个含有团个未知数加个方程的线性方程组，其系数行列式为

1oo01

11000

0帆为偶数

00100=l+(-l)ra+l

2Ho，"为奇数

000

,当加为偶数时，(1)有非零解，则向量组由+。2，。2+23,…，%"-1+%"，%"+4线性相关；当加为奇数时，(1)只

有零解，向量组

a,+%，%+%，…，am-\线性无关。

五、RQa2as)=3，H(%。2a3尸)=3，所以可以唯一线性表示，P=3at-a2

六、解(1)%能由。2，%3线性表示。

事实上：因为已知。2，二3，。4线性无关，所以&2，&3线性无关。又因为。1，。2，。3线性相关，故证得夕1能由仁2，&3

线性表示，且表示式唯一。

(2)应不能由二1，二2，。3线性表示。事实上：反证法。设可由£1，夕2，。3线性表示，即

a4=+A2a2+23«3,由(1),可设a1=l2a2+13a3，代入上式得：a4-(A2+At/2)a2+(A3+Al/3)«3,即

可由&2，劭表出，从而。2，。3，。4线性相关,与已知矛盾。因此，见不能由斯，。2，。3线性表示。

§3.3向量组的秩

一、1、无关；2、八=弓二、1、B2、B3、C三、1、H(ag2a3)=3

11

2、R(a«2a3)=01—。«-l

00a2-a

当QW0且〃W1,7?(«%%)=3；当。=07?(«44)=2；当Q=1H(«a2a3)=1

V-

11'

10

~~9

5%2为极大无关组，+1«2

四、1、2a3)-01%与(

9

000

000

102;1

2

2、010-1%与%为极大无关组。«5=2a+0tz

2(2

00000

00000

_13

ctj~~—6Zj+-a),cCy二.十(X)

-

1232'

0110

五、k=9

001-1

-000lc-9

at,a2与。3为极大无关组。«4=3a,+a2-a3

六、解：〃维单位向量4,%，•一,见可由〃维向量组£],^2，…,£〃线性表出，

n维单位向量£”£2,••，冬可由n维向量组必,%线性表出，

所以两个向量组等价，故/,%，…，氏线性无关。

七、证明：因为/?(qa2a3)=3所以2a3线性无关

考察向量方程V.+3+g=0

k、(24+34)+&(a2+44)+&(«+5a3)-0

即(2k、+k3)at+(3Z1+k、)a3+(4%,+5左3)4=6

,J向量组线性无关，，2Al+左3=3左1+&=4左2+5自=0

201

310N0,勺=&=%=0

045

4，住，£3线性无关。

*八、证：•.•??(/)=/?(〃)=3可由%附。3唯一线性表示，设％

,.,7?(///)=42a3%线性无关

4%+攵2%+左3%+%4(%-%)=0

4a1+ka、+kyCCy+k&(々5—41+4a2+4a：)=0

(4—)4+(4,—卜4入)(X、+(占—)“3+%4。5=0

因为《_84=0,k2-k4A^-0,k3--0,勺=0

所以4=0,k2=0,k3=0,k4=0,-%)=4

向量组冈，。2，。3，。5一。4的秩为4。

§3.4向量空间

一、匕是向量空间，匕不是向量空间，

「133]

二]___________

222_

2、分析：按定义求由基%,如，。3到基夕1，鱼，夕3的过渡矩阵时，先求Bi(i=l，2,3)在基%,七,。3下的坐标

T

Yi=(cil,ci2,ci3)»考虑向量方程I+ci2a2+ci3a3,对应的线性方程组的系数矩阵恰好是由,%，。3以列构成的

方阵A,常数项构成的列向量恰好是d(i=l,2,3)以列构成的，解％=(c”,Ci2，Ci3)T恰好等于AT乘以列向量

Pi(i=1,2,3)o设尸]，角，尸3以列构成的方阵为列%=(Cu，Ci2，%)T(i=l,2,3)以列构成的矩阵为C,则C恰好是由

基%，%，％到基夕1，鱼，夕3的过渡矩阵。此时，C=A-1Bo

解设由基%,〃2，%到基四，尸2，万3的过渡矩阵为。，则

[笈血，夕3]=的，。2，%]。，故

H)1(A(123、，234、

1234-o0

C=[a],%，%「I尸1，&尸3]=o--O1

-2

1k43LT

4-1\

2-1

4-210I

8-421

2,

10029

-21000

五、ag2a3a4为四维向量，而氏(％%。3%)=4，V={x[x=左乌+&%+右。3+%%}所以四4%6^可以为向量空

间V的一组基，di〃?(V)=d，》(R4)=4,所以V=R4

第四章线性方程组

一、(1)=4-3;(2)同一目=0;(3)2;

1T1T74

⑷人(%-%)+万(%+a2)=Za。。［)'+(万［，°，2)'(5)—；(6)x=k(at-a2)

二、(1)C;(2)B;(3)B.(4)A;

选专为自由未知量并令％3=1,得该齐次方程的基础解系为b=1

T1、'-14、

-45

选X3,%为自由未知量可得该齐次方程的基础解系为a=,3］=

10

、L

12345、,12345、

]]]IJ—^03234选“3，工4为自由未知量并令*3=°，14=0，解得

/7

-

3

4

74-

玉=§,W=§,于是该齐次方程的一个特解为〃=3

0

o

'11-20、’11-20、

五、(1)B=21-6-1f0-1-2-1由R(A)=R(B)=2<3知原方程组有无穷多组解。

JT-6-2)、0000

%,+x2-2X-0

其同解方程组为《3选均为自由未知量并令退=0,解得斗=-1,々=1，于是该方程组的一个特

x2+2X3=1

-1

解为77=1

7

其导出组的同解方程组为|"+々-2七=°,选*3为自由未知量并令％3=1，解得玉=4,々=一2,于是导出组的

x2+2X3=0

4、4、5

一个基础解系为b-2故原方程组的通解为x=Z-2+1

1,•>、

’12-143、(12-143、12-143

(2)B2-31110-73-7-5->0-73-7-5

15n

、4-12-14,-96-17-8700-8

由R(A)=R(B)=3<4知原方程组有无穷多组解。

%]+2X2—X3+4X4=3

其同解方程组为<-70+3/-7%=-5,选z为自由未知量并令匕=1，(注意此处特解的取法)解得

IS%,-56X4=-11

0

与=3,/=1,西=0,于是该方程组的一个特解为〃

一尤

%+2X23+4X4=0

其导出组的同解方程组为《一7々+3M-7%=0，

选甚为自由未知量并令％4=1，解得

15X3-56X4=0

'一”

~15

3

56322

天=石"25，%，—,于是导出组的一个基础解系为b5

1556

1?

、1)

故原方程组的通解为x=43+〃，其中k为任意常数。

12001

(3)B=

010-10

由砥A)=K(3)=2<4知原方程组有无穷多组解。

先求原方程组一个特解，选色,匕为自由未知量并令当=0，儿=0,得9=0，％=1，于是该方程组的一个特解为

“3T

在其导出组中选七，％4为自由未知量并令，得,

、九4X2)B

'0、

0

令，于是导出组的一个基础解系为«=

OCHV)1

故原方程组的通解为X=匕石+七心+〃，其中占次2为任意常数。

六、1）解：因为AX=b为三元方程组而H（A）=1,所以AX=0的基础解系中含有两个解向量，由解的性质,

7-772=（2-21）,771-773=（002）均是AX=0的解，显然它们线性无关，可以构成AX=0的一个基础解

系。由解的结构知AX=b的通解为

X=Z（7—〃3）+彷，其中匕,％2为任意常数。

2）解：因为所给方程组是含三个方程三个未知量的齐次方程组，故可以利用克拉默法则，当系数行列式为0时方程

21"

组有非零解。由121=0°可得;1=1,所以当；1=1时原方程组有非零解。

11A

当；1=1时，原方程组变为芭+%+-0,选23为自由未知量并令并令卜Ui,得，斗=一1，/I/O］，得

\X37\X3JV>

'f（T、

x,=-l.于是方程组的一个基础解系为伪=1，&=0,

通解为X=k,S,+k2S2,其中占次2为任意常数。

3）解：因为所给方程组是含三个方程三个未知量的齐次方程组，故可以利用克拉默法则，当系数行列式为0时方程组

2-2-3-2

有非零解。由一12-8-2=(2-3)2(/1-1)=0

2144+3

可得;I=1或4=3时原方程组有非零解。

-1-3-2、r132、

当彳=1时，原方程组系数矩阵为-1-7-20-40,选*3为自由未知量，取£=1，得，

2144J000>

‘一21

当-2

,方程组的一个基础解系为6=0,

、工2【0、1J

通解为X=kb,其中人为任意常数。

r1-3-2](\-3-2\(\-3-2、

当;1=3时，原方程组系数矩阵为-1-5一2-0-8-4021,选马为自由未知量，

,2146J1042J000

取下=2,得,,方程组的一个基础解系为b=-1

苞+X,-2x.-0

其同解方程组为42：选当为自由未知量并令七二0,解得玉=-1，々=1，于是该方程组的一个特

X^y+LX3~1

解为祖=1

、°

7

x.+x-,-2x.=0

其导出组的同解方程组为-:‘选当为自由未知量并令x,=l,解得芭=4,々=-2,于是导出组的

无2U

4、

一个基础解系为b-2

1

7

kk+31-2、11k2

4)解:B=1k1k0k-1\-kk-k2

11k03\-k2-2-k3

c

11kk2

—>031-k2-(2+F)

*-诙2-4)

00-1)2伏—2)

4_]皤_4)=0

当R(A)fR(B),即好&=一2时，原方程组无解。

2Ho

当R(A)=R(B)=3,即:伊一1在2一4卜0,女工1,2,-2时，原方程组有唯一解。

4_］在2_4)=0

当R(A)=R(3)=2<3,即?,4=1或者左=2时，原方程组有无穷多解。

；(1)2仅一2)=。

111A(\110、

当％=1时，原方程组中3=030-3,选*3为自由未知量，在对应的8=0300中令=1得

,0000J0000J

~]=(一],导出组的一个基础解系6=0

㈤10J.

在

1

：)=(：,一个特解〃=-1

B=030-3中令％3=1得

00

于是方程组的通解为x=k3+r1,其中左为任意常数。

124、120、

当&=2时，原方程组中8=03-3-10,选七为自由未知量，在对应的8=03-30中令巧=1得

I。

000J000

3]

导出组的一个基础解系方=1

22

’1122T

-3-10中令X3=0得产10

在8=03，一个特解〃=

00J«T

、00o

于是方程组的通解为x=k6+f7,其中女为任意常数。

'a4、flb13、/1/713、

5)解:B-1b1302Z?060/703

,13b1,<01-ab\-a4-3a,、0\-ab\-a4-3。

1b13、’1b13、

0b0301\-a4

011-6(4,、00ab-b3-4"

ab—h-03

当R(A)wR(3),即<,。=0或。=1力时，原方程组无解。

3—4行04

当H(A)=R(B)=3,即ab—bwO,。声11工0时，原方程组有唯一解。

ab-b=O3

当R(A)=R(3)=2<3,即<,。=1且6时，原方程组有无穷多解。

3—48=04

33

1-131-1o

44

令

当a=l且8=3时，原方程组中3o1o4o1oo中

,选国为自由未知量，在对应的B=

4OOO0OOOO

-1

王-1

得，导出组的一个基础解系5=0.

X2>

在

r

3\

1-

4130

‘石、

«=o10、

04中令X3=0得，一个特解〃

OOX4,

00<2>

于是方程组的通解为x=k3+?],其中攵为任意常数。

6)将增广矩阵化为上阶梯形

‘123-1r'123-11、

11231行变换、0-1-140

B-

3—1—1—2ci00-3-27a-3

23-18-6；、()00b+52-2a-2,

讨论：1)当分+52=0,而。+1*0,即"—1/=-52时，R(A)=3<R»=4故方程组(1)无解；

2)当匕+52W0,即。。—52时，R(A)=火(5)=4,方程组有唯一解，由阶梯形矩阵得原方程组的一个同解方

程组为：

—a__4(〃+1)

X3XX1Y

x}+22+3-4=入1-32+52

r_a—326(a+l)

-X2-X3+4X4=0回代求解得.人2—3b+52