高中数学《排列与排列数》教案、导学案与同步练习

《6.2.1排列与排列数》教案

【教材分析】

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，第六章《计数原理》，本节课主

本节课主要学习排列与排列数。

排列与组合是在学习了两个计数原理之后，由于排列、组合及二项式定理的研究都是以两

个计数原理为基础，同时排列和组合又能进一步简化和优化计数问题。教学的重点是排列

的理解，利用计数原理推导排列数公式，难点是运用排列解决实际问题。

【教学目标与核心素养】

课程目标学科素养

A.理解并掌握排列、排列数的概念，能用列举法、树1.数学抽象：排列的概念

状图法列出简单的排列.2.逻辑推理：排列数的性质

B.掌握排列数公式及其变式,并能运用排列数公式熟3.数学运算：运用排列数解决计数问题

练地进行相关计算.4.数学建模：将计数问题转化为排列问题

C.掌握有限制条件的排列应用题的一些常用方法,并

能运用排列的相关知识解一些简单的排列应用题.

【重点与难点】

重点：理解排列的定义及排列数的计算

难点：运用排列解决计算问题

【教学过程】

教学过程教学设计

一、温故知新

两个原理的联系与区别

L联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、

最重要的方法.

2.区别通过引导学生回

分类加法计数原理分步乘法计数原理顾计数原理，进

区别完成一件事共有n类办法,关键完成一件事共有n个步一步比较分析加

词是“分类”骤,关键词是“分步”深对两个计数原

除最后一步外，其他每理得理解。

每类办法中的每种方法都能独步得到的只是中间结

立地完成这件事,它是独立的、果，任何一步都不能独

区别

一次的且每种方法得到的都是立完成这件事,缺少任

最后结果，只需一种方法就可完何一步也不能完成这件

成这件事事,只有各个步骤都完

成了，才能完成这件事

各步之间是关联的、独

区别各类办法之间是互斥的、并列立的，“关联”确保不

的、独立的遗漏，“独立”确保不

重复

通过具体问题，

问题1.从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参

分析、比较、归

加上午的活动，另1名同学参加下午的活动.

纳出对排列的概

分析：要完成的一件事是“选出2名同学参加活动，1名参加上午的活动，

念。发展学生数

另1名参加下午的活动”，可以分两个步骤：

学运算，数学抽

第1步，确定上午的同学，从3人中任选1人，有3种选法；

象和数学建模的

第2步，确定下午的同学，只能从剩下的2人中去选，有2种选法.

核心素养。

根据分步乘法计数原理，不同的选法种数为3X2=6.

上午下午相应的选法

一_^一乙甲乙

甲

~~~~丙甲丙

____________乙甲

乙V一

j-丙乙丙

_一一甲丙甲

丙

乙丙乙

问题如果把上面问题中被取出的对象叫做元素，则问题可叙述为：从3个不

同的元素中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排

列方法？

问题2.从1,2,3,4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的三位

数？

分析：从4个数中每次取出三个按“百位、十位、个位”的顺序排成一

歹U，就得到一个三位数.因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三

位数，可以分三个步骤解决：

第1步，确定百位上的数字，从1、2、3、4这4个数中任取一个，有4种

方法；第2步，确定十位上的数字，只能从余下的3个数字中取，有3种方

法；第3步，确定个位上的数字，只能从余下的2个数字中取，有2种方

法；根据分步乘法计数原理，从1、2、3、4这4个不同的数字中，每次取

出3个数字，按百位、十位、个位的顺序排成一列，不同的排列方法为

4X3X2=24

因而共可得到24个不同的三位数，如图所示

百位L234

/、、/Z

十位234134124123

△△△△△△△△A△△八

个位342423341413241412231312

同样，问题2可以归结为：

从4个不同的元素a,b,c,d中任意取出3个，并按一定的顺序排成一列，共有

多少种不同的排列方法？所有不同的排列是

abc,abd,acb,acd,adb,adc,

bac,bad,bca,bed,bda,bdc,

cab,cad,cba,cbd,eda,cbd,

dab,dac,dba,dbc,dca,deb,

不同的排列方法为4X3X2=24

在典例分析和练

上述问题1,2的共同特点是什么？你能将它们推广到一般情形吗？

习中让学生熟悉

一、排列的相关概念

排列和排列数的

1.排列:一般地,从n个不同元素中取出m(mWn)个元素,并按照一定的顺序排

概念，进而灵活

成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

运用排列数解决

2.相同排列:两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.

问题。发展学生

名师点析理解排列应注意的问题

逻辑推理，直观

(1)排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按一定顺序

想象、数学抽象

排列”.

和数学运算的核

(2)定义中的“一定顺序”说明了排列的本质:有序.

1.下列问题中：心素养。

①10本不同的书分给10名同学,每人一本；

②10位同学互通一次电话；

③10位同学互通一封信；

@10个没有任何三点共线的点构成的线段.

属于排列的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

解析：由排列的定义可知①③是排列,②④不是排列.

答案:B

二、典例解析

例1.某省中学足球队赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各

队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？

分析：每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组6支队中选

取2支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列.

解：可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客

队.按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为

6X5=30.

例2.（1）一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取

1盘菜，共有多少种不同的取法？

（2）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一

种，共有多少种不同的选法？

分析：3名同学每人从5盘不同的菜中取1盘菜，可看作是从这5盘菜中任

取3盘，放在3个位置（给3名同学）的一个排列；而3名同学每人从食堂

窗口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，不能看成一个排列.

解：（1）可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取

1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙.按分步乘法计数原

理，不同的取法种数为

5X4X3=60.

(2)可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种

菜中选1种，也有5种选法；

最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法.

按分步乘法计数原理，不同的取法种数为

5X5X5=125.

二、排列数与排列数公式

1.排列数的定义:从n个不同元素中取出m(mWn)个元素的所有不同排列的企

数,叫做

从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号A*表示.

2.排列数公式:A?二n(nT)(n-2)…(n-m+l)=—这里m,nGN*,并且mWn.

3,全排列和阶乘:n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全

排列.这时,排列数公式中m=n,即有A：=n(nT)列-2)X…X3义2X1.也就是

说,将n个不同的元素全部取出的排列数,等于正整数1到n的连乘积.正整

数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用足表示.于是,n个元素的全排列数公式

可以写成A任星.另外,我们规定,0!=1.

问题3.你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗?它们有什么区别？

“排列”与“排列数”是两个不同的概念,一个排列是指“从n个不同元素

中取出m(mWn)个元素,按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数,而是具体

的一件事.“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(mWn)个元素的所有不

同排列的个数”，它是一个数.

例3.计算：(1)A|；(2)A1；(3用；(4)AaxA,.

A4

解：根据排列数公式，可得

(1)=7x6x5=210；

(2)=7x6x5x4=840；

(3)与=-=7x6x5=210；

A：4!

(4)A[xA,=6x5x4x3x2xl=720.

由例3可以看出，第=三；A：xAl=6!=A1,即A[=悟=?；

A44!AoN!

观察这两个结果，从中你发现它们的共性了吗？

事实上,

A™-n(n—l)(n—2)...(n—m+1)

n(n—l)(n—2)...(n—m+l)(n—m)...x2x1

(n—m)x...x2x1

_A：_n!即Am_n!

11

_AR：™—(n-m)!八-(n_m)!

例4.用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

分析：在0~9这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以

在任意数位上，因此0是一个特殊的元素。一般地，我们可以从特殊元素的

位置入手来考虑问题。

解法1：由于三位数的百位上的数字不能是0,所以可以分两步完成：

第1步，确定百位上的数字可以从1'9这9个数字中取出1个，有A3种取法

;第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数中取2个，有

种取法；如图

根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为AaXAg=9X9X8=648.

百位十位个位

£种8种

解法2：如图，符合条件的三位数可以分成三类：第1类，每一位数字都不

是。的三位数，可以从广9这9个数字中取出3个，有A：种取法；第2类，

个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数中取出2个放在百位和十

位，有Ag种取法；第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个

数字中取出2个放在百位和个位，有配种取法.根据分类加法计数原理,所求

三位数的个数为第+A5+A1=9X8X7+9X8+9X8=648.

解法3：从0~9这10个数字中选取3个的排列数为A%,其中0在百位上的

排列数为Aj,它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个

数，

即所求三位数的个数为=10X9X8-9X8=648.

百位十位个位百位十位个位百位十位个位

00;

另种席种A；种

1.此类题目从不同的视角可以选择不同的方法,我们用各种方法解决这个题

的目的是:希望通过对本题的感悟,能掌握更多的解决这类问题的方法.

2.元素分析法最基本，位置分析法对重要元素区别对待，间接法对对立面比较

容易求解的题目特别实用.

跟踪训练有语文、数学、英语、物理、化学、生物6门课程，从中选4门安

排在上午的4节课中,其中化学不排在第四节,共有多少种不同的安排方法？

解：（方法一分类法）分两类：

第1类,化学被选上,有AgAg种不同的安排方法；

第2类，化学不被选上,有Ag种不同的安排方法.

故共有AaAg+Ag=300（种）不同的安排方法.

（方法二分步法）第1步,第四节有Ag种排法;第2步,其余三节有Ag种排法，

故共有AgAg=300（种）不同的安排方法.

（方法三间接法）从6门课程中选4门安排在上午,有A2种排法,而化学排第

四节,有Ag种排法,故共有A2-Ag=300（种）不同的安排方法.

三、达标检测

1.从5本不同的书中选两本送给2名同学,每人一本,则不同的送书方法的种通过练习巩固本

数为（）节所学知识，通

A.5B.10C.20D.60过学生解决问

解析:此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素的排列数,即共有Al题，发展学生的

=20（种）不同的送书方法.数学运算、逻辑

答案:C推理、直观想

2.设mdN*,且m<15,贝必%m=（）象、数学建模的

A.（20-m）（21-m）（22-m）（23-m）（24-m）（25-m）核心素养。

B.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)

C.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)

D.(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)

解析：A%5是指从20-m开始依次连续的6个数相乘,即(20-m)(19-

m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m).

答案:c

3.某次演出共有6位演员参加,规定甲只能排在第一个或最后一个出场，乙和

丙必须排在相邻的顺序出场,不同的演出顺序共有()

A.24种B.144种C.48利।

D.96种

解析:第1步,先安排甲有A3种不同的演出顺序;第2步,安排乙和丙有种

不同的演出顺序;第3步,安排剩余的三个演员有A郛中不同的演出顺序.根据

分步计数原理,共有A3A"：Ag=96(种)不同的演出顺序.故选D.

答案:D

4.有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地里,有_____种不同的

种法.

解析:将4块不同土质的地看作4个不同的位置,从8种不同的菜种中任选4

种种在4块不同土质的地里,则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的

排列问题,所以不同的种法共有A3=8X7X6X5=1680(种).

答案：1680

5.用1、2、3、4、5、6、7这7个数字组成没有重复数字的四位数.

(1)这些四位数中偶数有多少个?能被5整除的有多少个？

(2)这些四位数中大于6500的有多少个？

解：⑴偶数的个位数只能是2、4、6,有A界中排法,其他位上有A看种排法，由

分步乘法计数原理,知共有四位偶数公■A然360(个)；能被5整除的数个位必

须是5,故有A行120(个).

(2)最高位上是7时大于6500,有A舒中,最高位上是6时,百位上只能是7或

5,故有2XAg种.由分类加法计数原理知,这些四位数中大于6500的共有

A>2XAg=160(个).

四、小结

无条件限通过总结，让学

生牛的羽卜歹U

羽「歹！J的—

—概念

一行条件限生进一步巩固本

羽卜歹U制的月E歹U

与排—

外」数—化偷术保£节所学内容，提

—排歹U数—

公共

高概括能力。

【教学反思】

在本节课的教学中，学生可能遇到的问题（或困难、障碍）是综合应用两个计数原理，产

生这一问题的原因是不能根据问题的特征选择对应的原理。要解决这一问题，就要要通过

典型的、学生比较熟悉的实例，经过概括得出两个计数原理，然后从单一到综合的方式，

安排例题，其中关键是从单一到综合，引导学生体会两个计数原理的基本思想。

《6.2.1排列与排列数》导学案

【学习目标】

1.理解并掌握排列、排列数的概念，能用列举法、树状图法列出简单的排列.

2.掌握排列数公式及其变式,并能运用排列数公式熟练地进行相关计算.

3.掌握有限制条件的排列应用题的一些常用方法,并能运用排列的相关知识解一些简单的排

列应用题.

【重点与难点】

重点：理解排列的定义及排列数的计算

难点：运用排列解决计算问题

【知识梳理】

两个原理的联系与区别

1.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.

2.区别

分类加法计数原理分步乘法计数原理

区别完成一件事共有n类办法,关键词是完成一件事共有n个步骤,关键词是“分

“分类”步”

每类办法中的每种方法都能独立地完除最后一步外,其他每步得到的只是中间结

区别成这件事,它是独立的、一次的且每果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少

种方法得到的都是最后结果，只需一任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤

种方法就可完成这件事都完成了，才能完成这件事

区别各类办法之间是互斥的、并列的、独各步之间是关联的、独立的，“关联”确保

立的不遗漏，“独立”确保不重复

一、排列的相关概念

1.排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m<n)个元素,并按照一定的皿排成一列，叫做

从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

2.相同排列:两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.

名师点析理解排列应注意的问题

(1)排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”.

(2)定义中的“一定顺序”说明了排列的本质:有序.

二、排列数与排列数公式

1.排列数的定义:从n个不同元素中取出m(mWn)个元素的所有不同排列的个数,叫做

从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号A；?表示.

2.排列数公式:A^=n(nT)(n-2)…(n-m+1)『这里叫nCN”,并且mWn.

3.全排列和阶乘:n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列.这时,排

列数公式中m=n,即有A"n(nT)(n-2)义…X3X2X1.也就是说,将n个不同的元素全部取

出的排列数,等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用武表

示.于是,n个元素的全排列数公式可以写成A/m止.另外,我们规定,0!=1.

1.下列问题中：

①10本不同的书分给10名同学,每人一本；

②10位同学互通一次电话；

③10位同学互通一封信；

©10个没有任何三点共线的点构成的线段.

属于排列的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【学习过程】

一、问题探究

问题L从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活

动，另1名同学参加下午的活动.

如果把上面问题中被取出的对象叫做元素，则问题可叙述为：从3个不同的元素中任意取

出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？

问题2.从1,2,3,4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的三位数？

同样，问题2可以归结为：

从4个不同的元素a,b,c,d中任意取出3个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的

排列方法？

问题3.你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗?它们有什么区别？

二、典例解析

例L某省中学足球队赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场

分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？

例2.(1)一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有

多少种不同的取法？

(2)学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种

不同的选法？

例3.计算：⑴A；；(2)A>(3)条(4)A2xA孑.

A4

例4.用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

1.此类题目从不同的视角可以选择不同的方法,我们用各种方法解决这个题的目的是:希望

通过对本题的感悟，能掌握更多的解决这类问题的方法.

2.元素分析法最基本，位置分析法对重要元素区别对待，间接法对对立面比较容易求解的题

目特别实用.

跟踪训练有语文、数学、英语、物理、化学、生物6门课程，从中选4门安排在上午的4

节课中,其中化学不排在第四节,共有多少种不同的安排方法？

【达标检测】

1.从5本不同的书中选两本送给2名同学,每人一本,则不同的送书方法的种数为()

A.5B.10C.20D.60

2.设mGN•，且水15,则A“m=()

A.(20-m)(21-m)(22-m)(23-m)(24-m)(25-m)

B.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)

C.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)

D.(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)

3.某次演出共有6位演员参加，规定甲只能排在第一个或最后一个出场，乙和丙必须排在相

邻的顺序出场，不同的演出顺序共有()

A.24种B.144种C.48种D.96种

4.有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地里,有种不同的种法.

5.用1、2、3、4、5、6、7这7个数字组成没有重复数字的四位数.

(1)这些四位数中偶数有多少个?能被5整除的有多少个？

(2)这些四位数中大于6500的有多少个？

【课堂小结】

【参考答案】

知识梳理

1.解析：由排列的定义可知①③是排列,②④不是排列.

答案:B

学习过程

一、问题探究

问题L分析：要完成的一件事是“选出2名同学参加活动，1名参加上午的活动，另1

名参加下午的活动”，可以分两个步骤：

第1步，确定上午的同学，从3人中任选1人，有3种选法；

第2步，确定下午的同学，只能从剩下的2人中去选，有一2种选法.

根据分步乘法计数原理，不同的选法种数为3X2=6.

相应的选法

甲乙

甲丙

乙甲

乙丙

丙甲

丙乙

问题2.分析：从4个数中每次取出三个按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，就得

到一个三位数.因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数，可以分三个步骤解

决：

第1步，确定百位上的数字，从1、2、3、4这4个数中任取一个，有4种方法；

第2步，确定十位上的数字，只能从余下的3个数字中取，有3种方法；

第3步，确定个位上的数字，只能从余下的2个数字中取，有2种方法；

根据分步乘法计数原理，从1、2、3、4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按百

位、十位、个位的顺序排成一列，不同的排列方法为4X3X2=24

因而共可得到24个不同的三位数，如图所示

同样，问题2可以归结为：

从4个不同的元素a,b,c,d中任意取出3个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的

排列方法？

abc,abd,acb,acd,adb,adc,

bac,bad,bca,bed,bda,bdc,

cab,cad,cba,cbd,eda,cbd,

dab,dac,dba,dbc,dca,deb,

不同的排列方法为4X3X2=24

上述问题1,2的共同特点是什么？你能将它们推广到一般情形吗？

问题3.“排列”与“排列数”是两个不同的概念,一个排列是指“从n个不同元素中取出

m(mWn)个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一件事.“排列数”

是指“从n个不同元素中取出m(mWn)个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数.

二、典例解析

例1.分析：每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组6支队中选取2

支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列.

解：可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队.

按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为

6X5=30.

例2.分析：3名同学每人从5盘不同的菜中取1盘菜，可看作是从这5盘菜中任取3盘,

放在3个位置(给3名同学)的一个排列；而3名同学每人从食堂窗口的5种菜中选1

种，每人都有5种选法，不能看成一个排列.

解：(1)可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学

乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙.按分步乘法计数原理，不同的取法种数为

5X4X3=60.

(2)可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也

有5种选法；最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法.

按分步乘法计数原理，不同的取法种数为

5X5X5=125.

问题3.“排列”与“排列数”是两个不同的概念,一个排列是指“从n个不同元素中取出

m(mWn)个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一件事.“排列数”

是指“从n个不同元素中取出m(mWn)个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数.

例3.解：根据排列数公式，可得

(1)=7x6x5=210；

(2)=7x6x5x4=840；

⑶曰=^=7x6x5=210；

AJ4!

(4)A|xA|=6x5x4x3x2xl=720.

由例3可以看出，悟AtxA|=6!=A1,即

A44!AoN!

观察这两个结果，从中你发现它们的共性了吗？

事实上，

A™=n(n—l)(n—2)...(n—m+1)

n(n—l)(n—2)...(n—m+l)(n—m)...x2x1

(n-m)x...x2x1

1

_-(n-m)IAn-(n_m)!

例4.分析：在0~9这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数

位上，因此0是一个特殊的元素。一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题。

解法1：由于三位数的百位上的数字不能是0,所以可以分两步完成：

第1步，确定百位上的数字可以从P9这9个数字中取出1个，有A3种取法；第2步，确

定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数中取2个，有A5种取法：如图

根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为解XA5=9X9X8=648.

百位十位个位

解法2：如图，符合条件的三位数可以分成三类：第1类，每一位数字都不是0的三位数

,可以从1、9这9个数字中取出3个，有Ag种取法；第2类，个位上的数字是。的三位数

,可以从剩下的9个数中取出2个放在百位和十位，有A5种取法；第3类，十位上的数字

是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位，有种取法.根据分

类加法计数原理,所求三位数的个数为Ag++A1=9X8X7+9X8+9X8=648.

解法3：从0~9这10个数字中选取3个的排列数为A",其中0在百位上的排列数为AM

它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，

即所求三位数的个数为A：o-A5=10X9X8-9X8=648.

百位十位个位百位十位个位百位十位个位

I

用种种

L此类题目从不同的视角可以选择不同的方法,我们用各种方法解决这个题的目的是:希望

通过对本题的感悟,能掌握更多的解决这类问题的方法.

2.元素分析法最基本，位置分析法对重要元素区别对待，间接法对对立面比较容易求解的题

目特别实用.

跟踪训练解：（方法一分类法）分两类：

第1类,化学被选上,有种不同的安排方法；

第2类，化学不被选上,有AW种不同的安排方法.

故共有+Ag=300（种）不同的安排方法.

（方法二分步法）第1步，第四节有A&种排法;第2步,其余三节有Ag种排法,故共有

AgA新300（种）不同的安排方法.

（方法三间接法）从6门课程中选4门安排在上午,有A打中排法,而化学排第四节,有Ag种

排法,故共有A2-Al=300（种）不同的安排方法.

达标枪测

1.解析:此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素的排列数，即共有=20（种）不同

的送书方法.

答案:C

2.解析：A酎.m是指从20-m开始依次连续的6个数相乘,即（20-m）（19-m）（18-m）（17-

m）（16-m）（15-m）.

答案:C

3.解析:第1步,先安排甲有A,种不同的演出顺序;第2步,安排乙和丙有A箫奸中不同的演出

顺序;第3步,安排剩余的三个演员有A舒中不同的演出顺序.根据分步计数原理,共有

A/A5A；Ag=96（种）不同的演出顺序.故选D.

答案:D

4.解析:将4块不同土质的地看作4个不同的位置,从8种不同的菜种中任选4种种在4块

不同土质的地里,则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题,所以不同的种法

共有A鼻=8X7X6*5=1680（种）.

答案：1680

5.解：（1）偶数的个位数只能是2、4、6,有Ag种排法，其他位上有A&种排法，由分步乘法计数

原理,知共有四位偶数Ag-A需=360（个）；能被5整除的数个位必须是5,故有A^120（个）.

（2）最高位上是7时大于6500,有.A1种,最高位上是6时,百位上只能是7或5,故有2XAj

种.由分类加法计数原理知,这些四位数中大于6500的共有A>2XAg=160（个）.

《6.2.1排列与排列数》基础训练

一、选择题

1.下列问题中属于排列问题的是（）.

A.从10个人中选出2人去劳动

B.从1（）个人中选出2人去参加数学竞赛

C.从班级内30名男生中选出5人组成一个篮球队

D.从数字5、6、7、8中任取2个不同的数做10g”人中的底数与真数

2.89x90x91x……xlOO可表示为（）

A.A。。B.Ao。C.Ai。。D.A®

3.已知羯x=100A：,贝ijx=（）.

A.11B.12C.13D.14

4.某节目组决定把《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两

首诗词排在后六场做节目开场诗词，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排

在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后

六场开场诗词的排法有（）

A.72种B.48种C.36种D.24种

5.（多选题）5人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不同的排法种数可以是

（）

A.B.60C.72D.

6.（多选题）对于正整数"，定义“〃!！”如下：当〃为偶数时，

n!!=n-（H-2）-（n-4）---6-4-2；当”为奇数时，=1；贝！］

下列命题中正确的是（）

A.（2021!!＞（2020!!）=2021!B.2004!!=21002.1002!

C.2020!!的个位数是0D.2005!!的个位数是5

二、填空题

7.5阀+4A：=.

8.用数字1,2,3,4,6可以组成无重复数字的五位偶数有个.（用数字作答）

9.省实验中学为预防秋季流感爆发，计划安排学生在校内进行常规体检，共有3个检查项

目，需要安排在3间空教室进行检查，学校现有一排6间的空教室供选择使用，但是为了

避免学生拥挤，要求作为检查项目的教室不能相邻，则共有种安排方式.（用数字

作答）

10.某年级举办线上小型音乐会，由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排

在前两位，节目丙必须排在节目乙的下一个，则该小型音乐会节目演出顺序的编排方案共

有一种.（用数字作答）

三、解答题

11.(1)解不等式A；＜6A.2

(2)解方程A)[=140A)

12.一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单.

(1)2个相声节目要排在一起，有多少种排法？

(2)第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？

(3)前3个节目中要有相声节目，有多少种排法？

答案解析

一、选择题

1.下列问题中属于排列问题的是().

A.从1()个人中选出2人去劳动

B.从10个人中选出2人去参加数学竞赛

C.从班级内30名男生中选出5人组成一个篮球队

D.从数字5、6、7、8中任取2个不同的数做log,"中的底数与真数

【答案】D

【详解】A.从1()个人中选出2人去劳动，与顺序无关，故错误；

B.从10个人中选出2人去参加数学竞赛，与顺序无关，故错误；

C.从班级内30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，故错误；

D.从数字5、6、7、8中任取2个不同的数做log,8中的底数与真数，底数与真数位置不

同，即与顺序有关，故正确；故选：D

2.89x90x91x……xlOO可表示为()

A.AooB.Ao。C.D.A向

【答案】C

【详解】瑞=100x99xLx(100-12+l)=100x99xLx89.

3.已知£X=100A；,则》=().

A.11B.12C.13D.14

【答案】C

【详解】成=1()()A；=>2x.(2x-l>(2x-2)=l()()x.(x-1),贝ij

2x-(2x-l)-2(x-l)=100x-(%-l),

约分得：2x-l=25,解得：x=13,经检验满足题意.

4.某节目组决定把《将进酒》《山居秋瞑》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两

首诗词排在后六场做节目开场诗词，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排

在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后

六场开场诗词的排法有()

A.72种B.48种C.36种D.24种

【答案】C

【详解】首先可将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，

共有用=6种排法，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里(最后一

个空不排)，共有#=6种排法，则后六场开场诗词的排法有6x6=36种，故选：C.

5.(多选题)5人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不同的排法种数可以是

()

A.B.60C.72I).

【答案】AC

【详解】先除去甲、乙两人，将剩下的3人全排，共用=3X2X1=6种不同的排法，再将

甲、乙两人从产生的4个空中选2个插入共用=12种不同的排法，所以5人并排站成一

行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不同的排法种数是=6X12=72,故选：AC.

6.(多选题)对于正整数〃，定义“〃!！”如下：当”为偶数时，

〃!!=〃-(〃-2>(〃一4>一6—4-2；当“为奇数时，n!!=n-(/?-2)-(n-4)---5-3-1；贝i|

下列命题中正确的是()

A.(2021!!)-(2020!!)=2021!B.2004!!=21002.1002!

C.202()!!的个位数是0D.2005!!的个位数是5

【答案】ABCD

［详解］A.（2021!!）.（2020!!）=2021!,正确；B.

2004!!=2004x2002x--.10x8x6x4x2=21002-1002!,正确；

C.2020!!=2020x2（）18x--10x8x6x4x2的个位数是0,正确；D.

2005!!=2005x2003x…x9x7x5x3xl的个位数是5；正确的是ABCD.

二、填空题

7.58+4A：=

【答案】348

【详解】5&+4A：=5x5x4x3+4x4x3=348.

8.数字1,2,3,4,6可以组成无重复数字的五位偶数有个.（用数字作答）

【答案】72

【详解】满足条件的五位偶数有：=3x4x3x2x1=72.

9.省实验中学为预防秋季流感爆发，计划安排学生在校内进行常规体检，共有3个检查项

目，需要安排在3间空教室进行检查，学校现有一排6间的空教室供选择使用，但是为了

避免学生拥挤，要求作为检查项目的教室不能相邻，则共有种安排方式.（用数字

作答）

【答案】24

【详解】6间空教室，有3个空教室不使用，故可把作为检查项目的教室插入3个不使用

的教室之间，故所有不同的安排方式的总数为短=24.

10.某年级举办线上小型音乐会，由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排

在前两位，节目丙必须排在节目乙的下一个，则该小型音乐会节目演出顺序的编排方案共

有种.（用数字作答）

【答案】42

【详解】由题意知，甲的位置影响乙的排列，

①甲排在第一位共有=24种，②甲排在第二位共有=18种，

二故编排方案共有24+18=42种.故答案为：42.

三、解答题

11.(1)解不等式A；<6A；2.

(2)解方程A)[=140A：.

【答案】⑴8(2)3

,8!/8!

【解析】⑴由A；<6A「，得而

化简得X?—19x+84<0,解之得7<x<12,①

又'・・・2<xW8,②

*—2>0,

由①②及xGN*得x=8.

2x+l>4,

(2)因为《.所以x23,xeN*，

x>3,

由A>]=140A：得(2x+1)2x(2x—1)(2x—2)—140x(x—1)(x—2).

23

化简得，4x'—35x+69=0,解得Xi=3,x2=(舍去).

所以方程的解为x=3.

12.一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单.

(1)2个相声节目要排在一起，有多少种排法？

(2)第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？

(3)前3个节目中要有相声节目，有多少种排法？

【详解