高中三角函数专题练习题及答案

高中三角函数专题练习题及答案

一、填空题

1.己知函数"X)在R上可导，时任意x都有x)=2sinx,当x40时，

r(x)<-l,若/⑺4巾一卜小。$(„,则实数r的取值范围为

2.已知三棱锥P-ABC中，ZAPB=y,PA=PB=yf3,AC=5,8c=4,且平面

PAB，平面ABC,则该三棱锥的外接球的表面积为.

。是边BC上的点，且8D=2DC,

AD=DC,则AB等于.

4.设函数/(x)=sin;rx,g(x)=f-x+1,有以下四个结论.

①函数y=〃x)+g(x)是周期函数：

②函数y=〃x)-g(x)的图像是轴对称图形：

③函数y=/(x)-g(x)的图像关于坐标原点对称：

f(X)

④函数y=一六存在最大值

g(x)

其中，所有正确结论的序号是.

5.在IBC中，角A、B、C所对的边分别为“、b、c.D、E是线段A3上满足条件

CD=-(CB+CE),怎」(而+函)的点，若丽.屋=笈2,则当角C为钝角时，4的取

22

值范围是______________

6.三棱锥P-ABC中，PA_L平面ABC,直线PB与平面ABC所成角的大小为30°,

AB=2。ZACB=60°,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为.

7.在-ABC中，记角AB,C所对的边分别是出仇叫面积为S,则》)的最大值为

b+4ac

8.已知函数/(x)=sinx+cosx,g(x)=sinxcosx：①函数/(x)的图象关于点吁.0)对

称；②函数lg(x)l的最小正周期是g；③把函数/(2x)图象上所有点向右平移J个单位长

2o

度得到的函数图象的对称轴与函数y=gM图象的对称轴完全相同；④函数

y=l-f(x)-g(x)在R上的最大值为2.则以上结论正确的序号为

9.在AABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a=g,4=g.若

tq

有最大值，则一的取值范围是.

m

10.△ABC内接于半径为2的圆，三个内角A,B,C的平分线延长后分别交此圆于A，

ABC

D「.iAAcos—I-BB.cos—FCC.cos一占4/士”，

B|,G.m则+2I2I2的值为.

sinA+sin3+sinC

二、单选题

2

11.己知双曲线/=IS>0)的左、右焦点分别为G，A，过点K作直线/交双曲线的

b-

右支于A,B两点.若曲班|=3:3:2,则双曲线的离心率为()

11

A.—AB.Vl2C.—D.11

33

s

12.在△45c中，角A8,C所对应的边分别为a,"c,设的面积为S,则」------的

a"+4bc

最大值为()

A.立B.且C.旦D.—

16121618

13.已知A={.y|y=sin(&w+o),"eZ},若存在e使得集合A中恰有3个元素，则。的取

值不可能是()

14.已知函数〃x)=sin(0x+S(O<6><lO),若存在实数毛、巧，使得

/(^)-/(X2)=2,且|百一天|=》，则0的最大值为()

A.9B.8C.7D.5

15.在AABC中，已知sinA+sinC=-，设f=2sinAsinC,贝！|〃(一-f)(f--)最大值为

2V44

29

A

B.8-

16.在棱长为2的正方体ABC。-ABC。中，N为8c的中点.当点M在平面。CCD内运

动时，有跖V〃平面A/。，则线段MN的最小值为()

A.1B.—C.y/2D.6

2

17.已知函数/(x)=sinx+sin(;rx),现给出如下结论：①〃x)是奇函数；②/(x)是周期

函数；③f(x)在区间(0,乃)上有三个零点；④Ax)的最大值为2.其中所有正确结论的编号

为()

A.①③B.②③C.②④D.①④

18.设锐角AABC的内角AB,C所对的边分别为a,b,c,若A=ga=g,则/+C2+匕,的

取值范围为()

A.(1,9]B.(3,9]

C.(5,9]D.(7,9]

19..f(x)=sin(5+0)(0>0)的部分图象如图所示，设尸是图象的最高点，A,B是图象与

x轴的交点，若tan/"B=-2,则。的值为()

432

JT

20.己知函数f(x)=x2.sinx各项均不相等的数列｛与｝满足|%区]《=1,2,3-.,〃).令

F(/J)=(X1+X2+L+X,>"(X1)+/(W)+L+/(x“)]("eN*).给出下列三个命题：(1)存在

不少于3项的数列｛£｝,使得四〃)=0；(2)若数列｛%｝的通项公式为

=(-》"(〃eN*)，则F(2Q>0对ZeN"恒成立；(3)若数列｛x,J是等差数列，则

尸(")20对"€N*恒成立，其中真命题的序号是()

A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)

三、解答题

若函数/(x)=21+；的

21.已知向量”=cos6yx,-cosox),b=(sincox,cosox)>0),

最小正周期为万.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若关于x的方程2a/[x+*)+cos2x-2/fx+j-cos2x-3a+3=O在臼有

124_

实数解，求实数。的取值范围.

22.如图，四边形A8CZ)是某市中心一边长为4百米的正方形地块的平面示意图.现计划在

该地块上划分四个完全相同的直角三角形(即RtVABF,RtVBCG,RtV8”和RSD4E),且

在这四个直角三角形区域内进行绿化，中间的小正方形修建成市民健身广场，为了方便市

民到达健身广场，拟修建4条路AE,BF,CG,DH.已知在直角三角形内进行绿化每1万平

方米的费用为10。元，中间小正方形修建广场每1万平方米的费用为1%元，修路每1百米

(1)用。表示该工程的总造价S；

(2)当cos6为何值时，该工程的总造价最低？

23.如图所示，我市某居民小区拟在边长为1百米的正方形地块A8CD上划出一个三角形

地块APQ种植草坪，两个三角形地块加?与QA。种植花卉，一个三角形地块CPQ设计成

水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点P在边BC上，点。在边C。上，记

NPAB=a.

（1）当NPAQ=g时，求花卉种植面积S关于a的函数表达式，并求S的最小值；

（2）考虑到小区道路的整体规划，要求28+。。=尸。，请探究NPAQ是否为定值，若

是，求出此定值，若不是，请说明理由.

JT

24.在直角AABC中，=-,延长CB至点D,使得CB=2B£）,连接AO.

（1）若AC=AD,求NC4。的值；

（2）求角。的最大值.

25.已知函数/（x）=sin（20x-g]-4sin2@x+2（0>O）,其图象与x轴相邻的两个交点的

距离为g.

2

（1）求函数,f（x）的解析式；

（2）若将〃x）的图象向左平移加（〃>0）个长度单位得到函数g（x）的图象恰好经过点

卜5,0）,求当机取得最小值时，g（x）在上的单调区间.

26.已知函数/（x）=cosx（6sinx—cosx）.

（1）求的最小正周期及对称中心；

（2）若将函数y=/（x）的图象向左平移机个单位所得图象关于丫轴对称，求"，的最小正

值.

卜+力），H

27.已知向量Z，万满足值=-2sinx,>/6sincosx,>11cos卜+为函数

/(x)=a-fe(xe/?).

(1)求的单调区间;

（2）已知数歹/春一求｛。〃｝的前2〃项和与〃・

28.已知在AABC中，4。,。分别为角48（的对应边，点口为8（：边的中点，AABC的面

积为

3smB

⑴求sinNB4。•sinNE%的值；

(2)若3C=6A8,AO=20,求b.

29.设向量M二(2sin；cos；,VJsinx),b=(cosx,sinx),x£[-g,£],函数/(x)

2263

=2d*B.

(1)若|M|二夜|6|，求x的值；

(2)若-2百(x)・m4石恒成立，求m的取值范围.

30.函数/(x)=As\n(2u)x+4))(4>0,u)>0,161Vg)的部分图象如图所示

(1)求4U),巾的值；

(2)求图中。，b的值及函数/(x)的递增区间；

(3)若a£[0,n],且/(a)=72，求a的值.

■lb\

1I\

【参考答案】

一、填空题

n

1.—00,—

6

28万

3.3

4.②④

(_±2)

36'9

6.20%

x/2

7.

16

8.②③④

9.

10.4

二、单选题

11.A

12.A

13.A

14.A

15.B

16.B

17.A

18.D

19.C

20.D

三、解答题

(1)/(x)=sin(2x—1-)；(2)al或6-"+3

【解析】

(1)根据向量数量积的坐标运算及三角公式，化简可得的解析式;

(2)先化简/(x+^)=sin2x,利用换元法，设f=sin2尤—cos2x,把目标方程转化为关于

，的方程，分离参数后进行求解.

【详解】

(1)因为a=(6coss,-coss),B=(sin@x,coss)(6y>0),

r1

fierir/\[r21括「l+cos2s1

所以/(x)=Q+—=，3cosGxsinGx-cosGX+—=——sin2cox----------------+—

v722222

=sin(2s-?).

因为/(X)的最小正周期为万，所以言=万，即。=1,所以/(x)=sin(2x-,).

2a)6

(2)由(1)可知/(x+&=sin2x.

因为(sin2x+cos2x)2=sin22x+2sin2xcos2x+cos22x=1+2sin2xcos2x,

(sin2x-cos2x)2=sin22x-2sin2xcos2x4-cos22x=1-2sin2xcos2x,

所以(sin2x+cos2x)2=l+2sin2xcos2x=l+[l-(sin2x-cos2x>].

令，=sin2x-cos2x,贝!!(sin2x+cos2x)2=2-r,

则方程2ax+j+cos2x-2x+71j-cos2x_3o+3=0

12

可化为2a(2—产2,一3。+3=0,即2a产+2/—。一3=0.

因为xe0»—,所以2天一丁£,

4J444_

所以1=sin2x一cos2x=>/2sin一e[一1,1].

所以由题意可知，方程24+2，-々-3=0在，£[-1』]时有解；

令gQ)=2at2+2t-a-3,

当”=0时，g(f)=2/-3,由gQ)=0得r=2(舍)；

2

i7/2-1

当。工0时，则2。产+为一々一3=0可化为,

a3-2t

2产一]1

令y='一设〃=3-2，贝打=二(3—〃)，MG[1,5],

3-2/2

".-|2

2-(3-M)-1271

21(3-“)2-2=水+——6,

y=--------------=—x-----------八〃)

u2u

因为"+122近，当且仅当“=近时，取到最小值，

U

7

当"=1时，〃+-取到最大值8,

u

所以”[近-3,1],所以,€[6-3,1],解得4』或知一立土2.

a2

所以实数。的取值范围是人】或%-史虫.

2

【点睛】

本题主要考查三角函数的性质，利用向量的坐标运算及三角公式把目标函数化筒为最筒形

式，是这类问题常用求解方向，方程有解问题通常利用分离参数法来解决，侧重考查数学

运算的核心素养.

22.(1)S(0)=16a(l3+sin-6sin6»cos0),6>e(0,()；(2)当cosO=^时，5(9)=164(0)

取得最小值

【解析】

⑴根据题意可知8F=4sin。，AF=48S。,进而求得S-与S正方腕再求得总造价S即可.

(2)由⑴有S(8)=16a(13+sine-6sinecos。),再求导分析函数的单调性与最值即可.

【详解】

(1)在R/AAB尸中,=AB=4,所以BF=4sin6>,AF=4cos6».

由于RtVABERtVBCGRtVCD//和RSD4E是四个完全相同的直角三角形，所以

AE=BF=CG=DH=4sm0,EF=FG=GH=HE=4(cose-sin0))

所以S.小版=g-AF-BF=gx48s9x4sin，=8sin，cos，,

S正方映FS=后产=42(cos®-sin®)2=16(l-2sin61cos。).

所以S(6)=4x8sin8cos0xI0a+16(1-2sin，cos9)x13a+4x4sin6xa

=16cz[20singeos8+(1—2singeos力x13+sin例

=16a(13+sin^-6sin^cos^)zG^0,—J.

(2)由(1)记/(。)=13+§也。一6311%05，，6£1),?).

32

则f'(0)=cos0-6(cos2。一sin?^)=-12cos20+cos+6=-12(cos0--)(cos0+—).

43

令/(6)=0,因为Oe(og),所以cos9=，或cos，=-|(舍).

记cos4=：,所以当0e(0,4)时，尸(。)＜0,f(0)单调递减；

当。e©,今时,八仍＞0,/(。)单调递增.所以当cos。==时,/⑹取得极小值,也是最小值，

44

3

又。＞0,所以当cos。=7时,Sg)=取得最小值.

4

【点睛】

本题主要考查了三角函数在几何中的运用，同时也考查了求导分析函数最值的方法，属于难题.

5000

23.(1)花卉种植面积=近蓝二^1，ae0,?］；最小值为10000(夜-1)(2)

—siny2.a+^J+-LJ

TT

NPAQ是定值，且=f.

【解析】

【分析】

(1)根据三角函数定义及NPAQ=(,表示出P8,。。，进而求得WBP'S"".即可用a

表示出S花卉种植面积，

(2)设NPAB=a,ZQAD=/3,CP=x,CQ=y,利用正切的和角公式求得tanQ+A),

由PB+OQ=P。求得x,y的等量关系.进而求得tan(«+/?)的值，即可求得NP4Q的值.

【详解】

TT

(1)・・•边长为1百米的正方形ABCQ中，ZPAB=a,ZPAQ=-

4f

P5=100tana,

§花卉种植面积=SAABP+5AAZ)G

=^ABBP+^ADDQ

=—x100x100tana+—x100x100tan|-a

2214

_50005000

cosa(sina+cosa)叵.(入万、1,其中aw0,—

、/-sin2a+—+—4

2I4)2。

.•.当sin(2a+f=l时，

即a建时，S取得最小值为詈L°°°°(夜T.

22

(2)设NPA6=a,4QAD=仇CP=x,CQ=yf

则3尸=100—x,£)e=100-y,

在AABP中，tana=-,在AA。。中，tan/3=122z2t

100100

.・.tan(a+£)=tana+tan£20000-100(x+y)

1-tana•tan胃100(x+y)-孙

・.・PB+DQ=PQ,

：.im-x+lOO-y=Jx2+y2,整理可得x+y=100+焉，

200

20000-100x(100+芸］10000-5

100x10000—

2

；・a+尸=(,

・・・/尸A。是定值，且NPAQ=f.

4

【点睛】

本题考查了三角函数定义，三角形面积求法，正弦函数的图像与性质应用，正切和角公式

的应用，属于中档题.

24.(1)ZG4£>=—；(2)7.

36

【解析】

【分析】

(1)在4皿中，由正弦定理得，-=-^-,再结合在直角AABC中，

sinasinD

AB=BCsinC,然后求解即可；

(2)由正弦定理及两角和的余弦可得

2tanD=tanDeos2cr+sin2a=Jtan?£)+1sin(2a+『),然后结合三角函数的有界性求解即

可.

【详解】

解：(1)设NBA£>=a,在A/曲中，由正弦定理得，®_=，丝,

sincrsinD

BDBCsinC

而在直角AABC中，AB=BCsinC,所以^—,

sinasmD

因为AC=AZ),所以C=Z),

又因为CB=28D,所以sina=」，所以a=£,所以NC4O==；

263

(2)设NBAr)=a,

在A4BD中，由正弦定理得，—=^-,

sinasinD

而在直角AABC中，AB=BCcosZABC=BCcos(a+D),

福NBD6Ccos(a+£>)BC(cosacosD-sinasinD)

sinasinDsinD

因为CB=2BD,所以5足£>=2$3二©05二8$£)-2$布21$后£),

口门-2sinacosasin2a

即tanO=----------弓—=---------,

l+2sin~a2-cos2a

即2tanO=tanDeos2a+sin2a=Vtan2£)+1sin(2a+cp),

2tan£>/1Ji

根据三角函数有界性得，,(@不0+]及解得0<tanO«与，

所以角。的最大值为[

O

【点睛】

本题考查了正弦定理，重点考查了三角函数的有界性，属中档题.

25.(1)/(x)=6sin(2x+g)(2)单调增区间为「福等]；单调减区间

I3)o121212

【解析】

【分析】

(1)利用两角差的正弦公式，降暴公式以及辅助角公式化简函数解析式，根据其图象与X

轴相邻的两个交点的距离为得出周期，利用周期公式得出。=1,即可得出该函数的解

析式；

(2)根据平移变换得出g(x)=Gsin[2x+2,〃+2｝再由函数g(x)的图象经过点

1*0)，结合正弦函数的性质得出，"的最小值，进而得出g(x)=Ksin(2x+5),利用

Jr77r

整体法结合正弦函数的单调性得出该函数在一三,二上的单调区间.

o12

【详解】

解：(1)/(x)=sin-4sin~69X4-2

6.c1o/1-cos2Gx

=——sin2CDX——cos2cox-4x--------------+2

222

61上3°

=——sm2cox+—cos2cox

22

=Gsin(25+?)

由已知函数的周期丁="，其=乃，勿=1

2co

/(x)=6sin(2x+q).

(2)将〃x)的图象向左平移m(m>0)个长度单位得到g(力的图象

・，・g(x)=V^sin(2x+2m+qJ,

•・,函数g(x)的图象经过点

/.V3sin2xf-y^+2/w+y=0,即sin(2/%-《)=0

71

2m-----kjr,kQZ

3

.k乃,r

・・"7=-71H,keZ

26

・・・〃2>0,・,•当后=0,加取最小值，此时最小值为J

6

此时，g(x)=&sin(2x+与).

人冗,,7%z冗，A24，11%

钎%二4法，则§42»74甘

当或学42x+?W字，即当或居34号时，函数

33223o6121212

g(x)单调递增

当?2X+,咛，即整4X喏时，函数g(x)单调递减.

，g(x)在卜?，闺上的单调增区间为>3-4|，修努］；单调减区间为［后，葛•

''612JL612J1212J［_1212_

【点睛】

本题主要考查了由正弦函数的性质确定解析式以及正弦型函数的单调性，属于中档题.

26.(1)乃，佟+A，-：］kZ)；(2)%

【解析】

【分析】

(1)直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函

数的周期和对称中心.

(2)利用(1)的关系式，利用整体思想的应用对函数的关系式进行平移变换和对称性的

应用求出最小值.

【详解】

(1)因为f(x)=cosx(>/5sinx-cosx)=Gsinxcosx-cos?x

A/3,汽1+cos2x.(.万、1

=—sin2x--------------=sin2x一—I—,

22I6)2

所以最小正周期为7=年27r=勿，

ITLrr-rr

由正弦函数的对称中心知2X-2=Z》，解得x==+=，keZ,

6212

所以对称中心为(与+eZ)；

(2)y=的图象向左平移"?个单位所得解析式是y=sin(2x+2〃L?)-g,

因为其图象关于y轴对称，

TT1T

所以2机---=k7i+—,keZ,

62

An/口kjV7C.

解得机=二-+：7，keZ,

23

所以用的最小正值是

【点睛】

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查

学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.

77r47T、冗

27.(1)单调增区间为,kwZ,单调减区间为k7t--,k7t+—r,

141乙JI414

keZ；(2)-&(2-+")

【解析】

【分析】

(1)由向量数量积的坐标运算可得/(x)=7B=-sin2x+6cos2x=2sin(2x+葺)，

再利用三角函数单调区间的求法即可得解；

(2)由题意可得邑“=0,-22+32-42+…+(2〃一1『-(2〃)2],又

(2n-l)2-(2n)2=-4n+l,则S?”=&(T-4x2-4x3——4〃+〃)，再利用等差数列求和

公式即可得解.

【详解】

解：(1)向量坂满足a=-2sinx,"sinx+f,h=\cosx,V2cosx+^~,

函数/(x)=Q•B=—sin2才+Gcos2x=2sin(2x+笄j,

由2ATT—工W2x+至W2ATT+工,可得上万一卫WxW攵)一2,keZ,

2321212

7jrjr

解得f(x)的单调增区间为^-―，^-―,keZ；

7TS/T

单调减区间为k7T——,k7r+--，keZ.

所以邑“=夜「2-22+32-42+…+(2〃一1『-(2〃)］，

又(2〃一-(2/?)2=-4n+l,

S2ll=5/2(-4-4x2-4x3------4〃+〃),

所以次=0式-3一：+1)〃=-&(2/+〃).

【点睛】

本题考查了三角函数单调区间的求法及数列中捆绑求和，属中档题.

28.(1)|；(2)屈.

【解析】

【分析】

AH2

⑴先由A48C的面积为2-且D为BC的中点，得到A4BQ的面积；再由三角形的面积公

3sinB

式和正弦定理即可求出结果；

(2)根据⑴的结果和BC=6AB,可求出sinN&X和sin/B4£＞；再由余弦定理，即可求出结

果.

【详解】

An2An2

⑴由A4BC的面积为空一旦D为BC的中点可知:AABD的面积为*二，

3sinB6sinB

1AD2

由三角形的面积公式可知:=

26sinB

由正弦定理可得:3sin/BADsin/BDA=1,

所以sinZBADsinZBDA=1,

(2)vBC=6AB，又因为D为中点，所以BC=2BD=6AB,即BD=3AB,

在MBD中由正弦定理可得.B?…、=.叱、“，所以sinZBAD=3sinZBDA

sinZBADsinZBDA

由(1)可知sin/BAO-sinN8D4=g所以sinN8D4=；,sinN84£)=l,

,/NBADw(0,乃)4BAD=g

在直角AABD中A。=2厄sinZBDA=；，所以AB=1,8/)=3.

•」BC=2BD,..BC=6

在MBC中用余弦定理，nj^/?2=a2+c2-2a<xosB=1+36-2x1x6xl=33,.-./>=^3.

3

【点睛】

本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理以及面积公式，即可求解，属于常考题

型.

29.(1)用；(2)[百,36-2].

【解析】

【分析】

(1)根据|3|=血|5|，利用化简函数化简解得x的值；

TT7T

(2根据/(x)=2G・5.结合向量的坐标运算，根据xe[-B，g],求解范围，)-

63

2^/3<f(x)-mwg恒成立，可得m的取值范围.

【详解】

解：⑴由闭=015I.

可得方2=27；

即4siMx=2(cos2x+sin2x)

即sin2x=-；

2

••sinx-±—；

2

71

・.x・£u卜r一，一%J

63f

••X—

4

(2)由函数/(x)=25•=2sin2x+2y/3sin2x

=sin2x+2\/3(---cos2x)=sin2x->/3cos2x+73=2sin(2x-y