2024届黄山市重点中学高一数学第二学期期末达标测试试题含解析

2024届黄山市重点中学高一数学第二学期期末达标测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知，其中，则（）A． B． C． D．2．角α的终边上有一点P（a，|a|），a∈R且a≠0，则sinα值为（）A． B． C．1 D．或3．（）A．4 B． C．1 D．24．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的平面几何图形．此图由两个圆构成，O为大圆圆心，线段AB为小圆直径．△AOB的三边所围成的区域记为I，黑色月牙部分记为Ⅱ，两小月牙之和（斜线部分）部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）A． B． C． D．5．函数的大致图像是下列哪个选项（）A． B．C． D．6．函数的最小正周期是（）A． B． C． D．7．圆心为且过原点的圆的一般方程是A． B．C． D．8．直线与直线平行，则实数a的值为（）A． B． C． D．69．下列函数中,在区间上为增函数的是A． B．C． D．10．如图所示，向量，则（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知扇形的半径为6，圆心角为，则该扇形的面积为_______.12．等比数列的首项为，公比为，记，则数列的最大项是第___________项.13．如图是一个三角形数表，记，，…，分别表示第行从左向右数的第1个数，第2个数，…，第个数，则当，时，______.14．已知三棱锥外接球的表面积为，面，则该三棱锥体积的最大值为____。15．点从点出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为__________.16．已知是等差数列，公差不为零，若，，成等比数列，且，则________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在三棱锥中，，，，，为线段的中点，为线段上一点．（1）求证：平面平面；（2）当平面时，求三棱锥的体积．18．在中，，.（1）求角B的大小；（2）的面积，求的边BC的长.19．2019年，河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门.为了更好进行生涯规划，甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析，其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示.(1)若甲同学随机选择3门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率；(2)试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科？并说明理由；(3)甲同学发现，其物理考试成绩(分)与班级平均分(分)具有线性相关关系，统计数据如下表所示，试求当班级平均分为50分时，其物理考试成绩.参考数据:，，，.参考公式：，，(计算时精确到).20．已知直线l过点（1，3），且在y轴上的截距为1．

（1）求直线l的方程；

（2）若直线l与圆C：（x-a）2+（y+a）2=5相切，求实数a的值．21．已知数列an的前n项和为S（1）求数列an（2）设bn=an·log2

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】

先根据同角三角函数关系求得,再根据二倍角正切公式得结果.【题目详解】因为，且，所以，因为，所以，因此，从而，，选D.【题目点拨】本题考查同角三角函数关系以及二倍角正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.2、B【解题分析】

根据三角函数的定义，求出OP，即可求出的值．【题目详解】因为，所以，故选B．【题目点拨】本题主要考查三角函数的定义应用．3、A【解题分析】

分别利用和差公式计算，相加得答案.【题目详解】故答案为A【题目点拨】本题考查了正切的和差公式，意在考查学生的计算能力.4、D【解题分析】

设OA＝1，则AB，分别求出三个区域的面积，由测度比是面积比得答案．【题目详解】设OA＝1，则AB，，以AB中点为圆心的半圆的面积为，以O为圆心的大圆面积的四分之一为，以AB为弦的大圆的劣弧所对弓形的面积为π﹣1，黑色月牙部分的面积为π﹣（π﹣1）＝1，图Ⅲ部分的面积为π﹣1．设整个图形的面积为S，则p1，p1，p3．∴p1＝p1＞p3，故选D．【题目点拨】本题考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，正确求出各部分面积是关键，是中档题．5、B【解题分析】

化简，然后作图，值域小于部分翻折关于轴对称即可.【题目详解】，的图象与关于轴对称，将部分向上翻折，图象变化过程如下：轴上方部分图形即为所求图象.故选：B.【题目点拨】本题主要考查图形的对称变化，掌握关于轴对称是解决问题的关键.属于中档题.6、C【解题分析】

将函数化为，再根据周期公式可得答案.【题目详解】因为=，所以最小正周期.故选：C【题目点拨】本题考查了两角和的正弦公式的逆用，考查了正弦型函数的周期公式，属于基础题.7、D【解题分析】

根据题意，求出圆的半径，即可得圆的标准方程，变形可得其一般方程。【题目详解】根据题意，要求圆的圆心为，且过原点，且其半径，则其标准方程为，变形可得其一般方程是，故选．【题目点拨】本题主要考查圆的方程求法，以及标准方程化成一般方程。8、A【解题分析】

直接利用斜率相等列方程求解即可.【题目详解】因为直线与直线平行，所以，故选：A.【题目点拨】本题主要考查两直线平行的性质：斜率相等，属于基础题.9、A【解题分析】试题分析：对A，函数在上为增函数，符合要求；对B，在上为减函数，不符合题意；对C，为上的减函数，不符合题意；对D，在上为减函数，不符合题意.故选A.考点：函数的单调性，容易题.10、A【解题分析】

根据平面向量的加法的几何意义、平面向量的基本定理、平面向量数乘运算的性质，结合进行求解即可.【题目详解】.故选：A【题目点拨】本题考查了平面向量基本定理及加法运算的几何意义，考查了平面向量数乘运算的性质，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

用弧度制表示出圆心角，然后根据扇形面积公式计算出扇形的面积.【题目详解】圆心角为对应的弧度为，所以扇形的面积为.故答案为：【题目点拨】本小题主要考查角度制和弧度制互化，考查扇形面积的计算，属于基础题.12、【解题分析】

求得，则可将问题转化为求使得最大且使得为偶数的正整数的值，利用二次函数的基本性质求解即可.【题目详解】由等比数列的通项公式可得，，则问题转化为求使得最大且使得为偶数的正整数的值，，当时，取得最大值，此时为偶数.因此，的最大项是第项.故答案为：.【题目点拨】本题考查等比数列前项积最值的计算，将问题进行转化是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.13、【解题分析】

由图表，利用归纳法，得出，再利用叠加法，即可求解数列的通项公式.【题目详解】由图表，可得，，，，，可归纳为，利用叠加法可得：，故答案为.【题目点拨】本题主要考查了归纳推理的应用，以及数列的叠加法的应用，其中解答中根据图表，利用归纳法，求得数列的递推关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.14、【解题分析】

根据球的表面积计算出球的半径.利用勾股定理计算出三角形外接圆的半径，根据正弦定理求得的长，再根据圆内三角形面积的最大值求得三角形面积的最大值，由此求得三棱锥体积的最大值.【题目详解】画出图像如下图所示，其中是外接球的球心，是底面三角形的外心，.设球的半径为，三角形外接圆的半径为，则，故在中，.在三角形中，由正弦定理得.故三角形为等边三角形，其高为.由于为定值，而三角形的高等于时，三角形的面积取得最大值，由于为定值，故三棱锥的体积最大值为.【题目点拨】本小题主要考查外接球有关计算，考查三棱锥体积的最大值的计算，属于中档题.15、【解题分析】

由题意可得OQ恰好是角的终边，利用任意角的三角函数的定义，求得Q点的坐标．【题目详解】点P从点出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则OQ恰好是角的终边，故Q点的横坐标，纵坐标为，故答案为：【题目点拨】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于容易题．16、【解题分析】

根据题设条件，得到方程组，求得，即可得到答案.【题目详解】由题意，数列是等差数列，满足，，成等比数列，且，可得，即且，解得，所以.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等比中项的应用，其中解答中熟练利用等差数列的通项公式和等比中项公式，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见证明；（2）【解题分析】

（1）利用线面垂直判定定理得平面，可得；根据等腰三角形三线合一得，利用线面垂直判定定理和面面垂直判定定理可证得结论；（2）利用线面平行的性质定理可得，可知为中点，利用体积桥可知，利用三棱锥体积公式可求得结果.【题目详解】（1）证明：，平面又平面，为线段的中点平面平面平面平面（2）平面，平面平面为中点为中点三棱锥的体积为【题目点拨】本题考查面面垂直的证明、三棱锥体积的求解，涉及到线面垂直的判定和性质定理、面面垂直的判定定理、线面平行的性质定理、棱锥体积公式、体积桥方法的应用，属于常考题型.18、（1）；（2）【解题分析】

（1）由条件可，展开计算代入，即可得；（2）先利用正弦定理求出，再利用面积可得，解方程可得，再利用余弦定理可求得边BC的长.【题目详解】解：（1）在中，，则，即，整理得，又，，（2）由正弦定理得，又，即，所以，，解得，即.【题目点拨】本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查了面积公式，是基础题.19、（1）；（2）见解析；（3）见解析【解题分析】

(1)列出基本事件的所有情况，然后再列出满足条件的所有情况，利用古典概率公式即可得到答案.(2)计算平均值和方差，从而比较甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科；（3）先计算和，然后通过公式计算出线性回归方程，然后代入平均值50即可得到答案.【题目详解】(1)记物理、历史分别为，思想政治、地理、化学、生物分别为，由题意可知考生选择的情形有，，，，，，，，，，，，共12种他选到物理、地理两门功课的满情形有，共3种甲同学选到物理、地理两门功课的概率为(2)物理成绩的平均分为历史成绩的平均分为由茎叶图可知物理成绩的方差历史成绩的方差故从平均分来看，选择物理历史学科均可以；从方差的稳定性来看，应选择物理学科；从最高分的情况来看，应选择历史学科(答对一点即可)(3)，,关于的回归方程为当时，,当班级平均分为50分时，其物理考试成绩为73分【题目点拨】本题主要考查古典概型，统计数的相关含义，线性回归方程的计算，意在考查学生的阅读理解能力，计算能力和分析能力，难度不大.20、（1）y=2x+1；（2）a=-2或【解题分析】

（1）求得直线的斜率，再由点斜式方程可得所求直线方程；（2）运用直线和圆相切的条件，即圆心到直线的距离等于半径，解方程可得所求值．【题目详解】（1）直线l过点（1，3），且在y轴上的截距为1，可得直线l的斜率为=2，则直线l的方程为y3=2（x1），即y=2x+1；

（2）若直线l与圆C：（xa）2+（y+a）2=5相切，

可得圆心（a，a）到直线l的距离为，即有

=，解得a=2或．