小学六年级数学培优专题训练

前言21世纪，数字化时代已经来临，数学在人类社会中发挥着日益重要的作用。作为根底教育的核心课程，数学学习与孩子的思维开展密切相关。为了激发孩子的学习兴趣，培养良好学习习惯，提高孩子的逻辑思维能力和创新能力，帮助孩子考上一所名牌中学，我们特此编写了本教材。具体来说本教材有以下几个方面的亮点：1．内容丰富：本书根据新课标对小学阶段数学知识的划分，安排了数的认识、数的运算、空间与图形、解决问题、实战模拟五个板块的内容。分类系统学习，各个击破，提高效率，针对性和指导性更强。2．循序渐进：本书的例题讲解由浅入深，解答过程剖析详尽。拓展演练与例题讲解的要点密切配合，引导学生拾级而上，循序渐进地进行学习。3．专题辅导：精心摘录了各校试卷中相关内容的不同题型，方便教师和家长有针对性地辅导，也可使学生从题海中解脱出来，精练典型题，从而实现举一反三的学习目的。4．选题新颖：所选例题和练习题内容丰富，贴近学生的现实生活，开阔学生的数学视野，激发学生的学习兴趣，培养孩子创新思维能力。今天，我们为孩子提供一套点拨方法、启迪思维的数学学习礼物。希望通过我们的引导，让孩子拥有学习数学的智慧和快乐，在学习中找到成功的喜悦，培养孩子的创新思维能力，帮助他们塑造一个真正富有竞争力的未来。《小升初数学培优》编写组目录一、数的认识TOC\o"1-1"\h\z\u第1讲数的认识1第2讲数的整除5二、数的运算第3讲简便运算〔1〕8第4讲简便运算〔2〕10第5讲简便运算〔3〕13第6讲简易方程16第7讲定义新运算21三、空间与图形第8讲巧求面积〔1〕22第9讲组合图形面积〔2〕25第10讲长方体的外表积和体积28第11讲圆柱体的外表积31第12讲圆柱和圆锥的体积34四、解决问题第13讲画图法解应用题37第14讲假设法解应用题40第15讲列方程解应用题〔1〕43第16讲列方程解应用题〔2〕46第17讲行程问题之屡次相遇49第18讲行程问题之环形赛道52第19讲行程问题之巧用比例55第20讲图示法解分数应用题58第21讲复原法解分数应用题61第22讲转化法解分数应用题64第23讲抓住不变量解分数应用题67第24讲巧用比解分数应用题70第25讲对应法解分数应用题73第26讲假设法解分数应用题76第27讲百分数应用题—溶剂问题79第28讲工程问题〔1〕81第29讲工程问题〔2〕84第30讲按比例分配87第31讲比例的应用〔1〕90第32讲比例的应用〔2〕93第33讲牛吃草问题96第34讲时钟问题99第35讲容斥原理102第36讲抽屉原理105五、实战模拟小升初选校模拟试卷〔一〕108小升初选校模拟试卷〔二〕111第1讲数的认识一、夯实根底1．数的意义〔1〕自然数我们在数物体的时候，用来表示物体个数的数，像1、2、3……叫做自然数。〔2〕小数把整数“1〞平均分成10份、100份、1000份……这样的一份或几份是十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。〔3〕分数把单位“1〞平均分成假设干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。〔4〕百分数表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫百分率或百分比。百分数不能表示一个确定的数量，因此，百分数后面不带计量单位。2．数的大小比拟〔1〕整数的大小比拟比拟两个整数的大小，先看位数，位数多的数大；位数相同，从最高位看起，相同数位上的数大的那个数就大。〔2〕小数的大小比拟比拟两个小数的大小，先看整数局部，整数局部大的小数比拟大；如果整数局部相同，就看十分位，十分位大的小数比拟大；如果十分位相同，再看百分位，百分位大的小数比拟大……〔3〕分数的大小比拟整数局部相同的同分母分数，分子大的分数比拟大。例如：＜，2＞2。整数局部相同的同分子分数，分母小的分数比拟大。例如：＞，3＞3。分子、分母不相同的分数，一般先通分再比拟，也可以把各个分数化成小数再进行比拟。3．小数、分数、百分数的互化〔1〕小数化成分数。原来是几位小数，就在1后面写几个零做分母，把原来的小数去掉小数点做分子，能约分的约分。〔2〕分数化成小数。分母是10、100、1000的分数，可以直接去掉分母，看分母中1后面有几个零，就在分子从最后一位起向左数出几位，点上小数点。分母是任意自然数的分数化成小数的一般方法是分母去除分子。一个最简分数，如果分母中有除了2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。〔3〕小数化成百分数。只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。〔4〕百分数化成小数。只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。〔5〕分数化成百分数。通常把分数化成小数后〔遇到除不尽时常要保存三位小数〕，再化成百分数。〔6〕百分数化成分数。先把百分数改成分母是100的分数，再约分成最简分数。二、典型例题例1．比拟以下各组分数的大小〔1〕和〔2〕和例2．某数增加它的20%后，再减少20%，结果比原数减少了〔〕。A.4%

B.5%

C.10%

D.20%数的认识课堂过关卷一、细心填空1．用3个0和3个6组成一个六位数，只读一个零的最大六位数是〔〕；读两个零的六位数是〔〕；一个零也不读的最小六位数是〔〕。2．一个三位小数，四舍五入后得4.80，这个三位小数最大是〔〕，最小是〔〕。3．假设被减数、减数与差这三个数的和为36，那么被减数为〔〕。4．把0.35，，，34%，从大到小排序〔〕。5．某班男生人数是女生的，女生人数占全班人数的〔〕％6．甲数比乙数多25%，那么乙数比甲数少〔〕%。7．一个分数的分子比分母少20，约分后是，这个分数是〔〕。8．写出三个比小，而比大的最简分数是〔〕、〔〕、〔〕。9．中有〔〕个。10．有一个最简真分数，分子和分母的积是36，这个分数最大是〔〕。11．A+B=60，A÷B=，A=〔〕，B=〔〕。12．13．一个最简分数，假设分子加上1，可以约简为，假设分子减去一，可化简成，这个分数是〔〕。14．修一段600米长的路，甲队单独修8天完成，乙队单独修10天完成。两队合修〔〕天完成它的。15．一种商品，先提价20%，又降价20%后售价为96元，原价为〔〕元。16．甲、乙两个数的差是35.4，甲、乙两个数的比是5：2，这两个数的和是〔〕。17．有甲、乙、丙三种，甲种盐水含盐量为4%，乙种盐水含盐量为5%，丙种盐水含盐量为6%。现在要用这三种盐水中的一种来加水稀释，得到含盐量为2%的盐水60千克。如果这项工作由你来做，你打算用〔〕种盐水，取〔〕千克，加水〔〕千克。18．[x]表示取数x的整数局部，比方[13.58]=13。假设x=8.34，那么[x]＋[2x]＋[3x]=〔〕。二、选择1．最大的小数单位与最小的质数相差〔

〕。A．1.1

B．1.9

C．0.9

D．0.12．3.999保存两位小数是〔

〕。A．3.99

B．4.0

C．4.00

D．3.903．以下四个数中，最大的是〔〕。A．101%B．0.C．D．14.平均每小时有36至45人乘坐游览车，那么3小时中有人乘坐游览车。A．少于100B．100与150之间C．150与200之间D．200与250之间5.小明所在班级的数学平均成绩是98分，小强所在班级的数学平均成绩是96分，小明考试得分比小强的得分〔〕。A．高B．低C．一样高D．无法确定6．一次数学考试，5名同学的分数从小到大排列是74分、82分、a分、88分、92分，他们的平均分可能是〔〕。A．75B．84C．86D．937．的分子加上6，如果要使这个分数的大小不变，分母应该〔〕A．加上20B．加上6C8．书店以50元卖出两套不同的书，一套赚10%，一套亏本10%，书店是()A．亏本B．赚钱C．不亏也不赚9．把1克盐放入100克水中，盐与盐水的比是〔〕。A．1：99B．1：100C．1：101D．100：10110．甲、乙两个仓库所存煤的数量相同，如果把甲仓煤的调入乙仓，这时甲仓中的煤的数量比乙仓少〔〕。A.50%B.40%C.25%三、星级挑战★1．财会室会计结账时，发现财面多出32.13元钱，后来发现是把一笔钱的小数点点错了一位，原来这笔钱是多少元？★★2．暑假期间，明明和亮亮去敬老院照顾老人。7月13日他们都去了敬老院，并约好明明每两天去一次，亮亮每3天去一次。〔1〕7月份，他们最后一次同去敬老院的日子是〔〕。〔2〕从7月13日到8月31日，他们一起去敬老院的情况有〔〕次。第2讲数的整除一、夯实根底整数a除以整数b〔b≠0〕，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a。如果数a能被数b整除，那么a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。能被2整除的数叫偶数。也就是个位上是0、2、4、6、8的数是偶数。不能被2整除的数叫奇数。也就是个位上是1，3，5，7，9的数是奇数。一个数如果只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数都叫做这个合数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。公因数只有1的两个数或几个数，叫做互质数。几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做最大公因数。几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个叫做这个数的最小公倍数。二、典型例题例1．从0、7、5、3四个数字中选三个数字组成一个三位数，使组成的数能同时被2、3和5整除．这样的三位数有几个？例2．有四个小朋友，他们的年龄刚好一个比一个大1岁，又知它们年龄的乘积是360。问：其中年龄最大的小朋友是多少岁？例3．同学们在操场上列队做体操，要求每行站的人数相等，当他们站成10行、15行、18行、24行时，都能刚好站成一个长方形队伍，操场上同学最少是多少人？数的整除课堂过关卷一、填空1．在l至20的自然数中，〔〕既是偶数又是质数；〔〕既是奇数又是合数。2．一个数，如果用2、3、5去除，正好都能整除，这个数最小是〔〕，用一个数去除30、40、60正好都能整除，这个数最大是〔〕。3．8〔〕5〔〕同时是2，3，5的倍数，那么这个四位数为〔〕。4．一个五位数7□35△，如果这个数能同时被2、3、5整除，那么□代表的数字是〔〕，△代表的数字是()。5．从0、5、8、7中选择三个数字组成一个同时能被2、3、5整除的最大三位数，这个三位数是〔〕，把它分解质因数是：〔〕。6．把84分解质因数：84=〔〕。72和54的最大公约数是〔〕。7．12的约数有〔〕，从中选出4个数组成一个比例是〔〕。8．公因数只有〔〕的两个数，叫做互质数，自然数a和〔〕一定是互质数。9．a、b都是非零自然数，且a÷b=c，c是自然数，〔〕是〔〕的因数，a、b的最大公因数是〔〕，最小公倍数是〔〕。10．A、B分解质因数后分别是：A=2×3×7，B=2×5×7。A、B最大公因数是〔〕，最小公倍数是〔〕。11．A=2×2×3，B=2×C×5，A、B两数的最大公约数是6，那么C是〔〕，A、B的最小公倍数是〔〕。12．在括号里填上适宜的质数：〔〕＋〔〕=21=〔〕×〔〕。13．两个质数的和是2001，这两个质数和积是〔〕。14．45与某数的最大公因数是15，最小公倍数是180，某数是〔〕。15．两个互质数的最小公倍数是153，这两个互质数是〔〕和〔〕。二、解决问题1．有两根绳子，第一根长18米，第二根长24米，要把它们剪成同样长短的跳绳，而且不能有剩余，每根跳绳最长多少米？一共可剪成几根跳绳？2．一块长方形木板长20分米，宽16分米。要锯成相同的正方形木板，要求正方形木板的面积尽量大，而且原来木板没有剩余，可以锯成多少块？每块正方形木板的面积是多少平方分米？3．汽车站有开住甲、乙、丙三地的汽车，到甲地的汽车每隔15分钟开出一辆；到乙地的汽车每隔27分钟开出一辆；到丙地的汽车每隔36分钟开出一辆。三路汽车在同一时刻发车以后，至少需要经过多少时间，才能又在同一时刻发车？三、星级挑战★1．有一行数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55……，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和，在前100个数中，偶数有多少个？★★2．有一堆苹果，如果3个3个的数，最后余2个，如果5个5个的数，最后余4个，如果7个7个的数，最后余6个，这堆苹果最少有多少个？第3讲简便运算〔1〕一、夯实根底所谓简算，就是利用我们学过的运算法那么和运算性质以及运算技巧，来解决一些用常规方法在短时间内无法实现的运算问题。简便运算中常用的技巧有“拆〞与“凑〞，拆是指把一个数拆成的两局部中含有一个整十、整百、整千或者有利于简算的数，凑是指把几个数凑成整十、整百、整千……的数，或者把题目中的数进行适当的变化，运用运算定律或性质再进行简算。让我们先回忆一下根本的运算法那么和性质：乘法结合律：a×b×c=a×〔b×c〕=〔a×c〕×b乘法分配律：a×〔b＋c〕=a×b＋a×ca×〔b－c〕=a×b－a×c二、典型例题例1.〔1〕9999×7778＋3333×6666〔2〕765×64×0.5×2.5×0.125例2．399.6×9－1998×0.8例3．654321×123456－654322×123455三、熟能生巧1．〔1〕888×667＋444×666〔2〕9999×1222－3333×6662．〔1〕400.6×7－2003×0.4〔2〕239×7.2＋956×8.23．〔1〕1989×1999－1988×2000〔2〕8642×2468－8644×2466四、拓展演练1．1234×4326＋2468×28372．275×12＋1650×23－3300×7.53．7654321×1234567－7654322×1234566五、举一反三六、星级挑战1．31÷5＋32÷5＋33÷5＋34÷52．3333×4＋5555×5＋7777×73．99＋99×99＋99×99×994.48.67×67＋3.2×486.7＋973.4×0.05第4讲简便运算〔2〕一、夯实根底在进行分数的运算时，可以利用约分法将分数形式中分子与分母同时扩大或缩小假设干倍，从而简化计算过程；还可以运用分数拆分的方法使一些复杂的分数数列计算简便。同学们在进行分数简便运算式，要灵活、巧妙的运用简算方法。让我们先回忆一下根本的运算法那么和性质：乘法结合律：a×b×c=a×〔b×c〕=〔a×c〕×b乘法分配律：a×〔b＋c〕=a×b＋a×ca×〔b－c〕=a×b－a×c拆分：=－=〔－〕二、典型例题例1．〔1〕2006÷2006〔2〕9.1×4.8×4÷1.6÷÷1.3例2．〔1〕〔2〕〔9＋7〕÷〔＋〕例3．＋＋……＋三、熟能生巧1．〔1〕238÷238〔2〕3.41×9.9×0.38÷0.19÷3÷1.12．〔1〕〔2〕〔＋1＋〕÷〔＋＋〕3．＋＋＋＋＋四、拓展演练1．〔1〕123÷41〔2〕×2.84÷3÷〔1×1.42〕×12．〔1〕〔2〕〔96〕÷〔32〕3．＋＋＋……＋＋五、举一反三六、星级挑战★1．＋＋＋＋＋＋★★2.＋＋＋……＋★★★3．＋＋＋……＋★★★4．1－＋－＋－第5讲简便运算〔3〕夯实根底所谓简算，就是利用我们学过的运算法那么和运算性质以及运算技巧，来解决一些用常规方法在短时间内无法实现的运算问题。简便运算中常用的技巧有“拆〞与“凑〞，拆是指把一个数拆成的两局部中含有一个整十、整百、整千或者有利于简算的数，凑是指把几个数凑成整十、整百、整千……的数，或者把题目中的数进行适当的变化，运用运算定律或性质再进行简算。让我们先回忆一下根本的运算法那么和性质：等差数列的一些公式：项数=〔末项－首项〕÷公差＋1某项=首项＋公差×〔项数－1〕等差数列的求和公式：〔首项＋末项〕×项数÷2二、典型例题例1．2＋4＋6＋8……＋198＋200例2．0.9＋9.9＋99.9＋999.9＋9999.9＋99999.9例3．2023×20232023－2023×20232023三、熟能生巧1．1＋3＋5＋7＋……＋65＋672．9＋99＋999＋9999＋999993．1120××四、拓展演练1．〔1〕0.11＋0.13＋0.15＋……＋0.97＋0.99〔2〕8.9×0.2＋8.8×0.2＋8.7×0.2＋……＋8.1×0.22．〔1〕98＋998＋9998＋99998＋999998〔2〕3.9＋0.39＋0.039＋0.0039＋0.000393．〔1〕1234×432143214321－4321×〔2〕2002×60066006－3003×40044004五、举一反三六、星级挑战★1．〔1〕438.9×5〔2〕47.26÷5〔3〕574.62×25〔4〕14.758÷0.25★★2.〔44332－443.32〕÷〔88664－886.64〕★★3．1.8＋2.8＋3.8＋……＋50.8★★★4．2002－1999＋1996－1993＋1990－1987＋……＋16－13＋10－7＋4第6讲简易方程一、夯实根底含有未知数的等式叫做方程，求方程的解的过程叫做解方程。解方程是列方程解应用题的根底，解方程通常采用以下策略：①对方程进行观察，能够先计算的局部先进行计算或合并，使其化简。②把含有未知数的式子看做一个数，根据加、减、乘、除各局部的关系进行化简，转化成熟悉的方程。再求方程的解。③将方程的两边同时加上〔或减去〕一个适当的数，同时乘上〔或除以〕一个适当的数，使方程简化，从而求方程的解。④重视检验，确保所求的未知数的值是方程的解。二、典型例题例1．解方程4〔x－2〕＋15=7x－20例2．解方程x÷2=〔3x－10〕÷5例3．解方程360÷x－360÷1.5x=6三、熟能生巧1．①12－2〔x－1〕=4②5x＋19=3〔x＋4〕＋152．①〔2x＋4〕÷18=28②〔5.3x－5〕÷7=x－83．①7〔x－3〕=3〔x＋5〕＋4②x＋x÷3＋2x－30=180四、拓展演练1．①〔x+10〕＝6②8－4.5x＝32．①x＋—x＝②x＋7.4=x＋9.23．①：18%＝②＝五、举一反三六、星级挑战★1．解方程：13x－4〔2x＋5〕=17〔x－2〕－4〔2x－1〕★2．解方程：17〔2－3x〕－5〔12－x〕=8〔1－7x〕★3．解方程：－=2★★4.解方程：〔x－5〕=3－〔x－5〕第7讲定义新运算一、夯实根底同学们，我们都知道四那么运算包括加、减、乘、除，我们接触到的运算符号也无外乎“＋〞、“－〞、“×〞、“÷〞。而在升学考试中，经常会出现一些崭新的题目，这种题目中又出现了新的运算符号，如：⊙、※、◎……并赋予它们一种新的运算方法。这种运算符号本身并不重要，重要的是在题目中，各种运算符号规定了某种运算以及运算顺序。这种运算非常有趣，同学们，你们想了解吗？这一节我们就来学习定义新运算。二、典型例题例1．〔1〕a◎b=a＋b，求95的值。〔2〕定义新运算“⊙〞，m⊙n=m÷n×2.5。求：①60.4⊙0.4的值是多少？②351⊙0.3的值是多少？例2．对于任意两个自然数，定义一种新运算“*〞，a*b=〔a－b〕÷2，求34*〔52*48〕值。例3．定义两种新运算“

〞和“*〞，对于任意两个数x、y，规定x

y=x＋5y，x*y=〔x－y〕×2，求5

6＋3.5*2.5的值。三、熟能生巧1．〔1〕a★b=a－b，求45.2★38.9的值。〔2〕x、y是两个自然数，规定x⊙y=〔x+y〕×10，求3⊙8的值。2．定义一种新运算“◎〞，规定A◎B=2×〔A＋B〕，求0.6◎〔5.4◎5〕的值。3．定义两种新运算“☆〞和“●〞，a☆b=a÷2＋4.1×b，a●b=8＋3〔a－b〕，求6☆1＋4●2的值。四、拓展演练1．〔1〕定义一种新运算“※〞，规定A※B=4A＋3B－5，求〔1〕6※9〔2〕9※6。〔2〕定义一种新运算“◆〞，规定a◆b=〔3x＋y〕＋2＋x，求：①10◆15②15◆102．〔1〕定义新运算“♂〞，规定m♂n=〔m－n〕÷2，那么8♂〔12♂2〕与12♂〔8♂2〕是否相等？如果不相等，哪个大？〔2〕定义一种新运算“〞，ab=5a＋10b，求37＋58的值。3．定义两种运算“〞和“⊙〞，对于任意两个整数a，b，ab=a＋b－1，a⊙b=a×b－1。计算4⊙[〔68〕〔35〕]。五、举一反三六、星级挑战★1．定义新运算“※〞，假设2※3=2＋3＋4，5※4=5＋6＋7＋8。求2※〔3※2〕的值。★★2.设a、b表示两个数如果a≥b，规定：a◎b=3×a－2×b；如果a＜b，规定：a◎b=〔a＋b〕×3。求：①9◎6②8◎8③2◎7★★3．设a、b表示两个数，a⊙b=a×b－a+b，a⊙7=37，求a的值。★★★4．设a、b表示两个整数，规定：a◎b=a＋〔a＋1〕＋〔a＋2〕＋〔a＋3〕＋…＋〔a＋b－1〕，求1◎100的值。第8讲巧求面积〔1〕一、夯实根底小学数学教材中学习了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆等根本图形面积的计算方法。常用的面积公式如下：正方形边长×边长S=a2长方形长×宽S=ab平行四边形底×高S=ah三角形底×高÷2S=ah÷2梯形〔上底+下底〕×高÷2S=(a+b)h÷2在实际应用过程中，我们除了掌握切分、割补、做差等一些根本的几何解题思想外，还要掌握等量代换、妙用同底等一些有难度的解题方法。二、典型例题例1．两个相同的直角三角形如下图〔单位：厘米〕重叠在一起，求阴影局部的面积。例2．如图，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。阴影局部的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。例3．如图,在三角形ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分别为AB和AC的中点.那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？三、熟能生巧1．两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影局部的面积。〔单位：厘米〕2．3．在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，阴影局部的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积。四、拓展演练1．3．五、星级挑战★1．梯形ABCD中，AD=7厘米，BC=12厘米，梯形高8厘米，求三角形BOC的面积比三角形AOD的面积大多少平方厘米？★★2．有两种自然的放法将正方形内接于等腰直角三角形。等腰直角三角形的面积是36平方厘米，两个正方形的面积分别是多少？第9讲组合图形面积〔2〕一、夯实根底不规那么图形常由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规那么图形组合而成的，计算时常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转，使之转化为规那么图形的和、差关系，有时要和“容斥原理〞合并使用才能解决。计算圆的周长与面积的主要公式有：〔1〕圆的周长=π×直径=2π×半径，即：C=πd=2πr(2)中心角为n°的弧的长度=n×π×(半径)÷180，即：l=〔3〕圆的面积=π×(半径)2，即：S=πr2(4)中心角为n°的扇形的面积==n×π×(半径)2÷360，即：S==l=lr二、典型例题例1．如以下图〔1〕，在一个边长为4cm的正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆，求阴影局部的面积。例2．如以下图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影局部面积。AABDC例3．如以下图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影局部的面积。三、熟能生巧1．如以下图，圆的直径为8cm，求阴影局部的面积。2．如图，三角形ABC是等腰直角三角形，AC=BC=10cm，分别以A、B为圆心，以AC、BC为半径在三角形ABC内画弧，求阴影局部的面积。3．如以下图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB=20厘米，如果阴影〔1〕的面积比阴影〔2〕的面积大7平方厘米，求BC长。四、拓展演练1．如以下图，三个同心圆的半径分别是2、6、10，求图中阴影局部面积占大圆面积的百分之几？2．如以下图，大正方形的边长为6厘米，小正方形的边长为4厘米。求阴影局部的面积。3．如图，直角梯形的上底、下底与高之比是1：2：1，和为24厘米。图中阴影甲的面积比阴影乙的面积少多少？五、星级挑战★1．如以下图，将直径AB为3厘米的半圆绕A逆时针旋转60°，此时AB到达AC的位置，求阴影局部的面积〔取π=3.14〕。★★2．求图中的阴影局部的面积。〔单位：厘米〕第10讲长方体的外表积和体积一、夯实根底长方体和正方体六个面的总面积，叫做它们的外表积。长方体的六个面分为上下、左右、前后三组，每组对面的大小、形状完全相同；正方体的六个面是大小相等的六个正方形。长方体的外表积=〔长×宽+宽×高+长×高〕×2正方体的外表积=棱长×棱长×6物体占空间的大小，叫做物体的体积。容积是指所能容纳物体的体积。一个物体的容积计算方法与体积计算方法相同，不过体积是从物体外面测量出长度再进行计算，容积是从物体内部测量出长度再进行计算。通常物体的体积要大于容积，当厚度忽略不计时，容积就等于体积。长方体体积=长×宽×高正方体体积=棱长×棱长×棱长二、典型例题例1．一块长方形铁皮长24厘米，四角剪去边长3厘米的正方形后，然后通过折叠、焊接，做成一个无盖的长方体铁盒，铁盒的容积是486立方厘米。求原来长方形铁皮的面积。例2．如右图，用3条丝带捆扎一个礼盒，第一条丝带长235cm，第二条丝带长445cm，第三条丝带长515cm，每条丝带的接头处的长度均为5cm，求礼盒的体积。。

例3．如图〔1〕，一个密封的长方体玻璃缸长15厘米，水深3厘米。如果把玻璃缸按图〔2〕放置，里面的水深是多少厘米？〔玻璃的厚度忽略不计〕三、熟能生巧1．在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体〔以下图〕，求这个立体图形的外表积。2．一个密闭的长方体水箱，长10分米，宽8分米，高6分米，内装3分米深的水，假设将长方体的长边竖立起来，水深会是多少分米？3．右图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的几何体，求此几何体的外表积是多少？四、拓展演练1．如下图是一个棱长12厘米的正方体，从前住后，有一个“十”字型的洞。“十”字最短边长都是2厘米，求它的外表积和体积？2．如图，在一块平坦的水泥地上，用砖和水泥砌成一个长方体的水泥池，墙厚为10厘米(底面利用原有的水泥地)。这个水泥池的体积是多少？.3．图中的一些积木是由16块棱长为2厘米的正方体堆成的，它的外表积是多少平方厘米？五、星级挑战★1．一个长方形水箱，从里面量长40厘米，宽30厘米，深35厘米。原来水深10厘米，放进一个棱长20厘米的正方形铁块后，铁块的顶面仍然高于水面，这时水面高多少厘米？★★2．有一个棱长是5厘米的正方体木块，它的外表涂上红油漆。将这个大正方体木块锯成棱长是1厘米的小正方体，散乱为一堆。在这些小正方体木块中，三面涂红漆的有几块？两面涂红漆、一面涂红漆的各有几块？没有涂上红漆的有几块？

第11讲圆柱体的外表积一、夯实根底圆柱体是常见的立体图形。它的外表是由一个侧面〔展开是长方形〕和两个相同的圆形底面组成。圆柱从中间竖切成两个半圆柱后，切面是一个长方形；从中间横切成两个圆柱后，切面是一个圆形。圆柱的外表积=侧面积+两个底面积，即S表=S侧＋2S底，S表=2πrh+2πr2二、典型例题例1．把一段长20分米的圆柱形圆木沿底面直径剖成相同的两块，外表积增加了320平方分米，原来这段圆柱形圆木的外表积是多少平方分米？例2．有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如以下图。圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米。如果将这个零件接触空气局部涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？例3．在一棱长为4厘米的正方体的各个面的中心位置上，各打一个直径为2厘米，深为1厘米的圆柱形的孔，求打孔后它的外表积是多少？三、熟能生巧1．把一个圆柱体的侧面展开，得到一个边长6.28分米的正方形，这个圆柱体的底面周长是多少分米？底面积是多少平方分米？2．一个圆柱体的零件，高20厘米，底面直径是14厘米，零件的上面有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是8厘米，孔深12厘米〔见右图〕。如果将这个零件接触空气的局部涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？3．有一个长方体木块，高20厘米，底面是个长方形，长30厘米，宽15厘米，上面有一个底面直径和高都是10厘米的圆柱形的孔，它的外表积是多少平方厘米？四、拓展演练1．将高都是1米，底面半径分别是1.5米、1米和0.5米的三个圆柱体组成一个物体，求它的外表积。2．右图是一个零件的直观图。下部是一个棱长为40cm的正方体，上部是圆柱体的一半。求这个零件的外表积。3．右图是一顶帽子。帽顶局部是圆柱形，用黑布做；帽沿局部是一个圆环，用白布做。如果帽顶的半径、高与帽沿的宽都是a厘米，那么哪种颜色的布用得多？五、星级挑战★1．一根圆柱形钢材，如图沿底面直径割开成两个相等的半圆柱体。一个剖面的面积是960平方厘米，求原来钢材的侧面积。★★2．有一张长方形铁皮，如图剪下阴影局部制成圆柱体，求这个圆柱体的外表积。第12讲圆柱和圆锥的体积一、夯实根底本节主要是对圆柱和圆锥的认识，圆柱的外表积以及圆柱、圆锥体积计算。圆柱的特征：圆柱有一个侧面〔展开是长方形〕和两个底面〔完全相同的圆〕，圆柱有无数条高〔两个底面之间的距离〕。圆柱的侧面积=底面周长×高，S侧=ch=2πrh；圆柱的外表积=圆柱的侧面积+两个底面面积；圆柱的体积=底面积×高，即V=sh=πr2h；圆锥的特征：圆锥的底面是一个圆，侧面〔展开是扇形〕。圆锥的高：从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。〔一个圆锥只有一条高〕；圆锥的体积=×底面积×高，即V=sh=πr2h；圆锥的外表积=扇形面积+底圆面积。二、典型例题例1．把高10厘米的圆柱体按以下图切开，拼成近似的长方体，外表积就增加了60平方厘米，圆柱的体积是多少立方厘米？

例2．把一块长18.84厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体钢锭和一块底面直径是8厘米，高25厘米的圆柱形钢块，熔铸成一个底面半径为8厘米的圆锥形钢块，这个圆锥形钢块的高是多少厘米？例3．以下图是一块长方形铁皮，利用图中的阴影局部，刚好能做成一个油桶〔接头处忽略不计〕。求这个油桶的容积。

三、熟能生巧1．把一个底面直径是10厘米的圆柱形木块沿底面直径分成相同的两块，外表积增加了100平方厘米。求这个圆柱体的体积。2有一张长方体铁皮〔以下图〕，剪以下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成一个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么圆柱的体积是多少立方厘米？四、拓展演练1．一种儿童玩具——陀螺〔如以下图〕，上面是圆柱体，下面是圆锥体。经过测试，只有当圆柱直径3厘米，高4厘米，圆锥的高是圆柱高的时，才能旋转时稳又快，试问这个陀螺的体积是多大？〔保存整立方厘米〕2．一个圆柱形水桶，假设将高改为原来的一半，底面直径为原来的2倍，可装水40千克，那么原来的水桶可装水多少千克？3．如以下图：用一张长82.8厘米的铁皮，剪下一个最大的圆做圆柱的底面，剩下的局部围在底面上做成一个无盖的铁皮水桶，算一算这个铁皮水桶的容积是多少？〔铁皮厚度不计〕。五、星级挑战★1．一个胶水瓶〔如图〕，它的瓶身呈圆柱形〔不包括瓶颈〕，容积为32.4立方厘米。当瓶子正放时，瓶内胶水液面高为8厘米，瓶子倒放时，空余局部高为2厘米。请你算一算，瓶内胶水的体积是多少立方厘米？★★2．有一块棱长分别为6dm、8dm、10dm的长方体木块，把它切割成体积尽可能大的圆锥体木块。求这个圆锥体木块的体积？第13讲画图法解应用题一、夯实根底在解答一些应用题时，用作图法可以把题目的数量关系揭示出来，使题意形象具体，一目了然，从而有助于快速找到解题的途径。作图法解题可以画线段图，也可以画示意图，对解答条件隐蔽，复杂疑难应用题，能起到化难为易的作用。例如在解答和差、和倍和差倍三类问题时，都可以用画图法表示。简图如下：〔1〕和差问题〔2〕和倍问题〔3〕差倍问题二、典型例题例1．哥弟俩共有邮票70张，如果哥哥给弟弟4张邮票，这时哥哥还比弟弟多2张。哥哥和弟弟原来各有邮票多少张？例2．果园里有桃树、梨树、苹果树共146棵。桃树比梨树少7棵，苹果树比桃树多4棵，三种树各有多少棵？例3．某公司三个厂区共有员工1900人，甲厂区的人数是乙厂区的2倍，乙厂区比丙厂区少300人，三个厂区各有多少人？三、熟能生巧1．一个两层书架共放书72本，假设从上层中拿出9本给下层，上层比下层多4本。上、下层各放书多少本？2．张明用272元买了一件上衣，一顶帽子和一双鞋子。上衣比鞋贵60元，鞋比帽子贵70元。求上衣、鞋子和帽子各多少钱？3．三个筑路队共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米，三个队各筑了多少米？四、拓展演练1．姐姐和妹妹共有糖果39块，如果姐姐给妹妹7块，就比妹妹少3块。那么姐姐和妹妹原来各有糖果多少块？2．城东小学共有篮球、足球和排球共95只，其中足球比排球少5只，排球的只数是篮球只数的2倍。篮球、足球、排球各是多少只？3．甲站有汽车192辆，乙站有汽车48辆。每天从甲站开往乙站的汽车是21辆，从乙站开往甲站的汽车是24辆。经过几天后，甲站汽车的辆数是乙站的7倍？五、举一反三六、星级挑战★1．有货物164吨，分放在甲、乙、丙、丁四个仓库里，乙仓存放吨数是甲仓存放吨数的3倍，甲仓比丙仓少5吨，比丁仓多3吨，甲、乙、丙、丁四个仓库各放多少吨？★★2．甲油库存油112吨，乙油库存油80吨，每天从两个油库各运走8吨油，多少天后甲油库剩下的油是乙油库剩下油的2倍？第14讲假设法解应用题一、夯实根底所谓“假设法〞就是依照条件进行推算，根据数量上出现的矛盾，做适当调整，从而找到正确答案。我国古代趣题“鸡兔同笼〞就是运用假设法解题的一个范例，其根本关系式是：方法1:设鸡求兔〔总足数－2×总头数〕÷〔4－2〕=兔头数总头数－兔头数=鸡头数方法2:设兔求鸡〔4×总头数－总足数〕÷〔4－2〕=鸡头数总头数－鸡头数=兔头数二、典型例题例1．学校买回4个篮球和5个排球，一共用了185元，一个篮球比一个排球贵8元，篮球、排球的单价各多少元？例2．一只松鼠采松子，睛天每天采24个，雨天每天采16个，它一连8天共采168个松子，问这8天当中有几天睛天？例3．鸡兔同笼，数头共10只，数脚共24只，鸡、兔各有多少只？三、熟能生巧1．商场运进200双童鞋，分别装在3只木箱和4只纸箱里，刚好全部装满。如果2只纸箱装的童鞋与1只木箱装的同样多，那么每只纸箱和木箱各装童鞋多少双？2．六年级师生参观科技展览馆，买儿童票52张，成人票7张，共花了330元。成人票是儿童票的2倍。两种票价各是多少元？3．鸡兔同笼，共有27个头，72只脚，问：笼中鸡、兔各有多少只？4．学校组织学生和教师共460人春游，刚好共租了10辆客车，大客车每辆坐50人，小客车每辆坐30人，大、小客车各租了几辆？四、拓展演练1．玲玲的储蓄盒里有二分、五分硬币共65枚，共值2.86元，那么二分、五分的硬币各有多少枚呢？2．李华参加射击比赛，共打20发，规定每中一发记10分，脱靶一发那么倒扣6分，结果得了168分，他一共打中了多少发？3．一名搬运工人从批发部搬运500只瓷砖到商店，货主规定：运到一只完好的瓷砖得运费3角，打破一只赔9角，结果他领到运费136.80元。问在运输中，搬运工打破了多少只瓷砖？五、举一反三六、星级挑战★1．有一堆黄沙，用大汽车运需运50次，如果用小汽车运，要运80次。每辆大汽车比小汽车多运3吨，这堆黄沙有多少吨？★★2．蜘蛛有8条腿，蝴蝶有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现有这三种小虫16只，共有110条腿和14对翅膀。问：每种小虫各几只？第15讲列方程解应用题〔1〕一、夯实根底列方程解应用题的一般步骤是：〔1〕弄清题意，找出未知数，并用x表示；〔2〕找出应用题中数量间的相等关系，列方程；〔3〕解方程；〔4〕检验，写出答案。二、典型例题例1．父亲今年50岁，儿子今年14岁，问几年前父亲的年龄是儿子的5倍？例2．涛涛家4口人的年龄之和147岁，妈妈比涛涛大27岁，爷爷的年龄是妈妈和涛涛年龄之和的2倍，且比爸爸大38岁。问：涛涛家四口人的年龄各是多少？例3．一个三位数，个位上的数字是5，如果把个位上的数字移到百位上，原百位上的数字移到十位上，原十位上的数字移到个位上，那么所成的新数比原数小108，原数是多少？三、熟能生巧1．今年爸爸的年龄是儿子的4倍，20年后，爸爸的年龄是儿子年龄的2倍，问：爸爸和儿子今年各是多少岁？2．一条大鲨鱼，头长3米，身长等于头长加尾长，尾长等于头长加身长的一半的和。这条大鲨鱼全长多少米？3．某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少工人生产螺母？四、拓展演练1．学校里白色粉笔的盒数是彩粉笔的4倍，如果再增加白粉笔130盒，再增加彩粉笔50盒，那么白粉笔是彩粉笔的3倍。求白粉笔和彩粉笔原来各有多少盒？2．78只鸡在田里捉青虫吃,共吃掉138条青虫，每只公鸡吃4条青虫，每只母鸡吃3条青虫，两只小鸡吃一条，母鸡比公鸡多18只，问这群鸡中公鸡，母鸡，小鸡各有多少只？3．一个六位数，个位数字是2，如果把2移到最高位，那么原数就是新数的3倍。求原来的六位数。五、举一反三六、星级挑战★1．甲、乙、丙、丁四人一共做了370个零件，如果把甲做的个数加10个，乙做的个数减去20个，丙做的个数乘以2，丁做的个数除以2，四人做的零件数就正好相等，那么乙实际做了多少个？★★2．箱子里有红、白两种玻璃球，红球数比白球数的3倍多两个，每次从箱子里取出7个白球，15个红球。如果经过假设干次后，箱子里只剩下3个白球，53个红球，那么，箱子里原有红球比白球多多少个？第16讲列方程解应用题〔2〕一、夯实根底列方程的实质是把题中的“生活语言〞化为“代数语言〞，即把文字等量关系式用数与未知数代入即得方程。列方程解应用题的两个关键点：〔1〕用x表示未知量。〔2〕建立等量关系二、典型例题例1．某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多12个，乙种零件全部合格，甲种零件只有合格，两种零件合格的一共是42个，两种零件各生产了多少个？例2．袋子里有红、黄、蓝三种颜色的球，黄球个数是红球的，蓝球个数是红球的，黄球个数的比蓝球少2个。袋中共有多少个球？例3．有一个水池，第一次放出全部水的，第二次放出30立方米水，第三次又放出剩下水的，池里还剩水54立方米三、熟能生巧1．甲、乙两人共有存款108元，如果甲取出自己存款的，乙取出12元后，两人所存的钱数相等，甲、乙两人原来各有存款多少元？2．六年级有学生300人，从六年级男生中选出，女生中选出参加校运动会，这样全年级还剩下91人参加布置会场工作。六年级有男、女生各多少人？，3．长江文具店运来的毛笔比钢笔多1000支，其中毛笔的和钢笔的相等，长江文具店共运来多少支笔？四、拓展演练1．某人装修房屋，原预算25000元。装修时因材料费下降了20％，工资涨了10％，实际用去21500元。求原来材料费及工资各是多少元？2．某商店因换季销售某种商品，如果按定价的5折出售，将赔30元，按定价的9折出售，将赚20元，那么商品的定价为多少元？3．某书店出售一种挂历，每售出1本可得18元利润。售出一局部后每本减价10元出售，全部售完。减价出售的挂历本数是减价前出售挂历本数的。书店售完这种挂历共获利润2870元。书店共售出这种挂历多少本？五、举一反三六、星级挑战★1．甲、乙两人各有钱假设干，现有18元奖金，如果全部给甲，那么甲的钱为乙的2倍，如果全部给乙，那么乙的钱为甲的。问原来两人各有多少元钱？★★2．一位牧羊人赶着一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他数了数羊的只数，发现剩下的羊中，公羊与母羊的只数比是9∶7；过了一会跑走的公羊又回到了羊群，却又跑走了一只母羊，牧羊人又数了数羊的只数，发现公羊与母羊的只数比是7∶5。这群羊原来有多少只？第17讲行程问题之屡次相遇一、夯实根底在一些稍复杂的行程问题中，出现了第二次相遇〔即两次相遇〕的情况，较难理解。其实此类应题只要掌握正确的方法，画图弄清数量关系，明确运动过程以及路程、速度、时间三个量之间的关系，解答起来也十分方便。二、典型例题例1．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距B地60千米处相遇。求A、B两地间的路程。。例2．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距A地60千米处相遇。求A、B两地间的路程。例3．电子游戏《保卫家园》中有两个警卫兵每天在乐乐家门前一条长20厘米的路上巡逻，大警卫每秒走0.5厘米，小警卫每秒走0.3厘米，每天早晨俩人同时从路的两段相向走来，走到对方出发地点再向后转接着走。当他们第三次相遇时，大警卫走了多少厘米？三、熟能生巧1．甲、乙两车同时从东城出发，开往相距750千米的西城，甲车每小时行68千米，乙车每小时行57千米，甲车到达西城后立刻返回。两车从出发到相遇一共经过多长时间？2．客车和货车分别从甲、乙两站同进相向开出，第一次相遇在离甲站40千米的地方，相遇后两车仍以原速度继续前进。客车到达乙站、货车到达甲站后均立即返回，结果它们又在离乙站20千米的地方相遇。求甲、乙两站之间的距离。3．李明和王华步行同时从A、B两地出发，相向而行，第一次在距离A地520米处相遇，相遇后继续前进，到对方出发点后立即原速返回，第二次在距离A地四、拓展演练1．赵老师和王老师每天早晨都要在长600米的一条路上练习长跑，赵老师每分钟跑110米，王老师每分钟跑90米，他们每天都是分别从路的两端出发，跑到另一端后再返回继续跑。他们第二次相遇时，已经跑了几分钟？2．快、慢两辆汽车同时从A、B两地相向而行，快车每小时行45千米，慢车每小时行30千米。两车不断往返于A、B两地运送货物。当两车第三次相遇后，快车又行了270千米才与慢车相遇。求A、B两地间的距离。3．小华、小明、小丽三人步行，小明每分钟走50米，小华每分钟比小明快10米，小丽每分钟比小明慢10米，小华从甲地，小明、小丽从乙地同时出发相向而行，小华和小明相遇后，过了15分钟又和小丽相遇，求甲、乙两地间的距离？五、举一反三六、星级挑战★1．甲、乙两人在相距90米的直路上来回的跑步，甲的速度是每秒钟3米，乙的速度是每秒钟2米，如果他们分别在直路的两端出发，跑了12分钟，共相遇多少次？★★2．小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走〔到达另一村后就马上返回〕，他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远〔相遇指迎面相遇〕？第18讲行程问题之环形赛道一、夯实根底在封闭的环形上，如果是同时同地背向而行，合走一个周长相遇一次。相遇时间是：环形周长÷速度和=相遇时间。如果是同时同地同向而行，速度快的追上速度慢的时候，正好比速度慢的多行一个周长的路程，一周的长度就是追及距离，追上一次。追及时间是：环形周长÷速度差=追及时间二、典型例题例1．小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是180米/分。〔1〕小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？〔2〕小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？例2．如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点60米.求这个圆的周长。例3．甲、乙两人在周长600米的水池边上玩，两人从一点出发〔甲速度比乙快〕，同向而行30分钟后又走到一起，背向而行4分钟相遇。求两人每分钟各行多少米？三、熟能生巧1．甲、乙二人骑车同时从长为10千米的环形公路的某点出发，背向而行，甲每分钟骑100米，乙每分钟150米，经过多少分钟两人相遇？2．如右图，有一个圆，两只小虫分别从直径的两端Ａ与C同时出发，绕圆周相向而行。它们第一次相遇在离A点8厘米处的B点，第二次相遇在离c点处6厘米的Ｄ点，这个圆周的长是多少？3．在480米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行3分钟20秒相遇，如果背向而行40秒相遇，甲比乙快，求甲、乙的速度？四、拓展演练1．一个圆形跑道长1350米，甲、乙二人同时从同一起点绕着跑道向相反方向跑去，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑240米。经过多长时间甲与乙第二次相遇？2．甲、乙两人在环形跑道上练长跑，两人从同一地点同时同向出发，甲每秒跑6米，乙每秒跑4米，经过20分钟两人共同相遇6次，问这个跑道多长？3．在周长400米的圆的一条直径的两端，甲、乙两人分别以每分钟60米和50米的速度，同时同向出发，沿圆周行驶，问2小时内，甲追上乙多少次？五、举一反三六、星级挑战★1．甲、乙两名同学在周长为300米的环形赛道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒跑3.6米，乙每秒跑3.9米。当他们第5次相遇时，甲还需要跑多少米才能回到出发点？★★2．一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫A，B，C分别在这3个点上。它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行。A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？第19讲行程问题之巧用比例一、夯实根底行程问题常和比例结合起来，题目虽然简洁，但是综合性强，而且形式多变，运用比例知识解决复杂的行程问题经常考，而且要考都不简单。我们知道行程问题里有三个量：速度、时间、距离，知道其中两个量就可以求出第三个量。速度×时间=距离；距离÷速度=时间；距离÷时间=速度。如果要用比例做行程问题，这三个量之间的关系是：〔1〕时间相同，速度比=距离比；〔2〕速度相同，时间比=距离比；〔3〕距离相同，速度比=时间的反比。二、典型例题例1．客车和货车同时从甲、乙两城之间的中点向相反的方向行驶，3小时后，客车到达甲城，货车离乙城还有30千米．货车的速度是客车的3/4，甲、乙两城相距多少千米？例2．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，它们相遇时距A、B两地中心处8千米，甲车速度是乙车的1.2倍，求A、B两地的距离。例3．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车每小时行48千米，乙车每小时行42千米。当乙车行至全程的时，甲车距中点还有24千米，A、B两地相距多少千米？三、熟能生巧1．甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向而行，甲行到全程的的地方与乙相遇。甲每小时行30千米，乙行完全程需7小时。求A、B两地之间的路程。2．一列货车和一列客车同时从甲乙两地相向开出，客车的速度是货车的速度的，两车相遇时，客车比货车少行8千米。求甲、乙两地间的距离。3．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车每小时行56千米，乙车每小时行40千米。当乙车行至全程的时，甲车已超过中点12千米，A、B两地相距多少千米？四、拓展演练1．甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，甲行了全程的，正好与乙相遇，甲每小时行4.5千米，乙行完全程要5.5小时，求A、B两地相距多少千米？2．客车和货车同时从A、B两地相对开出，货车的速度是客车的。两车在离两地中点30千米处相遇。A、B两地相距多少千米？3．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车速度是乙车速度的。当乙车行至全程的时，甲车距中点还有30千米，A、B两地相距多少千米？五、举一反三六、星级挑战★1．一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行40千米，返回时每小时行50千米，结果返回时比去时的时间少48分钟。求甲乙两地之间的路程？★★2．甲、乙、丙三人进行200米赛跑，当甲到终点时，乙离终点还有40米，丙离终点还有50第20讲图示法解分数应用题一、夯实根底图示法就是用线段图〔或其它图形〕把题目中的条件和问题表示出来，这样可以把抽象的数量关系具体化，往往可以从图中找到解题的突破口。运用图示法教学应用题，是培养思维能力的有效方法之一。图示法不仅可以形象地、直观地反映分数应用题中的“对应量和对应分率〞间的关系，启发学生的解题思路，帮助学生找到解题的途径，而且通过画图的训练，可以调动学生思维的积极性，提高学生分析问题和解决问题的能力。二、典型例题例1．一条鱼重的加上千克就是这条鱼的重量，这条鱼重多少千克？例2．一桶油第一次用去，第二次比第一次多用去20千克，还剩下22千克。原来这桶油有多少千克？例3．缝纫机厂女职工占全厂职工人数的，比男职工少144人，缝纫机厂共有职工多少人？三、熟能生巧1．张亮从甲城到乙城，第一天行了全程的40%，第二天行了全程的，距乙城还有18千米，甲、乙两城相距多少千米？2．李玲看一本书，第一天看了全书的，第二天看了18页，这时正好看了全书的一半。李玲第一天看书多少页？3．某工程队修筑一条公路，第一周修了这段公路的，第二周修了这段公路的。第二周比第一周多修了2千米，这段公路全长多少千米？四、拓展演练1．汽车从学校出发到太湖玩，小时行驶了全程的，这时距太湖边还有4千米。照这样的速度，行完全程共用多少小时？2．某书店运来一批连环画。第一天卖出1800本，第二天卖出的本数比第一天多，余下总数的正好第三天全部卖完，这批连环画共有多少本？3．一辆汽车从甲地开往乙地，第1小时行了，第2小时比第1小时少行了16千米，这时汽车距甲地94千米。甲、乙两地相距多少千米？五、举一反三六、星级挑战★1．水果店购进一批水果，第一天卖了30%，第二天卖出余下的50%，这两天共卖出195千克。这批水果共多少千克？★★2．用绳子测井深，把绳子折成三股来量，井外余米，把绳子折成四股来量，井外余米，井深多少米？第21讲复原法解分数应用题一、夯实根底有些题目，如果按照一般方法，顺着题意一步一步求解根本无从下手或计算过程比拟繁琐，那么在解题时，我们可以从最后的结果出发，运用加与减，乘与除之间的互逆关系，从后往前一步一步的逆推，从而推算出原数，这种思考问题的方法叫做复原法或逆推法。用复原法解答的关键是：①根据题目所求的问题，找出相应的两个条件，弄清所求的单位“1”是谁，“量〞和“率〞是否对应。②数量关系比拟复杂的可借助表格、线段图或流程图等帮助分析。二、典型例题例1．将小明奶奶今年的年龄依次减去15并乘，再加上4后除以，恰好是100岁，小明奶奶今年多少岁？例2．菜农张大伯卖一批大白菜，第一天卖出这批大白菜的，第二天卖出余下的，这时还剩下240千克大白菜未卖，这批大白菜共有多少千克？例3．有一条铁丝，第一次剪下它的又1米，第二次剪下剩下的又1米，此时还剩15米，这条铁丝原来有多长？三、熟能生巧1．人民机械厂加工一批零件，甲车间加工这批零件的，乙车间加工余下的，丙车间在加工余下的，还剩3600个零件没有加工，这批零件一共有多少个？2．一瓶油第一次吃去EQ\F(1,5)，第二次吃去余下的EQ\F(3,4)，这时瓶里还有EQ\F(1,5)千克，这个瓶里原来有油多少千克？3．有铅笔假设干支，分一半加1支送甲，分余下的一半加2支送乙，剩下的4支送丙，这些铅笔原有多少支？四、拓展演练1．一堆西瓜，第一次卖出总数的多4个，第二次卖出余下的多2个，还剩2个。这对西瓜共有多少个？2．3只猴子吃篮里的桃子，第一只猴子吃了，第二只猴子吃了剩下的，第三只猴子吃了第二只猴子吃过后剩下的，最后篮子里还剩下6只桃子，问篮里原有桃子多少只？3．某水果店有一批苹果，第一天卖出，第二天卖出第一天剩下的，第三天补进第二天剩下的，这时还存有698千克，问原来有苹果多少千克？五、举一反三六、星级挑战★1．某厂有三个车间，一车间人数占全厂人数的，二车间人数比一车间少，三车间人数比二车间人数多30%，三车间有156人，求这个厂全厂共有多少人？★★2．甲、乙两个仓库各有一些粮食，从甲仓运出到乙仓后，又从乙仓运出到甲仓，这时甲、乙两仓各有粮食90吨，原来甲、乙两仓各有粮食多少吨？第22讲转化法解分数应用题一、夯实根底有些稍复杂的分数应用题中经常有好几个单位“1〞量，要正确地解答这些题目，必须先分清楚各个不同单位“1〞量，然后再把题中的某一种量看作单位“1〞，把其他所有的分率都转换为这个单位“1〞的几分之几，再按照简单应用题的方法来计算。二、典型例题例1．果园里有苹果树和梨树共420棵，苹果树棵数的等于梨树的，问这两种果树各有多少棵？例2．兄弟四人合买一台彩电，老大出的钱是其他三人出钱总数的，老二出的钱是另外三人出钱总数的，老三出的钱是另外三人出钱总数的，老四比老三多出40元。求这台彩电多少钱？例3．甲、乙、丙三人各有人民币假设干元，丙的钱数比甲少，丙的钱数又比乙多，甲的钱数比乙的钱数多200元，求甲、乙、丙三人各有人民币多少元？三、熟能生巧1．甲、乙二人共有存款1800元，甲取出他的，乙取出他的以后，二人余存数正好相等。甲、乙两人原来各有存款多少元？2．一位老人去世后留下一笔遗产分给其三个子女。老大分的财产是其余两人的，老二分的财产是其余两人的，老三分的财产是12000元。问老人留下的遗产是多少元？3．甲、乙、两三人共加工735个零件，甲加工的零件个数是乙的，乙加工的零件个数是丙的。甲、乙、丙三人各加工零件多少个？四、拓展演练1．逸仙小学有学生1350人，秋游组织全校男生的和全校女生的参观静海寺，其余的学生参观南京大屠杀纪念馆，结果发现参观南京大屠杀纪念馆的男生和女生人数正好相等，逸仙小学男生和女生各有多少人？2．甲、乙、丙三人存钱，甲存钱数是另两人的，乙存钱数是另两人的25%，丙存钱660元。三人平均存多少钱？3．甲、乙、丙各有钱假设干元，甲的钱数是乙的，丙的钱数比甲多，求丙的钱数是乙的几分之几？五、举一反三六、星级挑战★1．有两根绳，甲绳比乙绳长35米。甲绳的和乙绳的相等，两根绳各长多少米？★★2．阿木达是一位勤劳的牧民，他养了许多骆驼和毛驴。阿木达养的骆驼数占骆驼和毛驴总数的，毛驴数比骆驼数的少2头。求阿木达养了多少头骆驼，多少头毛驴？第23讲抓住不变量解分数应用题一、夯实根底有些分数应用题，数量变化多，分析难度大，不易列式计算。但是，如果我们仔细分析就会发现，变来变去，总有一个量是不变的，这就是我们所说的“不变量〞。对于这类分数应用题，我们通常是抓住“不变量〞，巧设单位“1〞，把其他分率统一转化为同一个单位“1〞，求出单位“1〞的量，把它作为解题的中间条件，问题就迎刃而解了。运用“量不变〞的思维方法解题时，大体上有以下几种情况：〔1〕分量发生变化，总量没有变化；〔2〕总量发生变化，但其中有的分量没有发生变化；〔3〕总量和分量都发生变化，但分量之间的差没有发生变化。二、典型例题例1．学校阅览室里有36名学生在看书，其中女生占，后来又有几名女生来看书，这时女生人数占所有看书人数的。问后来又有几名女生来看书？例2．有两缸金鱼，如果从甲缸中取出1尾放入乙缸，那么两缸的金鱼尾数相等，如果从乙缸中取出1尾放入甲缸，那么乙缸是甲缸的。求原来甲、乙两缸各有金鱼多少尾？例3．一筐香蕉，筐的重量是香蕉的，卖掉19千克后，剩下的香蕉重量是筐重量的倍，求原来筐里有香蕉多少千克？三、熟能生巧1．某校原有科技书和文艺书共630本，其中科技书占20%，后来又买进一些科技书，这时科技书占总数的30%，求又进科技书多少本？2．小芳在看一本小说，晚饭前，已看的页数是未看的，晚饭后，她又看了8页，这时已看的页数是未看的，这本小说有多少页？3．某车间男工人数是女工人数的2倍，假设调走21个男工，那么女工人数是男工人数的2倍。这个车间的女工有多少人？四、拓展演练1．一批葡萄运进仓库时的质量是100千克，测得含水量为99%，过一段时间，测得含水量为98%，这时葡萄的质量是多少千克？2．有甲、乙两个粮库，原来甲粮库存粮的吨数是乙粮库的。如从乙粮库调6吨到甲粮库，甲粮库存粮的吨数就是乙的。原来甲、乙粮库各存粮多少吨？3．袋中有假设干个皮球，其中花皮球占，后来往袋中又放入了6个花皮球，这时花皮球占皮球总数的，现在袋中有多少个皮球？五、举一反三六、星级挑战★1．小强和小明各有图书假设干本。小强的图书本数占两人图书总数的60%，当小强借给小明20本后，小强和小明图书本数的比是2：3。两人一共有图书多少本？★★2．甲种的价格是乙种价格的，如果这两种的价格都分别下降600元，那么甲种的价格是乙种价格的。甲种原来的价格是多少元?第24讲巧用比解分数应用题一、夯实根底对分数应用题，巧妙地应用比的知识，能使复杂的题目简单地解决。在比中，如果甲数：乙数=4：5，我们可以把甲数看作4份，把乙数看作5份，甲、乙两数的和看作9份。在分数应用题，如果“男生人数是女生人数的〞，我们也可以把男生人数看作3份，女生人数看作5份。同样的，如果“男生人数比女生人数多〞，我们就可以把女生人数看作6份，男生人数就是〔6+1〕份。正因为有这样的联系，我们就可以把分数应用题用比的知识来解答。二、典型例题例1．水结成冰，体积增加了，当冰融成水后，体积要减少几分之几？例2．甲、乙两仓库共存粮600吨，甲仓库的存粮比乙仓库少，求甲、乙两仓库各存粮多少吨？例3．甲、乙两人共有存款108元，如果甲取出自己存款的，乙取出12元后，两人所存的钱数相等，甲、乙两人原来各有存款多少元？三、熟能生巧1．明明在书店买了一本字典和一本作文选。字典比作文选贵1.8元，作文选的价钱是字典的。字典的价钱是多少元？2．甲绳比乙绳长米，乙绳比甲绳短。甲、乙两绳各长多少米？3．水果店运来苹果和香梨一共210千克，香梨的质量是苹果的。运来香梨有多少千克？4．甲、乙两个养猪专业户共养猪2000头，如果甲卖掉他所养猪的，乙卖掉110头，那么甲、乙两户剩余的猪的头数相等，甲、乙两户原来各养猪多少头？四、拓展演练1．两根铁丝共长363米，各剪去3米，那么第二根是第一根的。原来第一根长几米？2．甲、乙两个书架，甲书架上的书是乙书架的。假设从乙书架取出75本放入甲书架，两个书架上的书相等。原来两书架各有书多少本？3．有两个桶共装油44千克，假设第一桶里倒出，第二桶里倒进2.8千克，那么两个桶里的油相等。原来每只桶各装油多少千克？五、举一反三六、星级挑战★1．甲、乙两桶油，甲桶油的重量是乙桶油重量的。如果从乙桶倒出5千克油到甲桶，这时两桶油就相等了。甲、乙两桶油原来各有多少千克？★★2．五年级有3个班，一班人数占全年级的，三班人数比二班人数多，如果从三班调走4人后，和二班人数同样多，求五年级共有多少人？第25讲对应法解分数应用题一、夯实根底对应法是一种极为重要的解题方法，我们在分析分数除法应用题时，大都建立在“量〞与“率〞对应的根底上。在分数、百分数的复合应用题中，根据题目中的量，找出和量对应的分率，就可以求出单位“1〞量。二、典型例题例1．小华看一本书，第一天看了全书的还多21页，第二天看了全书的少6页还剩下172页。这本故事书共有多少页？例2．学校买来一批图书，放在两个书柜中，其中第一个书柜中的图书占这批图书的58%，如果从第一个书柜中取出32本，放到第二个书柜中，这时两个书柜的图书各占这批图书的，求这批图书共有多少本？例3．有两根蜡烛，一根长8厘米，另一根长6厘米。把两根都燃掉同样长的一局部后，短的一根剩下的长度是长的一根剩下的。每段燃掉多少厘米？三、熟能生巧1．用米尺测量一根铁丝，从一端量出全长的40%，做一个标记；从另一端量出全长的，再做一个标记，这两个标记间长6米，问这根铁丝长多少米？2．小青看一本小说，第一天看的页数比总页数的多16页；第二天看的页数比总页数的少2页，还余下88页。这本书共有多少页？3．仓库里原来存的大米和面粉袋数相等，运出800袋大米和500袋面粉后，仓库里所剩下的大米袋数是面粉的。仓库里原来有大米和面粉多少袋？四、拓展演练1．一批课外读物，借出的占这批读物的，后来又添置了125本，这时存书占原有本数的，求原有课外读物多少本？2．某校男生人数比全校学生总人数的多72人，女生人数比全校学生总数的少20人，这个学校男、女生各有多少人？3．一瓶酒精，当用去酒精的50%后，连瓶共重700克；如只用去酒精的后，连瓶共重800克。求瓶子的重量。4．一本书，已经看了130页，剩下的准备8天里看完。如果每天看的页数相等，3天看的页数恰好是全书的。这本书共有多少页？五、举一反三六、星级挑战★1．一块西红柿地今年获得丰收。第一天收了全部的，装了3筐还余12千克，第二天把剩下的全部收完，正好装了6筐，这块地共收了多少千克西红柿？★★2．某超市运来红糖和白糖各一大袋，红糖重量的比白糖重量的还多2千克，两袋糖共重82千克，求红糖和白糖各多少千克？第26讲假设法解分数应用题一、夯实根底假设法的思维方法是数学中经常使用的一种推测性思维方法。当有些应用题用直接推理或其他推理方法不能寻找解题途径时，就可以将题目中的两个或两个以上的未知条件，假设成相等的数量，或将一个未知条件假设成，从而使题目中隐蔽或复杂的数量关系趋于明朗化和简单化，这是假设思维的一个突出特点。用假设法解题时，一定要抓住假设的结果与实际结果之间的不同，找出不同的缘由，就是解题的突破口。二、典型例题例1．甲、乙两筐苹果共195千克，如果从甲筐取出，从乙筐取出，两筐共取出75千克，问：甲、乙两筐原来各重多少千克？例2．学校有排球和足球共58个，排球借出后，还比足球多8个。原来排球和足球各有多少个？三、熟能生巧1．甲、乙两班共84人，甲班人数的与乙班人数的共有58人，甲、乙两班各有多少人？2．师傅与徒弟两人共加工零件105个，师傅加工零件的总数的与徒弟加工的零件总数的的和为49个，师、徒各加工零件多少个？3．由于浮力的作用，金放在水里称，重量减轻，银放在水里称，重量减轻。有一块重500克的金银合金，放在水里称减轻了32克，这块合金含金多少克？四、拓展演练1．两根电线共长52米，第一根的和第二根的的和是16米，求两根电线各长多少米？2．甲、乙两人共有人民币700元，甲用去自己钱数的，乙用去自己钱数的，两人总共还剩下360元，求原来甲、乙两人各有人民币多少元？3．育红小学上学期共有学生750人，本学期男生增加，女生减少，共有710人，本学期男女学生各有多少人？五、举一反三六、星级挑战★1．袋子里原有红球和黄球共104个。将红球增加，黄球减少后，红球和黄球的总数变为112个。原来袋子里有红球和黄球各多少个？★★2．我校图书室去年买了科技书与文艺书共475本，今年又买了科技书与文艺书共640本。其中科技书比去年多买了48%，文艺书比去年多买了20%，今年买的新书中科技书与文艺书各有多少本？第2