北京市首都师大附属回龙观育新学校2024届数学高一第二学期期末考试试题含解析

北京市首都师大附属回龙观育新学校2024届数学高一第二学期期末考试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°2．若平面∥平面，直线∥平面,则直线与平面的关系为()A．∥ B． C．∥或 D．3．已知三角形ABC，如果，则该三角形形状为（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上选项均有可能4．已知点P为圆上一个动点，O为坐标原点，过P点作圆O的切线与圆相交于两点A,B，则的最大值为（）A． B．5 C． D．5．在中，，，，则的面积为A． B． C． D．6．设为锐角三角形，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最小值是（）A．10 B．8 C．4 D．27．设正项等比数列的前项和为，若，，则公比（）A． B． C． D．8．若集合A=α|α=π6+kπ,k∈ZA．ϕ B．π6 C．-π9．若实数x，y满足条件，目标函数，则z的最大值为()A． B．1 C．2 D．010．一个几何体的三视图如图（图中尺寸单位：m），则该几何体的体积为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设函数的部分图象如图所示，则的表达式______．12．已知三个事件A，B，C两两互斥且，则P(A∪B∪C)=__________.13．如图，海岸线上有相距海里的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西，与A相距海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西方向，与B相距海里的C处，此时乙船与灯塔A之间的距离为海里，两艘轮船之间的距离为海里．14．计算：__________.15．一水平位置的平面图形的斜二测直观图是一个底平行于轴，底角为，两腰和上底长均为１的等腰梯形，则这个平面图形的面积是．16．用列举法表示集合__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：，．其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．若对于任意的，总有，则称集合具有性质．（Ⅰ）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和．（Ⅱ）对任何具有性质的集合，证明．（Ⅲ）判断和的大小关系，并证明你的结论．18．已知函数.(1)求的值；(2)若，求的取值范围.19．设向量，，令函数，若函数的部分图象如图所示，且点的坐标为.（1）求点的坐标；（2）求函数的单调增区间及对称轴方程；（3）若把方程的正实根从小到大依次排列为，求的值.20．设函数．（1）求；（2）求函数在区间上的值域．21．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是．（1）求n的值；（2）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．①记“”为事件A，求事件A的概率；②在区间内任取2个实数，求事件“恒成立”的概率．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

正四棱锥，连接底面对角线，在中，为侧棱与地面所成角，通过边的关系得到答案.【题目详解】正四棱锥，连接底面对角线，，易知为等腰直角三角形.中点为，又正四棱锥知：底面即为所求角为，答案为B【题目点拨】本题考查了线面夹角的计算，意在考察学生的计算能力和空间想象力.2、C【解题分析】

利用空间几何体，发挥直观想象，易得直线与平面的位置关系.【题目详解】设平面为长方体的上底面，平面为长方体的下底面，因为直线∥平面，所以直线通过平移后，可能与平面平行，也可能平移到平面内，所以∥或.【题目点拨】空间中点、线、面位置关系问题，常可以借助长方体进行研究，考查直观想象能力.3、B【解题分析】

由正弦定理化简已知可得：，由余弦定理可得，可得为钝角，即三角形的形状为钝角三角形.【题目详解】由正弦定理，，可得,化简得，由余弦定理可得：，又，为钝角，即三角形为钝角三角形.故选：B.【题目点拨】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题.4、A【解题分析】

作交于，连接设，得，，进而，换元，得，通过求得的范围即可求解【题目详解】作交于，连接设，则，∴取，∴.显然易知令，，当且仅当等号成立；此时∴故选A【题目点拨】本题考查圆的几何性质，切线的应用，弦长公式，考查函数最值得求解，考查换元思想，是难题5、C【解题分析】

利用三角形中的正弦定理求出角B，利用三角形内角和求出角C，再利用三角形的面积公式求出三角形的面积，求得结果.【题目详解】因为中，，，，由正弦定理得：，所以，所以，所以，所以，故选C.【题目点拨】该题所考查的是有关三角形面积的求解问题，在解题的过程中，需要注意根据题中所给的条件，应用正弦定理求得，从而求得，之后应用三角形面积公式求得结果.6、B【解题分析】

令，得直线在x、y轴上的截距，求得三角形面积并利用二倍角公式化简，根据三角函数图象和性质求得面积最小值即可.【题目详解】令得直线在y轴上的截距为，令得直线在x轴上的截距为，其围成的三角形面积：，求S的最小值转化为求函数的最小值，因为为锐角，所以，当时取最小值−1，则，故围成三角形面积最小值为8.故选：B.【题目点拨】本题考查直线方程与三角函数二倍角公式的应用，综合题性较强，属于中等题.7、D【解题分析】

根据题意，求得，结合，即可求解，得到答案.【题目详解】由题意，正项等比数列满足，，即，，所以，又由，因为，所以.故选：D.【题目点拨】本题主要考查了的等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8、B【解题分析】

先化简集合A,B,再求A∩B.【题目详解】由题得B={x|-1≤x≤3}，A=⋯所以A∩B=π故选：B【题目点拨】本题主要考查一元二次不等式的解法和集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题,9、C【解题分析】

画出可行域和目标函数，根据平移得到最大值.【题目详解】若实数x，y满足条件，目标函数如图：当时函数取最大值为故答案选C【题目点拨】求线性目标函数的最值:当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最大，在轴截距最小时，z值最小；当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.10、C【解题分析】

根据三视图判断几何体的形状，计算即可得解.【题目详解】该几何体是一个半径为1的球体削去四分之一，体积为.故选：C.【题目点拨】本题考查了三视图的识别和球的体积计算，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

根据图象的最高点得到，由图象得到，故得，然后通过代入最高点的坐标或运用“五点法”得到，进而可得函数的解析式．【题目详解】由图象可得，∴，∴，∴．又点在函数的图象上，∴，∴，∴．又，∴．∴．故答案为．【题目点拨】已知图象确定函数解析式的方法（1）由图象直接得到，即最高点的纵坐标．（2）由图象得到函数的周期，进而得到的值．（3）的确定方法有两种．①运用代点法求解，通过把图象的最高点或最低点的坐标代入函数的解析式求出的值；②运用“五点法”求解，即由函数最开始与轴的交点(最靠近原点)的横坐标为(即令，)确定．12、0.9【解题分析】

先计算，再计算【题目详解】故答案为0.9【题目点拨】本题考查了互斥事件的概率计算，属于基础题型.13、5,【解题分析】

为等边三角形，所以算出，,再在中根据余弦定理易得CD的长．【题目详解】因为为等边三角形，所以．在中根据余弦定理解得．【题目点拨】此题考查余弦定理的实际应用，关键点通过已知条件转换为数学模型再通过余弦定理求解即可，属于较易题目．14、0【解题分析】

直接利用数列极限的运算法则，分子分母同时除以，然后求解极限可得答案.【题目详解】解：，故答案为：0.【题目点拨】本题主要考查数列极限的运算法则，属于基础知识的考查.15、【解题分析】如图过点作，，则四边形是一个内角为45°的平行四边形且，中，，则对应可得四边形是矩形且，是直角三角形，．所以16、【解题分析】

先将的表示形式求解出来，然后根据范围求出的可取值.【题目详解】因为，所以，又因为，所以，此时或，则可得集合：.【题目点拨】本题考查根据三角函数值求解给定区间中变量的值，难度较易.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）集合不具有性质，集合具有性质，相应集合，，集合，（Ⅱ）见解析（Ⅲ）【解题分析】解：集合不具有性质．集合具有性质，其相应的集合和是，．（II）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个．因为，所以；又因为当时，时，，所以当时，．从而，集合中元素的个数最多为，即．（III）解：，证明如下：（1）对于，根据定义，，，且，从而．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立．故与也是的不同元素．可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，（2）对于，根据定义，，，且，从而．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立，故与也是的不同元素．可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，由（1）（2）可知，．18、（1）；（2）【解题分析】

(1)将)化简为，代入从而求得结果.(2)由,得,从而确定的范围.【题目详解】(1)(2)由，得解得，，即的取值范围是【题目点拨】本题主要考查三角函数的化简求值，不等式的求解，意在考查学生的运算能力和分析能力，难度不大.19、(1)(2)单调递增区间为；对称轴方程为，；(3)14800【解题分析】

（1）先求出，令求出点B的坐标；（2）利用复合函数的单调性原理求函数的单调增区间，利用三角函数的图像和性质求对称轴方程；（3）由（2）知对称轴方程为，，所以，，…，，即得解.【题目详解】解:（1）由已知，得∴令，得，，∴，.当时，，∴得坐标为（2）单调递增区间，得，∴单调递增区间为对称轴，得，∴对称轴方程为，（3）由，得，根据正弦函数图象的对称性，且由（2）知对称轴方程为，∴，，…，∴【题目点拨】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.20、（1）；（2）.【解题分析】

（1）把直接带入，或者先化简（2）化简得，，根据求出的范围即可解决．【题目详解】（1）因为，，所以；（2）当时，，所以，所以.【题目点拨】本题主要考查了三角函数的问题，对于三角函数需要记住常考的一些性质：图像、周期、