高思奥数导引小学五年级含详解答案第18讲：应用题拓展

第18讲应用题拓展

内容概述

掌握比的概述，从份数的角度理解量与量的比：学会计算简单的按比分配的问题；了解连比

的含义，简单的不确定性问题，通常利用大小估计和整数性质进行分析，有时需要分类讨论。

典型问题

兴趣篇

1.水果店运来了西瓜和哈密瓜共234个。如果西瓜和哈密瓜的个数比为5:4,那么水果店运

来西瓜和哈密瓜各多少个？

2.有429名小学生参加数学冬令营，其中男生和女生的人数比为7:6。后来又有一些女生报

名参赛，这时男生和女生的人数比变为11:10。请问：后来报名的女生有多少人？

3.松鼠一家三口出门采摘松果，松鼠爸爸采得最快，他每采摘7颗松果，松鼠妈妈只能采摘

6颗；松鼠宝宝采得最慢，他每采摘2颗，松鼠妈妈已经采摘了3颗。一天下来，他们一共

采摘了340颗松果。试问：其中有多少颗是松鼠宝宝采的？

4.育才小学五年级学生分成三批去参观博物馆。第一批与第二批的人数比是5:4,第二批与

第三批的人数比是3:2。已知第一批的人数比第二、三批的总和少55人。请问：育才小学

五年级一共有多少人？

5.小明将100枚棋子分成三堆，已知第一堆比第二堆的2倍还多，第二堆比第三堆的2倍也

要多。请问：第三堆最多有多少枚棋子？

6.博雅小学五年级有200人。在一次数学竞赛中，参赛人数的,获得优胜奖，刍获得鼓励

813

奖，其余的人没有得奖。试问：该校五年级学生中有多少人没有参加这次数学竞赛？

7.甲、乙、丙三堆棋子总共有100多枚。先从甲堆分一些棋子给另外两堆，使得乙、丙两堆

的棋子数增加1倍；接着，从乙堆分一些棋子给另外两堆，使得甲、丙两堆各增加2倍；

最后，从丙堆分一些棋子给另外两堆，使得甲、乙两堆各增加3倍，此时甲、乙、丙三堆

棋子数的比是1:2:3。请问：原来三堆棋子各有多少枚？

8.今年，爷爷的年龄是小明年龄的6倍。若干年后，爷爷的年龄是小明年龄的5倍。再过若

干年，爷爷的年龄将是小明年龄的4倍。求爷爷今年的年龄。

9.甲、乙、丙三人各有一些书。甲、乙共有54本，乙、丙共有79本，已知三人中书最多的

那个人书的数量是书最少的人的2倍，请问：乙有多少本书？

10.龙泉乡水电站按户收取电费，具体规定是：如果每月用电不超过24度，就按每度9分钱

收费；如果超过24度，超出的部分按每度2角收费。这个月小宇家比小达家多交了9角6

分钱的电费（用电按整度计算）。问：小宇家和小达家各交了多少电费？

拓展篇

1.红旗小学共有师生1081人。其中老师与学生的人数之比为2:45,男生与女生的人数之比

为5:4。请问：红旗小学的老师、男生和女生各有多少人？

人

2.小悦去商店买了4斤水果糖、2斤奶糖和3斤巧克力糖。如果每块糖果的重量都相同，奶

糖和巧克力糖一共有160块，那么水果糖有多少块？

3.万泉小学的师生在植树节栽种柳树、杨树和槐树共860棵，其中柳树和杨树棵数的比为

3:4,杨树与板树棵数的比为5:2。请问：这三种树各栽种了多少棵？

4.某厂一月份与二月份生产零件的个数比为4:5。后来改进生产技术，三月份生产的零件个

数与前两个月的总产量之比为4:3,且三月份比二月份多生产了1610个零件。请问：这家

工厂第一季度共生产多少个零件？

5.有48本书分给两组小朋友，已知第二组第一组多5人。如果把书全都分给第一组，一部

分小朋友每人能拿到5本，其他小朋友每人能拿到4本；如果把书全都分给第二组，一部

分小朋友每人能拿到4本，其他小朋友每人能拿到3本。问：两组一共有多少人？

6.若干名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加数学竞赛。已知

家长和老师共有22人，家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，至少有1名

男老师。问：在这些人中，爸爸有多少人？

7.志远中学有三个年级，共900多名学，其中初一的学生数恰好占学生总数的3,初三的学

8

生恰好占学生总数的3。请问：志远中学初二有多少名学生？

15

8.把I。。人分成四队'第一队人数是第二队人数的七倍'是三队人数的《倍’求第四队的

人数。

9.甲、乙、丙三人各有一些棋子，其中棋子数量最多的人比最少的人多出60多枚棋子，甲

先拿出自己的一半平分给乙、丙，然后乙拿出自己的!平分给甲、丙，最后丙拿出自己的！

34

平分给甲、乙。这时三人的棋子数正好相同。请问：三个人一共有多少枚棋子？

10.有两堆石头，如果从第一堆中取出20块石头放进第二堆，那么第二堆的石头是第一堆的

2倍；如果从第二堆中取出一些石头放进第一堆，那么第一堆的石头是第二堆的6倍。问：

第一堆中最少可能有多少块石头？

11.北京市出租车的起步价是3公里以内10元，3公里后按每公里2元计费，当里程超过15

公里后，超出部分按每公里3元计费。小悦、冬冬两人都从游乐园分别坐出租车回家，小

悦比冬冬多花了23元。请问：小悦家距离游乐园最远是多少公里？（不足1公里按1公里

计，假定两人回家一路上没有红绿灯，也没有堵车）

12.团体游园购买公园门票的票价如图18-1所示。

购票人数50人以下50~100人100人以上

每人票价12元10元8元

图18-1

今有甲、乙两个旅游团，如果分别购票，两团总计应付门票费1142元。如果合在一起作为

一个团体购票，应付门票费864元。问：这个旅游团各有多少人？

超越篇

1.植物园里菊花与月季的盆数之比是3:4,兰花与郁金香的盆数之比是5:6,菊花与郁金香

的盆数之比是4:5。如果月季比兰花多50多盆，那么菊花比郁金香少多少盆？

2.甲、乙、丙、丁包揽了班里期中考试的前四名。甲、乙的得分之和是108分，乙、丙的得

分之和是149分，丙、丁的得分之和是121分，并且知道其中第一名的得分是第三名的2

倍，那么第二名的得分是多少？

3.有四人的体重都是整千克数，他们两两合称体重，共称了五次，称得的千克数分别99、

113、125、130、144o其中有两人没有一起称过，那么这两人中较重的那个人的体重是多

少千克？

4.有若干盒卡片，每盒中卡片数一样多。把这些卡片分给一些小朋友，如果只分一盒，每人

至少可以得到7张；如果每人分8张卡片，则还缺少5张。现在把所有卡片都分完，每人

分到60张，而且还多出4张。问：共有多少个小朋友？

5.某次考试共有100道题，每题一分，做错不扣分，甲、乙、丙三位同学分别得90分、70

分、50分。其中3个人都做出来的题叫做"容易题"，只有1个人做出来的题目叫作“较难题”,

且"较难题"是"特难题"是"特难题"的3倍。又已知丙同学做出的题中超过80%的是"容易题”,

但又不全是"容易题"，请问："特难题”共有多少道？

6.中关村一小、中关村二小两校春游的人数都是10的整数倍，出行时两校人员不合乘一辆

车，且每辆车尽量坐满。现在知道，若两校都租用有14个座位的旅游车，则两校共需租用

这种车72辆；若两校都租用19个座位的旅游车，则中关村二小要比中关村一小多租用这

种车7辆。问两校参加这次春游的人数各是多少？

7.工地要用每根长7.4米的原材料做100套钢筋，每套3根，长度分别为2.9米、1.5米、2.1

米。请问：至少要用多少根原材料？

8.四只猴子接了一堆桃子，它们准备先回去睡一觉后再来分桃子。过了一会，其中一只猴子

来了，它见别的猴子没来，便把桃子平分成4堆，发现余下3个，于是给其中三堆各多分

了一个桃子，然后拿走余下的一堆跑掉了；又过一会儿，另一只猴子来了，它见别的猴子

没来，把桃子也分成4堆，发现还是多出3个，于是也给其中三堆各多分了一个桃子，自

己带着余下的一堆跑掉了；轮到另外两只猴子时，分别发生了同样的事情。如果最后一只

猴子至少拿走了一个桃子，那么这堆桃子至少有多少个？

第18讲应用题拓展

内容概述

掌握比的概述，从份数的角度理解量与量的比；学会计算简单的按比分配的问题；了解连比

的含义，简单的不确定性问题，通常利用大小估计和整数性质进行分析，有时需要分类讨论。

典型问题

兴趣篇

1.水果店运来了西瓜和哈密瓜共234个。如果西瓜和哈密瓜的个数比为5:4,那么水果店运

来西瓜和哈密瓜各多少个？

54

【分析】西瓜234x——=130个，哈密瓜234x——=104个

5+45+4

2.有429名小学生参加数学冬令营，其中男生和女生的人数比为7:6。后来又有一些女生报

名参赛，这时男生和女生的人数比变为11:10。请问：后来报名的女生有多少人？

7

【分析】原有男生429x——=231人，女生429-231=198人

7+6

7^111

设后来报名的女生有x人，则上L=U=X=12

198+x10

3.松鼠一家三口出门采摘松果，松鼠爸爸采得最快，他每采摘7颗松果，松鼠妈妈只能采摘

6颗；松鼠宝宝采得最慢，他每采摘2颗，松鼠妈妈已经采摘了3颗。一天下来，他们一共

采摘了340颗松果。试问：其中有多少颗是松鼠宝宝采的？

【分析】爸爸，妈妈和宝宝采松果的效率之比为7:6:4,所以松鼠宝宝一天采了

4

340x---=80颗

7+6+4

4.育才小学五年级学生分成三批去参观博物馆。第一批与第二批的人数比是5:4,第二批与

第三批的人数比是3:2。已知第一批的人数比第二、三批的总和少55人。请问：育才小学

五年级一共有多少人？

【分析】一、二、三批人数之比为15:12:8,所以育才小学五年级一共有

554-(12+8-15)x(15+12+8)=385人

5.小明将100枚棋子分成三堆，已知第一堆比第二堆的2倍还多，第二堆比第三堆的2倍也

要多。请问：第三堆最多有多少枚棋子？

【分析】设第三堆有。枚，第二堆有2。+%枚，第三堆有2(%+幻+/=44+2/+/枚，其中

A:>1,/>1,故

4+(2“+%)+(4“+2左+/)=100

=7。=100-(3k+1)4100-4=96

［孕=13

所以第三堆最多有13枚棋子

6.博雅小学五年级有200人。在一次数学竞赛中，参赛人数的1获得优胜奖，士获得鼓励

813

奖，其余的人没有得奖。试问：该校五年级学生中有多少人没有参加这次数学竞赛？

【分析】参赛人数是8与13的公倍数，即104的倍数，那只能是104人，所以没参加竞赛

的有200-104=96人

7.甲、乙、丙三堆棋子总共有100多枚。先从甲堆分一些棋子给另外两堆，使得乙、丙两堆

的棋子数增加1倍；接着，从乙堆分一些棋子给另外两堆，使得甲、丙两堆各增加2倍；

最后，从丙堆分一些棋子给另外两堆，使得甲、乙两堆各增加3倍，此时甲、乙、丙三堆

棋子数的比是1:2:3。请问：原来三堆棋子各有多少枚？

【分析】列表倒推，设最终甲乙丙的棋子数依次是a,2a,3a,列下述表格(自上至下依次为

从最终状态到最初状态)

甲乙丙

a2a3a

aa21

——Cl

424

a257

—一a—a

1264

73257

一a一a—a

24128

显然有

100<6a<200,一，一

=>a=24,所以，原来甲堆有73枚，乙堆有50枚，丙堆有21枚

241a

8.今年，爷爷的年龄是小明年龄的6倍。若干年后，爷爷的年龄是小明年龄的5倍。再过若

干年，爷爷的年龄将是小明年龄的4倍。求爷爷今年的年龄。

【分析】爷孙的年龄差是5,4,3的公倍数，即60的倍数，不可能是120岁及其以上，故爷

孙年龄差为60岁，所以爷爷今年60+(67)x6=72岁

9.甲、乙、丙三人各有一些书。甲、乙共有54本，乙、丙共有79本，已知三人中书最多的

那个人书的数量是书最少的人的2倍，请问：乙有多少本书？

【分析】设甲乙丙三人的书分别为a,0,c,则

fa+b=54

\=>c-b-25

\b+c-19

（1）若C是最多的：

1）若a是最少的，则c=50,a=25,6=29,满足题目要求；

2）若6是最少的，则c=»,而79不是3的倍数，矛盾！

（2）若。是最多的：则a是最少的，即b=2a,解得a=18/=36=>c=43>匕，矛盾！

综上，乙有29本书。

10.龙泉乡水电站按户收取电费，具体规定是：如果每月用电不超过24度，就按每度9分钱

收费；如果超过24度，超出的部分按每度2角收费。这个月小宇家比小达家多交了9角6

分钱的电费（用电按整度计算）。问：小宇家和小达家各交了多少电费？

【分析】设月用电度数为x度，电费为y分

,[9x,x<24

则y=〈

'[24x9+20（%-24）,x>24

先用假设（反证）法判断两家用电量的范围：

若两家都未超过24度，则9|%-融=96,矛盾；

若两家都超过24度，则20（x宇-税）=96,与碍,x达都是整数矛盾，

所以小宇家用电超过24度，小达家用电未超过24度，所以

24x9+20（x宇一24）-9x达=96

=>9x达+360=20Xj,=201尤达

x达=20

因为x达424,所以,所以小宇家交电费24x9+20x(27-24)=216+60=272分,

x字=27

即2元7角2分：小达家交电费9*20=180分，即1元8角

拓展篇

1.红旗小学共有师生1081人。其中老师与学生的人数之比为2:45,男生与女生的人数之比

为5:4。请问：红旗小学的老师、男生和女生各有多少人？

【分析】设老师人数为2a,学生人数为45a,则男生为45a**=25a,女生为20a

9

又2a+45a=1081=a=23,所以老师有46人，男生有25x23=575人，女生有20x23=460

人

2.小悦去商店买了4斤水果糖、2斤奶糖和3斤巧克力糖。如果每块糖果的重量都相同，奶

糖和巧克力糖一共有160块，那么水果糖有多少块？

【分析】因为每块糖的重量相同，所以水果糖、奶糖、巧克力糖的块数之比为4:2:3,

4

所以水果糖有160x——=128块

2+3

3.万泉小学的师生在植树节栽种柳树、杨树和槐树共860棵，其中柳树和杨树棵数的比为

3:4,杨树与板树棵数的比为5:2。请问：这三种树各栽种了多少棵？

【分析】柳树、杨树、槐树棵树之比为15:20:8,

柳树：860x——--=300棵

15+20+8

20

杨树：860x-------------=400棵

15+20+8

槐树：860-300-400=160棵

4.某厂一月份与二月份生产零件的个数比为4:5。后来改进生产技术，三月份生产的零件个

数与前两个月的总产量之比为4:3,且三月份比二月份多生产了1610个零件。请问：这家

工厂第一季度共生产多少个零件？

【分析】设一、二月份生产零件的个数分别为44和5”，则三月份生产零件个数为

4

(4a+5a)x—=12。，由已知，12。-5a=1610=。=230

3

所以第一季度生产零件数为9a+12«=21a=21x230=4830个

5.有48本书分给两组小朋友，已知第二组第一组多5人。如果把书全都分给第一组，一部

分小朋友每人能拿到5本，其他小朋友每人能拿到4本；如果把书全都分给第二组，一部

分小朋友每人能拿到4本，其他小朋友每人能拿到3本。问：两组一共有多少人？

【分析】本题未知数较多，而能列出的方程只有2个，因此是一个不定问题，需要结合其他

方法估值.

设第一组有x人，则第二组有x+5人.第一组小朋友中得到5本书的有.人，则拿

到4本的有x-a人；第二组小朋友中得到4本书的有人人，则拿到3本书的有

x+5—6人.由题意

5a+4(x-a)=48|4x+a=48(1),14x<48

由于a>0力>0,故!=>x<10

4人+3(x+5-勿=48[3x+%=33(2)[3x<33

由于x-a>0=x>a,代入(1)式有48=4x+a<5x=x>9.6=x210

显然，x=10,所以两组总人数为2x+5=25人

6.若干名家长(爸爸或妈妈，他们都不是老师)和老师陪同一些小学生参加数学竞赛。已知

家长和老师共有22人，家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，至少有1名

男老师。问：在这些人中，爸爸有多少人？

【分析】我们先梳理一下条件，这里的条件无非就是等式关系和不等式关系.

家长+老师=22(1)

家长〉老师(2)

妈妈〉爸爸(3)

女老师=妈妈+2(4)

男老师21(5)

由⑴，(2)有22=家长+老师＜2家长=＞家长＞11=家长412,老师410

进而124家长=妈妈+爸爸＜2妈妈n妈妈＞6n妈妈＞7

=女老师=妈妈+2＞9又男老师＞1=＞老师＞10

综上，老师=10,家长=12,女老师=9,男老师=1,妈妈=7,爸爸=5

7.志远中学有三个年级，共900多名学，其中初一的学生数恰好占学生总数的』，初三的学

8

生恰好占学生总数的3。请问：志远中学初二有多少名学生？

15

【分析】设学生总数为a（1000>^>900）,则初一学生有三a〃，初三学生有4二a,则

815

34

120|ana=96（,所以初二有960x（1-二——）=344人

8.把100人分成四队，第一队人数是第二队人数的J倍，是三队人数的J倍，求第四队的

34

人数。

A754

【分析】设第一队人数为a,则二队有。+上=±。，三队有。+己=则前三个队总人数

3445

3451

为〃+二〃+—〃=土〃<100且20|a=a=20,所以第四队人数为100—51=49人

4520

9.甲、乙、丙三人各有一些棋子，其中棋子数量最多的人比最少的人多出60多枚棋子，甲

先拿出自己的一半平分给乙、丙，然后乙拿出自己的」平分给甲、丙，最后丙拿出自己的！

34

平分给甲、乙。这时三人的棋子数正好相同。请问：三个人一共有多少枚棋子？

【分析】列表倒推，设最终甲乙丙的棋子数都是a,列下述表格（自上至下依次为从最终状

态到最初状态）

甲乙丙还原对象

aaa44

丙：ax—=—a

33

5a5a4

—a,535

~6~63624

5a5965c5

T—a—a甲：一ax2=—a

4884

51513

—a一a一a

41616

由各种约束条件,

<a=[6,16]A=48k=138448左4159n左=3=a=48x3=144

a,keN

所以，三人共有棋子数3。=3*144=432

10.有两堆石头，如果从第一堆中取出20块石头放进第二堆，那么第二堆的石头是第一堆的

2倍；如果从第二堆中取出一些石头放进第一堆，那么第一堆的石头是第二堆的6倍。问：

第一堆中最少可能有多少块石头？

【分析】本题改编自1988年第14届全俄数学奥林匹克，设第一、二堆原有砖头数分别为x,y,

第二堆向第一堆转移的块数为z,由题意，

2(x-20)=y+20

\=>llx=7z+360=>x=-l(mod7)

(x+z=6(y-z)

令x=7k-l(kwN),代入原方程组解得

11攵-53>0

x=lk-\

14)1-62>0-

y=ll&-53,列出如下约束条件一^>k>5,取左=5时得/M=34

lbl-53>14Z-62m,n

z=14k-62

keN

11.北京市出租车的起步价是3公里以内10元，3公里后按每公里2元计费，当里程超过15

公里后，超出部分按每公里3元计费。小悦、冬冬两人都从游乐园分别坐出租车回家，小

悦比冬冬多花了23元。请问：小悦家距离游乐园最远是多少公里？(不足1公里按1公里

计，假定两人回家一路上没有红绿灯，也没有堵车)

【分析】设公里数为x,费用为y元，则

10,JC<3

y=-10+2(x-3),3<x<15

10+2x(15-3)+3(x-15),x>15

10,x<3

化简得y=<2x+6,3<x<15

3x-11,x>15

设x悦=a,x冬=0

为了使小悦家距离游乐场尽量远，则不妨设a215,

(1)若34b<15,则3“一11一(反+6上23>。3=匕分将，由。的范围解得

164a423,显然取a=22

(2)若b<15,则3«-11-10=23=a=14<22

综上，小悦家离游乐园最远22公里

12.团体游园购买公园门票的票价如图18-1所示。

购票人数50人以下50~100人100人以上

每人票价12元10元8元

图18-1

今有甲、乙两个旅游团，如果分别购票，两团总计应付门票费1142元。如果合在一起作为

一个团体购票，应付门票费864元。问：这个旅游团各有多少人？

【分析】设人数为x,总费用为丁，则

12x,x<50

y="I0x,504x4100

8x,x>100

设甲乙两个旅游团各有a力人，不妨设a*b,显然。+。>100,分下列三种情况讨论:

(1)当504a4100力<50时:

10a+12/7=1142a=77

8(iz+fe)=864=[b=31这组解符合题意;

(2)当5)4。顿)1Sb<时：10“+106=1142此式在a力均为整数时是不可能成立的,

所以这种情况排除：

(3)当a>100,50465100时:

8a+10/7=1142

nZ?=139与人4100矛盾

8(a+6)=864

综上，两个旅游团各有77人和31人

超越篇

1.植物园里菊花与月季的盆数之比是3:4,兰花与郁金香的盆数之比是5:6,菊花与郁金香

的盆数之比是4:5。如果月季比兰花多50多盆，那么菊花比郁金香少多少盆？

【分析】设菊花为力,则月季为4。，郁金香为3“、»=臣，兰花为臣*3=四=也

4446248

,25af59<a<67

由于5144a-----459n《na=64

8[8|a

所以菊花比郁金香少色一3。=卫=3x64=48盆

444

2.甲、乙、丙、丁包揽了班里期中考试的前四名。甲、乙的得分之和是108分，乙、丙的得

分之和是149分，丙、丁的得分之和是121分，并且知道其中第一名的得分是第三名的2

倍，那么第二名的得分是多少？

【分析】令乙得分为x,则甲得分为108-x,丙得分为149-X,丁得分为x-28。

则只能是乙第一或者丙得第一。

(1)若乙得第一，而x=2(149-x)无整数解，所以丙不可能得第三，而丙又不可能得第

四，所以丙得第二。所以得第三的可能是甲或者丁。但是由于甲离第二丙差31分，

而丁离第一只差28分，所以丁得第三。则有x=2(x-28),所以乙得分为56分，

此时丙=93分，明显不符；

(2)若丙得第一，得第三的只能是乙或者甲，显然乙无解，所以得第三的是甲，此时有：

149-x=2(108-X),解之得：x=67.此时甲得分为41分，丙得分为82分；丁得

分为37分。以，第二名为乙得分是67分。

3.有四人的体重都是整千克数，他们两两合称体重，共称了五次，称得的千克数分别99、

113、125、130、144o其中有两人没有一起称过，那么这两人中较重的那个人的体重是多

少千克？

【分析】本题考查配对思想。设四个人的体重为

(a+份+(c+d)=3+c)+S+d)=(a+d)+S+c)

注意到99+144=113+130=243,由于四人两两称重最多称出6个体重(前提是4人体重两

两不同)，于是第六次称重的结果为243-125=118

不蛎^殳a>Z?>c>d,贝I

a+b=144

q+c=]30

，,还剩a+d与b+c,的取值，由前面的方程组得，a-d=31为奇数,所以

b+a=113

c+d=99

a+4=125,解得a=78,d=47,从而。=66,c=52,两人没一起称过，显然是和为118的

两人，这只能是b,c,所以，这两人中较重的那人的体重是66千克

4.有若干盒卡片，每盒中卡片数一样多。把这些卡片分给一些小朋友，如果只分一盒，每人

至少可以得到7张；如果每人分8张卡片，则还缺少5张。现在把所有卡片都分完，每人

分到60张，而且还多出4张。问：共有多少个小朋友？

【分析】设有x人，每盒。张卡片，共〃盒.由题意，得下列方程与不等式组：

->7(1)

x

<iz+5=8%(2)

na-4=60x(3)

⑶一15［八”

—n-----=——n(2〃—15)«=83=1x83

(2)a+42

2n-15=l〃=8

只能是==x=1