2024届四川省绵阳市绵阳南山中学高一数学第二学期期末检测模拟试题含解析

2024届四川省绵阳市绵阳南山中学高一数学第二学期期末检测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若展开式中的系数为-20，则等于（）A．-1 B． C．-2 D．2．边长为的正三角形中，点在边上，，是的中点，则（）A． B． C． D．3．已知是圆上的三点，（）A． B． C． D．4．已知直线m，n，平面α，β，给出下列命题：①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β③若m∥α，n∥β，且α∥β，且m∥n④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n其中正确的命题是（）A．②③ B．①③ C．①④ D．③④5．已知基本单位向量，，则的值为（）A．1 B．5 C．7 D．256．已知变量与负相关，且由观测数据算得样本平均数，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是A． B．C． D．7．下列大小关系正确的是()A.B.C.D.8．若直线与直线互相平行，则的值为（）A．4 B． C．5 D．9．若平面α∥平面β，直线平面α，直线n⊂平面β，则直线与直线n的位置关系是（）A．平行 B．异面C．相交 D．平行或异面10．过点且与直线垂直的直线方程为（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数，若，且，则__________．12．方程在上的解集为______．13．执行右边的程序框图，若输入的是，则输出的值是．14．夏季某座高山上的温度从山脚起每升高100米降低0.8度，若山脚的温度是36度，山顶的温度是20度，则这座山的高度是________米15．若向量，则与夹角的余弦值等于_____16．已知三棱锥（如图所示），平面，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为______．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司推广线下分店，计划在S市的A区开设分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格.记x表示在各区开设分店的个数，y表示这个x个分店的年收入之和.(1)该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程(2)假设该公司在A区获得的总年利润z(单位:百万元)与x，y之间的关系为，请结合(1)中的线性回归方程，估算该公司应在A区开设多少个分店时，才能使A区平均每个分店的年利润最大?(参考公式:，其中，)18．已知数列的前项和为，，.（1）证明：数列是等比数列，并求其通项公式；（2）令，若对恒成立，求的取值范围.19．已知函数.（1）求函数在上的最小值的表达式；（2）若函数在上有且只有一个零点，求的取值范围.20．已知函数.（1）求函数图象的对称轴方程;（2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.21．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利分别为和，可能的最大亏损率分别为和.投资人计划投资金额不超过亿元，要求确保可能的资金亏损不超过亿元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少亿元，才能使可能的盈利最大？

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】由，可得将选项中的数值代入验证可得，符合题意，故选A.2、D【解题分析】

，故选D．3、C【解题分析】

先由等式，得出，并计算出，以及与的夹角为，然后利用平面向量数量积的定义可计算出的值．【题目详解】由于是圆上的三点，，则，，故选C．【题目点拨】本题考查平面向量的数量积的计算，解题的关键就是要确定向量的模和夹角，考查计算能力，属于中等题．4、C【解题分析】

根据线线、线面和面面有关定理，对选项逐一分析，由此得出正确选项.【题目详解】对于①，两个平面的垂线垂直，那么这两个平面垂直.所以①正确.对于②，与可能相交，此时并且与两个平面的交线平行.所以②错误.对于③，直线可能为异面直线，所以③错误.对于④，两个平面垂直，那么这两个平面的垂线垂直.所以④正确.综上所述，正确命题的序号为①④.故选：C【题目点拨】本小题主要考查空间线线、线面和面面有关命题真假性的判断，属于基础题.5、B【解题分析】

计算出向量的坐标，再利用向量的求模公式计算出的值.【题目详解】由题意可得，因此，，故选B.【题目点拨】本题考查向量模的计算，解题的关键就是求出向量的坐标，并利用坐标求出向量的模，考查运算求解能力，属于基础题.6、D【解题分析】

由于变量与负相关，得回归直线的斜率为负数，再由回归直线经过样本点的中心，得到可能的回归直线方程.【题目详解】由于变量与负相关，排除A,B，把代入直线得：成立，所以在直线上，故选D.【题目点拨】本题考查回归直线斜率的正负、回归直线过样本点中心，考查基本数据处理能力.7、C【解题分析】试题分析：因为，，，所以。故选C。考点：不等式的性质点评：对于指数函数和对数函数，若，则函数都为增函数；若，则函数都为减函数。8、C【解题分析】

根据两条存在斜率的直线平行，斜率相等且在纵轴上的截距不相等这一性质，可以求出的值.【题目详解】直线的斜率为，在纵轴的截距为，因此若直线与直线互相平行，则一定有直线的斜率为，在纵轴的截距不等于，于是有且，解得，故本题选C.【题目点拨】本题考查了已知两直线平行求参数问题.其时本题也可以运用下列性质解题：若直线与直线平行，则有且.9、D【解题分析】

由面面平行的定义，可得两直线无公共点，可得所求结论．【题目详解】平面α∥平面β，可得两平面α，β无公共点，即有直线与直线也无公共点，可得它们异面或平行，故选：D．【题目点拨】本题考查空间线线的位置关系，考查面面平行的定义，属于基础题．10、A【解题分析】

先根据求出与之垂直直线的斜率，再利用点斜式求得直线方程。【题目详解】由可得直线斜率，根据两直线垂直的关系，求得，再利用点斜式，可求得直线方程为，化简得，选A【题目点拨】当直线斜率存在时，直线垂直的斜率关系为二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、2【解题分析】不妨设a＞1，

则令f（x）=|loga|x-1||=b＞0，

则loga|x-1|=b或loga|x-1|=-b；

故x1=-ab+1，x2=-a-b+1，x3=a-b+1，x4=ab+1，

故故答案为2点睛：本题考查了绝对值方程及对数运算的应用，同时考查了指数的运算，注意计算的准确性.12、【解题分析】

由求出的取值范围，由可得出的值，从而可得出方程在上的解集.【题目详解】，，由，得.，解得，因此，方程在上的解集为.故答案为：.【题目点拨】本题考查正切方程的求解，解题时要求出角的取值范围，考查计算能力，属于基础题.13、24【解题分析】

试题分析：根据框图的循环结构，依次；；；．跳出循环输出．考点：算法程序框图．14、2000【解题分析】

由题意得，温度下降了，再求出这个温度是由几段100米得出来的，最后乘以100即可.【题目详解】由题意得，这座山的高度为：米故答案为：2000【题目点拨】本题结合实际问题考查有理数的混合运算，解题关键是温度差里有几个0.8，属于基础题.15、【解题分析】

利用坐标运算求得；根据平面向量夹角公式可求得结果.【题目详解】本题正确结果：【题目点拨】本题考查向量夹角的求解，明确向量夹角的余弦值等于向量的数量积除以两向量模长的乘积.16、【解题分析】

由于图形特殊，可将图形补成长方体，从而求长方体的外接球表面积即为所求.【题目详解】，，，，平面，将三棱锥补形为如图的长方体，则长方体的对角线，则【题目点拨】本题主要考查外接球的相关计算，将图形补成长方体是解决本题的关键，意在考查学生的划归能力及空间想象能力.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)该公司应开设4个分店时，在该区的每个分店的平均利润最大【解题分析】

（1）由表中数据先求得.再结合公式分别求得,即可得y关于x的线性回归方程.（2）将（1）中所得结果代入中,进而表示出每个分店的平均利润,结合基本不等式即可求得最值及取最值时自变量的值.【题目详解】（1）由表中数据和参考数据得:,,因而可得,,再代入公式计算可知,∴,∴.（2）由题意,可知总收入的预报值与x之间的关系为:,设该区每个分店的平均利润为t,则,故t的预报值与x之间的关系为,当且仅当时取等号,即或（舍）则当时,取到最大值,故该公司应开设4个分店时,在该区的每个分店的平均利润最大.【题目点拨】本题考查了线性回归方程的求法,基本不等式求函数的最值及等号成立的条件,属于基础题.18、（1）证明见解析，（2）【解题分析】

（1）当时，结合可求得；当且时，利用可整理得，可证得数列为等比数列；根据等比数列通项公式可求得结果；（2）根据等比数列求和公式求得，代入可得；分别在为奇数和为偶数两种情况下根据恒成立，采用分离变量的方法得到的范围，综合可得结果.【题目详解】（1）当时，，又当且时，数列是以为首项，为公比的等比数列（2）由（1）知：当为奇数时，，即：恒成立当为偶数时，，即：综上所述，若对恒成立，则【题目点拨】本题考查等比数列知识的综合应用，涉及到利用与关系证明数列为等比数列、等比数列通项公式和求和公式的应用、恒成立问题的求解；本题解题关键是能够进行合理分类，分别在两种情况下求解参数的范围，最终取交集得到结果.19、（1）；（2）.【解题分析】

（1）求出函数的对称轴方程，对实数分、、三种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，进而可得出函数在区间上的最小值的表达式；（2）对函数分情况讨论：（i）方程在区间上有两个相等的实根；（ii）①方程在区间只有一根；（②；③.可得出关于实数的等式或不等式，即可解得实数的取值范围.【题目详解】（1），其对称轴为，当，即时，函数在区间上单调递减，；当，即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，；当时，即当时，函数在区间上单调递增，.综上所述：；（2）（i）若方程在上有两个相等的实数根，则，此时无解；（ii）若方程有两个不相等的实数根.①当只有一根在内时，，即，得；②当时，，方程化为，其根为，，满足题意；③当时，，方程化为，其根为，，满足题意.综上所述，的取值范围是.【题目点拨】本题考查二次函数在定区间上最值的计算，同时也考查了利用二次函数在区间上零点个数求参数，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.20、（1）（2）【解题分析】

(1)通过三角恒等变形，化简为的形式，方便我们去研究与其相关的任何问题；（2）恒成立，可转化，我们只需要求出最大值从而完成本题.【题目详解】（1）令得，所以的对称轴为（2）当时，，，因为，即恒成立故，解得【题目点拨】在研究三角函数相关的性质（值域、对称中心、对称轴、单调性……）我们都是将其化为（或者余弦、正切相对应）的形式，利用整体思想，我们能比较方便的去研究他们相关性质.21、投资人用亿元投资甲项目，亿元投资乙项目，才能在确保亏损不超过亿元的前提下，使可能的盈利最大.【解题分析】

设投资人分别用亿元、亿元投资甲、乙两个项目，根据题意列出变量、所满足的约束条件和线性目标函数，利用平移直线的方法得出线性目标函数取得最大值时的最优解，并将最优解代入线性目标函数可得出盈利的最大值，从而解答该问题.【题目详解】设投资人分别用