专题31 证明切线的方法问题（解析版）-中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题31证明切线的方法问题【规律总结】法一：运用判定定理是证明切线最常用的方法,即如果直线与圆有交点,则连接交点与圆心得半径,只要证明这条半径与该直线垂直即可.这种方法可简单概括为:连半径,证垂直.法二：当不明确直线与圆的交点个数或交点的位置时,可以经过圆心作直线的垂线,然后证明圆心到直线的距离等于圆的半径即可.这种方法可简单概括为:作垂线,证半径.【典例分析】例1．（2017·河南九年级其他模拟）如图，AB是⊙O的直径，点D、E是半圆的三等分点，AE、BD的延长线交于点C，若CE＝2，则图中阴影部分的面积为___．【答案】π﹣．【分析】结合题意，利用三角形边长关系，得出△OAE、△ODE、△OBD、△CDE都是等边三角形，将阴影部分的面积转化为三角形的面积，然后利用扇形面积，建立等式，计算结果，即可.【详解】连接OE、OD，点D、E是半圆的三等分点，∴∠AOE＝∠EOD＝∠DOB＝60°∵OA＝OE＝OD＝OB∴△OAE、△ODE、△OBD、△CDE都是等边三角形，∴AB∥DE，S△ODE＝S△BDE；∴图中阴影部分的面积＝S扇形OAE﹣S△OAE+S扇形ODE＝=．故答案为．【点睛】考查圆综合问题，考查等边三角形的判定，关键将阴影部分面积转化为苛求的三角形面积，难度中等．例2．（2020·云梦县实验外国语学校九年级月考）如图，AB是⊙O的直径，于点B，连接OC交⊙O于点E，弦，弦于点G．（1）求证：点E是弧BD的中点；（2）求证：CD是⊙O的切线；（3）若，⊙O的半径为5，求弦DF的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．【分析】（1）连接OD，由同圆半径相等和平行线性质证明可证E是弧BD的中点；

（2）先证明△OCD≌△OCB得到∠ODC=∠OBC=90°，然后根据切线的判定方法得到结论；

（3）连接BD，先根据垂径定理得到DG=FG，再利用圆周角定理得到∠ADB=90°，则可根据勾股定理计算出BD，然后利用面积法计算出DG，从而得到DF的长．【详解】（1）证明：连接OD，如图∵，∴，又∵，∴，，∴，∴=∴点E为弧BD的中点（2）证明：∵在与中，∴，∴，∴CD为⊙О的切线．（3）∵，∴．设，则，在和中，由勾股定理得：，解得：．∴∴【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了圆周角定理和垂径定理．例3．（2021·辽宁葫芦岛市·九年级期末）如图：中，，以为直径作交于点，交于点，点在的延长线上，．（1）求证：直线是的切线；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）连接AD，根据直角所对圆周角是直角可得∠BAD与ABD的和是90°，再根据等腰三角形的性质可得∠BAD是∠BAC的一半，结合已知条件即可得到结论；（2）连接BE，设AC=m，在Rt△ABF中由勾股定理即可得到AB和AC的长，再证，得到AE的长，即可得到CE的长；【详解】（1）证明：连接，∵是的直径，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，∵是的半径，∴是的切线．（2）设，则，在中，∵，∴，解得，∴，，连接，∵是的直径，∴，∴，又∵，∴，∴，∴∴．【点睛】本题考查圆周角定理、切线的判定，相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，综合性强，熟练掌握圆周角定理，证明三角形相似，由勾股定理得出方程是解题的关键．【好题演练】一、填空题1．（2019·山东德州市·九年级二模）如图，AB是⊙O的直径，AB＝13，AC＝5，则tan∠ADC＝_____．【答案】【分析】结合勾股定理，计算BC的长度，利用圆周角定理，计算结果，即可．【详解】解：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝12，∴tan∠ADC＝tanB＝＝，故答案为:．【点睛】考查勾股定理，考查圆周角定理，关键得出，计算结果，即可，难度中等．2．（2015·山西九年级专题练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，则直线y=x+与以O点为圆心，1为半径的圆的位置关系为__．【答案】相切【详解】解：令y=x+=0，解得：x=﹣，令x=0，解得：y=，∴直线y=x+与x轴交于点A（﹣，0），与y轴交于点B（0，），OA=，OB=，∴AB=设圆心到直线y=x+的距离为r，则∴r==1，∵半径为1，∴d=r，∴直线y=x+与以O点为圆心，1为半径的圆的位置关系为相切，故答案为：相切．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．二、解答题3．（2021·广东潮州市·九年级期末）如图，为的直径，切于点，与的延长线交于点，交延长线于点，连接，，已知，，．（1）求证：是的切线；（2）求的半径．（3）连接，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）圆的半径为；（3）．【分析】（1）由已知角相等、对顶角相等，根据三角形内角和180°得到，即可解题；（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC=PB，由PD-PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC=r，则OD=8-r，利用勾股定理列出关于方程的解得到r的值，即为圆的半径；（3）延长、相交于点，根据切线的性质及角平分线的性质，证明，继而解读BF的长，再由勾股定理解题即可．【详解】（1）证明：，，，，，为的切线；（2）解：在中，，，根据勾股定理得：，与都为的切线，；在中，设，则有，根据勾股定理得：解得：，则圆的半径为．（3）延长、相交于点与都为的切线，平分又，在中，【点睛】本题考查切线的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．4．（2020·河南漯河市·九年级期末）如图，已知抛物线的图象的顶点坐标是，并且经过点，直线与抛物线交于，两点，以为直径作圆，圆心为点，圆与直线交于对称轴右侧的点，直线上每一点的纵坐标都等于1．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：圆与轴相切；（3）过点作，垂足为，再过点作，垂足为，求的值．（或者求的值）【答案】（1）；（2）见解析；（3），．【分析】（1）根据题意抛物线顶点为，利用抛物线的顶点坐标公式，设其解析式为，将经过该抛物线的点代入抛物线的顶点坐标公式即可求得解析式．（2）抛物线和直线的交点B、D坐标通过联立方程可知．为的中点，所以C点纵坐标即Ｃ点到x轴的距离可知．由此推出点到轴的距离等于圆的半径.所以圆与轴相切．（3）过点作，垂足为，连接，由题意可知CH的长度，根据勾股定理求出HM的长度，根据C、D点坐标可以求出HF长度，所以MF=HF-HM，即求出结果．由（2）知BE=B点纵坐标-1，即可得的值．【详解】（1）解：∵已知抛物线的图像的顶点坐标是，∴可设抛物线解析式为，∵抛物线经过点，∴，解得，∴抛物线解析式为，即．（2）证明：联立直线和抛物线解析式可得，解得：或，∴，，∵为的中点，∴点的纵坐标为，∵，∴圆的半径为，∴点到轴的距离等于圆的半径，∴圆与轴相切．（3）解：如图，过点作，垂足为，连接，由（2）知，在中，由勾股定理求得，∵，∴．BE=∴【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、函数的交点坐标、切线的判定和性质以及勾股定理．（1）注意抛物线的顶点式解题更简便；（2）求出B、D的坐标是解题的重点．（3）辅助线的连接是解题关键．综合性较强．5．（2020·厦门大学附属科技中学九年级月考）如图1，四边形内接于，为的直径，与交于点，且．（1）若，求证：；（2）如图2，绕点逆时针旋转得到，点经过的路径为弧，若，求图中阴影部分四边形的面积；（3）在（2）的条件下，连接，求证：为的切线．【答案】（1）证明见解析；（2）16-8；（3）证明见解析【分析】（1）欲证明AB=BC，只要证明∠BAC=∠ACB即可；

（2）如图2中，设AB的延长线交FG于M，连接CM，在BC上取一点N，使得CN=NM．想办法求出BM的长即可解决问题；

（3）如图2-1中，连接OB、BF、作FH⊥AC于H．只要证明四边形OBFH是矩形即可解决问题．【详解】（1）证明：如图1中，

∵DA=DB，

∴∠DAB=∠DBA，

∵AE=AB，

∴∠AEB=∠ABE，

∴∠AEB=∠DAB，

∴∠EAD+∠ADE=∠EAD+∠EAB，

∴∠EAB=∠ADE，

∵∠ADE=∠ACB，

∴∠EAB=∠ACB，

∴AB=BC．

（2）如图2中，设AB的延长线交FG于M，连接CM，在BC上取一点N，使得CN=NM．

∵△ABC是等腰直角三角形，AC=4，

∴AB=BC=2，

∵BC=CG，CM=CM，

∴Rt△CBM≌Rt△CGM，

∴∠MCB=∠MCG=15°，

∵NC=NM，

∴∠NCM=∠NMC=15°，

∴∠MNB=30°，设BM=a，则MN=CN=2a，BN=a，

∴2a+a=2，

∴a=4-2，

∴S阴=2××BM×BC=（4-2）×2=16-8．

（3）如图2-1中，连接OB、BF、作FH⊥AC于H．

∵∠ACF=30°，∠FHC=90°，

∴FH=CF=AC=OA=OB，

∵BA